Сложение нескольких колебаний одинакового направления (или, что то же самое, сложение нескольких гармонических функций) значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости.
Возьмем ось, которую обозначим “x”. Из точки О, взятой на оси, под углом a, равным начальной фазе колебаний, отложим вектор длины A (рис. 8.3). Спроектируем вектор A на ось x, получим x0=Acosa – начальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия. Приведем этот вектор во вращение против часовой стрелки с угловой скоростью w0. Положение этого вектора в любые моменты времени будет характеризоваться углами, равными:
w0t1+a; w0t2+a; w0t3+a; и т.д.
А проекция этого вектора будет перемещаться по оси «x» в пределах от –А до +А. Причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону:
.
Следовательно, проекция конца вектора на некоторую произвольную ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой равной длине вектора, круговой частотой равной угловой скорости вращения вектора и начальной фазой равной углу, образованному вектором с осью в начальный момент времени.
Итак, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью “x” угол равный начальной фазе колебания.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение колеблющегося тела “x” будет суммой смещений x1 и x2, которые запишутся следующим образом:
Представим оба колебания с помощью векторов и (рис. 8.4) По правилам сложения векторов строим результирующий вектор . Проекция этого вектора на ось X будет равна сумме проекций слагаемых векторов: x=x1+x2. Следовательно, вектор представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той угловой скоростью w0, что и векторы и , так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с с частотой w0, амплитудой «а» и начальной фазой a. Из построения следует, что
.
Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов. Этот способ отличается большей простотой и наглядностью, чем использование тригонометрических преобразований.
Проанализируем выражение для амплитуды. Если разность фаз обоих колебаний a2 - a1 = 0, то амплитуда результирующего колебания равна сумме (а2 + а1). Если разность фаз a2 - a1 = +p или -p, т.е. колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания равна .
Если частоты колебаний x1 и x2 неодинаковы, векторы и будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью, Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не просто гармоническое колебании, а некоторый сложный колебательный процесс.