Если функция z = f(х, у) дифференцируема в точке М0(х0, у0) и имеет
в ней экстремум, то частные производные функции в этой точке равны
нулю: .
Следствие 1.Функция z = f(х, у) может иметь экстремум только в
тех точках, где частные производные либо равны нулю, либо не су-
ществуют.
Определение. Точки, в которых частные производные функции
z = f(х, у) либо обращаются в нуль, либо не существуют,
называются критическими точками функции.
Итак, функция может иметь экстремум только в критических точках. Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, функция z = x2 – y2 имеет частные производные и точка О(0; 0) является для неё критической. Но эта точка не является точкой экстремума, т.к. в достаточно малой окрестности точки О(0; 0) найдутся точки, для которых z > 0 (z(x, 0) = x2 > 0) и z < 0 (z(0, y) = -y2 < 0).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции необходимы дополнительные исследования функции в каждой критической точке.
Вопрос о достаточных условиях экстремума для функции двух и более переменных сложен. Поэтому следующую теорему о достаточных условиях экстремума функции двух переменных примем без доказательства.