Реферат по предмету "Математика, физика, астрономия"


Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками

Езаова А.Г.


Кафедра теории функций.


Кабардино-Балкарский государственный университет


В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.


Рассмотрим уравнение


 (1)


где m – натуральное число в конечной односвязной области , ограниченной отрезками  прямых  соответственно – и характеристиками:



уравнения (1).


Пусть ;– интервал  прямой ;


 


– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при , выходящих из точки , с характеристиками  и  соответственно;


 (2)


 (3)


– операторы дробного интегрирования порядка - при  и обобщенные в смысле Лиувилля производные порядка  при , причем



где – единичный оператор, а – целая часть .


Под регулярным в области  решением уравнения (1) будем понимать функцию , удовлетворяющую уравнению (1) в , и такую, что  может обращаться в бесконечность порядка ниже  на концах А и В интервала I.


Задача Н. Найти регулярное в области  решение  уравнения (1), удовлетворяющее краевым условиям:


, (4)


, (5)


где ,


 (5`)


. (6)


Пусть существует решение задачи . Тогда, регулярное решение уравнения (1) в гиперболической части , удовлетворяющее данным Коши  , дается формулой [1]:



 (7)


Удовлетворяя (7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями  и , принесенное на из  [2]:


, (8)


где


 (9)


 


Из постановки задачи Н следует, что функция  непрерывна в области . Поэтому, переходя к пределу при  в уравнении (1) и учитывая граничные условия (4), получим:


, (10)


. (11)


Решая задачу (10), (11) относительно , окончательно получим функциональное соотношение между функциями  и , принесенное из области  на :



 (12)


Подставляя в (9) вместо функции  её выражение (12), получаем :


 


где



.


Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:



 (14)


Следуя [2], преобразуем интегралы:


, , ,


, .


В интегралах  сделаем подстановки


1) ; 2) ; 3) ;


4) ; 5)


соответственно. В результате получим равенства:



,







Подставляя значения  в равенство (14) и делая несложные преобразования, получаем:



 (15)


Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:



 (16)


где обозначено


 (17)



2 Труды молодых ученых  № 3,  2007

 (18)



 (19)


Введем вспомогательную функцию  по формуле :



 (20)


Легко заметить, что функция  и в точке x=0 обращается в нуль порядка выше e, а при x=1 может обращаться в бесконечность порядка выше (1-e) относительно x и (1-x) соответственно. Из равенства (20) однозначно определяется функция :


 (21)


Учитывая значение функции  из равенства (21), в интегралах в правой части (16) получаем:











.


Обозначим


. (22)


Тогда окончательно имеем:


.


Аналогично находим, что


,


где обозначено , (23)


; (24)


. (25)


Используя известное тождество [3],


,


где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:



 (26)


где сингулярный оператор S задаётся формулой:


,


, ,


,


, ,  – известные функции, ограниченные соответственно на 0 £ t £ x £ 1, 0 £ x £ t £ 1, 0 £ x £ 1, причем , .


Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:


, (27)


где  причем ядро  и функция  ограниченные соответственно при, 0£ x, t£ 1, 0£ x£ 1.


Следуя [2], обозначим через  – множество функций , непрерывных всюду кроме быть может точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию   где , – целая часть , – целая часть  [1].


В работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения уравнения (27) в классе .


Функция , определенная формулой (21), принадлежит классу искомых решений интегрального уравнения (8).


После определения , функция  задаётся формулой (12). Таким образом, в области  приходим к задаче [6]: найти регулярное в области  решение уравнения (1), непрерывное вместе с производной  в замкнутой области  и удовлетворяющее граничным условиям (4) и .


Решение этой задачи задается формулой :



где  – функция Грина этой задачи для уравнения


. (28)


Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:




где ;


;


– функция Бесселя. Функции ,  называются функциями Эйри и удовлетворяют уравнению . Основные свойства функций  и , их оценки вместе с частными производными порядка больше 1, приведены в [7].


Список литературы


Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.


Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.


Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.


Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.


Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.


Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.


Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.


Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.skgtu.ru/


Дата добавления: 02.09.2009



Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.