Реферат по предмету "Математика, физика, астрономия"


Многочлен Жегалкина

К.ф.-м.н. Алексей Юрьевич Виноградов


Февраль 2010.


Таблица истинности. Эквивалентность формул


Построить таблицы соответствующих функций и выяснить, эквивалентны ли формулы  и .


а)



Составим таблицу истинности для функции U:


x


y


z



отрицание


x



отрицание у



дизъюк ция



конъюнк ция



имплика ция



импликация


()


импликация


0


0


0


1


1


1


0


1


1


1


0


0


1


1


1


1


1


1


1


1


0


1


0


1


0


1


0


1


1


1


0


1


1


1


0


1


1


1


1


1


1


0


0


0


1


1


0


0


1


1


1


0


1


0


1


1


1


0


1


1


1


1


0


0


0


0


0


1


0


1


1


1


1


0


0


0


0


1


0


1


Мы получили формулу U(11111111).


Составим таблицу истинности для функции V:


x


y


z



импликация



отрицание


у



отрицание


x



импликация


импликация


0


0


0


1


1


1


1


1


0


0


1


1


1


1


1


1


0


1


0


1


0


1


1


1


0


1


1


1


0


1


1


1


1


0


0


0


1


0


0


1


1


0


1


0


1


0


0


1


1


1


0


1


0


0


1


1


1


1


1


1


0


0


1


1


Мы получили формулу V(11111111)


Сравнивая таблицы функций U и V, видим, что U = V.


Значит, формулы U и V эквивалентны.


б)



Составим таблицу истинности для функции U:


x


y


z



отрицание


x



отрицание


у



конъюнкция



отрица


ние z



конъюнк


ция



имплика


ция



импликация



импликация


0


0


0


1


1


1


1


1


0


1


0


0


0


1


1


1


1


0


0


0


1


0


0


1


0


1


0


0


1


1


1


0


1


0


1


1


1


0


0


0


0


1


0


1


1


0


0


0


1


0


1


0


1


0


1


1


0


1


0


1


0


0


0


1


0


1


1


1


0


0


0


0


1


0


1


0


1


1


1


1


0


0


0


0


0


1


0


1



импликация


1


1


0


0


1


1


1


1


Мы получили формулу U(11001111).


Составим таблицу истинности для функции V:


x


y


z



отрицание z



импликация



конъюнкция



отрицание конъюнкции


0


0


0


1


1


0


1


0


0


1


0


1


0


1


0


1


0


1


1


0


1


0


1


1


0


0


0


1


1


0


0


1


1


1


0


1


0


1


0


1


1


0


1


1


0


1


1


1


0


1


1


1


0


0


0


1


Мы получили формулу V(11110001)


Сравнивая таблицы функций U и V, видим, что U ¹ V.


Значит, формулы U и V неэквивалентны.


в)



Составим таблицу истинности для функции U:


x


y


z



отрицание z



эквивалентность



импликация


импликация



отрицание импликации



Сумма по модулю 2



дизъюнкция


0


0


0


1


1


1


1


0


1


1


0


0


1


0


1


1


1


0


0


 0


0


1


0


1


0


1


1


0


1


1


0


1


1


0


0


1


1


0


0


0


1


0


0


1


0


1


1


0


0


0


1


0


1


0


0


0


1


0


1


1


1


1


0


1


1


1


1


0


0


0


1


1


1


0


1


0


0


1


1


1


Мы получили формулу U(10100101).


Составим таблицу истинности для функции V:


x


y


z



импликация



эквивалентность


0


0


0


1


0


0


0


1


0


1


0


1


0


1


0


0


1


1


1


0


1


0


0


1


1


1


0


1


0


0


1


1


0


1


1


1


1


1


1


1


Мы получили формулу V(01001011)


Сравнивая таблицы функций U и V, видим, что U ¹ V.


Значит, формулы U и V неэквивалентны.


Методом неопределенных коэффициентов построить полином Жегалкина для следующих функций.


а)


Сначала составим таблицу истинности для функции


x


y


z



отрицание


x



отрицание


у



конъюнкция



дизъюнкция


0


0


0


1


1


1


1


0


0


1


1


1


1


1


0


1


0


1


0


0


0


0


1


1


1


0


0


1


1


0


0


0


1


0


0


1


0


1


0


1


0


1


1


1


0


0


0


0


0


1


1


1


0


0


0


1


Полином Жегалкина для нее представляется в виде:



Последовательно подставляя значения переменных из таблицы, получаем:




Следовательно функция  представляется полиномом Жегалкина как .


б)


Сначала составим таблицу истинности для функции .


x


y


z



конъюнкция



импликация


0


0


0


0


1


0


0


1


0


1


0


1


0


0


1


0


1


1


0


1


1


0


0


0


1


1


0


1


1


0


1


1


0


0


1


1


1


1


1


1


Полином Жегалкина для нее представляется в виде:



Последовательно подставляя значения переменных из таблицы, получаем:




Следовательно функция  представляется полиномом Жегалкина как .


Список литературы


Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/


Методы для решения краевых задач,


в том числе «жестких» краевых задач.


1. Введение.


На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).


Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:


Y(x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),


где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y(x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.


Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами


Краевые условия имеют вид:


U∙Y(0) = u,


V∙Y(1) = v,


где


Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,


Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.


В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:


Y(x) = e∙ Y(x) + e e∙ F(t) dt,


где


e= E + A(x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + …,


где E это единичная матрица.


Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши и может обозначаться в виде:


K(x←x) = K(x - x) = e.


Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:


Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ,


где Y*(x←x) = e e∙ F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.


2. Случай переменных коэффициентов.


Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):


e= e∙ e ∙ … ∙ e ∙ e,


K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x).


В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:


K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),


где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:


K(x←x) = e, где ∆x= x- x.


3. Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.


Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:


Y*(x←x) = e e∙ F(t) dt


предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования и тогда вектор частного решения на всем интервале будет складываться из векторов, вычисленных по формуле:


Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt .


Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:


Y*(x- x) = ee∙ F(t) dt ,


Y*(x- x) = e∙e∙ F(t) dt ,


Y*(x- x) = e∙ F(t) dt ,


Y*(x- x) = e∙ F(t) dt ,


Y*(x- x) = ee∙ F(t) dt ,


Y*(x←x) = e e∙ F(t) dt,


что и требовалось подтвердить.


Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:


Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt =


= K(x- x) ∙ (E + A(x- t) + A (x- t)/2! + … ) ∙ F(t) dt =


= K(x- x) ∙ (EF(t) dt + A∙(x- t) ∙ F(t) dt + A/2! ∙(x- t) ∙ F(t) dt + … ) .


Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A=const.


Для случая переменных коэффициентов A=A(x) можно использовать прием разделения участка (x- x) интервала интегрирования на малые подучастки, где на подучастках коэффициенты можно считать постоянными A(x)=const и тогда вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений Y*(x←x) будет на участке складываться из соответствующих векторов подучастков, на которых матрицы Коши приближенно вычисляются при помощи формул с постоянными матрицами в экспонентах.


4. Метод переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования.


Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид


Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) .


Или можно записать:


Y(0) = K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) .


Подставляем это выражение для Y(0) в краевые условия левого края и получаем:


U∙Y(0) = u,


U∙[ K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ] = u,


[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) .


Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:


U∙ Y(x) = u ,


где U= [ U∙ K(0←x) ] и u = u - U∙Y*(0←x) .


Далее запишем аналогично


Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x)


И подставим это выражение для Y(x) в перенесенные краевые условия точки x


U∙ Y(x) = u,


U∙ [ K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ] = u ,


[ U∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙ Y*(x←x) ,


Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:


U∙ Y(x) = u ,


где U= [ U∙ K(x←x) ] и u = u - U∙ Y*(x←x) .


И так в точку x переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:


U∙ Y(x) = u ,


V∙ Y(x) = v .


Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:


 ∙ Y(x) = .


А в случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].


То есть, получив


U∙ Y(x) = u,


применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:


U∙ Y(x) = u.


И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем


Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) .


И получаем


U∙ [ K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ] = u ,


[ U∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙ Y*(x←x) ,


Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:


U∙ Y(x) = u ,


где U= [ U∙ K(x←x) ] и u = u - U∙ Y*(x←x) .


Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:


U∙ Y(x) = u.


И так далее.


И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.


В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий, которая решается любым известным методом для получения решения Y(x) в рассматриваемой точке x:


 ∙ Y(x) = .


5. Второй вариант метода переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования.


Предложено выполнять интегрирование по формулам теории матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала интегрирования к краям:


Y(0) = K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ,


Y(1) = K(1←x) ∙ Y(x) + Y*(1←x) .


Подставим эти формулы в краевые условия и получим:


U∙Y(0) = u,


U∙[ K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ] = u,


[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) .


и


V∙Y(1) = v,


V∙[ K(1←x) ∙ Y(x) + Y*(1←x) ] = v,


[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x) .


То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку x:


[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) ,


[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x) .


Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения Y(x) в любой рассматриваемой точке x:


 ∙ Y(x) = .


В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается следующий алгоритм.


Используем свойство перемножаемости матриц Коши:


K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x)


и запишем выражения для матриц Коши, например, в виде:


K(0←x) = K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),


K(1←x) = K(1←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),


Тогда перенесенные краевые условия можно записать в виде:


[ U∙ K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) ,


[ V∙ K(1←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x)


или в виде:


[ U∙ K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u* ,


[ V∙ K(1←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = v* .


Тогда рассмотрим левое перенесенное краевое условие:


[ U∙ K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u* ,


[ U∙ K(0←x) ] ∙ { K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ Y(x) } = u* ,


[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор .


Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[ U∙ K(0←x) ] ∙ { K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ Y(x) } = u* .


Далее последовательно можно записать:


[[ U∙ K(0←x) ] ∙ K(x←x) ] ∙ { K(x←x) ∙ Y(x) } = u* ,


[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор .


Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[[ U∙ K(0←x) ] ∙ K(x←x) ]  ∙ { K(x←x) ∙ Y(x) } = u* ,


Далее аналогично можно записать:


[[[ U∙ K(0←x) ] ∙ K(x←x) ]  ∙ K(x←x) ] ∙ { Y(x) } = u* ,


[ матрица ] ∙ { вектор} = вектор .


Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[[[ U∙ K(0←x) ] ∙ K(x←x) ]  ∙ K(x←x) ]  ∙ Y(x) = u* .


Аналогично можно проортонормировать матричное уравнение краевых условий и для правого края независимо от левого края.


Далее проортонормированные уравнения краевых условий:


[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u* ,


[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v*


как и ранее объединяются в одну обычную систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения искомого вектора Y(x) :


∙ Y(x) = .


6. Метод дополнительных краевых условий.


Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:


M ∙ Y(0) = m .


В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы М можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор m правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y(0) из выражения:


 ∙ Y(0) = ,


то есть вектор Y(0) находится из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков U и M.


Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:


N ∙ Y(0) = n ,


где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а вектор n неизвестен.


Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:


 ∙ Y(1) = .


Запишем Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:


 ∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = ,


 ∙ K(1←0) ∙Y(0) =  -  ∙ Y*(1←0),


 ∙ K(1←0) ∙Y(0) =  ,


 ∙ K(1←0) ∙Y(0) =  .


Запишем вектор Y(0) через обратную матрицу:


Y(0) =


и подставим в предыдущую формулу:


 ∙ K(1←0) ∙ = .


Таким образом, мы получили систему уравнений вида:


В ∙  = ,


где матрица В известна, векторы u и s известны, а векторы m и t неизвестны.


Разобьем матрицу В на естественные для нашего случая 4 блока и получим:


 = ,


откуда можем записать, что


В11 ∙ u + B12 ∙ m = s,


B21 ∙ u + B22 ∙ m = t.


Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:


m = B12 ∙ (s – B11∙ u).


А искомый вектор n вычисляется через вектор t:


t = B21 ∙ u + B22 ∙ m,


n = t + N ∙ Y*(1←0).


В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается выполнять поочередное построчное ортонормирование.


Запишем приведенную выше формулу


 ∙ K(1←0) ∙ =


в виде:


 ∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ = .


Эту формулу можно записать в виде разделения левой части на произведение матрицы на вектор:


[ ∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ } =


[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор


Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[ ∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ } =


Здесь следует сказать, что подвектор t подвергать преобразованию не нужно, так как невозможно, так как его первоначальное значение не известно. Но подвектор t нам оказывается и не нужен для решения задачи.


Далее запишем:


[[ ∙ K(1←x2) ] ∙ K(x2←x1)] ∙ { K(x1←0) ∙ } =


[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор


Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[[ ∙ K(1←x2) ] ∙ K(x2←x1)]  ∙ { K(x1←0) ∙ } = .


И так далее.


В результате поочередного ортонормирования получим:


В = ,


 =  .


Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:


m = B12 ∙ (s – B11∙ u).


7. Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.


Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.


Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица A(x) коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция Y(x) будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.


Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде:


Y(x) = Y(x) c + Y(x) c + Y(x) c + Y(x) c + Y*(x),


или можно записать в матричном виде:


Y(x) = Y(x) ∙ c + Y*(x),


где векторы Y(x), Y(x), Y(x), Y(x) – это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор Y*(x) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.


Здесь Y(x)=|| Y(x), Y(x), Y(x), Y(x) || это матрица размерности 8х4, а c это соответствующий вектор размерности 4х1из искомых констант c, c, c, c.


Но вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов Y(x), а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:


Y(x)=Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+


+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y*(x),


И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.


То есть в методе прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) векторов Y(x), Y(x), Y(x), Y(x), Y*(x), чтобы можно было начать прогонку с левого края x=0, то есть чтобы удовлетворялись условия U∙Y(0) = u на левом крае при любых значениях констант c, c, c, c.


Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.


Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова.


Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:


U∙Y(0) = u,


где матрица U прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.


В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей U размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки:


U∙Y(0) = u,


где в результате ортонормирования вектор u преобразован в вектор u.


Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков].


Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу U до квадратной невырожденной матрицы W:


W = ,


где матрица М размерности 4х8 должна достраивать матрицу U до невырожденной квадратной матрицы W размерности 8х8.


В качестве строк матрицы М можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.


Завершим ортонормирование построенной матрицы W, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу W размерности 8х8 с ортонормированными строками:


W = .


Можем записать, что


Y(x) = (М)транспонированная = М.


Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова, получим:


Y(0) = Y(0) ∙с + Y*(0)


или


Y(0) = М∙с + Y*(0).


Подставим эту последнюю формулу в краевые условия U∙Y(0) = u и получим:


U∙ [ М∙с + Y*(0) ]= u.


Отсюда получаем, что на левом крае константы c уже не на что не влияют, так как


U∙ М = 0 и остается только найти Y*(0) из выражения:


U∙ Y*(0) = u.


Но матрица U имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y*(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:


∙ Y*(0) = ,


где 0 – любой вектор, в том числе вектор из нулей.


Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:


Y*(0) = ,


Тогда итоговая формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова имеет вид:


Y(0) = М∙с + .


8. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.


Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до квадратной невырожденной:



Начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:


∙ Y*(0) = ,


∙ Y(0) = , где i = , , , ,


где 0 – вектор из нулей размерности 4х1.


9. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова.


В методе С.К.Годунова как показано выше решение ищется в виде:


Y(x) = Y(x) ∙ c + Y*(x).


На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:


Y(x) = K(x- x) ∙Y(x).


Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.


И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y*(x) частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.


10. Метод половины констант.


Выше было показано, что решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно искать в виде только с половиной возможных векторов и констант. Была приведена формула для начала вычислений:


Y(0) = М∙с + .


Из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:


Y(0) = М∙с + U∙u


или


Y(0) = U∙u + М∙с


или


Y(0) =  ∙ ,


Таким образом записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.


Далее запишем V∙Y(1) = v и Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) совместно:


V∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = v


V∙ K(1←0) ∙Y(0) = v - V∙Y*(1←0)


и подставим в эту формулу выражение для Y(0):


V∙ K(1←0) ∙= v - V∙Y*(1←0).


V∙ K(1←0) ∙= p.


Таким образом мы получили выражение вида:


D ∙ = p,


где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:


 ∙ = p.


Тогда можем записать:


D1∙ u + D2 ∙ c = p.


Отсюда получаем, что:


c = D2 ∙ ( p - D1∙ u )


Таким образом, искомые константы найдены.


Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач.


Запишем


V∙ K(1←0) ∙= p.


совместно с K(1←0) = K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) и получим:


V∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙= p.


Эту систему линейных алгебраических уравнений можно представить в виде:


[ V∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ } = p.


[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор


Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[ V∙ K(1←x2) ]  ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ } = p.


И так далее.


В итоге поочередного вычленений матриц слева из вектора и ортонормирования получим систему:


D= p,


Отсюда получаем, что:


c = D2 ∙ (p - D1∙ u)


Таким образом, искомые константы найдены.


11. Применяемые формулы ортонормирования.




12. Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера.



Список литературы


Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 548 с.


Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том II, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962 г., 635 с.


Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/


Дата добавления: 08.08.2011



Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.