Лекція 4 Узагальнена плоска хвиля.
Для рівняння />загальний розв’язок />(можна перевірити підстановкою). Таким чином хвиля розповсюджується в багатьох напрямках:
/>— хвиля в напрямку />.
/>— хвиля в напрямку />.
Задача: Нехай хвиля падає під кутом />до поверхні середовища, знайти характеристики відбитої хвилі та заломленої.
/>/>/>/>
/>
/>
/>
/>
/>/>/>
/>
/>
/>
/>
Розв’язок: Вважаємо, що />. Раніше ми показали, що розв’язком рівнянь Максвела є узагальнене рівняння хвилі. Тоді для даних хвиль:
/>
( ми розглянули плоску задачу в />).
Гранична умова: />. Тоді />, де />; />; />; коефіцієнти />не повинні залежати від />. В цьому випадку />(*). Тоді />(**).
Виходячи з (*), маємо />. (очевидно якщо відкласти відрізки на малюнку). Аналогічно />.
/>— перший закон Смеліуса.
/>— другий закон Смеліуса. Наближені граничні умови Леонтовича.
Р/>/>озглянемо ідеальну металеву поверхню. Для неї граничні умови: />; />. Однак, тут /> — не враховувалися втрати в металі. Їх врахував Леонтович:
/>/>
Нехай хвиля падає під кутом до поверхні. Леонтович вважав, що якби хвиля не падала, вона йде нормально до поверхні. Це можна пояснити тим, що в металі />, тому кут заломлення дуже малий: />. Це наближена умова.
Леонтович вважав, що в металі розповсюджується звичайна електромагнітна хвиля, в якій />, де />. Ця рівність зберігається і на межі металу. У вакуумі />, при цьому />; />. Це і є наближена гранична умова. В/>ідбивання від ідеально провідної границі (метал) ТЕ, ТМ хвилі.
/>— падаюча хвиля (індекс “п”). Обираємо знак “+” для />. Тоді />. Сумарне поле над металом />
Таким чином, сумарна хвиля розповсюджується в напрямку />. Отже в результаті розв’язку рівняння Максвела ми маємо хвилю, що падає, і хвилю, що відбита. Сума цих полів дає нову хвилю, що розповсюджується вздовж />і є сумою цих двох хвиль. Падаюча і відбита хвиля називаються парціальними; Сумарна зветься неоднорідною плоскою хвилею. Неоднорідна плоска хвиля теж є розв’язком рівняння Максвела.
Властивості неоднорідної плоскої хвилі:
Ця хвиля має поздовжні компоненти полів: якщо з’являється а) /> — />-хвиля (ТЕ); б) /> — />-хвиля (ТМ).
Її амплітуда вздовж хвильового фронту змінюється: /> — через це її називають неоднорідною. Плоскою називають тому, що фронт до напрямку розповсюдження />.
/>довжина сумарної хвилі />вихідних. Фазова швидкість цієї хвилі />, оскільки в той час, коли вихідна хвиля а проходить, сумарна хвиля проходить />. За цей же час енергія переноситься на відстань /> — групова швидкість />.
/>/>/>/>
а />
/>
/>
/>
Висновок: Існують неоднорідні плоскі хвилі: />; />; />; />. Існують компоненти />, />.