Рассмотрим на отрезке непрерывную функцию , принимающую неотрицательные значения .
Выполним следующие действия:
1. С помощью точек , где , разобьем отрезок на n-частичных отрезков .
2. В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину .
3. Умножим найденное значение функцийна длину соответствующего частичного отрезка: .
4. Составим сумму всех таких произведений:
. (17)
Сумма вида (17) называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: .
5. Найдем предел интегральной суммы (17), когда , при этом .
Если интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то это число называется определенным интегралом.
Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке
называется число, равное пределу, к которому стремится инте-
гральная сумма при условии, что максимальная
длина частей разбиения стремится к нулю:
. (18)
Числа а и b называются соответственно нижним и верхнимпределами интегрирования, f(х) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, отрезок - отрезком интегрирования.
Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.
Теорема (существования интеграла). Если функция непрерывна
на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке, т.е. определенный интеграл от этой функции существует.