МІНІСТЕРСТВООСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙУНІВЕРСИТЕТ ВОДНОГО ГОСПОДАРСТВА ТА
ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ
СЛОВ’ЯНСЬКИЙНКЦ
Курсова робота
Здисципліни: ВИЩА ГЕОДЕЗІЯ
РОЗВ'ЯЗУВАННЯЗАДАЧ СФЕРОЇДНОЇ ГЕОДЕЗІЇ
Виконав: студент
групи ЗВК – 42
Нікітін О.О.
Слов’янськ2010 р.
ЗМІСТ
трикутник лежандр аддитамент геодезичний
Вступ
Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану
Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі
Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площізнімальної трапеції
Завдання 4. Наближене розв’язування трикутників затеоремою Лежандра
Завдання 5. Наближене розв’язування трикутниківспособом аддитаментів
Завдання 6. Розв’язування прямої геодезичної задачіспособом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)
Завдання 7. Розв’язування прямої геодезичної задачі заформулами Гауса із середніми аргументами
Завдання 8. Розв’язування оберненої геодезичної задачіза формулами Гауса із середніми аргументами
Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехідз поверхні еліпсоїду на площину)
Завдання 10. Розрахунок геодезичних координат пунктуза плоскими прямокутними координатами
Вступ
Визначенняпараметрів земного еліпсоїда і форми земної поверхні становить велику науковузацікавленість та має важливе значення для практичної і інженерної геодезії,для топографії і картографії, а також для багатьох суміжних наук: астрономії,геофізики, геодинаміки тощо.
Вивченнягеометрії земного еліпсоїда та методів розв’язування задач на його поверхніскладає вагому частину змісту курсів «Основи вищої геодезії» та «Вищагеодезія». Ці питання, а також питання зображення поверхні еліпсоїда наплощині відносяться до частини вищої геодезії, яка історично отримала назву «сфероїднагеодезія».
Вища геодезіявивчає фігуру та зовнішнє гравітаційне поле Землі, методи створення системгеодезичних координат на всю поверхню Землі або на окремі її ділянки, а такожспособи визначення положення точок земної поверхні в тій чи іншій системікоординат.
Завдання вивченняфігури та гравітаційного поля Землі, як основної задачі вищої геодезії,розв’язується за результатами вимірів на земній поверхні. Це геодезичні вимірив мережах тріангуляції, трилатерації, полігонометрії та нівелювання 1 класу, атакож супутниково-навігаційні спостереження з метою визначення координат точокземної поверхні. Методи постановки та виконання вказаних вимірів складаютьпредмет першої частини вищої геодезії.
Друга частинавищої геодезії – теоретична основа розв’язування основної задачі. В нійрозглядаються і встановлюються аналітичні залежності між результатами вимірів іфігурою Землі та її гравітаційним полем.
Вища геодезія, втому числі її частини — сфероїдна геодезія та теоретична геодезія, є однією ізосновних дисциплін, що забезпечує необхідну теоретичну і практичну спеціальнупідготовку фахівців геодезичного профілю.
Завдання 1. Обчислення довжини дуги меридіану
А1 –точка на меридіанному еліпсі з широтою В1. А2 – точка намеридіанному еліпсі з широтою В2.
/>
Загальна формуладля дуги меридіану довільної довжини:
/> (4)
A,B,C,D – сталі коефіцієнти прийнятогореферент-еліпсоїду; ρ – число кутових одиниць в одному радіані; /> - середня широта дуги А1А2.
Формула длядовжини дуги меридіану при обчисленнях в тріангуляції на віддалі порядку сотенькілометрів:
/> (6)
Радіус кривизнимеридіану перерізу Mm обчислюється за середньою широтою Bm.
За умови точностішироти точки mB =±0.0001" всі зазначені формули забеспечують середню квадратичну помилкудовжини дуги меридіану
mS = ±0.001 м.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
В1 48º30′48.1111" — 8′ 48º22′48.1111" 48,38003086
В2 49º30′49.1111" + 8′ 49º38′49.1111" 49,64700617
Сталі величиниa 6378245 м
e2 0,00669342 ρº 57,29577951 A 1,00506238 B 0,00506238 C 0,00001062 D 0,00000002 /> /> /> /> /> /> /> />
Обчислення довжинидуги меридіану за формулою (4):Позначення дій Результати
/> 49,01351852
/> 6335552,727
/> 0,02222460
/> — 0,00001563
/> — 0,00000022
/> 0,00000000 s (м) 140902,722
Обчислення довжинидуги меридіану за формулою (6):Позначення дій Результати
/> 0,99809115
/> 6371972,436
/> 140902,730
/> — 0,00000005 s (м) 140902,723
Завдання 2. Обчислення довжини дуги паралелі
А1 таА2 – точка на паралелі з широтою В. L1 та L2 довготи точок А1 та А2.
/>
Паралель наземному еліпсоїді утворює коло. Радіус r паралелі з широтою В виражається формулою:
/>
/>
N – радіус кривизни перерізупершого вертикалу. Переріз першого вертикалу – це крива на поверхні еліпсоїду,утворена перетином поверхні еліпсоїду нормальною площиною, яка перпендикулярнадо площини меридіанного перерізу у даній точці.
/>
— перша функціягеодезичної широти;
a – велика піввісьта e – перший ексцентриситет референт-еліпсоїду.
Дуга паралелі міжточками А1 та А2 є дугою кола з центральним кутом, якийдорівнює різниці довгот кінцевих точок дуги λ = L2 – L1. Довжина s дуги паралелі з широтою В, яка відповідає різницідовгот λ = L2 – L1, виражаєтьсяформулою />. Остаточно:
/> (10)
За умови точностішироти і довгот точок mB= mL ±0.0001" формула (5) забеспечуєсередню квадратичну помилку довжини дуги паралелі
mS = ±0.001 м.
Вихідні дані
Номер варіанту №8B 48º30′48.1111" — 8′ 48º22′48.1111" 48,38003086
L1 25º30′25.1111" — 8′ 25º22′25.1111" 25,37364197
L2 27º30′27.2222" + 8′ 27º38′27.2222" 27,64089506
Сталі величиниa 6378245
e2 0,00669342 ρº 57,29577951
Обчисленнядовжини дуги паралелі за формулою (10):Позначення дій Результати
/> 2,26725309
/> 0,99812791
/> 6390208,045 s (м) 167951,005
Завдання 3. Обчислення довжини сторін та площізнімальної трапеції
Сторонизнімальної трапеції чи листа карти заданого масштабу є лініями меридіанів тапаралелей на поверхні земного еліпсоїду. Тому обчислення натуральних розмірівта площі знімальної трапеції – це визначення частини поверхні еліпсоїду в межахліній меридіанів та паралелей, які окреслюють лист карти заданого масштабу.
/>
Розміризнімальної трапеції на поверхні еліпсоїду описуються наступними параметрами:
- південнаa1 та північна a2 сторони, які на поверхні еліпсоїду є дугами паралелей зширотами B1 і B2, та окреслюються меридіанами здовготами L1 і L2;
- західната східна сторони с, які на поверхні еліпсоїду є дугами меридіанів, окресленихпаралелями з широтами B1 і B2, тому завжди рівні між собою;
- діагональd трапеції:
/> (11)
Формулирозрахунку довжин дуг a1 та a2 на широтах відповідно B1 і B2:
/> (12)
/> (13)
Для вираженняплощі трапеції P маємо робочу формулу вигляду:
/>, (15)
де b – малапіввісь і A’,B’,C’ – сталі коефіцієнти прийнятогореференц-еліпсоїду. Формула забезпечує розрахунок площі трапеції із середньоюквадратичною помилкою не більше mp = ±0,0005 км2.
Задано геодезичні координати точки А(BA, LA) на поверхні земного еліпсоїду.Визначити приналежність точки А знімальній трапеції масштабу 1:50000,номенклатуру та геодезичні координати рамки відповідного листа карти ірозрахувати довжини сторін та площу цієї трапеції.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
BA 48º01′01.1111" + 7′*8 48,95030864
LA 22º11′11.1111" + 30′*8 26,18641975
Сталі величини
/>
Геодезичнікоординати сторін трапеції
B1 48º50′ 48,83333333
B2 49º00′ 49,0
L1 26º00′ 26,0
L2 26º15′ 26,25
Обчисленнядовжини сторін трапеції за формулами (11),(12),(13),(14).Позначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 0,99810160
/> 0,99809194
/> 6390376,482
/> 6390438,348
/> 18354,212
/> 18293,253
/>(см карти) 36,71
/>(см карти) 36,59
/> 48,91666667
/> 0,998096769
/> 6371864,921 с (м) 18535,004 d (м) 26063,473 с (см карти) 37,07 d (см карти) 52,13
Обчислення площітрапеції за формулою (15).Позначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 352641,2223
/> 0,00095901
/> -0,00000410
/> -0,00000001
Р (км2) 339,630 Р (га) 33963,07
Завдання 4. Наближене розв’язування трикутниківза теоремою Лежандра
Після визначеннякінцевих значень виміряних кутів або напрямів у тріангуляції на поверхніеліпсоїду розпочинають розв’язування трикутників, яке зводиться до послідовногообчислення довжин їх сторін за одним виміряним базисом і кутами трикутників.При довжинах сторін до 90 км розбіжностями між поверхнею еліпсоїду і сфероюможна нехтувати, а трикутники вважати сферичними.
Теорема Лежандра:Малий сферичний трикутник АВС можна розв’язувати як плоский, якщо кожний з йогокутів А, В, С зменшити на третину сферичного надлишку.
Розв’язати двамалих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо:
— довжинавихідної сторони с1 = (60000 – 500*8) метрів;
— середня широта Bm = 48º01′01.1111" + 7′*8.
Виміряні сферичні кути трикутників приведено в таблиці.
/>
Вихідні дані
Номер варіанту №8Довжина вихідної сторони
с1 = (60000 – 500*8) 56000 Середня широта 48º57′01.1111" 48,95030864
Сталі величиниb 6356863,019
e2 0,00669342 ρº 57,29577951
Результативимірів кутів№ трикутника Позначення кутів Виміряні сферичні кути 1
A1 78º27′09.18"
B1 51º33′02.51"
C1 49º59′51.20" 2
A2 59º25′19.10"
B2 51º46′48.52"
C2 68º47′54.33"
Робочі формули:
Радіус сфери
/> 6381154,368 м.
Трикутник №1:
/>; />;
/>; />.
Трикутник №2:
/>; />;
/>; />.
Відомістьнаближеного розв’язування трикутниківВерш.
Виміряні
сферичні кути
/>
Виправлені
сферичні кути
/>
Виправлені
плоскі кути
Синуси
кутів
Довжини
сторін C 49º59′51.20" 1,689 49º59′52.888" -2,652 49º59′50.237" 0,76601402 56000,000 B 51º33′02.51" 1,689 51º33′04.198" -2,652 51º33′01.547" 0,78315577 57253,160 A 78º27′09.18" 1,689 78º27′10.868" -2,652 78º27′08.217" 0,97975833 71625,930
Σ1 180º00′02.89" 5,066 180º00′07.956" -7,956 180º00′00"
ε1 7,956
w1 -5,066 D 59º25′19.10" 3,035 59º25′22.134" -3,685 59º25′18.450" 0,86093557 71625,930 B 51º46′48.52" 3,035 51º46′51.554" -3,685 51º46′48.870" 0,78564059 65361,729 C 68º47′54.33" 3,035 68º47′57.364" -3,685 68º47′53.680" 0,93231272 77564,185
Σ2 180º00′01.95" 9,105 180º00′11.052" -11,055 180º00′00"
ε2 11,055
w2 -9,105
Завдання 5. Наближене розв’язування трикутниківспособом аддитаментів
Аддитаменти – цепоправки до сторін сферичного трикутника, з врахуванням яких його можнарозв’язати за сферичними кутами на основі теореми синусів плоскоїтригонометрії. Отже,
для сторони b />/>,
для сторони с />/>.
Числові значенняаддитаментів невідомих сторін можна розрахувати за приблизними значеннями їхдовжин /> та />.
Розв’язати двамалих сферичних трикутники, зображених на схемі, якщо:
— довжинавихідної сторони с1 = (60000 – 500*8) метрів;
— середня широта Bm = 48º01′01.1111" + 7′*8.
Виміряні сферичні кути трикутників приведено втаблиці.
/>
Вихідні дані
Номер варіанту №8Довжина вихідної сторони
с1 = (60000 – 500*8) 56000 Середня широта 48º57′01.1111" 48,95030864
Сталі величиниb 6356863,019
e2 0,00669342 ρº 57,29577951
Результативимірів кутів№ трикутника Позначення кутів Виміряні сферичні кути 1
A1 78º27′09.18"
B1 51º33′02.51"
C1 49º59′51.20" 2
A2 59º25′19.10"
B2 51º46′48.52"
C2 68º47′54.33"
Робочі формули:
/>
Трикутник №1:
/>; />;
/>; />.
Трикутник №2:
/>; />;
/>; />.
Відомістьнаближеного розв’язування трикутниківВерш.
Виміряні
сферичні кути
/>
Виправлені
сферичні кути
Синуси
кутів
Приблизні
довжини
Аддита-
менти
Довжини
сторін C 49º59′51.20" 1,689 49º59′52.888" 0,76601402 - 0,00001284 56000,000 B 51º33′02.51" 1,689 51º33′04.198" 0,78315577 57253,127 0,00001342 57253,160 A 78º27′09.18" 1,689 78º27′10.868" 0,97975833 71625,345 0,00002100 71625,930
Σ1 180º00′02.89" 5,066 180º00′07.956"
ε1 7,956
w1 -5,066 D 59º25′19.10" 3,035 59º25′22.134" 0,86093557 - 0,00002100 71625,930 B 51º46′48.52" 3,035 51º46′51.554" 0,78564059 65361,959 0,00001749 65361,729 C 68º47′54.33" 3,035 68º47′57.364" 0,93231272 77563,903 0,00002462 77564,185
Σ2 180º00′01.95" 9,105 180º00′11.052"
ε2 11,055
w2 -9,105
Завдання 6. Розв’язуванняпрямої геодезичної задачі способом допоміжної точки (спосіб Шрейбера)
Розв’язуванняпрямої геодезичної задачі способом допоміжної точки виконується посереднімшляхом – обраховують насамперед різниці координат пунктів, а за ними –абсолютні значення координат. За умови використання робочих формул приведеногонижче вигляду, спосіб забезпечує розрахунок геодезичних координат пунктів утріангуляції 1 класу з точністю десятитисячних часток секунди, азимутів – з точністютисячних часток секунди.
/>
A і В – пункти на поверхні еліпсоїду згеодезичними координатами B1,L1 і B2,L2. АР – меридіан т.А; ВР – меридіан т.В. А12 і А21 – прямий ізворотній азимут напряму АВ. s – довжина геодезичної лінії АВ. С – допоміжна точка поверхні еліпсоїду, розташована намеридіані т.A так, що геодезична лінія СВмає азимут АСВ = 90º. Точка С має геодезичні координати B0, L1.
Черговість дійпри розв’язуванні прямої геодезичної задачі способом допоміжної точки:
1. Обчисленняшироти точки С
/> - перша функціягеодезичної широти пункту А;
/> - радіус кривизнимеридіанного перерізу в п. А;
/>; /> — проміжні умовніпозначення; b – різниця широт п.А і т.С.
2. Обчисленняшироти пункту В
/>/>/>/>/>/>,
d – різниця широтп.В і т.С,
/>/>/>,
с – різницядовгот пункту В і точки С,
/>, /> /> - проміжні величини.
3. Обчисленнядовготи пункту В
λ = />/>,
λ — різницядовгот пунктів А і В,
4. Обчисленнязворотного азимуту А21
А21 = />, t – кут, утворений на поверхніеліпсоїду кривою ВР меридіанного перерізу в пункті В та кривою ВТ, якапаралельна меридіанному перерізові у пункті А, ε — сферичний надлишоктрикутника АВС.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
B1 = 48º01′01.1111"+7′*8 48º57′01.1111" 48,95030864
L1 = 22º11′11.1111"+30′*8 26º11′11.1111" 26,18641975
A12 = 1º01′01.111"+3º*8 25º01′01.111" 25,01697528 s = (60000 – 500*8) 56000 м
Сталі величиниa 6378245 м
e2 0,00669342
e’2 0,00673853 ρº 57,29577951
Обчислення широти точки СПозначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 0,998094819
/> 0,456307116
/> 6371902,273
/> 0,00003975
/> 50746,22203
/> 0,00000459
/> 23681,65851
/> -0,00000003 b 0,456291085
B0 49,40659972 0º27′22.65" 49º24′23.76"
Обчислення широти пункту ВПозначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 0,99806840
/> 0,00046040
/> 0,21232144
/> 0,00000312
/> 0,00001054
/> 0,00000270 с 0,21231920
/> 0,00000004
/> 0,32630018 d 0,00046039
/> /> 0,24777482
B2 49,40613933 49º24′22.1"
Обчислення довготи пункту ВПозначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 0,00000623 λ 0,32629814
/> 0,00000000
L2 26,51271789 26º30′45.78"
Обчислення зворотного азимутуПозначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 0,00084549 t 0,247772701
/> 0,00000541
A21 205,26390249
/> 0,00000003 205º15′50"
Завдання 7. Розв’язування прямої геодезичної задачіза формулами Гауса із середніми аргументами
Вихідні дані тасталі величини наведено у завданні №6.Наближення (1) Позначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 6399698,916
/> 1,001452017
/> 0,456307116
/> 0,243826934
/> 0,32331773
/> 49,1784622
/> 25,13888874 Позначення дій Результати в наближеннях (2) (3) (4) (5)
/> 1,00143875 1,00143875 1,001438754 1,001438754
/> 0,000002654 0,000002702 0,000002703 0,000002703
/> 0,000000760 0,000000774 0,000000774 0,000000774
/> 0,00000264 0,00000264 0,00000264 0,00000264
/> 0,45583487 0,45582911 0,45582908 0,45582908
/> 0,32628147 0,32629866 0,32629871 0,32629871
/> 0,24691330 0,24692543 0,24692546 0,24692546 b 0,455836428 0,45583069 0,45583067 0,45583067 λ 0,326280859 0,32629805 0,32629811 0,32629811 t 0,24691507 0,24692721 0,24692724 0,24692724
/> 49,17822685 49,17822398 49,17822397 49,17822397
/>/> 25,14043282 25,14043888 25,14043890 25,14043890
КінцевірезультатиПозначення дій Результати
/> 49,40613931 49º24′22.1"
/> 26,51271786 26º30′45.78"
/> 205,26390252 205º15′50"
Завдання 8. Розв’язування оберненої геодезичноїзадачі за формулами Гауса із середніми аргументами
Для розв’язуванняоберненої геодезичної задачі, в якій за значенням геодезичних координат B1, L1 та B2, L2 пунктів А та В розраховують значенняазимутів А12, А21 та довжини s геодезичної лінії АВ, найбільш оптимальновикористовувати обернений алгоритм розв’язування за формулами Гауса ізсередніми аргументами.
У порівнянні зіншими способами розв’язування оберненої геодезичної задачі спосіб Гауса ізсередніми аргументами виділяється простотою робочих формул, тому розглядаєтьсяяк найбільш оптимальний.
Черговість дійпри розв’язуванні оберненої геодезичної задачі за формулами Гауса із середнімиаргументами:
1. Обчисленнярізниць координат />, /> та середньої широти />.
2. Обчислення середнього азимуту Аm
/>,
за знаками P та Qвизначають четверть, в якій розташований напрям Аm.
3. Обчисленнядовжини геодезичної лінії
/> або />.
4. Обчисленнязближення меридіанів t
/>.
5.Обчислення азимутів
/> та />.
Наведені формулиза точністю результатів розрахунків дійсні для віддалей такого ж порядку, що йу прямій геодезичній задачі.
Вихідні дані
Номер варіанту №8
B1 = 48º01′01.1111"+7′*8 48º57′01.1111" 48,95030864
L1 = 22º11′11.1111"+30′*8 26º11′11.1111" 26,18641975
B2 49º24′22.1" 49,40613931
L2 26º30′45.78" 26,51271786
Геодезичнікоординати пункту В вибрано із завдання №7.
Сталі величиниa 6378245 м
e’2 0,00673853 ρº 57,29577951 Позначення дій Результати Позначення дій Результати 1. Обчислення різниць координат і середньої широти
/> 0,45583067
/> 49,17822397
/> 0,32629811 2. Обчислення сумм поправочних коефіцієнтів
/> 0,00000270
Δb 1,00000348
/> 0,00000264
/> 0,00000077
Δλ 0,99999814
3. Обчислення середнього азимуту Аm
/> 6399698,916
/> 23790,954
/> 1,001438768
/> 25,14043968
/> 50695,072
/> 25º8′25.58" 4. Обчислення довжини геодезичної лінії s
/> 55999,998 м
/> 55999,998 м 5. Обчислення зближення меридіанів t
/> 0,24692546
/> 1,00000720
/> 0,24692724 6. Обчислення азимутів
/> 25,01697606
/> 205,26390330 25º1′1.11" 205º15′50"
Завдання 9. Пряма задача проекції Гауса-Крюгера (перехід з поверхні еліпсоїду наплощину)
Прямою задачеюГауса – Крюгера називають розв’язування завдання переходу з поверхні еліпсоїдуна площину з метою визначення прямокутних координат пунктів, якщо вихіднимиданими є геодезичні координати B, L початкового пункту А, довжина геодезичноїлінії s та азимуту ААВвихідної сторони АВ мережі геодезичних пунктів.
Хід дій прирозв’язуванні прямої задачі Гауса – Крюгера:
1. Розрахунокномера зони n, довготи її осьового меридіану L0та геодезичних координат ВА, λ початкового пункту А, віднесених до зони йогорозташування.
2. Розрахунокпрямокутних координат х, у початкового пункту А за його геодезичнимикоординатами в зоні ВА, λ:
/>/>/>/>/>/>
/>/>/>/>/>,
де /> - радіус кривизни перерізупершого вертикалу;
/> - друга функціягеодезичної широти точки А;
/> - радіус кривизнимеридіанного перерізу при широті В = 90º;
X — довжина дуги осьового меридіану відекватора до паралелі з широтою ВА .
3. Розрахунокзближення меридіанів γ на площині у пункті А за геодезичними координатамиВА, λ:
/>/>/>/>.
4. Розрахунокмасштабу зображення m в пунктіА на площині за геодезичними координатами ВА, λ:
/>/>/>
5. Розрахунокнаближених довжин сторін геодезичної мережі на площині за виміряними сферичнимикутами і довжиною геодезичної лінії s вихідної сторони мережі.
Наближенізначення довжин на площині обчислюються з розв'язування трикутників за теоремоюЛежандра чи способом аддитаментів (див. результати розрахунків завдань № 4,5).
6. Розрахунокнаближених значень х', у' плоских прямокутних координат пунктів за координатамихА, уА початкового пункту А, наближеним значенням α'АВдирекційного кута вихідної сторони АВ, виправленими кутами та наближенимидовжинами сторін трикутників на площині.
7. Редукціядовжини геодезичної лінії s вихідної сторони АВ з еліпсоїду на площину.
S = s />/>/>.
8. Редукціянапрямів з еліпсоїду на площину.
Для редукціїнапряму з еліпсоїду на площину поправку δ завжди віднімають від виміряногонапряму. Наприклад, остаточне значення дирекційного кута α'АВ вихідноїсторони АВ на площині
/>/>.
За поправкамиδ і виміряними сферичними кутами можна розрахувати виміряні кути увершинах трикутників, редуковані на площину.
9.Зрівноважування мережі і розрахунок остаточних значень х, у плоских прямокутнихкоординат пунктів за координатами хА, уА початковогопункту, дирекційиим кутом α'АВ та довжиною S вихідної сторони і зрівноваженимикутами та довжинами сторін трикутників на площині.
Розв'язати прямузадачу проекції Гауса — Крюгера для мережі двох трикутників, зображених на схемі,геодезичні координати початкового пункту ВА, LA, азимут вихідної сторони ААВ,довжина геодезичної лінії вихідної сторони АВ, надані у вихідних даних.
/>
Вихідні дані№ трикутника Позначення кутів Виміряні сферичні кути 1
A1 78º27′09.18"
B1 51º33′02.51"
C1 49º59′51.20" 2
A2 59º25′19.10"
B2 51º46′48.52"
C2 68º47′54.33"
Номер варіанту №8
B1 = 48º01′01.1111"+7′*8 48º57′01.1111" 48,95030864
L1 = 22º11′11.1111"+30′*8 26º11′11.1111" 26,18641975
AАВ = 1º01′01.111"+3º*8 25º01′01.111" 25,01697528 s = (60000 – 500*8) 56000 м
Сталі величиниa 6378245 м b 6356863,019
e2 0.00669342
e’2 0,00673853 A 1,00505177 B 0,00506238 C 0,00001062 D 0,00000002 ρº 57,29577951 ρ" 206264,8062
1. Обчислення номера зони, довгот осевого меридіану та початковогопункту А в зоні.
Позначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 4
/> 5º11′11.11"
/> 21 5,186419747
2. Обчисленняпрямокутних координат початкового пункту, масштабу зображень та зближеннямеридіанів за геодезичними координатами пункту в зоні і наближеногодирекційного кута вихідної сторони на площині:Позначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 6335552,727
/> 379883,3465
/> 0,85866001
/>/> 12966,34118
/> 0,00250716
/> 0,00353380
/> -0,00000072
/> 3,91128820
/>
/>/> 0,00460723 X 5424196,908 m 1,00177203
/> 6399698,916
xA 5437177,406
/> 1,00145202
yA 4879812,687
/> 6390419,919 γ 3,91593568
/> 1,31872019 3º54′57.37"
/> 0,00290614
/> 21,10103960
/> 0,00000845 21º06′3.74"
3. Обчисленнянаближених довжин сторін трикутників на площині (результати в завданнях 4, 5).
4. Відомість обчислення наближених прямокутнихкоординат вершин трикутників.Вершини Виправлені кути Наближені дирекційні кути Наближені довжини сторін
Наближені прямокутні
координати вершин
/>
/>
B 201º06′3.74"
A 78º27′08.217" 5437177,406 4879812,687 /> 99º33′11.96" 57253,160 /> C 118º47′43.917" 5427675,361 4936271,835 /> 38º20′55.88" 65361,729 /> D 59º25′18.450" 5478935,142 4976825,387 /> 277º46′14.3" 77564,185 /> B 103º19′49.417" 5489422,438 4899973,456 /> 201º06′3.74" 56000,000 /> A 5437177,406 4879812,687
5. Редукція довжини вихідної сторони зеліпсоїду на площину.Позначення дій Результати Позначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 6381154,376
/> 389893,0714
/> 0,0000000
/>/> 20160,769
/> 0,001866648
/> 0,0000000 Довжина вихідної сторони на площині S (м) 56104,620
6. Редукціянапрямів з еліпсоїду на площину.
Відомістьобчислення поправок до напрямів за кривизну зображення геодезичних ліній наплощині.
Напрями
Дії
1: А
2: В
1: А
2: С
1: С
2: В
1: С
2: D
1: B
2: D
/> 6381154,376 6381154,376 6381154,376 6381154,376 6381154,376
/> 5437177,406 5437177,406 5427675,361 5427675,361 5489422,438
/> 5489422,438 5427675,361 5489422,438 5478935,142 5478935,142
/> 379812,687 379812,687 436271,835 436271,835 399973,456
/> 399973,456 436271,835 399973,456 476825,387 476825,387
/> 389893,071 408042,261 418122,646 456548,611 438399,422
/> 386532,943 398632,403 424172,376 449789,686 425590,766
/> 393253,200 417452,119 412072,916 463307,537 451208,077
/> 0,00013232 -0,00002407 0,00015639 0,00012983 -0,00002656
/> 0,064 -0,013 0,094 0,101 -0,018
/> 0,008 0,025 -0,017 0,022 0,039
/> 51,092" -9,555" 66,226" 58,317" -11,247"
/> -51,981" 10,008" -64,334" -60,072" 11,927"
Дирекційний кут вихідної сторони на площині />21º5′13.2"
7. Відомість обчислення поправок довиміряних сферичних кутів за кривизну зображення геодезичних ліній їх сторін на площині.
№
тр Вершини Поправки до напрямів сторін у вершинах кутів Поправки до виміряних сферичних кутів
№
тр Вершини Поправки до напрямів сторін у вершинах кутів Поправки до виміряних сферичних кутів
/>
/>
/>
/> 1 A -9,555" 51,092" -60,647" 2 C 58,317" 66,226" -7,909" B -51,981" -64,334" 12,353" D 11,927" -60,072" 72,000" C 66,226" 10,008" 56,218" B -64,334" -11,247" -53,087"
Контроль: /> 7,956" 7,924"
Контроль: /> 11,055" 11,003"
8. Відомістьзрівноважування трикутників та обчислення довжин сторін на площині.
№
тр. Верш.
Виміряні
сферичні кути — δ
Виміряні
плоскі кути — w/3
Зрівноважені
плоскі кути
Синуси
кутів Довжини сторін 1 C 49º59′51.20" -56,218 49º58′54.98" 1,678 49º58′56.66" 0,76584702 56104,621 B 51º33′02.51" -12,353 51º32′50.16" 1,678 51º32′51.83" 0,78312649 57370,485 A 78º27′09.18" 60,647 78º28′09.83" 1,678 78º28′11.51" 0,97981970 71779,887
Σ1 180º00′02.89" -7,924 179º59′54.9" 5,034 180º00′00"
ε1 7,956"
w1 -5,034" 2 D 59º25′19.10" -72,000 59º24′7.1" 3,018 59º24′10.12" 0,86076700 71779,887 B 51º46′48.52" 53,087 51º47′41.61" 3,018 51º47′44.63" 0,78581079 65529,244 C 68º47′54.33" 7,909 68º48′2.24" 3,018 68º48′5.26" 0,93233302 77747,822
Σ2 180º00′01.95" -11,003 179º59′50.9" 9,053 180º00′00"
ε2 11,055"
w2 -9,053"
9. Відомістьобчислення остаточних прямокутних координат вершин трикутників.Вершини
Зрівноважені
плоскі кути
Дирекційні кути
сторін
Довжини
сторін Прямокутні координати вершин
xi
yi
B 201º05′12.65"
A 78º28′11.51" 5437177,406 4879812,687 /> 99º33′24.16" 57370,485 /> C 118º47′1.92" 5427652,544 4936386,970 /> 38º20′26.07" 65529,244 /> D 59º24′10.12" 5479049,572 4977037,030 /> 277º44′36.3" 77747,822 /> B 103º20′36.4" 5489525,045 4899998,155 /> 201º05′12.65" 56104,621 /> A 5437177,406 4879812,687
Завдання 10. Розрахунок геодезичних координатпункту за плоскими прямокутними координатами
За своїм змістомпоставлене завдання є частиною оберненої задачі проекції Гауса — Крюгера, якамає на меті здійснення переходу з площини на поверхню еліпсоїду з обчисленнямгеодезичних координат B,L, якщо вихідними даними єпрямокутні координати х, у геодезичних пунктів.
Абсциса x точки а на площині виражаєтьсявідрізком, який відповідає довжині дуги осьового меридіану від екватора доточки а1 з широтою В1.
Широту В1можна обчислити за довжиною дуги меридіану, що відповідає х. Тут можнаскористатись формулою обчислення довжини дуги меридіану вигляду (5) і виразитиз неї потрібну широту В1, прийнявши s = x. Отже, В1 — широта основиординати точки у = 0:
/>
По мірівіддалення від осьового меридіану на величину ординати у для широти В точки Амає місце нерівність В
/>/>/>/>/>/>/>,
де /> - радіус кривизнимеридіанного перерізу; /> -радіус кривизни перерізу першого вертикалу; /> -радіус кривизни меридіанного перерізу в полюсі; /> -друга функція широти B1.
Довгота λточки А в зоні проекції Гауса – Крюгера:
/>/>/>/>/>
Довгота точки наповерхні еліпсоїду: L = L0+ λ.
Вихідні дані
Плоскі прямокутні координати
пункту B
xB (м) 5489525,045
yB (м) 4899998,155
Сталі величиниa 6378245 м
e’2 0,00673853 ρ" 206264,8062
Відомістьобчислення широти В1Позначення дій Результати в наближеннях (1) (2) (3) (4) (5)
0.0007114572/> -0,0006 -0,0006 -0,0006 -0,0006
0.5451113292/> -0,1646 -0,1698 -0,1698 -0,1698
519.4709177/> 513,3693 512,9677 512,9680 512,9680 0.032930760 x 177822,6020 177822,6020 177822,6020 177822,6020 177822,6020
/> 177822,6020 178336,1353 178335,7388 178335,7391 178335,7391
Широта В1 = 49º32′15.7"
Відомістьобчислення геодезичних координат пункту В.Позначення дій Результати Позначення дій Результати
/> 6399698,916
/> 0,035106423
/> 1,001417903
/> 475,04343609
/> 6390637,612 B 177862,1057
/> 6372553,476 49º24′22.1"
/> 19894,332286 λ 19845,5951
/> 0,00391767 5º30′45.6"
/> 1,374547573
L = L0+ λ 95445,5951
/> 0,002837816 26º30′45.7"