Контрольная работа
Процент. Наращение
Наращение первоначальной суммы капитала — это процессприсоединения к ней процентов в результате какой-либо финансовой операции. Взарубежной литературе используются термины accumulation (наращение), present value (PV,современная величина, первоначальной сумма), future value (FV,будущая величина, наращенная сумма).
Неотъемлемой частью финансовых и экономическихрасчетов является начисление различного типа процентов. Целью данной работыявляется систематизация знаний студентов о процентах как числовых понятиях иприобретение и умений навыков начисления простых и сложных процентов.
Есть два способа начисления процентов. Декурсивный.Когда проценты начисляются в конце срока и возврату подлежит сумма долга вместес процентами. При этом увеличение суммы долга в связи с присоединениемпроцентов называют наращением суммы.
Второй способ антисипативный (дисконтирование) –сокращения. Процентный доход выплачивается в начале срока, при этом должникувыдаётся сумма, уменьшенная на его величину, а возврату в конце срока подлежитисходная сумма.
Процент – сотая доля числа. В простейшем случае длянахождения определенного процента от числа выполняются такие действия
а) найти 1% числа 240: />;
б) найти 5% числа 240: />;
в) найти 85% числа 240: />;
г) найти 135% числа 240: />.
Чтобы выяснить, какой процент составляет число отизвестного целого, решаем обратную задачу.
Например, чтобы найти, сколько процентов составляетчисло 25 от числа 160, необходимо
/>
Аналогично, чтобы найти целое по известной его части(его проценту), решаем задачу следующего типа: найти число, если число17 составляет8% от него. Это число будет
/>
При выполнении различных экономических и финансовыхрасчетов составной их частью является учет фактора времени, который учитывает,например, процентная ставка по вкладу или процентные ставки за предоставляемыекредиты и т.д.
Начисление процентов. Начисление процентов —осуществляется по расчетным, текущим (кроме бюджетных), заемным, депозитнымсчетам, а также по вкладам граждан. Уровень процентных ставок по активным ипассивным операциям, порядок, период, сроки начисления процентов, порядок ихвзимания (зачисление на счета клиентов по пассивным операциям) определяются вдоговоре между банком и клиентом. Приначислении процентов количество дней в месяце условно принимается за 30, а вгоду — за 360. Проценты начисляются в размере и в сроки, указанные в договоре,но не реже одного раза в квартал.
Дадим формулы для расчета будущих сумм S по начальномувкладу Р. В основе их построения лежит понятие единичного периода начисления(Т=1) и процентной ставки i, которая фиксирует процентное увеличение исходнойсуммы Р за первый период. В результате сумма на конец этого промежутка временибудет равна />. Если ставка i измеряетсядесятичной дробью, то S1=P+P·i.
По отношению к следующим периодам ставки процентовтрактуются по-разному в зависимости от принятой схемы начисления: по простымили по сложным процентам. В первом случае приросты денежных сумм для любогопериода будут составлять все ту же долю i от первоначальной суммы Р. врезультате наращенная за п периодов сумма составит величину
Sn=P+n·i·P=P·(1+n·i) (1)
Здесь и в дальнейшем будем пользоваться дробнымизмерением ставки i.
В отличие от простых для сложных процентов одна и таже ставка i берется для каждого последующего промежутка не от первоначальнойсуммы, а от результата предыдущего начисления, т.е. от суммы, наращенной наначало данного периода. Отсюда следует, что вклад Р при ставке сложногопроцента i через п периодов составит сумму
Sn=P·(1+i)n (2)
Таким образом, последовательность наращенных сумм {Sn}в случае простых процентов представляет арифметическую прогрессию, в то времякак для сложных процентов прогрессия будет геометрической.
Выражения (1) и (2) называют формулой простых и,соответственно, сложных процентов, а под процентными деньгами или, кратко,процентами понимают величину дохода (приращение денег) In=Sn-P.В финансовых вычислениях в случае меняющихся во времени процентных ставокиспользуют очевидные обобщения правил (1), (2):
/> - для простых процентов,
/> - для сложных процентов.
Дисконтирование и удержание процентов. Эти процедурыявляются обратными по отношению к процессу начисления процентов.Дисконтированием называется авансовое удержание с заемщика процентов в моментвыдачи ссуды, т.е. до наступления срока ее погашения.
Другим вариантом дисконтирования является учетвекселей в банке, когда банк, принимая вексель от предъявителя, выдает емуобозначенную на векселе сумму до срока ее погашения. При этом банк удерживает всвою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срокапогашения. Подобным образом (с дисконтом) государство продает большинство своихценных бумаг (долговых обязательств).
В нашем случае исходной величиной выступает неначальный вклад Р, а некоторая будущая сумма S. Вопрос состоит в том, чтобыопределить эквивалентную сумму Р, отстоящую на t предшествующих периодов досрока выплаты S. В зависимости от принятого критерия эквивалентности можновыделить два подхода к расчету предшествующих сумм.
Во-первых, по размеру вклада Р, который при начислениипроцентов через t периодов дает сумму S, и, во-вторых, по размеру платежа, ккоторому придем при удержании процентов с финальной суммы S за срок t. Такимобразом, при одном толковании за базовую величину, т.е. за 100%, принимаетсяразмер вклада Р, в то время как при другом – за 100% берется будущая сумма S.Кроме того, по каждому варианту дисконтирование можно производить как попростым, так и по сложным процентам.
В случае приведения по вкладу Р для нахождениядисконтированных значений достаточно воспользоваться формулами (1) и (2), решивих относительно величины Р.
В результате получим две формулы:
/> (3)
при дисконтировании по простым процентам и
/> (4)
для сложных процентов. Стоящие в этих формулахмультипликаторы
/> и />
показывают, какую долю составляет Р в величине S припростой и соответственно сложной ставке процентов и называются дисконтнымимножителями.
Величину Р, найденную дисконтированием S по вкладу,называют современной, или приведенной величиной S. Это понятие является однимиз важнейших в количественном анализе финансовых операций, поскольку именно спомощью дисконтирования учитывается такой фактор, как время.
Формулы дисконтирования по платежу (второй подход)можно получить, используя формулы (1) и (2) с заменой схемы начисления процентовна вклад Р схемой их удержания с суммы S за тот же срок вложения. За основу ихпостроения принять понятие единичного периода удержания процентов (дисконтирования)и учетной ставки d, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы Sна один период «назад». Отсюда следует, что на начало этого периодаэквивалентная выплате S сумма составит величину Р, которая при дробном измеренииставки определяется формулой P=S-d·S.
По отношению к следующим периодам учетная ставкатрактуется по разному в зависимости от принятойсхемы дисконтирования: по простым или по сложным процентам. В первом случаеудержания денежных сумм (дисконты) по каждому периоду будут составлять все тотже процент d от все той же суммы S. В результате такого дисконтирования за tпериодов получиться величина
Pt=S — tdS=S(1 — td) (5)
В отличие от этого при учете по сложной ставкепоследовательные по периодам снижения берутся как один и тот же процент d, ноне от одной и той же величины S, а каждый раз от новой, полученной в результатедисконтирования на соседний период. Отсюда следует формула дисконтирования(учета) по сложным процентам, где в качестве процента выступает доля удержанияd:
Pt=S·(1 — d)t.
(6)
Схема дисконтирования (3) и (4) широко применяется вмногообразных задачах финансового анализа, в том числе для сравнения потоковплатежей и при расчете стоимости облигаций и прочих ценных бумаг.
Дисконтирование по удержанию (5) и (6) используетсяпри учете векселей. Суть этой финансовой операции состоит в следующем. Нектовыдает вексель (расписку) с обязательством уплатить сумму S на определеннуюдату T. Владелец векселя в случае нужды может досрочно учесть его, т.е.получить деньги раньше срока в коммерческом банке (КБ) по установленнойпоследним учетной ставке d, которая уменьшает сумму выплаты. В зависимости отпринятых условий учет проводиться по простым (5) или сложным (6) процентам.
Такой вексель, который допускает участие третьих лиц,называется переводным или траттой. В дальнейшем на дату Т, банк предъявляетвексель тому, кто его выписал, и получает сумм S, извлекая из этой операциисобственную выгоду: учитывал по меньшей сумме, а получил большую.
Пример. Тратта выдана на сумму 100 тыс.грн. с уплатой17.11. Владелец документа учел его в банке 23.09 по учетной ставке 8%. Так какдо погашения обязательства период равен 55 дням, то полученная сумма (безуплаты комиссионных) составит
/> грн.
а дисконт равен D=100000-98777,78=1222,22 грн.
Задание
1) Найти 41,5%от заданного числа 905.
2) Найти, сколько процентов составляет число 32,7 от заданного числа 79,39
3) Найти число q, если данное число 15 составляет 1,98% от него.
4) Найти наращенную сумму Sn по вкладу 854 при ставке 7,3% для случая простых и сложныхпроцентов за 3мес. периодов.
5) Найти дисконт d при тратте 1203 и учетной ставке 9%, а также годовую доходность операцииучета по простой ставке для банка, если известны сроки уплаты: 1.10 и учета документа: 15.7.
Решение
1) Найти 41,5% от числа 905?
Решение
1. Найдём чему равен1% от числа 905.
905/100 = 9,05
2. Найдем чему равно41,5 % от 905.
9,05*41,5 = 375,58
Ответ: 375,58
2) Найти сколькопроцентов составляет число 32,7 от числа 79,39?
Решение
1. Найдём чему равен 1%от числа 79,39 79,39/100 = 0,8
2. Найдём сколько процентов от числа79,39 содержиться в числе 32,7
32,7 / 0,8 = 40,88
Ответ: 40,88
3) Найти число q, если данное число 15 составляет 1,98% от него.
1. Найдём 1% от числа q.
15 / 1,98 = 7,58
2. Найдём число q.
7,58 * 100 = 758
Ответ q =758
4) Найти наращенную сумму Sn по вкладу 854 при ставке 7,3% для случая простых и сложныхпроцентов за 3мес. периодов.
1. Найдём нарощенную сумму
S = 854 *(1+7,3)^3= 571,79 * 854 = 488306,1
Ответ 488306,1