По величине магнитной восприимчивости можно выделить три основные группы магнетиков:
- диамагнетики имеют отрицательную , . Вектор намагниченности антипараллелен вектору , поэтому диамагнетики ослабляют внешнее магнитное поле (прямая 1 на рис. 3.18);
- парамагнетики, у которых >0, . Зависимость J(H) линейная (прямая 2 на рис.3.18);
- ферромагнетики образуют большую группу веществ, обладающих спонтанной
намагниченностью, т.е. имеющих не равную нулю намагниченность даже в отсутствие магнитного поля. Зависимость J(H) у них нелинейная, и полный цикл пере-
магничивания описывается петлей гистерезиса ( рис. 3.19).
Явление диамагнетизма классическая физика объясняет следующим образом. Электрон движется в атоме по орбите, т.е. образует замкнутый контур с током, магнитный момент которого равен . Если атом
внести в магнитное поле с индукцией , то на орбиту начинает действовать вращательный момент , который стремится установить орбитальный магнитный момент электрона
по направлению поля. При этом механический момент (момент импульса электрона при
движении его по орбите , где m – масса электрона,– его скорость, r - радиус орбиты) устанавливается против поля . Векторы и связаны гидромагнитным отношением:
Под действием момента векторы и совершают прецессию вокруг вектора (рис. 3.20) с частотой ,которая называется частотой Лармора. Прецессия орбиты обуславливает дополнительное движение электрона вокруг направления поля. Этому движению соответствует круговой ток , магнитный момент которого
направлен в сторону, противоположную . Этот момент называется индуцированным (наведенным) магнитным моментом.
Т.к. при движении электрона по орбите расстояние все время меняется, надо брать среднее значение , которое зависит от угла , характеризующего ориентацию плоскости орбиты по отношению к . Можно показать, что . Тогда средний индуцированный магнитный момент одного электрона равен
.
Просуммировав это выражение по всем электронам, найдем индуцированный магнитный момент атома: , где z – порядковый номер химического элемента (число электронов в атоме).
Диамагнетизм проявляют вещества, атомы которых не обладают магнитным моментом ( многие газы, металлы Cu, Ag, Au, Zn, Ca и т.д.).
Если магнитный момент атомов отличен от нуля, вещество оказывается парамагнитным. Магнитное поле стремиться установить магнитные моменты атомов вдоль , а тепловое движение – разбросать их равномерно по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация моментов вдоль поля тем большая, чем больше , и тем меньшая, чем выше температура. Зависимость магнитной восприимчивости от температуры подчиняется закону Кюри: , где С – постоянная Кюри.
Парамагнетизмом обладают:
а) атомы и молекулы, имеющие нечетное число электронов (например, свободные атомы щелочных металлов, NO);
б) свободные атомы и ионы, имеющие недостроенные внутренние оболочки (переходные элементы Fe, Со, и т.д., редкоземельные элементы);
в) некоторые молекулы с четным числом электронов ( , ), а также дефекты кристаллической решетки.
К ферромагнетикам относятся железо, кобальт, никель, гадолиний, их сплавы и т.д. Ферромагнетизмом обладают только вещества в кристаллическом состоянии. Их намагниченность в раз превышает намагниченность парамагнетиков.
Ферромагнетики имеют области спонтанной намагниченности – домены. При отсутствии поля магнитные моменты доменов ориентированы произвольным образом, и магнитный момент образца в целом равен нулю. При внесении в магнитное поле магнитные моменты доменов начинают ориентироваться по полю и индукция результирующего поля увеличивается. Зависимость В (Н) имеет вид петли гистерезиса ( рис.3.21). Здесь 1 – кривая первоначального намагничения. Если поле Н уменьшать, то имеет место отставание значений В и Н (гистерезис). При индукция – имеет место остаточная намагниченность ( на рис. 3.21).Для того, чтобы снять намагниченность совсем, необходимо приложить поле обратного знака (коорцитивная сила). При температурах выше определенной точки (точки Кюри) тепловое движение сбивает стройную структуру магнитных моментов в домене, спонтанная намагниченность исчезает, и ферромагнетик становиться парамагнетиком.
ЛЕКЦИЯ15
4. Явление электромагнитной индукции
4.1.ЭДС индукции
Явление электромагнитной индукции состоит в том, что при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, в последнем возникает индукционный ток, т.е. действует ЭДС индукции . Величина не зависит от способа, которым осуществляется изменение магнитного потока , и определяется лишь скоростью изменения , т.е. . При изменении знака направление индукционного тока меняется.
Ленц установил правило, согласно которому индукционный ток всегда направлен так, чтобы препятствовать причине, его вызвавшей. Действительно, рассмотрим два контура (рис.4.1). Ток в первом контуре можно менять с помощью реостата R. Этот ток создает магнитное поле, пронизывающее контур 2, подключенный к гальванометру G.
Если ток в первом контуре уменьшить, то
магнитный поток, пронизывающий второй контур, уменьшится. При этом во втором контуре возникает индукционный ток такого направления, чтобы своим магнитным полем препятствовать уменьшению магнитного потока, пронизывающего этот контур. Магнитный момент этого тока будет направлен по полю, создаваемому током . Токи и направлены одинаково.
Если ток увеличить, возникает ток противоположного направления. Изменение магнитного потока может происходить либо за счет изменения площади S контура, либо за счет изменения индукции магнитного поля .
Найдем связь между электродвижущей силой индукции и скоростью изменения магнитного потока в случае изменения площади контура. Возьмем контур с подвижной перемычкой длины (рис.4.2а). Поместим его в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за чертеж. Приведем перемычку в движение со скоростью . С той же скоростью станут перемещаться и носители заряда в перемычке (электроны) относительно поля. При этом на каждый электрон действует направленная вдоль перемычки магнитная сила:
.
где - заряд электрона. Действие этой силы эквивалентно действию на электрон электрического поля . Это поле неэлектрического происхождения, его циркуляция по контуру равна ЭДС индукции, действующей в этом контуре:
. (4.1)
Подынтегральная функция выражения (4.1) отлична от нуля лишь на образуемом перемычкой участке 1 – 2.
За положительное направление ЭДС индукции (направление обхода контура) примем то, в котором ток образует с нормалью к поверхности контура правовинтовую систему. Пусть нормаль направлена за чертеж (см. рис.4.2). Тогда при вычислении циркуляции нужно обходить контур по часовой стрелке и соответственно выбирать направление векторов .
В выражении (4.1) постоянный вектор вынесем за знак интеграла, получим:
, (4.2)
где – вектор, показанный на рис. 4.2.б), направленный по направлению обхода контура и равный длине перемычки 1 – 2. Преобразуем выражение (4.2):
.
Из рис. 4.2.б видно, что , где dS - приращение площади контура за время dt, тогда
,
и - электродвижущая сила индукции равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком.
В приведенных рассуждениях роль сторонних сил играют магнитные силы. Работа этих сил над единичным положительным зарядом равна ЭДС и отлична от нуля. Однако известно, что магнитные силы не совершают работы над зарядом. Противоречие устраняется, если учесть, что работу совершает не вся сила , а ее составляющая , параллельная проводу. Под действием этой составляющей электрон приходит в движение вдоль провода со скоростью , в результате чего возникает перпендикулярная к проводу составляющая магнитной силы .
Эта составляющая не вносит вклада в циркуляцию, так как перпендикулярна к . Полная магнитная сила, действующая на электрон, равна:
,
а работа этой силы над электроном за время dt -
направление векторов и одинаковы, а векторов и противоположны (рис.4.3).
Подставим ; , получим
- работа магнитной силы равна нулю.
Сила направлена противоположно скорости перемычки , поэтому для движения перемычки со скоростью к ней надо приложить внешнюю силу , уравновешивающую силы , приложенные ко всем электронам, содержащимся в перемычке. За счет работы этой силы возникает энергия, выделенная в контуре индукционным током. Если ЭДС индукции возникает вследствие изменения индукции магнитного поля , то изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле . Под действием этого поля носители тока в проводнике приходят в движение и возникает индукционный ток.
Рассмотрим контур, состоящий из N витков, например, соленоид. Витки соединяются последовательно, поэтому равна сумме ЭДС, индуцируемых в каждом витке в отдельности:.
.
Величину называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Если потоки, пронизывающие каждый из витков одинаковы, то , ЭДС индукции в сложном контуре равна:
.
4.2.САМОИНДУКЦИЯ
Вокруг всякого проводника с током существует магнитное поле. Собственное магнитное поле контура создает магнитный поток самоиндукции сквозь поверхность S, ограниченную этим контуром :
,
где – проекция вектора индукции магнитного поля на нормаль к элементу поверхности dS.
По закону Био- Савара - Лапласа магнитная индукция в точке, находящейся на расстоянии от элемента контура равна , а магнитная индукция, создаваемая всем контуром
,
тогда , где - проекция векторного произведения на направление нормали к поверхности dS, ограниченной контуром . Для магнитного потока самоиндукции имеем:
.
Обозначим , тогда . Величина L называется индуктивностью контура. Она зависит от свойств среды ( ), от геометрической формы ( S и ) и размеров проводника. Индуктивность равна магнитному потоку самоиндукции, контура, когда в контуре течет ток единичной силы.
Единицы: СИ – Гн (генри), , СГСМ – см ( сантиметр).
Самоиндукция – это возникновение ЭДС индукции в результате изменения тока в цепи. ЭДС самоиндукции:
.
Если свойства среды () и размеры контура (S и ) остаются неизменными, а среда неферромагнитная, то , ЭДС самоиндукции пропорциональна скорости убывания тока в контуре. т. е.
Под действием ЭДС самоиндукции в цепи появляется индукционный ток, который по закону Ленца противодействует изменению тока в цепи. Это противодействие будет тем больше, чем больше индуктивность контура. Таким образом, индуктивность контура является мерой его инертности к изменению тока.
Вычислим индуктивность соленоида бесконечной длины. При протекании тока I внутри соленоида возбуждается однородное поле, индукция которого равна . Поток через каждый из витков равен , а полный поток, сцепленный с соленоидом, определяется выражением:
,
где - длина соленоида (которая предполагается очень большой), S - площадь поперечного сечения, n - число витков на единицу длины, полное число витков . Известно, что , поэтому
,
где - объем соленоида.
4.3. ТОКИ ФУКО
Индукционные токи могут возбуждаться в сплошных массивных проводниках. В этом случае их называют токами Фуко или вихревыми токами. Электрическое сопротивление массивного проводника мало, поэтому токи Фуко могут быть очень большими.
В соответствии с правилом Ленца токи Фуко выбирают внутри проводника такие пути и направления, чтобы своим действием возможно сильнее противиться причине, которая их вызывает. Поэтому движущиеся в сильном магнитном поле хорошие проводники испытывают сильное торможение, обусловленное взаимодействием токов Фуко с магнитным полем.
Токи Фуко, возникающие в проводах, по которым течет переменный ток, направлены так, что ослабляют ток внутри провода и усиливают вблизи поверхности. В результате быстропеременный ток оказывается распределенным по сечению провода неравномерно – он как бы вытесняется на поверхность проводника. Это скин -эффект или поверхностный эффект. Из-за скин-эффекта внутренняя часть проводников в высокочастотных линиях оказывается бесполезной и проводники делают в виде трубок.
4.4.ТОК ПРИ ЗАМЫКАНИИ И РАЗМЫКАНИИ ЦЕПИ
Найдем изменение тока при размыкании цепи, в которой идет ток I, сопротивление цепи R, ее индуктивность L (рис.4.4.). В момент времени отключили источник ЭДС. Сила тока в цепи начинает убывать до нуля.
При убывании силы тока возникает ЭДС самоиндукции, препятствующая убыванию тока:
.
Разделяя переменные, получаем дифференциальное уравнение:
После интегрирования имеем: , или
.
Найдём значение константы интегрирования, подставим начальные условия: при ток
, тогда - при отключении тока в цепи сила тока убывает до нуля не мгновенно, а по закону экспоненты (кривая 1 на рис.4.5). Скорость убывания определяется отношением , которое называется постоянной времени цепи. Закон изменения тока можно записать в виде:
.
Из этой формулы видно, что - это время, в течение которого ток в цепи уменьшается в e раз.
При замыкании цепи ЭДС самоиндукции препятствует нарастанию тока:
.
Решая это уравнение относительно I, получаем: - ток при замыкании цепи нарастает по закону экспоненты (кривая 2 на рис.4.5).
ЛЕКЦИЯ 16
4.5.ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ
Возьмем два контура 1 и 2, расположенные близко друг к другу в неферромагнитной среде (рис.4.6). Если в контуре 1 течет ток силы , он создает через контур 2 пропорциональный полный
магнитный поток . При изменениях тока в контуре 2 индуцируется ЭДС
.
Аналогично, при протекании в контуре 2 тока силы возникает сцепленный с контуром 1 поток
.
При изменениях тока в контуре 1 индуктируется ЭДС .
Контуры 1 и 2 называют связанными, а явление возникновения ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом – взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности и называют взаимной индуктивностью контуров. В отсутствие ферромагнетиков эти коэффициенты всегда равны друг другу:
.
Их величина зависит от формы, размеров и взаимного расположения контуров, а также от магнитной проницаемости среды, окружающей контуры. Измеряется в тех же единицах, что и L ( в Генри).
Найдем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный железный сердечник (рис.4.7). Линии магнитной индукции сосредотачиваются внутри сердечника, поэтому можно считать, что возбуждаемое любой из обмоток магнитное поле будет иметь всюду в сердечнике одинаковую напряженность. Если первая обмотка имеет витков, и по ней течёт ток силы витков, то согласно теореме о циркуляции , или ,
где – длина сердечника.
Магнитный поток через поперечное сечение сердечника , где S – площадь поперечного сечения сердечника. Подставив , получаем . Это выражение умножим на число витков второй обмотки , получим полный поток, сцепленный со второй обмоткой:
.
Сравнивая это выражение с выражением (4.1), получаем
.
Аналогично можно получить .
В общем случае , так как множитель (магнитная проницаемость среды), входящий в эти выражения, зависит от напряженности поля в сердечнике. Если , то один и тот же ток, пропускаемый один раз по первой, а второй раз - по второй катушке, создает в сердечнике поле разной напряженности . Соответственно, значения в обоих случаях будут различны, так что при значения и не совпадают. Если сердечник неферромагнитный, например, деревянный, то , т.к. не зависит от .
4.6.ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
Рассмотрим цепь, состоящую из соленоида, замкнутого на источник тока (рис.4.8), находящуюся в неферромагнитной среде. В соленоиде течет ток , который образует магнитный поток, сцепленный с соленоидом. Если отключить соленоид от источника и замкнуть его на сопротивление , по цепи пойдет постепенно убывающий ток. Работа, совершаемая этим током за время равна
.
Если индуктивность соленоида остается постоянной, , то , и
. (4.3)
Эта работа идет на нагревание проводников. Вследствие совершения этой работы происходит исчезновение магнитного поля, и так как никаких изменений в окружающей цепь среде не происходит, следует заключить, что работа совершается за счет энергии магнитного поля, а выражения (4.3) как раз и определяет эту работу. Вся работа, произведенная током при убывании магнитного поля до нуля равна
,
и энергия магнитного поля .
Объемной плотностью энергии магнитного поля называется энергия этого поля, отнесенная к его объему:
.
Однако ( поле соленоида однородно), согласно закону полного тока в случае поля соленоида получаем , где - длина соленоида, - число витков соленоида, тогда
.
Энергия , локализованная во всем объеме магнитного поля равна:
.
Если поле в данной точке пространства создано несколькими контурами с током, то энергия результирующего магнитного поля равна:
,
где - сила тока в -том контуре, - потокосцепление - того контура, равное сумме потокосцепления самоиндукции (магнитного потока самоиндукции) -того контура и магнитного потока взаимоиндукции -того контура с остальными , . Поэтому энергия магнитного поля равна
,
– взаимная индуктивность -того и i- того контуров с токами и .
4.7.ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В НЕФЕРРОМАГНИТНОЙ СРЕДЕ
Энергия магнитного поля, создаваемого какой-либо системой тел (проводящих контуров с токами) изменяется, если контуры с токами перемещаются, или, если изменяются токи в них.
При этом совершают работу внешние силы, приложенные к телам системы, источники электрической энергии, включенные в цепи токов.
Если температура системы постоянна, и плотность среды не меняется, то закон сохранения энергии можно записать в виде:
,
здесь - работа внешних сил в рассматриваемом процессе, - работа источников электрической энергии, - изменение энергии магнитного поля, - изменение кинетической энергии тел системы, - теплота Джоуля-Ленца.
Если тела системы перемещаются очень медленно (квазистатически), то можно пренебречь изменением кинетической энергии системы, =0, и можно считать , где - работа сил, действующих на тела системы в магнитном поле. Это пондемоторные силы. Тогда закон сохранения энергии примет вид:
.
Если система содержит n проводящих контуров с токами, работа источников электрической энергии за малый промежуток времени dt равна:
,
где – алгебраическая сумма ЭДС всех источников электрической энергии, включенных в -тый контур, – сила тока в этом контуре.
Рассмотрим некоторые примеры.
Неподвижный контур с током. а) Если ток в контуре остается постоянным, то энергия магнитного поля не изменяется, , а пондемоторные силы не совершают работы: