Статистические методы управления качеством Гистограммы

1 Введение Задача обеспечения качества приобретает в настоящее время все большее значение в условиях конкурентной борьбы именно качество обеспечивает жизнеспособность предприятия. В понятие качества включают качество всех процессов, выполняемых на предприятии начиная от целей, которые ставит перед собой руководство качество цели, и заканчивая организацией конкретных производственных процессов качество исполнения. Учитывая всеобъемлющий характер вопросов управления качеством, можно

предположить, что происходит формирование принципиально новой философии управления производством, в основе которой лежит критерий качества. Методической основой обеспечения качества являются стандарты международной организации по стандартизации ISO International Standard Organization. Новейшая редакция этих стандартов в России ГОСТ Р ИСО 9000-2001, ГОСТ Р ИСО 9001-2001 и

ГОСТ Р ИСО 9004-2001. В соответствии с требованиями данных стандартов на предприятии должна быть создана система качества, регламентирующая выполнение всех действий согласно последним достижениям в области управления процессами. Система качества представляет собой совокупность задач, которые решаются на разных этапах производства, и методов инструментов их реализации. Основными являются методы математической статистики, что связано со статистической природой информации,

порождаемой в производственных процессах. Действительно, даже при строгом соблюдении технологии на производственный процесс влияет множество случайных факторов, которые не позволяют получить желаемый детерминированный показатель качества. Это приводит к необходимости анализировать ситуацию в среднем, с вероятностной оценкой ожидаемого значения показателя. Состав статистических методов регламентируется российскими стандартами группы

ГОСТ Р ИСО 50779 и перечислен в отчете технического комитета Госстандарта ИСОТК 10017. В зависимости от уровня решения задач статистического управления качеством устанавливается степень доверия к поставщику. При высшей степени доверия продукция может поставляться без приемочного контроля, что обеспечивает поставщику ощутимые экономические преимущества. Исходной информацией для работы статистических процедур являются результаты измерения параметров производства,

определяющих качество конечной продукции. Измерения производятся на различных этапах технологического цикла и консолидируются в соответствующих базах данных системы управления предприятием. До недавнего времени применение статистических методов сдерживалось низким уровнем автоматизации сбора и хранения информации о производственных процессах, но за последние годы в информационных технологиях произошел существенный сдвиг - в проектировании и управлении производством появился широкий спектр программных

продуктов. Одним из таких продуктов является автоматизированная система технической подготовки и учета производства TechnologiCS, где данные об оборудовании и технологических процессах представлены в БД в форме, удобной для последующей обработки. Цель предлагаемой работы состоит в теоретической поддержке пользователей системы TechnologiCS, занимающихся внедрением на предприятиях модуля качества, являющегося составной частью системы. 2 Генеральные совокупности и выборки.

Гистограмма Пусть выполняется n измерений непрерывной СВ x. Например, из партии изготовленных на заводе резисторов по случайному закону отобраны n100 резисторов и произведено измерение величин их электрического сопротивления. В результате этой процедуры получаем выборку СВ, первые 10 отсчетов которой представлены в таблице 1. Таблица 2.1 Результаты первых 10 измерений сопротивлений резисторов

Порядковый номер измеренияВеличина сопротивления Ом199,1296,23100,74103,85103,66105,2793, 4899,39103,31098,1Если выборка содержит все возможные результаты измерений, то эти результаты представляют собой генеральную совокупность. Отметим, что генеральная совокупность измерений может содержать как бесконечное число элементов как в данном примере, так и конечное число элементов. Обычно выборка содержит малую часть генеральной совокупности и поэтому лишь приближенно характеризует

свойства генеральной совокупности. Поскольку полной статистической характеристикой СВ является ее распределение, для описания выборки используется аналог распределения для случая выборочных данных, который называется гистограммой. Для построения гистограммы выполним следующие действия. Расположим числа в выборке в порядке возрастания их величин. В результате получим ранжированный статистический ряд, фрагмент которого представлен в таблице 2.2.

Таблица 2.2 Величина сопротивления Ом793,4296,21096,7199,1899,33100,79103,3 5103,64103,86105,2 Определим максимальное и минимальное значения в ранжированном ряду и вычислим разницу этих значений. Затем поделим величину этой разницы размаха на число , округлив его до ближайшего целого значения. В результате получим длину одного интервала кармана .

Подсчитаем число значений x, попавших в каждый интервал, обозначим это число и поделим его на общее количество измерений n и на длину интервала . В результате получим величины высот столбцов . Отложив по оси x интервалы, а по оси y высоты столбцов, получим гистограмму выборочных данных. Эта гистограмма, построенная в системе Excel для гауссовских исходных данных, представлена на рис.3. Кроме гистограммы на рис.2.3 показан также график кумулятивной кривой, представляющей собой сумму величин

, отложенных по оси y и выраженную в процентах. Очевидно, что гистограмма и кумулятивная кривая являются экспериментальными дифференциальным и интегральным распределениями, построенными по выборочным данным. Рисунок 2.2 Гистограмма и кумулятивная кривая, построенные по выборочным данным, содержащим 100 отсчетов 3. Контрольные карты. Общие сведения Одним из наиболее важных инструментов статистического управления качеством являются контрольные карты КК, предназначенные для оценки нахождения технологического процесса в статистически

управляемом устойчивом состоянии. Впервые этот инструмент был предложен в 1924 году Уолтером Шухартом Shewhart, а к настоящему времени разработано большое количество контрольных карт, которые делятся на три вида КК Шухарта, приемочные и адаптивные. КК представляют простой графический метод оценки управляемости процесса по результатам сравнения измерений с заданными контрольными границами. Отклонения показателя качества могут быть классифицированы по двум

видам случайные отклонения, как правило, обусловленные большим количеством различных случайных факторов вибрации, колебания питающих напряжений, температуры, влажности и т. п. и неслучайные отклонения, вызванные особыми причинами сдвиг шкалы измерительного прибора, станка, несоответствие сырья или комплектующих техническим условиям по номинальному значению. С помощью КК выявляются неслучайные отклонения и, следовательно, воздействие на технологический процесс особых

причин. Инструмент КК применяется как для анализа количественных данных, когда результаты измерений показателя качества выражаются в числовой форме например, измеряется диаметр вала, так и для анализа альтернативных данных, когда информация об объектах ограничена выводом типа данет например, диаметр вала измеряется с помощью двух калибров. В первом случае применяются КК по количественному признаку, во втором по альтернативному.

Простейшей контрольной картой является КК Шухарта для среднего X, предназначенная для управления по количественному признаку ГОСТ Р 50.1.018-98, ГОСТ Р 50779.42-99 ИСО 8258-91. Эта карта строится следующим образом. На график наносится центральная линия, соответствующая номинальному по техническим условиям значению. Далее из результатов измерений контролируемого показателя качества

формируются однородные выборки группы, каждая из которых содержит некоторое количество измерений. По каждой выборке вычисляется выборочное среднее значение, которое наносится на КК. Относительно центральной линии на расстоянии, равном трем среднеквадратическим отклонениям выборочных средних значений, на карту нанесены контрольные границы. Если очередная точка выходит за контрольную границу, регистрируется факт разладки и технологический

процесс останавливается для выявления и устранения особых причин. По ГОСТ Р 50779.42-99 на одном листе одновременно с построением карты среднего строится карта размахов R или карта выборочных стандартных отклонений s. Если карта среднего позволяет обнаружить разладку технологического процесса относительно центра настройки на параметр качества, то карты размахов или стандартных отклонений предназначены для обнаружения разладки точности. Такая разладка возникает, например, по причине износа

применяемых в технологическом процессе оборудования, оснастки, инструмента или ухудшения качества комплектующих и материалов. При построении карты размахов или карты выборочных стандартных отклонений по каждой выборке группе находятся соответственно размах или стандартное отклонение, которые наносятся на карту с установленными на ней контрольными границами. Выход точки за пределы контрольных границ сигнализирует о разладке процесса. На КК Шухарта по альтернативному признаку карта долей несоответствующих единиц продукции p наносятся

относительные доли бракованных изделий в выборках. Здесь так же, как и в первом случае, имеются центральная линия и контрольные границы, но при выходе очередной точки за нижнюю границу следует определить особую причину улучшения технологического процесса с целью зафиксировать его в этом новом благоприятном состоянии. Кроме перечисленных выше КК в соответствии с ГОСТ

Р 50779.42-99 применяются также КК Шухарта для медиан Ме и размахов R, карта числа несоответствующих единиц np, карта числа несоответствий с и карта числа несоответствий, приходящихся на единицу продукции u. Принципы построения этих карт аналогичны рассмотренным. КК арифметического среднего строится в соответствии с

ГОСТ Р 50779.41-96. Эта карта сложнее, чем КК Шухарта по количественному признаку. Кроме контрольных на ней присутствуют и предупредительные границы. Выход отдельной точки за предупредительную границу не влечет никаких последствий, однако если за эту границу выходят определенное количество последовательных точек, следует сигнал остановки технологического процесса. В остальном эта КК аналогична КК Шухарта.

Приемочная КК по ГОСТ Р 50779.43-99 соединяет рассмотрение вопросов управления процессом с элементами приемочного выборочного контроля. Она является средством, позволяющим принять решение относительно приемлемости процесса с точки зрения нормативной доли несоответствующих единиц продукции. Приемочная КК может применяться как для случая контроля по количественному признаку, так и для случая контроля по альтернативному признаку. При построении приемочной контрольной карты по количественному

признаку по оси абсцисс откладывают номера выборок групп, связанные с датами измерений, а по оси ординат средние значения параметра качества в выборках. Если очередное среднее значение выходит за приемочные контрольные границы, процесс признается неприемлемым. 3.1 Контрольная карта Шухарта средних значений для количественных данных по ГОСТ Р 50779.42-99 Рассмотрим расчет нескольких наиболее важных для практического применения контрольных

карт Шухарта. На рис.4.1 показана КК Шухарта с использованием количественных данных для среднего значения -карта. Рисунок 3.1 Контрольная карта Шухарта для среднего значения Алгоритм действия контрольной карты Шухарта средних значений сводится к формированию выборок объемом n измерений в каждой, взятых через определенный интервал времени в простейшем случае конец предыдущей выборки является началом следующей, вычислении выборочных средних по формуле точечной оценки среднего 3.10

и сравнении полученных результатов с нижней и верхней границами карты. Как видно из рис.4.1, расчет параметров КК сводится к определению центральной линии СL, нижней LCL и верхней UCL контрольных границ. Этот расчет производится для различных вариантов наблюдения. Главным условием возможности использования КК является условие нормальности распределения наносимых на карту точек. Если есть уверенность, что одиночные значения результатов измерений распределены по

нормальному закону, то на карту могут быть нанесены эти одиночные значения. Если же такой уверенности нет, то на карту следует наносить результаты усреднения не менее четырех сгруппированных в одну мгновенную выборку точек. В этом случае в соответствии с центральной предельной теоремой теории вероятностей при любом виде распределения исходных одиночных измерений в результате процедуры усреднения группированных данных средние мгновенных выборок будут распределены по закону,

близкому к нормальному мгновенность выборки предполагает, что за время ее образования процесс не успевает измениться. Предположим, что стандартное отклонение исходных одиночных измерений известно. Такая ситуация может сложиться, когда полностью известна точность используемого в ТП оборудования, а также точность параметров материалов и комплектующих. Пусть также задан известный из технических условий центр настройки

ТП . В этом случае центральная линия КК берется равной , а верхняя и нижняя границы формируются в соответствии с формулами 4.1 4.2 Здесь - центр настройки карты CL, а величина коэффициента выбирается в соответствии с выражением для доверительного интервала 3.25, где квантиль принимается равным 3. С учетом 3.25 соотношения 4.1 и 4.2 принимают вид 4.3 4.4 Вычисление доверительной вероятности нахождения анализируемого процесса между границами

UCL и LCL по формуле 3.17 дает .9973 и соответственно .0027. Отметим, что в картах Шухарта не акцентируется внимание на величинах вероятностей, они получаются такими, какие следуют из задания шестисигмового интервала для процесса, находящегося в стабильном состоянии. Рассмотрим расчет параметров КК, когда неизвестны центр настройки и дисперсия процесса . Такая ситуация складывается, если технические условия процесса не определены неизвестна точность оборудования,

а также параметров материалов и комплектующих, с которыми работает ТП. В этом случае расчет КК производится по формулам константы в формулах обозначены в соответствии с ГОСТ 4.5 4.6 . 4.7 Здесь - среднее значение выборочных средних , полученных в результате усреднения мгновенных выборок оценка стандартного отклонения, рассчитываемая по формуле . 4.8 Величина коэффициента в 4.6 и 4.7 определяется исходя из следующих соображений.

Оценка стандартного отклонения является случайной величиной, зависящей от и . Зная, что распределения и гауссовские, зная также функциональную связь между этими величинами и , определяемую формулой 4.8, можно найти распределение случайной величины . Зная распределение s, можно на определенном уровне значимости заменить в формулах 4.3 и 4.4 на s, введя коэффициент , связывающий эти две величины 4 . 4.9

Очевидно, что величина коэффициента меньше единицы, зависит от n и приближается к единице по мере роста n. Значение коэффициента для разных n приведено в таблице 2 ГОСТ Р 50779.42-99. Подставив 4.9 в 4.3 и 4.4, и заменив здесь на , получим представление соотношений 4.6 и 4.7 в виде 4.10 . 4.11 Отсюда следует . 4.12 3.2 Контрольная карта Шухарта стандартных отклонений для количественных данных по

ГОСТ Р 50779.42-99 Алгоритм действия КК стандартных отклонений состоит в формировании последовательности выборок групп по n элементов в каждой, вычислении по каждой выборке точечной оценке дисперсии по формуле 3.14 и сравнении полученных величин с контрольными границами карты UCL и LCL. В качестве среднего значения при расчете по формуле 3.14 может использоваться либо величина центра настройки по техническим условиям , либо, если она не задана, величина среднего значения выборочных

групповых средних , полученная при анализе ТП на заведомо стабильном участке работы. Как и в случае КК средних значений, рассмотрим сначала ситуацию, когда стандартное отклонение процесса известно, т.е. известны точность оборудования, применяемого в ТП, а также точность параметров комплектующих и материалов. В этих условиях центральная линия контрольной карты формируется в соответствии с формулой 4.9 по правилу 4.13

или по правилу , 4.14 если на заведомо стабильном участке работы ТП в течение достаточно продолжительного временного интервала была выполнена оценка стандартного отклонения s. Полагая, что стандартное отклонение СВ s, рассчитываемой по формуле 4.8 для гауссовских исходных данных, приближенно выражается в виде 4 , 4.15 запишем приближенные соотношения для расчета границ контрольной карты , 4.16 . 4.17 Обозначив в этих соотношениях ,

4.18 , 4.19 получим , 4.20 . 4.21 Обратим внимание на физический смысл нижней границы КК, рассчитываемой по формуле 4.21. Понятно, что уменьшение стандартного отклонения означает улучшение качества процесса, поэтому регистрация факта выхода процесса за нижнюю границу КК имеет целью обратить внимание пользователя на факт улучшения процесса, чтобы зафиксировать его в этом новом состоянии. Отметим также, что в случае, если при расчете нижней границы получается отрицательное

число, нижнюю границу следует брать равной нулю. Рассчитаем теперь границы КК для случая, когда стандартное отклонение процесса неизвестно. Для этого перепишем соотношения 4.16, 4.17 в виде 4.22 . 4.23 Заменим здесь неизвестную величину ее оценкой 4.8 и в результате получим 4.24 . 4.25 Введем обозначения , 4.26 4.27 Отсюда , 4.28 .

4.29 Как и в случае известного стандартного отклонения, если при расчете нижней границы КК получается отрицательное число, уровень нижней границы принимается равным нулю. Отметим, что расчет КК размахов производится аналогичным образом. Результаты этого расчета представлены коэффициентами , i 1,4 в ГОСТ Р 50779.42-99. На рис.4.2 показана КК стандартного отклонения, построенная для случая известной

величины 4 для количества элементов в подгруппе n10. Рисунок 3.2 Контрольная карта Шухарта стандартного отклонения 3.3 Контрольная карта Шухарта по альтернативному признаку. P карта. Как уже было сказано выше, альтернативные данные не связаны с результатами измерений, представленными в виде числовых значений. Альтернативные данные представляют собой бинарный код, в котором, например,

единице сопоставлено состояние годности контролируемого изделия, а нулю состояние брака. Такое кодирование позволяет описывать ситуации, когда контроль производится по качественным признакам без применения измерительных приборов и вывод о состоянии изделия ограничивается выводом типа годное-брак. К альтернативному контролю приходим и при контроле изделий, имеющих несколько измеряемых разнотипных параметров качества, когда в конечном счете нас интересует годны ли все измеренные параметры или хотя

бы один из них не укладывается в допуск по техническим условиям и поэтому все изделие следует считать бракованным. И наконец еще один вариант контроля, когда он производится с использованием калибров, что характерно в особенности для механообрабатывающего производства. Наиболее распространенной картой контроля по альтернативному признаку является P- карта Шухарта. Алгоритм действия этой карты ГОСТ

Р 50.1.018-98 состоит в следующем. Определяется минимальное число контролируемых объектов в выборках n в качестве объекта может выступать отдельное изделие или совокупность изделий, которым в результате контроля сопоставляется вывод годное-брак. По каждой выборке подгруппе находится относительная доля брака pmn, где m число бракованных объектов, зарегистрированных в выборке. Эти относительные доли наносятся на КК и сравниваются с имеющимися на карте контрольными границами.

Выход очередной точки за верхнюю контрольную границу означает разладку процесса, выход за нижнюю границу КК сигнализирует об улучшении ТП и возможности зафиксировать процесс в этом новом состоянии. Минимально необходимое число объектов в выборке n находится из условия, что ожидаемое среднее количество бракованных объектов в выборках подгруппах должно быть не меньше пяти ГОСТ Р 50.1.018-98. Отсюда следует . 4.30 Отметим, что выполнение этого условия может привести к необходимости

использования весьма значительных объемов выборок, для построения контрольной карты. Так, при ожидаемой вероятности брака процесса p0,01 требуемый объем выборки n500. Рассмотрим расчет границ P-карты Шухарта. Предположим, что вероятность брака анализируемых объектов известна известна точность оборудования, параметров комплектующих и материалов, имеется обширная статистика о случаях брака ТП. Предположим также, что объемы выборок одинаковы.

В этом случае центральная линия КК . 4.31 Для нахождения верхней и нижней границ КК положим, что число наблюдаемых случаев брака m укладывается в схему независимых испытаний и подчиняется биномиальному закону распределения 2.27 . 4.32 Здесь обозначает вероятность брака объекта контроля. В соответствии с биномиальным законом распределения среднее значение числа бракованных единиц продукции вычисляется по формуле , 4.33 дисперсия по формуле .

4.34 С учетом трех последних соотношений найдем среднее значение и дисперсию статистики mn, используемой в КК. Очевидно, что . 4.35 Из 4.33 и 4.34 , 4.36 . 4.37 Отсюда следуют соотношения для расчета границ КК , 4.38 . 4.39 При неизвестной вероятности брака объектов контроля в выражениях для контрольных границ 4.31, 4.38, 4.39. следует заменить точные значения вероятностей брака на их оценки , полученные в результате анализа процесса

на заведомо стабильном интервале работы. В остальном вид указанных соотношений остается без изменений. В результате формулы для расчета контрольных границ принимают вид , 4.40 , 4.41 . 4.42 При выводе соотношений для расчета границ КК предполагалось, что объемы анализируемых выборок подгрупп одинаковы. В реальных условиях это не всегда достижимо. В связи с этим в

ГОСТ 50779.42-99 приведен алгоритм P карты, учитывающий, что объемы выборок в подгруппах могут быть разными. В этом случае правила формирования границ КК 4.38, 4.39, 4.41, 4.42 остаются прежними, но эти границы не остаются постоянными для всей КК, а вычисляются отдельно для каждой выборки подгруппы. Если объем подгрупп меняется несущественно, то ограничиваются одним набором границ, основанном на среднем

объеме подгруппы. Для практических целей достаточно, если объемы подгрупп находятся в пределах от целевого объема подгруппы. Альтернативный вариант для ситуаций, в которых объем группы меняется существенно использование нормированных переменных. Например, вместо значений P на карту наносят нормированные значения 4.43 или . 4.44 Очевидно, что для этих новых координат центральная линия и контрольные границы остаются постоянными

и равными соответственно , 4.45 , 4.46 . 4.47 На рис.3.3 приведен пример выполнения P карты для некоторого процесса, находящегося в статистически устойчивом состоянии. Рисунок 3.3 P- карта Шухарта для альтернативных данных 3.4 Контрольная карта арифметического среднего КК арифметического среднего для количественных данных по ГОСТ Р 50779.41-96 является более тонким быстрее реагирует на разладку процесса и соответственно более

сложным инструментом управления процессом, чем КК Шухарта по среднему значению. Перед построением КК необходимо убедиться, что исходные данные действительно распределены по гауссовскому закону. Для этого можно воспользоваться критерием , технология работы с которым представлена в п.3.1. Индивидуальные измерения должны быть проведены инструментом с делением шкалы , где - стандартное отклонение процесса, которое должно быть постоянным, приемлемым и подтвержденным по контрольной карте выборочных

стандартных отклонений или размахов. При выполнении указанных условий центральная линия КК имеет вид , 4.48 где - центр настройки процесса по техническим условиям ТУ. Для формирования верхней и нижней контрольных границ карты необходимо знать верхнюю и нижнюю границы поля допуска по ТУ, а также допустимую для процесса долю вероятность несоответствующих единиц продукции . При условии, что эти величины известны, запишем соотношение для расчета доли несоответствующих единиц

продукции при предельно допустимой настройке процесса , сдвинутой вследствие действия неслучайных причин в сторону верхней границы допусковой зоны без изменения стандартного отклонения 4.49 Здесь Ф интеграл вероятности, определенный в п.3.3 соотношением 3.20. Из 4.49 следует . 4.50 Аналогично рассчитывается величина предельно допустимой настройки процесса , сдвинутой в сторону нижней границы допусковой зоны 4.51 .

4.52 Отметим, что приведенные выше соотношения справедливы как для процессов с односторонним допуском по ТУ, так и для процессов с двухсторонним симметричным допуском. Поскольку значения и являются граничными допустимыми настройками процесса, их также можно считать и настройками процесса, вышедшего из статистически управляемого состояния под влиянием неслучайных факторов. Введем индекс , который характеризует приведенное значение настройки для процесса, вышедшего из статистически

управляемого состояния и рассчитывается по формуле . 4.53 Перейдем к формированию границ КК для случая двухстороннего симметричного допуска по ТУ. Эти границы имеют показанный на рис.4.4 вид. Рисунок 3.4 Границы КК арифметического среднего На рис.4.4 представлены пять зон карты. Зона Т- целевая, зоны W и W- -предупреждающие, зоны

A и A критические. Отметим, что для одностороннего допуска по ТУ рис.4.4 модифицируется так, что от него остается либо верхняя нежелательный сдвиг уровня процесса связан с его возрастанием либо нижняя половина. Алгоритм действия КК состоит в регистрации факта попадания точек измеряемых выборочных арифметических средних в ту или иную зоны карты. Так, если точки попадают в целевую зону, считается, что процесс находится в статистически

устойчивом состоянии. Если заданное планом контроля число последовательных точек k попадает в предупредительную зону, считается, что процесс вышел из статистически устойчивого состояния. Если же число последовательных точек, попавших в предупредительную зону, не превышает k, считается, что процесс остается в статистически устойчивом состоянии. Если хотя бы одна точка попадает в критическую зону, процесс следует остановить для установления причины

его разладки. Значения пороговых уровней, показанных на рис.4.4, определяются в соответствии с ГОСТ 50779.41-96 следующим образом. Верхняя и нижняя предупреждающие границы . 4.54 Верхняя и нижняя границы регулирования . 4.55 Расчет коэффициентов и в этих формулах основан на следующих соображениях. Вводится понятие средней длины ARL серии выборок, которые будут извлечены до момента выхода арифметического

среднего очередной выборки за пределы предупредительной границы. Очевидно, что максимальное значение ARL достигается, когда среднее значение процесса совпадает с центром настройки . При достижении средним значением величин предельно допустимых настроек или значение ARL удовлетворяет неравенству . Это свойство резкого уменьшения величины ARL в случае расстройки процесса и положено в основу процедуры

КК арифметического среднего. Исходными величинами для расчета КК являются . Следует отметить, что если определение первых четырех величин в этом списке не представляет трудности, то определение требует основательного предварительного анализа. При заданном наборе исходных данных по таблицам ГОСТ Р 50779.41-96 легко определяются коэффициенты и в соотношениях 4.54 и 4.55, которые и завершают расчет

КК. Чтобы избежать трудностей при назначении в исходных данных и можно задавать не эти величины, а объем выборки n, при этом план контроля определять по таблицам ГОСТ, отыскивая вариант, для которого величина отношения максимальна. В случае, если стандартное отклонение процесса в формулах 4.54 и 4.55 заранее неизвестно, следует оценить его на участке заведомо стабильной работы процесса.

Формула, по которой в ГОСТ рассчитывается значение ARL для одностороннего критерия качества, имеет вид . 4.56 Здесь p вероятность того, что точка на КК попадает в зону Т, q вероятность того, что точка на КК попадает в зону W, k число последовательных выборок, попавших в зону

W. Формула 4.56 получена с использованием теории марковских цепей с тремя состояниями. На рис.4.5 приведена КК арифметического среднего, построенная для исходных данных примера в ГОСТ 50779.41-96. Выход трех последовательных точек на КК за верхнюю предупредительную границу свидетельствует о том, что контролируемый процесс вышел из статистически управляемого состояния. Вопросы практического применения инструмента контрольных карт обсуждаются в 10.

Рисунок 3.5 Контрольная карта арифметического среднего 3.5 Приемочная контрольная карта по ГОСТ Р 50779.43-99 Приемочная КК по ГОСТ Р 50779.43-99 соединяет рассмотрение вопросов управления процессом с элементами приемочного выборочного контроля. Отличием механизма работы приемочной КК от механизма выборочного контроля является то, что в случае приемочной

КК делается заключение о приемлемости процесса, а не продукции, хотя критерием этого заключения как и в случае выборочного контроля является допустимый уровень несоответствующих единиц выпускаемой продукции. Приемочная КК основана на КК Шухарта , но ведется так, что процесс может сдвигаться в направлении контрольных границ, если поле допуска достаточно широко, или ограничиваться более узкими границами, если присущая изменчивость процесса относительно велика или составляет большую часть ширины поля допуска.

Рассмотрим принцип действия приемочной КК для случая контроля по количественному признаку и односторонней годности параметра, когда допуск по ТУ расположен выше целевого уровня. Для построения КК в этом случае необходимы следующие исходные данные приемлемый уровень процесса APLВ, связанный с односторонним риском поставщика б неприемлемый уровень процесса RPLВ, связанный с односторонним риском потребителя в критерий принятия решения или приемочные контрольные

границы ACLВ объем выборки n. Обсудим как рассчитываются приведенные выше данные. Начнем с приемлемого уровня процесса APLВ. индекс В здесь указывает, что речь идет о верхнем приемлемом уровне. Чтобы рассчитать этот уровень необходимо знать верхнюю границу поля допуска ТВ , стандартное отклонение внутри выборок групп уw и величину допустимой доли несоответствующих единиц

продукции p0. Величина ТВ определяется техническими условиями. Что же касается величины уw , то она должна быть определена для стабильного состояния процесса и может быть либо задана заранее, либо измерена по результатам предварительного анализа процесса с помощью КК Шухарта в большинстве практических случаев применяется второй вариант. Расчет уровня APLВ и физический смысл этой величины поясняются рисунками 3.6 и 3.7.

Рисунок 3.6. Допустимая расстройка процесса Рисунок 3.7. Риск поставщика На рисунке 4.6 показаны производственные распределения измеряемого параметра для случая идеальной настройки процесса 1 и случая предельно допустимой расстройки процесса 2, при которой производственное распределение сдвигается в сторону верхней границы поля допуска так, что доля несоответствующих единиц продукции становится равной p0 . Длина отрезка задает такое расстояние от

APL до TВ, которое обеспечивает долю несоответствующих единиц продукции, равную p0. Здесь , где квантиль стандартного нормального распределения уровня р. На рис. 4.7 показаны распределения выборочных средних измеряемого параметра. Верхняя приемочная граница ACLВ устанавливается таким образом, чтобы вероятность попадания выборочного среднего процесса, центрированного на APLВ, выше уровня

ACLВ была равна . Показанные на рисунках 4.6 и 4.7 величины APLВ и ACLВ рассчитываются по формулам , 4.57 . 4.58 Аналогично рассматривается случай недопустимой расстройки процесса при которой производственное распределение сдвигается в сторону верхней границы поля допуска так, что доля несоответствующих единиц продукции становится равной p1. Этот случай иллюстрируется рисунками 4.8 и 4.9.

Рисунок 3.8. Недопустимая расстройка процесса Рисунок 3.9. Риск потребителя Показанные на рисунках 4.8 и 4.9 величины RPLВ и ACLВ рассчитываются по формулам , 4.59 . 4.60 После сложения 4.58 и 4.60, получим 4.61 Подставив 4.61 в 4.58, имеем 4.62 КК может быть построена, если известны ACLВ и n. Можно показать, что на основании формул 4.58, 4.60, 4.61, 4.62

величины ACLВ и n могут быть найдены по любой паре из определяющих элементов приемлемый уровень процесса APLВ, связанный с односторонним риском поставщика б неприемлемый уровень процесса RPLВ, связанный с односторонним риском потребителя в приемочная контрольная граница ACLВ объем выборки n. Аналогично анализируется случай, когда допуск по ТУ расположен ниже целевого уровня. Результирующие формулы для этого случая приведены в

ГОСТ Р 50779.43-99. Результаты расчетов по формулам для случаев верхнего и нижнего допусков представлены в ГОСТ в виде номограмм. Случай симметричного двустороннего допуска представлен на рисунке 4.10 по ТУ имеется ограничение сверху и снизу, и величины рисков для верхней и нижней границ одинаковы. Рисунок 3.10. Симметричный допуск. Допустимая расстройка процесса Согласно рис. 3.10 имеют место следующие соотношения 4.63

В 4.63 первое равенство приведено для процесса, центрированного на уровне APLН, а второе на уровне APLВ. Величины бн1 и бн2 вычисляются следующим образом , 4.64 , 4.65 . 4.66 В результате первое соотношение в 4.63 преобразуется к виду 4.67 Выражение 4.67 является нелинейным уравнением относительно переменной Д. Это уравнение решается численными методами, в частности, методом секущих.

Результаты решения уравнения для некоторых частных случаев содержатся в таблице 1 ГОСТ Р 50779.43-99. Приемочные контрольные границы ACLН и ACLВ находятся из 4.64, величина n считается известной. В результате КК полностью определена. Задача расчета приемочных контрольных границ может быть решена также и на основе известных значений RPLН, RPLВ. Этот случай проиллюстрирован на рис.

3.11. Рисунок 3.11. Симметричный допуск. Недопустимая расстройка процесса Соотношения, соответствующие этому рисунку, имеют следующий вид , 4.68 , 4.69 . 4.70 Отметим, что можно вычислить контрольные границы и отдельно друг от друга, при допущении одностороннего допуска см. 4.60 . 4.71 При этом контрольные границы будут выставлены таким образом, что риск потребителя будет меньше риска, заданного в исходных данных, что не нарушает интересы потребителя.

Недостатком этого способа формирования границ является снижение вероятности приемки годных процессов. Случай несимметричного допуска отражен на рис. 3.12. Рисунок 3.12. Несимметричный допуск. Допустимая расстройка процесса Для несимметричного допуска имеют место соотношения , 4.72 причем . Приемочные контрольные границы находим, решая численным методом систему нелинейных уравнений 4.73

относительно ДН, ДВ , где . 4.74 Решение аналогичной 4.73 системы нелинейных уравнений для случая известных RPL представляет существенные трудности, поэтому контрольные границы можно вычислить отдельно друг от друга при допущении одностороннего допуска аналогично 4.71 . 4.75 На рис. 3.13 приведен вид приемочной КК. Рисунок 3.13. Приемочная контрольная карта. Использованная литература

Данный реферат написан на основе материалов взятых из Интернета на сайте www.csdn.n-sk.ru.