Реферат по предмету "Математика, физика, астрономия"


Многочлен Жегалкина

К.ф.-м.н. Алексей Юрьевич Виноградов


Февраль 2010.


Таблица истинности. Эквивалентность формул


Построить таблицы соответствующих функций и выяснить, эквивалентны ли формулы  и .


а)



Составим таблицу истинности для функции U:


x


y


z



отрицание


x



отрицание у



дизъюк ция



конъюнк ция



имплика ция



импликация


()


импликация


0


0


0


1


1


1


0


1


1


1


0


0


1


1


1


1


1


1


1


1


0


1


0


1


0


1


0


1


1


1


0


1


1


1


0


1


1


1


1


1


1


0


0


0


1


1


0


0


1


1


1


0


1


0


1


1


1


0


1


1


1


1


0


0


0


0


0


1


0


1


1


1


1


0


0


0


0


1


0


1


Мы получили формулу U(11111111).


Составим таблицу истинности для функции V:


x


y


z



импликация



отрицание


у



отрицание


x



импликация


импликация


0


0


0


1


1


1


1


1


0


0


1


1


1


1


1


1


0


1


0


1


0


1


1


1


0


1


1


1


0


1


1


1


1


0


0


0


1


0


0


1


1


0


1


0


1


0


0


1


1


1


0


1


0


0


1


1


1


1


1


1


0


0


1


1


Мы получили формулу V(11111111)


Сравнивая таблицы функций U и V, видим, что U = V.


Значит, формулы U и V эквивалентны.


б)



Составим таблицу истинности для функции U:


x


y


z



отрицание


x



отрицание


у



конъюнкция



отрица


ние z



конъюнк


ция



имплика


ция



импликация



импликация


0


0


0


1


1


1


1


1


0


1


0


0


0


1


1


1


1


0


0


0


1


0


0


1


0


1


0


0


1


1


1


0


1


0


1


1


1


0


0


0


0


1


0


1


1


0


0


0


1


0


1


0


1


0


1


1


0


1


0


1


0


0


0


1


0


1


1


1


0


0


0


0


1


0


1


0


1


1


1


1


0


0


0


0


0


1


0


1



импликация


1


1


0


0


1


1


1


1


Мы получили формулу U(11001111).


Составим таблицу истинности для функции V:


x


y


z



отрицание z



импликация



конъюнкция



отрицание конъюнкции


0


0


0


1


1


0


1


0


0


1


0


1


0


1


0


1


0


1


1


0


1


0


1


1


0


0


0


1


1


0


0


1


1


1


0


1


0


1


0


1


1


0


1


1


0


1


1


1


0


1


1


1


0


0


0


1


Мы получили формулу V(11110001)


Сравнивая таблицы функций U и V, видим, что U ¹ V.


Значит, формулы U и V неэквивалентны.


в)



Составим таблицу истинности для функции U:


x


y


z



отрицание z



эквивалентность



импликация


импликация



отрицание импликации



Сумма по модулю 2



дизъюнкция


0


0


0


1


1


1


1


0


1


1


0


0


1


0


1


1


1


0


0


 0


0


1


0


1


0


1


1


0


1


1


0


1


1


0


0


1


1


0


0


0


1


0


0


1


0


1


1


0


0


0


1


0


1


0


0


0


1


0


1


1


1


1


0


1


1


1


1


0


0


0


1


1


1


0


1


0


0


1


1


1


Мы получили формулу U(10100101).


Составим таблицу истинности для функции V:


x


y


z



импликация



эквивалентность


0


0


0


1


0


0


0


1


0


1


0


1


0


1


0


0


1


1


1


0


1


0


0


1


1


1


0


1


0


0


1


1


0


1


1


1


1


1


1


1


Мы получили формулу V(01001011)


Сравнивая таблицы функций U и V, видим, что U ¹ V.


Значит, формулы U и V неэквивалентны.


Методом неопределенных коэффициентов построить полином Жегалкина для следующих функций.


а)


Сначала составим таблицу истинности для функции


x


y


z



отрицание


x



отрицание


у



конъюнкция



дизъюнкция


0


0


0


1


1


1


1


0


0


1


1


1


1


1


0


1


0


1


0


0


0


0


1


1


1


0


0


1


1


0


0


0


1


0


0


1


0


1


0


1


0


1


1


1


0


0


0


0


0


1


1


1


0


0


0


1


Полином Жегалкина для нее представляется в виде:



Последовательно подставляя значения переменных из таблицы, получаем:




Следовательно функция  представляется полиномом Жегалкина как .


б)


Сначала составим таблицу истинности для функции .


x


y


z



конъюнкция



импликация


0


0


0


0


1


0


0


1


0


1


0


1


0


0


1


0


1


1


0


1


1


0


0


0


1


1


0


1


1


0


1


1


0


0


1


1


1


1


1


1


Полином Жегалкина для нее представляется в виде:



Последовательно подставляя значения переменных из таблицы, получаем:




Следовательно функция  представляется полиномом Жегалкина как .


Список литературы


Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/


Методы для решения краевых задач,


в том числе «жестких» краевых задач.


1. Введение.


На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).


Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:


Y(x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),


где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y(x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.


Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами


Краевые условия имеют вид:


U∙Y(0) = u,


V∙Y(1) = v,


где


Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,


Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.


В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:


Y(x) = e∙ Y(x) + e e∙ F(t) dt,


где


e= E + A(x-x) + A (x-x)/2! + A (x-x)/3! + …,


где E это единичная матрица.


Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши и может обозначаться в виде:


K(x←x) = K(x - x) = e.


Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:


Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ,


где Y*(x←x) = e e∙ F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.


2. Случай переменных коэффициентов.


Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):


e= e∙ e ∙ … ∙ e ∙ e,


K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x).


В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:


K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),


где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:


K(x←x) = e, где ∆x= x- x.


3. Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.


Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:


Y*(x←x) = e e∙ F(t) dt


предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования и тогда вектор частного решения на всем интервале будет складываться из векторов, вычисленных по формуле:


Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt .


Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:


Y*(x- x) = ee∙ F(t) dt ,


Y*(x- x) = e∙e∙ F(t) dt ,


Y*(x- x) = e∙ F(t) dt ,


Y*(x- x) = e∙ F(t) dt ,


Y*(x- x) = ee∙ F(t) dt ,


Y*(x←x) = e e∙ F(t) dt,


что и требовалось подтвердить.


Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:


Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt =


= K(x- x) ∙ (E + A(x- t) + A (x- t)/2! + … ) ∙ F(t) dt =


= K(x- x) ∙ (EF(t) dt + A∙(x- t) ∙ F(t) dt + A/2! ∙(x- t) ∙ F(t) dt + … ) .


Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A=const.


Для случая переменных коэффициентов A=A(x) можно использовать прием разделения участка (x- x) интервала интегрирования на малые подучастки, где на подучастках коэффициенты можно считать постоянными A(x)=const и тогда вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений Y*(x←x) будет на участке складываться из соответствующих векторов подучастков, на которых матрицы Коши приближенно вычисляются при помощи формул с постоянными матрицами в экспонентах.


4. Метод переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования.


Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид


Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) .


Или можно записать:


Y(0) = K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) .


Подставляем это выражение для Y(0) в краевые условия левого края и получаем:


U∙Y(0) = u,


U∙[ K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ] = u,


[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) .


Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:


U∙ Y(x) = u ,


где U= [ U∙ K(0←x) ] и u = u - U∙Y*(0←x) .


Далее запишем аналогично


Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x)


И подставим это выражение для Y(x) в перенесенные краевые условия точки x


U∙ Y(x) = u,


U∙ [ K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ] = u ,


[ U∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙ Y*(x←x) ,


Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:


U∙ Y(x) = u ,


где U= [ U∙ K(x←x) ] и u = u - U∙ Y*(x←x) .


И так в точку x переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:


U∙ Y(x) = u ,


V∙ Y(x) = v .


Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:


 ∙ Y(x) = .


А в случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].


То есть, получив


U∙ Y(x) = u,


применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:


U∙ Y(x) = u.


И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем


Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) .


И получаем


U∙ [ K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ] = u ,


[ U∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙ Y*(x←x) ,


Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:


U∙ Y(x) = u ,


где U= [ U∙ K(x←x) ] и u = u - U∙ Y*(x←x) .


Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:


U∙ Y(x) = u.


И так далее.


И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.


В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий, которая решается любым известным методом для получения решения Y(x) в рассматриваемой точке x:


 ∙ Y(x) = .


5. Второй вариант метода переноса краевых условий в произвольную точку интервала интегрирования.


Предложено выполнять интегрирование по формулам теории матриц [Гантмахер] сразу от некоторой внутренней точки интервала интегрирования к краям:


Y(0) = K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ,


Y(1) = K(1←x) ∙ Y(x) + Y*(1←x) .


Подставим эти формулы в краевые условия и получим:


U∙Y(0) = u,


U∙[ K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ] = u,


[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) .


и


V∙Y(1) = v,


V∙[ K(1←x) ∙ Y(x) + Y*(1←x) ] = v,


[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x) .


То есть получаем два матричных уравнения краевых условий, перенесенные в рассматриваемую точку x:


[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) ,


[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x) .


Эти уравнения аналогично объединяются в одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения решения Y(x) в любой рассматриваемой точке x:


 ∙ Y(x) = .


В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается следующий алгоритм.


Используем свойство перемножаемости матриц Коши:


K(x←x) = K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ … ∙ K(x←x) ∙ K(x←x)


и запишем выражения для матриц Коши, например, в виде:


K(0←x) = K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),


K(1←x) = K(1←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x),


Тогда перенесенные краевые условия можно записать в виде:


[ U∙ K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) ,


[ V∙ K(1←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = v - V∙Y*(1←x)


или в виде:


[ U∙ K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u* ,


[ V∙ K(1←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = v* .


Тогда рассмотрим левое перенесенное краевое условие:


[ U∙ K(0←x) ∙ K(x←x) ∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u* ,


[ U∙ K(0←x) ] ∙ { K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ Y(x) } = u* ,


[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор .


Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[ U∙ K(0←x) ] ∙ { K(x←x) ∙ K(x←x) ∙ Y(x) } = u* .


Далее последовательно можно записать:


[[ U∙ K(0←x) ] ∙ K(x←x) ] ∙ { K(x←x) ∙ Y(x) } = u* ,


[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор .


Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[[ U∙ K(0←x) ] ∙ K(x←x) ]  ∙ { K(x←x) ∙ Y(x) } = u* ,


Далее аналогично можно записать:


[[[ U∙ K(0←x) ] ∙ K(x←x) ]  ∙ K(x←x) ] ∙ { Y(x) } = u* ,


[ матрица ] ∙ { вектор} = вектор .


Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[[[ U∙ K(0←x) ] ∙ K(x←x) ]  ∙ K(x←x) ]  ∙ Y(x) = u* .


Аналогично можно проортонормировать матричное уравнение краевых условий и для правого края независимо от левого края.


Далее проортонормированные уравнения краевых условий:


[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u* ,


[ V∙ K(1←x) ] ∙ Y(x) = v*


как и ранее объединяются в одну обычную систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов для нахождения искомого вектора Y(x) :


∙ Y(x) = .


6. Метод дополнительных краевых условий.


Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий:


M ∙ Y(0) = m .


В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы М можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор m правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что краевая задача решена, то есть сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y(0) из выражения:


 ∙ Y(0) = ,


то есть вектор Y(0) находится из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков U и M.


Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий:


N ∙ Y(0) = n ,


где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно независимых параметров на правом крае, а вектор n неизвестен.


Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений:


 ∙ Y(1) = .


Запишем Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений:


 ∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = ,


 ∙ K(1←0) ∙Y(0) =  -  ∙ Y*(1←0),


 ∙ K(1←0) ∙Y(0) =  ,


 ∙ K(1←0) ∙Y(0) =  .


Запишем вектор Y(0) через обратную матрицу:


Y(0) =


и подставим в предыдущую формулу:


 ∙ K(1←0) ∙ = .


Таким образом, мы получили систему уравнений вида:


В ∙  = ,


где матрица В известна, векторы u и s известны, а векторы m и t неизвестны.


Разобьем матрицу В на естественные для нашего случая 4 блока и получим:


 = ,


откуда можем записать, что


В11 ∙ u + B12 ∙ m = s,


B21 ∙ u + B22 ∙ m = t.


Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:


m = B12 ∙ (s – B11∙ u).


А искомый вектор n вычисляется через вектор t:


t = B21 ∙ u + B22 ∙ m,


n = t + N ∙ Y*(1←0).


В случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается выполнять поочередное построчное ортонормирование.


Запишем приведенную выше формулу


 ∙ K(1←0) ∙ =


в виде:


 ∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ = .


Эту формулу можно записать в виде разделения левой части на произведение матрицы на вектор:


[ ∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ } =


[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор


Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[ ∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ } =


Здесь следует сказать, что подвектор t подвергать преобразованию не нужно, так как невозможно, так как его первоначальное значение не известно. Но подвектор t нам оказывается и не нужен для решения задачи.


Далее запишем:


[[ ∙ K(1←x2) ] ∙ K(x2←x1)] ∙ { K(x1←0) ∙ } =


[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор


Аналогично и эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[[ ∙ K(1←x2) ] ∙ K(x2←x1)]  ∙ { K(x1←0) ∙ } = .


И так далее.


В результате поочередного ортонормирования получим:


В = ,


 =  .


Следовательно, искомый вектор m вычисляется по формуле:


m = B12 ∙ (s – B11∙ u).


7. Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.


Рассмотрим проблему метода прогонки С.К.Годунова.


Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица A(x) коэффициентов будет иметь размерность 8х8, искомая вектор-функция Y(x) будет иметь размерность 8х1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4х8.


Тогда в методе прогонки С.К.Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде:


Y(x) = Y(x) c + Y(x) c + Y(x) c + Y(x) c + Y*(x),


или можно записать в матричном виде:


Y(x) = Y(x) ∙ c + Y*(x),


где векторы Y(x), Y(x), Y(x), Y(x) – это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор Y*(x) – это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.


Здесь Y(x)=|| Y(x), Y(x), Y(x), Y(x) || это матрица размерности 8х4, а c это соответствующий вектор размерности 4х1из искомых констант c, c, c, c.


Но вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов Y(x), а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:


Y(x)=Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+


+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y(x)c+Y*(x),


И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.


То есть в методе прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) векторов Y(x), Y(x), Y(x), Y(x), Y*(x), чтобы можно было начать прогонку с левого края x=0, то есть чтобы удовлетворялись условия U∙Y(0) = u на левом крае при любых значениях констант c, c, c, c.


Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.


Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова.


Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:


U∙Y(0) = u,


где матрица U прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.


В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей U размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки:


U∙Y(0) = u,


где в результате ортонормирования вектор u преобразован в вектор u.


Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков].


Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу U до квадратной невырожденной матрицы W:


W = ,


где матрица М размерности 4х8 должна достраивать матрицу U до невырожденной квадратной матрицы W размерности 8х8.


В качестве строк матрицы М можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.


Завершим ортонормирование построенной матрицы W, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу W размерности 8х8 с ортонормированными строками:


W = .


Можем записать, что


Y(x) = (М)транспонированная = М.


Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова, получим:


Y(0) = Y(0) ∙с + Y*(0)


или


Y(0) = М∙с + Y*(0).


Подставим эту последнюю формулу в краевые условия U∙Y(0) = u и получим:


U∙ [ М∙с + Y*(0) ]= u.


Отсюда получаем, что на левом крае константы c уже не на что не влияют, так как


U∙ М = 0 и остается только найти Y*(0) из выражения:


U∙ Y*(0) = u.


Но матрица U имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y*(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:


∙ Y*(0) = ,


где 0 – любой вектор, в том числе вектор из нулей.


Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:


Y*(0) = ,


Тогда итоговая формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова имеет вид:


Y(0) = М∙с + .


8. Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова.


Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до квадратной невырожденной:



Начальные значения Y(0), Y(0), Y(0), Y(0), Y*(0) находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:


∙ Y*(0) = ,


∙ Y(0) = , где i = , , , ,


где 0 – вектор из нулей размерности 4х1.


9. Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова.


В методе С.К.Годунова как показано выше решение ищется в виде:


Y(x) = Y(x) ∙ c + Y*(x).


На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:


Y(x) = K(x- x) ∙Y(x).


Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.


И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y*(x) частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.


10. Метод половины констант.


Выше было показано, что решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно искать в виде только с половиной возможных векторов и констант. Была приведена формула для начала вычислений:


Y(0) = М∙с + .


Из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:


Y(0) = М∙с + U∙u


или


Y(0) = U∙u + М∙с


или


Y(0) =  ∙ ,


Таким образом записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.


Далее запишем V∙Y(1) = v и Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) совместно:


V∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = v


V∙ K(1←0) ∙Y(0) = v - V∙Y*(1←0)


и подставим в эту формулу выражение для Y(0):


V∙ K(1←0) ∙= v - V∙Y*(1←0).


V∙ K(1←0) ∙= p.


Таким образом мы получили выражение вида:


D ∙ = p,


где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:


 ∙ = p.


Тогда можем записать:


D1∙ u + D2 ∙ c = p.


Отсюда получаем, что:


c = D2 ∙ ( p - D1∙ u )


Таким образом, искомые константы найдены.


Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач.


Запишем


V∙ K(1←0) ∙= p.


совместно с K(1←0) = K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) и получим:


V∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙= p.


Эту систему линейных алгебраических уравнений можно представить в виде:


[ V∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ } = p.


[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор


Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:


[ V∙ K(1←x2) ]  ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ } = p.


И так далее.


В итоге поочередного вычленений матриц слева из вектора и ортонормирования получим систему:


D= p,


Отсюда получаем, что:


c = D2 ∙ (p - D1∙ u)


Таким образом, искомые константы найдены.


11. Применяемые формулы ортонормирования.




12. Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера.



Список литературы


Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 548 с.


Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том II, Государственное издательство физико-математической литературы, Москва, 1962 г., 635 с.


Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://referat.ru/


Дата добавления: 08.08.2011



Не сдавайте скачаную работу преподавателю!
Данный реферат Вы можете использовать для подготовки курсовых проектов.

Поделись с друзьями, за репост + 100 мильонов к студенческой карме :

Пишем реферат самостоятельно:
! Как писать рефераты
Практические рекомендации по написанию студенческих рефератов.
! План реферата Краткий список разделов, отражающий структура и порядок работы над будующим рефератом.
! Введение реферата Вводная часть работы, в которой отражается цель и обозначается список задач.
! Заключение реферата В заключении подводятся итоги, описывается была ли достигнута поставленная цель, каковы результаты.
! Оформление рефератов Методические рекомендации по грамотному оформлению работы по ГОСТ.

Читайте также:
Виды рефератов Какими бывают рефераты по своему назначению и структуре.

Сейчас смотрят :

Реферат Средства создания героического характера в повести Проспера Мериме Маттео Фальконе
Реферат Anorexia Essay Research Paper Anorexia nervosaAnorexia nervosa
Реферат "Без Ольги Ильинской и без ее драмы с Обломовым не узнать бы нам Ильи Ильича так, как мы его теперь знаем…"
Реферат Лицензирование как форма государственного регулирования предпринимательской деятельности
Реферат Терезиенштадт концентрационный лагерь
Реферат Мировая хозяйственная система
Реферат British Imperial Regulations During 1700S Essay Research
Реферат Внешняя и внутренняя среда организации, их анализ
Реферат Роль та значення державного казначейства у процесі виконання державного бюджету
Реферат Деловые интересы в бизнесе
Реферат Andy Warhol Essay Research Paper Pop art
Реферат John Kennedy Essay Research Paper JOHN F
Реферат Четырехполюсники, электрические фильтры
Реферат Концепция устойчивого развития: новая социально-экономическая парадигма
Реферат Создание электронного обучающего комплекса по дисциплине Инновационный менеджмент