Езаова А.Г.
Кафедра теории функций.
Кабардино-Балкарский государственный университет
В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.
Рассмотрим уравнение
где
m – натуральное число в конечной односвязной области
уравнения (1).
Пусть
–
аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при
–
операторы дробного интегрирования порядка -
где
Под
регулярным в области
Задача
Н
где
Пусть
существует решение задачи
Удовлетворяя
(7) краевому условию (5), получим функциональное соотношение между функциями
где
Из
постановки задачи Н
Решая
задачу (10), (11) относительно
Подставляя
в (9) вместо функции
где
Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:
Следуя [2], преобразуем интегралы:
В
интегралах
1)
4)
соответственно. В результате получим равенства:
Подставляя
значения
Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:
где
обозначено
2 Труды молодых ученых № 3, 2007 |
Введем
вспомогательную функцию
Легко
заметить, что функция
Учитывая
значение функции
Обозначим
Тогда окончательно имеем:
Аналогично находим, что
где
обозначено
Используя известное тождество [3],
где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:
где сингулярный оператор S задаётся формулой:
Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:
где
Следуя
[2], обозначим через
В
работе [2] найдены необходимые и достаточные условия существования решения
уравнения (27) в классе
Функция
После
определения
Решение этой задачи задается формулой :
где
Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:
где
Список литературы
Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.
Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.
Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.
Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.
Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.
Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.skgtu.ru/
Дата добавления: 02.09.2009
! |
Как писать рефераты Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов. |
! | План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом. |
! | Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач. |
! | Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты. |
! | Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ. |
→ | Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре. |