Экономико-математическое моделирование транспортных процессов

Министерство Путей Сообщения Российской Федерации Московский Государственный Университет Путей Сообщения МИИТ Кафедра экономики и управления на транспорте КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТНЫХ ПРОЦЕССОВ Выполнила студентка гр. ЭЭТ-218

Захватова Е.В. Москва 2000 ВВЕДЕНИЕ. Курсовая работа по дисциплине экономико-математическое моделирование своей задачей определяет практическое освоение и закрепление теоретических знаний по математическому моделированию экономических процессов. В этом проекте также рассматривается умение привлекать новые информационные технологии для решения оптимизационных задач. Проект состоит из трх разделов из области принятия решений в бизнесе, которые являются логически связанными

между собой объектами принятия решений фирма и е филиалы. Субъектами принятия решений являются менеджеры фирмы и е филиалов, а также владельцы пунктов реализации продукции. Раздел 1 рассматривает линейное программирование как метод моделирования распределения ограниченных ресурсов. Здесь необходимо максимизировать прибыль предприятия, производящего различные виды продукции. Для этого используется математическая модель общей задачи линейного программирования

ОЗЛП и программный продукт EXCEL. Раздел 2 продолжает рассмотрение проблемы распределения ограниченных ресурсов с помощью классической транспортной задачи линейного программирования ТЗЛП. В нм разрабатывается оптимальный план перевозки сырья для всех филиалов предприятий. Для этого составляется математическая модель транспортной задачи линейного программирования и используется программный продукт EXCEL. Раздел 3 рассматривает правила принятия решений в бизнесе по различным критериям.

Здесь рассматриваются различные способы оптимизации портфеля заказов при реализации продукции всех филиалов предприятия через розничную торговую сеть. При этом используются различные теории вероятности и игровые способы принятия решений. РАЗДЕЛ 1. Фирма имеет 25 филиалов, каждый из которых производит четыре вида продукции i1,2,3,4. Рассмотрим работу 8-го филиала фирмы. Максимальный объем выпуска продукции различных видов приведен

в тоннах в столбце К. Филиал закупает сырье, из которого производят продукцию, у семи АО. Выход готового продукта из 1 тонны сырья показан в нижней части таблицы В9Н12. Остальная доля сырья идет в отход. При закупке сырья у разных АО филиал получает различную прибыль. Она указана по строке 6 в тысячах рублей на тонну сырья. АВCDEFGHIJK1Переменные 2Номер АО j12345673значение006,9097,6360004нижняя граница5верхняя границаОтвет6коэффициент

в ЦФ45456070457045949,09мах7Ограничения 8вид продукции iлев. частьзнакправ. часть910,20,10,150,20,250,10,32,56 3,401020,20,20,150,10,10,20,11,80 1,801130,10,150,10,250,10,150,12,60 2,601240,10,10,10,10,10,10,11,45 2,10В разделе 1 проекта требуется 1. Определить количество закупаемого заданным филиалом фирмы сырья у каждого АО, xj, максимизируя прибыль филиала. Нужно формулировать экономико-математическую модель общей задачи линейного программирования ОЗЛП 2. С помощью полученных в результате реализации модели отчетов сделать рекомендации филиалу фирмы по расширению программы выпуска ассортимента продукции.

Для решения этой задачи введм следующие обозначения Xj выход выпускаемой продукции Bi максимальный объм выпуска С прибыль филиалов фирмы при закупке сырья. С учтом введнных обозначений составим экономико-математическую модель ОЗЛП F45x145x260x370x445x570x645x7 0,2x10,1x20,15x30,2x40,25x50,1x60,3x7 3,4 0,2x10,2x20,15x30,1x40,1x50,2x60,1x7 1,8 0,1x10,15x20,1x30,25x40,1x50,15x60,1x7 2,6 0,1x10,1x20,1x30,1x40,1x50,1x60,1x7 2,1 Аналитический метод решения ОЗЛП называется симплекс-методом.

Для работы по этому методу введм величину Yj искусственная переменная величина не использованных ресурсов и перейдм от системы неравенств к системе уравнений F 45x145x260x370x445x570x645x7 max 0,2x10,1x20,15x30,2x40,25x50,1x60,3x7Y13 ,4 0,2x10,2x20,15x30,1x40,1x50,2x60,1x7Y21, 8 0,1x10,15x20,1x30,25x40,1x50,15x60,1x7Y3 2,6 0,1x10,1x20,1x30,1x40,1x50,1x60,1x7Y42,1 Преобразуем систему уравнений F0 45x1-45x2-60x3-70x4-45x5-70x6-45x7 max Y13,4-0,2x10,1x20,15x30,2x40,25x50,1x60, 3x7 Y21,8-0,2x10,2x20,15x30,1x40,1x50,2x60,1 x7

Y32,6-0,1x10,15x20,1x30,25x40,1x50,15x60 ,1x7 Y42,1-0,1x10,1x20,1x30,1x40,1x50,1x60,1x 7 xj 0, Yj 0, i17, j14. Решив задачу через модуль Поиск решения в электронной таблице Excel см. Таблицу 1, помимо ответа ячейка I6, мы получаем также следующие отчеты Отчт по результатамЦелевая ячейка МаксимумЯчейкаИмяИсходноРезультатI6коэфф ициент в ЦФ949.09Изменяемые ячейкиЯчейкаИмяИсходноРезультатB3значени е

АО100C3значение АО200D3значение АО36.9090909096.909090909E3значение АО47.6363636367.636363636F3значение АО500G3значение АО600H3значение АО700ОграниченияЯчейкаИмяЗначениеформула СтатусРазницаI9продукция 42.56I9 K9не связан.0.836363636I10продукция 11.80I10 K10связанное0I11продукция 22.60I11 K11связанное0I12продукция 31.45I12

K12не связан 0.645454545B3значение АО10B3 B4связанное0C3значение АО20C3 C4связанное0D3значение АО36.909090909D3 D4не связан.6.909090909E3значение АО47.636363636E3 E4не связан.7.636363636F3значение АО50F3 F4связанное0G3значение АО60G3 G4связанное0H3значение АО70H3 H4связанное0 Отчт по результатам состоит из трх таблиц 1.

Целевая ячейка максимум адрес, исходное и результативное значение целевой функции. 2. Изменяемые ячейки адреса и значения всех искомых переменных задачи. 3. Ограничения результаты оптимального решения для заданных условий и ограничений задачи, состоящие из столбцов a Формула введнные зависимости b Значения оптимальные объмы выпуска по каждому виду продукции и значения искомых переменных задачи c Разница количество произведнной продукции, если объм производства

продукции данного типа равен максимально возможному, то в графе Статус указывается связанное, а в графе разница 0 при неполном производстве продукции в графе Статус не связанное, в графе Разница остаток. Отчт по устойчивостиИзменяемые ячейкиРезульт.Нормир.ЦелевойДопустимоеДо пустимоеЯчейкаИмязначениестоимостьКоэффи циентУвеличениеУменьшениеB3значение АО10-29.554529.551E30C3значение АО20-37.734537.731E30D3значение

АО36.9060450.83E3значение АО47.63070802.5F3значение АО50-0.45450.451E30G3значение АО60-12.737012.731E30H3значение АО70-0.45450.451E30ОграниченияРезульт.Те неваяОграничениеДопустимоеДопустимоеЯчей каИмязначениеЦенаПравая частьУвеличениеУменьшениеI9продукция 42.560.003.41E300.836I10продукция 11.80290.911.81.1830.76I11продукция 22.60163.642.61.531.4I12продукция 31.450.002.11E300.645 Отчт по устойчивости содержит информацию, насколько целевая ячейка чувствительна к изменениям ограничений

и переменных. Он имеет две таблицы 1. Изменяемые ячейки a Редуцированная стоимость содержит значения дополнительных двойственных переменных, показывающих как изменится целевая функция функция прибыли при принудительной закупки единицы сырья у данного АО b Целевой коэффициент показывает степень зависимости между изменяемой и целевой ячейками, то есть коэффициенты целевой функции c Допустимое увеличение и допустимое уменьшение показывают предельные значения

приращения коэффициентов в целевой функции, при которых сохраняются оптимальные решения. 2. Ограничения a Теневая цена двойственные оценки, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении объма выпуска продукции на единицу. b Допустимое увеличение и допустимое уменьшение показывают размеры приращений объмов выпуска продукции, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

Отчет по пределамЦелевоеЯчейкаИмязначениеI6коэффи циент ЦФ949.09ИзменяемоеНижнийЦелевоеВерхнийЦе левоеЯчейкаИмязначениепределрезультатпре делрезультатB3значение АО100949.09-1.11022E-15949.09C3значение АО200949.09-1.11022E-15949.09D3значение АО36.90534.556.909090909949.09E3значение АО47.640414.557.636363636949.09F3значени е АО500949.09-2.22045E-15949.09G3значение АО600949.09-1.11022E-15949.09H3значение

АО700949.09-2.22045E-15949.09 Отчт по пределам показывает, в каких пределах может измениться объм закупаемого сырья, вошедшего в оптимальное решение при сохранении структуры оптимального решения. В отчте указаны значения переменных в оптимальном решении, нижние и верхние пределы изменений значений Хi. Кроме того в отчте указаны значения целевой функции при закупке данного типа сырья на нижнем пределе, а также значения целевой функции при закупки сырья, вошедшего в оптимальное решение на верхних пределах.

Рекомендации филиалу фирмы по расширению программы выпуска ассортимента продукции. У нас на экране диалоговое окно результаты поиска решения. Решение найдено, и результаты оптимального решения задачи приведены в таблице. Из таблицы мы видим, что оптимальное количество закупаемого сырья у АО36.9 и у АО47.64 , а у остальных АО сырье закупать вообще не стоит.

При этом максимальная прибыль будет составлять 949.09, где прибыль АО3534.55 и АО4414 эти данные мы берм из отчта по пределам, а оптимальный объм выпуска равен a Продукция 12,56 b Продукция 21,8 c Продукция 32,6 d Продукция 41,45. Надо отметить, что если предприятие закупит оптимальное количество сырья, то оно произведт ровно столько продукции, сколько оно за определенное время например, за месяц продаст полностью.

Можно выбрать такой вариант. Но может быть и так, что предприятие захочет начинать новый месяц не с нуля, то есть не с производства продукции на продажу в конце месяца, а, параллельно производству новой продукции, сразу с продажи продукции, которую, естественно, надо дополнительно произвести в предыдущем месяце. Для этого надо увеличить в текущем месяце объм выпуска продукции. Но это увеличение не может быть безграничным, и из отчта по устойчивости мы делаем вывод о том, что

объм выпуска продукции для продукции 2 может быть увеличен не более чем на 1,183, продукции 3 не более чем на 1,53. При этом теневая цена, которая является двойственной переменной, показывает на сколько изменится целевая функция прибыль при изменении данного ресурса. В нашем случае теневая цена равна a для продукции 2 теневая цена290.91 b для продукции 3 теневая цена163.64. Естественно, если предприятие увеличивает объмы выпуска продукции, то ему требуется больше сырья.

Увеличивать количество сырья тоже можно не бесконечно. Максимально допустимые увеличения мы также берм из отчта по устойчивости. Максимальное увеличение закупаемого сырья у АО129.55 АО237.73 АО345 АО480 АО50.45 АО612.73 АО70.45. Бывают ситуации, когда предприятию нужно снизить объмы производства продукции. Здесь тоже существуют определнные рамки.

Максимально-допустимое уменьшение объма выпуска также бертся из отчта по устойчивости. Оттуда же берутся и максимально-допустимые уменьшения закупки сырья у разных АО. В нашем случае допустимое уменьшение объма выпуска продукция 10,836 продукция 20,76 продукция 31,4 продукция 40,646 а допустимое уменьшение закупки сырья у АО30,83 АО42,5. Исходя из всего выше сказанного, мы можем сказать, что с помощью полученных отчтов руководитель

предприятия может выбирать наиболее подходящую для себя позицию с помощью полученных результатов он решает воспользоваться ли оптимальным решением задачи, увеличить ли объмы производства или наоборот уменьшить их. Главное при решении этого вопроса соблюдать ограничения, которые подсчитаны в отчтах, не нарушая их, иначе выбранная стратегия перестанет быть оптимальной. Раздел 2. Требуется сформулировать и решить задачу рационального прикрепления филиалов фирмы к поставщикам

сырья АО. Для этого следует сформулировать модель классической транспортной задачи линейного программирования ТЗЛП при следующей исходной информации. Таблица 2.1. Объмы потребления сырья филиалами в тоннах, Вк в тоннах. Филиал12345Объм Вк16.218.428.016.417.0 Таблица 2.2. Удельные затраты на перевозку сырья, Cjk. Номер АО jНомер филиала фирмы kk1k2k3k4k511,22,33,11,62,723,11,14,23,8 1,630,83,11,52,14,544,02,93,74,32,853,14

,03,65,22,663,42,84,13,03,774,85,66,74,2 5,8 Таблица 2.3. Объемы предложения сырья у АО, Aj в тоннах. АО jj1j2j3j4j5j6j7Aj7411168545 Задачу решить на минимум затрат по доставке сырья от АО до филиалов фирмы. В разделе 2 проекта требуется 1. Определить оптимальные поставки сырья от АО до филиалов фирмы, xjk, в тоннах.

2. Определить минимальные затраты фирмы на доставку сырья до е филиалов. 3. Сделать рекомендации по изменению программы выпуска продукции филиалами фирмы с позиции затрат на доставку сырья. Введм данные в таблицу EXCEL и решим ее также используя модульПоиск решения. В модуле Поиск решения введм Целевая ячейка - G25 Равной минимальному значению Изменяя ячейки B5F11 Ограничения

B12F12B13F13 G5G11H5H11 B5F11 0. В результате получим отчты и таблицу, по которым будем проводить анализ. ABCDEFG1Объем перевозимого сырья от АО к филиалам2АО j Объем перевозимого сырья xji Объем перевозимого сырья от j - го АО3Филиал i 4i 1i 2i 3i 4i 55j 1007007.06j 2040004.07j 300110011.08j 400100616.09j 5000088.010j 6050005.011j 716.29.4016.4345.012Объем перевозимого сырья к i - ому филиалу16.218.428.016.417.013Потребность в сырье у филиалов16.218.428.016.417.014Затраты

на перевозку сырья от АО к филиалам15АО j Удельные затраты на перевозку сырья, Cij16Филиал i 17k 1k 2k 3k 4k 518j 11.22.33.11.62.719j 23.11.14.23.81.620j 30.83.11.52.14.521j 44.02.93.74.32.822j 53.14.03.65.22.6Суммарные 23j 63.42.84.13.03.7затраты на 24j 74.85.66.74.25.8перевозку25Затраты на перевозку сырья к у i - ому филиалу77.871.075.268.955.0347.9 Отчт по устойчивостиИзменяемые ячейкиРезульт.Нормир.ЦелевойДопустимоеДо пустимоеЯчейкаИмязначениестоимостьКоэффи циентУвеличениеУменьшениеB5j 1 i 1701,20,2921E30C5j 1

i 200,2942,2941E300,294D5j 1 i 300,2923,0921E300,292E5j 1 i 400,961,5961E300,96F5j 1 i 500,7932,6931E300,793B6j 2 i 102,7923,0921E302,792C6j 2 i 2401,10,5961E30D6j 2 i 302,34,2011E302,3E6j 2 i 404,1023,8021E304,102F6j 2 i 500,5961,5961E300,596B7j 3 i 100,90,81E300,9C7j 3 i 202,4013,11E302,401D7j 3 i 31101,50,91E30E7j 3 i 402,82,091E302,8F7j 3 i 503,94,51E303,9B8j 4 i 101,90141E301,901C8j 4 i 20,402,890,90,292D8j 4 i 35,203,70,0970,9E8j 4 i 402,84,291E302,8F8j 4 i 510,402,80,30,097B9j 5 i 101,1983,0981E301,198C9j 5 i 201,3024,011E301,302D9j 5

i 300,0973,5971E300,097E9j 5 i 403,895,1981E303,89F9j 5 i 5802,60,0971E30B10j 6 i 101,3973,3971E301,397C10j 6 i 2502,80,5011E30D10j 6 i 300,5014,1011E300,501E10j 6 i 401,5922,921E301,592F10j 6 i 501,023,7021E301,02B11j 7 i 12104,80,90,292C11j 7 i 2705,60,2920,9D11j 7 i 300,36,71E300,3E11j 7 i 41704,20,963,54661E11F11j 7 i 500,35,81E300,3ОграниченияРезульт.Тенева яОграничениеДопустимоеДопустимоеЯчейкаИм язначениеЦенаПравая частьУвеличениеУменьшениеB12Объм перевози-мого сырья к i-ому филиалу i 128,00,628170C12i 216,41,416,4170D12i 316,22,216,20,40E12i 417,00,01701E30F12i 518,41,318,40,40G5j 1

Объм первозим-ого сырья от j-го АО7,00,6707G6j 2 4,0-0,3404G7j 3 11,0-0,71100,4G8j 4 16,01,51600,4G9j 5 8,01,3800,4G10j 6 5,01,4505G11j 7 45,04,245017 Как видно, отчты по результатам и по пределам не могут нам помочь в анализе деятельности предприятия. Мы будем проводить наш анализ с помощью отчета по устойчивости. В данном отчете в столбце результ. Значение показаны оптимальные поставками сырья от АО до филиалов фирмы в тоннах они приведены выше. Можно поставлять до филиалов фирмы именно это количество

сырья, тогда фирма будет производить такое количество продукции, которое продаст в течение определенного периода месяца и новый месяц надо будет начинать сразу же с производства продукции. Но мы можем сделать так, чтобы новый месяц начать не с производства новой продукции, а, параллельно производству, ещ и продавать какое то количество уже произведнной продукции. Но для этого, естественно, мы должны в предыдущем месяце произвести больше продукции.

Для этого нам понадобится больше сырья, то есть мы должны повысить поставки сырья от АО к филиалам фирмы. Надо отметить, что их нельзя увеличивать бесконечно. Отчет по устойчивости нам показывает, насколько мы можем увеличить эти поставки От АО1 к филиалу 1 можно увеличить поставки на 0,3 От АО2 к филиалу 2 на 0,6 От АО4 к филиалу 2 на 0,9

От АО4 к филиалу 3 на 0,1 От АО4 к филиалу 5 на 0,3 От АО5 к филиалу 5 на 0,1 От АО6 к филиалу 2 на 0,5 От АО7 к филиалу 1 на 0,9 От АО7 к филиалу 2 на 0,3. Но фирма по каким-то причинам может пожелать и снизить производство продукции. В этом случае ей понадобиться меньше сырья, то есть поставки сырья надо сократить.

Отчт по устойчивости показывает допустимое уменьшение поставок сырья к филиалам. Очень важно не превысить этих показателей, иначе производство будет неэффективным или вовсе убыточным. Так, объм перевозимого сырья от 3,4 и 5 АО может быть уменьшен не более, чем на 0,4 от 1 не более, чем на 7 от 2 не более, чем на 4 от 6 не более, чем на 5 от 7 не более, чем на 17. При этом теневая цена двойственная переменная, которая является коэффициентом и показывает на сколько

изменится целевая функция затраты на перевозку сырья при изменении данного ресурса, будет равна Для АО 1 0,6 Для АО 2 -0,3 Для АО 3 -0,7 Для АО 4 1,5 Для АО 5 1,3 Для АО 6 1,4 Для АО 7 4,2. Из отчта по устойчивости мы также можем сделать вывод о том, что объм перевозимого сырья от АО тоже ограничен. Так, для филиалов 1 и 2 объм перевозимого сырья можно увеличить на 17 для филиалов 3 и 5 на 0,4.

При этом теневая цена будет равна Для филиала 1 0,6 Для филиала 2 1,4 Для филиала 3 2,2 Для филиала 4 0,0 Для филиала 5 1,3. Проанализировав все вышеприведнные выводы, руководитель фирмы может выбрать для себя наиболее подходящую стратегию своей деятельности. Но он обязательно должен соблюдать все ограничения, которые были описаны выше. Несоблюдение этих критериев грозит фирме крахом или убытками.

П л а т е ж н а я м а т р и ц а Стратегия Спросзаказа123456122,222,222,222,222,222 ,2214,944,444,444,444,444,437,637,166,66 6,666,666,640,329,859,388,888,888,85-722 ,55281,516-14,315,244,774,2103,7133,2 М а т р и ц а п о т е р ь Стратегия Спросзаказа1234561022,244,466,688,811127 ,3022,244,466,688,8314,67,3022,244,466,6 421,914,67,3022,244,4529,221,914,67,3022 ,2636,529,221,914,67,30 Вмененные издержки от занижения заказа Стратегия Спрос Относительная частота дневного Ожидаемые вмененныезаказа123456спроса издержки1022,244,466,688,81110,2244,8442 0022,244,466,688,80,3325,086300022,244,4 66,60,2212,6544000022,244,40,175,1065022

,20,111,33260,060 Вмененные издержки от завышения заказа Стратегия Спрос Относительная частота дневного Ожидаемые вмененныезаказа123456спроса издержки10,22027,30,331,606314,67,30,225 ,621421,914,67,30000,1711,242529,221,914 ,67,3000,1118,104636,529,221,914,67,300, 0625,769 Стратегия Ожидаемые вмененные издержкизаказаОт заниженияОт завышенияСуммарные144,844044,844225,0861 ,60626,692312,6545,62118,27545,10611,242 16,34851,33218,10419,4366025,76925,7694О птимальное значение16,348