Восстановление функции по известной производной этой функции составляет одну из основных задач интегрального исчисления.
Определение 1:Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений х из этого промежутка выполняется равенство F¢(x)=f(x).
Задача отыскания по данной функции f(x) её первообразной решается неоднозначно. Действительно, если F(x) — первообразная для f(x), т. е. F¢(x)=f(x), то функция F(x)+C, где С—произвольная постоянная, также является первообразной для f(x), так как [F(x)+C]¢=f(x) для любого числа С.
Теорема 1:Функция, производная которой на некотором промежутке X равна нулю, постоянна на этом промежутке.
Теорема 2:Если F(x) — первообразная для функции f(x) на некотором промежутке X, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где С— произвольная постоянная.