Задачи на простые проценты
Банк концерна «А» сцелью сказания финансовой помощи выдал ссуду 10 млн. руб. дочернему предприятиюпод 20% годовых сроком на 3 года. Проценты простые. Определить сумму возвратассуды и доход банка.
Решение:
Сумма наращения денег по простымпроцентам
S = P (1 + ni),
где P — сумма кредита;
n — срок кредита, лет;
i — процентная ставка.
Таким образом, сумма возвратассуды составит:
S = 10 (1+ 3*0,2) = 16 млн. руб.
Доход банка — разность междусуммой выдачи и суммой возврата (т.е. величина процентов по ссуде):
16 — 10 = 6 млн. руб.
Определить проценты и суммунакопленного долга, если ссуда равна 7 млн. руб., срок долга — 4 года по ставкепростого процента, равной 10% годовых.
Решение:
Сумма наращения денег по простымпроцентам
S = P (1 + ni),
где P — сумма кредита;
n — срок кредита, лет;
i — процентная ставка.
Таким образом, сумманакопленного долга составит
S = 7 (1+ 0,1*4) = 9,8 млн. руб.
Сумма процентов
J = S — P = 9,8 — 7 = 2,8 млн. руб.
Ссуда в размере 100 тыс. руб. выдана20 января до 5 октября включительно под 8% годовых, год невисокосный. Необходимонайти размер погасительного платежа, применяя три метода нахожденияпродолжительности ссуды (см. приложение). Решение:
Точное число дней ссуды получимпо Приложению:
278 — 19 = 259 дней
Приближенное число дней ссуды (продолжительностькаждого месяца 30 дней):
11 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30+ 30 + 30 + 5 = 256 дней
Возможные варианты расчетанаращенной суммы:
а) по точным процентам с точнымчислом дней ссуды:
/> = 105,67 тыс. руб.
б) по обыкновенным процентам сточным числом дней ссуды:
/> = 105,75 тыс. руб.
в) по обыкновенным процентам сприближенным числом дней ссуды:
/> = 105,69 тыс. руб.
Контракт предусматриваетследующий порядок начисления процентов: первый год-25%, в каждом последующемполугодии ставка повышается на 11%. Необходимо определить множитель наращенияза 2.5 года.
Решение:
При установлении переменнойпроцентной ставки наращенная сумма определяется по формуле:
/>
Выражение в скобках ипредставляет собой множитель наращения. Рассчитаем его:
1 + 1*0,25 + 0,5*0,36 + 0,5*0,47+ 0,5*0,58 = 1,955
Таким образом, по данному контрактунаращенная сумма будет в 1,955 раза больше первоначальной.
На сумму 10 млн. руб. начисляется10% годовых. Проценты простые, точные. Какова наращенная сумма, если операцияреинвестирования проводится ежемесячно в течение первого квартала, и какованаращенная сумма, если операция реинвестирования не проводится?
Решение:
Иногда прибегают к начислениюпроцентов на уже наращенные в предыдущем периоде суммы, т.е. происходитмногоразовое наращение, именуемое реинвестированием, или капитализациейпроцентного дохода. В этом случае итоговая наращенная сумма определится поформуле:
/>
В нашем случае наращенная суммаза квартал составит:
S = 10*(1 + (30/365) *0,1) * (1 + (30/365) *0,1) * (1 + (30/365) *0,1) = 10,249 млн. руб.
Если операция реинвестированияне производится, то наращенная сумма составит:
S = 10*(1 + (90/365) *0,1) = 10,246 млн. руб.
Задачи на сложные проценты.
Вкладчик внес 2 млн. руб. в банкпод 50% годовых на 5 лет. Проценты сложные. Какая сумма средств вкладчика поокончании срока? Чему равен доход вкладчика за 5 лет?
Решение:
Наращенная сумма денег поформуле сложных процентов имеет вид
S = P (1 + i) n,
где P — сумма кредита;
n — срок кредита, лет;
i — процентная ставка.
Таким образом, сумма средстввкладчика по окончании срока
S = 2 (1+ 0,5) 5 = 15,1875 млн. руб.
Доход вкладчика
J = S — P =15,1875 — 2 = 13,1875 млн. руб.
Банк взимает за ссуду 40%годовых. За второй год установления банком маржа составляет 2%, за каждыйпоследующий год 3%. Срок ссуды-5 лет. Размер ссуды-5 млн. руб. Найти суммувозврата долга через 5 лет.
Решение:
Нестабильность экономическойситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени,но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этомслучае наращенная сумма может быть определена по формуле:
/>
Таким образом, сумма возвратачерез 5 лет составит:
S = 5* (1+ 0,4) * (1 + 0,42) * (1 + 0,43) 3 = 29 млн. руб.
Первоначальная сумма ссуды-10тыс. руб., срок-5 лет, проценты начисляются в конце каждого квартала,номинальная годовая ставка-5%. Требуется определить наращенную сумму. Решение:
Так как проценты начисляютсяпоквартально, используем формулу сложных процентов с разовым начислением пономинальной ставке
/>,
где j — номинальная ставка;
m — число периодов начисления в году;
n — число лет финансовых вложений.
Тогда наращенная сумма составит
/> = 12,820372 тыс. руб.
Банк начисляет проценты пономинальной ставке 40% годовых. Найти, чему равна эффективная годовая ставкапри ежемесячном начислении процентов.
Решение:
Зависимость эффективной иноминальной процентных ставок выглядит следующим образом:
/>
Тогда эффективная ставкасоставит
/> = 0,482 = 48,2%
Простая процентная ставка повекселю равна 10%. Определить значение эквивалентной учетной ставки, есливексель выдан: а) на 2 года; б) на 250 дней. При сроке долгового обязательства250 дней временную базу ставок примем равной 360 дням.
Решение:
Эквивалентная учетная ставкасвязана с простой учетной ставкой следующей зависимостью:
/>,
где i — простая учетная ставка;
n — срок ссуды в годах.
В случае, когда срок ссудыменьше года:
n = t/K,
где t — число дней ссуды;
К = 360 дней.
Определим эквивалентную учетнуюставку, если вексель выдан на 2 года:
/>= 8,33%
Как видно, при наращении поучетной ставке 8,33% владелец векселя получит такой же доход, что и по простойставке 10%.
Определим эквивалентную учетнуюставку для векселя, выданного на 250 дней:
/>= 9,35%
Определить процентную ставку,эквивалентную учетной, равной 30%, если наращение определяется: а) по простымпроцентам; б) по сложным процентам. Срок погашения-2 года.
Решение:
В случае простых процентовпростая ставка, эквивалентная учетной, определяется по следующей формуле:
/>
Соответственно, простая ставка,эквивалентная учетной ставке в 30%, будет:
/>= 75%
В случае сложных процентовставка, эквивалентная учетной, определяется по формуле:
/>
Соответственно, при сложной учетнойставке в 30% эквивалентная ей сложная ставка составит
/>= 42,85%
Задачи по дисконтированию.
Через год владелец векселя,выданного коммерческим банком, должен получить по нему 220 тыс. руб. Какаясумма была внесена в банк в момент приобретения векселя, если годовая ставкасоставляет 120%?
Решение:
Используем формулуматематического дисконтирования
/>
Таким образом, первоначальнаясумма составит
/> тыс. руб.
Фирма планирует кредит в сумме10 млн. руб. при ставке 200% годовых. Каким должен быть срок ссуды, чтобы суммавозврата долга составила не более 20 млн. руб?
Решение:
Очевидно, что срок ссуды будетменее года, поэтому для определения срока ссуды в днях воспользуемся формулой:
/>,
где К = 360 дней.
/> дней
Если фирма хочет выплатить неболее 20 млн. руб., она должна взять ссуду на 180 дней, т.е. на полгода.
Предприниматель обратился в банкза ссудой в размере 200 тыс. руб. на срок 55 дней. Банк согласился выдатьуказанную сумму при условии начисления процентов по простой учетной ставке,равной 80%. Чему равна сумма долга, указанная в векселе?
Решение:
Если срок ссуды определяется вднях для простой учетной ставки, наращенная сумма будет равна:
/>,
где t — срок ссуды в днях;
d — простая учетная ставка;
К = 360 дней.
Тогда сумма долга, указанная ввекселе, составит:
/>228 тыс. руб.
Фирме необходим кредит в 500 тыс.руб. Банк согласен на выдачу кредита при условии, что он будет возмещен вразмере 600 тыс. руб. Учетная ставка-210% годовых. На какой срок банкпредоставит кредит фирме (К=365 дней)?
Решение:
Для определения срока кредита вднях воспользуемся формулой
/>
Срок кредита составит
/> дня
Контракт на получение ссуды на500 млн. руб. предусматривает возврат долга через 30 дней в сумме 600 тыс. руб.Определить примененную банком учетную ставку (К=365 дней).
Решение:
Учетная ставка определяется поформуле:
/>
/>