Статистическая проверка гипотез

СодержаниеВведениеСтатистическая проверка гипотез 1.Статистическая гипотеза. Статистическийкритерий. Ошибки, возникающие при проверке гипотез
2. Порядок проверки статистических гипотез
3. Проверка однородности результатов эксперимента в целяхисключения грубых ошибок
4. Проверка гипотезы о воспроизводимости опытов
5. Проверка гипотезы о нормальном распределении ошибок эксперимента
6. Проверка гипотезы о виде распределения. ( Критерийсогласия Пирсона )
6.1 Расчёт теоретических частот для нормального распределения
7.Проверка гипотезы о согласованности мнений экспертов(априорное ранжирование переменных)
8. Уравнение линейной регрессии. Коэффициент корреляции.Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции 8.1 Метод наименьших квадратов 8.2 Проверка незначимости коэффициента корреляции 8.3 Использование корреляционной таблицы для вычислениякоэффициента корреляции
Вывод Список литературы Приложения
Введение
Тема курсовойработы «Статистическая проверка гипотез».
К важнейшимнаправлениям научно-технического прогресса относятся автоматизация производства,широкое применение компьютеров и роботов, создание гибких автоматизированныхустройств и т.д. Во всех этих направлениях ведущая роль принадлежитэлектронике.
При создании электроннойи электромеханической аппаратуры основные трудозатраты приходятся на еенастройку, снятие характеристик и испытания. При этом нередко используетсямалоэффективный традиционный метод однофакторного эксперимента, недостаточновнимания уделяется организации и планированию эксперимента ивероятностно-статистическому анализу получаемых данных. Чтобы повысить производительностьтруда в данной области, специалистам необходимо знать основы математическойтеории эксперимента и успешно применить ее на практике.
Цель работы – ознакомитсясо статистической проверкой гипотез, а именно:
о воспроизводимостирезультатов эксперимента, о виде распределения результатов эксперимента, оналичии корреляционных связей между факторами и переменной состояния и др.,рассмотрении практических примеров.
Статистическая проверка гипотез 1. Статистическаягипотеза. Статистический критерий. Ошибки, возникающие при проверке гипотез
Статистической называют гипотезу о виденеизвестного распределения или о параметрах известного распределения.
Например, гипотеза H — случайная величина распределена понормальному закону.
Нулевой (основной) называется выдвинутаягипотеза H.
Альтернативной (конкурирующей) называется гипотеза,противоречащая основной (конкурирующих гипотез может быть несколько).
Например, основнаягипотеза — математическое ожидание случайной величины Y равно 5
H0 : My=5,
конкурирующие:
 
H1: />
H2: />
H3 : />
Статистическим критерием(К) называется случайная величина, точное или приближённое распределение,которой известно и которая служит для проверки справедливости нулевой гипотезы.
Множество возможныхзначений критерия делится на две непересекающихся области:
1) значения, при которыхнулевая гипотеза справедлива (область принятия гипотезы).
2) значения, при которыхнулевая гипотеза отвергается (критическая область).
Критическая область можетбыть односторонней (левосторонней, правосторонней) или двусторонней.
/>
Рис.1. Виды критическихобластей: правосторонняя, левосторонняя и двусторонняя.
Точка Ккр,отделяющая критическую область от области принятия гипотезы, называетсякритической точкой.
Чтобы определитькритическую область, выбирают число q-уровень значимости. q- вероятность того, что при справедливости нулевойгипотезы значение критерия К попадает в критическую область. Тогда дляправосторонней критической области Ккр определяется из условия:
 
P{ K> Kkp} = q.
Значение критериятабулировано, т. е. Kkp можно найти по таблице распределения критических точек взависимости от уровня значимости q и числа степеней свободы f. -Наблюдаемоезначение критерия Kнабл определяетсяпо результатам эксперимента.
Если KнаблKkp, то гипотеза H0 принимается. Если Kнабл>Kkp, то Hотвергается, а принимается конкурирующаягинотеза H1.
Для левостороннейкритической области критическая точка определяется из условия:

 
P{ KKkp} = q.
Для двухсторонней:
 
P{ KK’kp} + P{ K> K”kp} = q.
Если двусторонняя областьсимметрична относительно начала координат, то:
 
P{ KK’kp} = />.
Так как наблюдаемоезначение критерия определялось по результатам эксперимента, то Кнабл-случайнаявеличина и, следовательно, могут возникать ошибки при принятии гипотезы.Различают ошибки первого и второго рода. К ошибкам первого рода относят те, прикоторых отвергается правильная гипотеза. К ошибкам второго рода, относят те,при которых принимается неправильная гипотеза. Допустимой вероятностью ошибкипервого рода является q-уровеньзначимости. Однако. если уменьшать q, то возрастает вероятность принятия неверной гипотезы, т. е. вероятностьошибок второго рода. Если справедлива гипотеза H1, то это считается доказанным, еслисправедлива гипотеза H-тоговорят, что результаты эксперимента не противоречат нулевой гипотезы. Для тогочтобы считать Hдоказанной нужно или вновь повторитьэксперимент или проверить гипотезу с помощью других критериев.

2. Порядок проверкистатистических гипотез
1) Выбор нулевой иальтернативной гипотез Hи H1.
2) Выбор критерия K и уровня значимостиq.
3) Вычисление Kнабл по результатам эксперимента.
4) ПоискKkp по таблице распределения критическихточек для выбранного критерия.
5) Если Kнабл попадает в критическую область, топринимается альтернативная гипотеза H1, если Kнабл попадает в область принятиягипотезы, то принимается основная гипотеза H.

 3. Проверка однородностирезультатов эксперимента в целях исключения грубых ошибок
Результаты экспериментаудобно оформлять в виде таблицы. В графах 2-5 содержится план эксперимента(значение факторов), в остальных графах – результаты опытов. Пусть поводится N серий экспериментов серии (то есть вкаждом из N точек факторного пространствапроводится по /> опытов). Обозначим:
/>-значение j-того фактора в i-той серии;( j = 1,…,n ).
/>-значения отклика (переменнойсостояния ) в j-ом параллельном опыте i-ой серии .
Вычислим оценкиматематического ожидания для каждой серии:
Таблица 1.
№
серии
/>  
/>  
/> 
/>  …
/>
/>
/> …
/> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
/>
/> …
/>
/>
/> …
/> 2
/>
/>
/>
/>
/> …
/>
:
: N
/>
/> …
/>
/>
/> …
/> Грубые ошибки искажаютрезультаты эксперимента и должны быть исключены.Чаще всего при этом используютr-критерий .
В соответствии с этимкритерием результаты эксперимента в i-ой серии, в которой предполагается ошибка, ранжируется, т.е.располагается в неубывающем порядке />Одно из крайних значений считаетсяпромахом (ошибкой ), если оно далеко отстоит от всех остальных.
Проверяется нулеваягипотеза />:/>не выделяетсязначимо среди остальных результатов серии.
Альтернативная гипотеза:отличие /> отостальных значимо.
Если сомнительнымпоказалось наименьшие значение />, то наблюдаемое значение критерияопределяется формулой:
/>
Если сомнительнымоказалась наблюдение в серии значение />, то
/>
По таблице распределения r-критерия, используя число степенейсвободы /> иуровень значимости />определяется критическое значениекритерия
/>.
Если />, то/>принимается, то естьрезультаты эксперимента можно считать однородными. В противном случае резковыделяющийся результат эксперимента исключается из дальнейшей обработки. Чтобыне нарушать методику дальнейшей обработки надо или исключить столбец содержащийизмерение, признанное ошибкой, или в этой точке произвести дополнительныйопыт.

 4. Проверка гипотезы овоспроизводимости опытов
При проведенииэкспериментов необходимо, чтобы опыты были воспроизводимы, т.е. результатыопытов, поставленных в одинаковых условиях, не имели существенных различий.
Выбираем нулевую гипотезуH0 : опыты воспроизводимы и альтернативнуюгипотезуH1 : опыты не воспроизводимы.
Для проверки справедливостиHставится N-серий экспериментов, в каждой серии по m-параллельных опытов. Параллельныминазываются опыты, проводимые в одинаковых условиях, т.е. при одних и тех же значенияхвходных переменных. Следовательно, в факторном пространстве выбирается N точек и в каждой точке проводится поm опытов. Результаты экспериментовзаносятся в таблицу:
Таблица 2.
 №серии Результаты экспериментов
 /> 
/>
1
2
:
:
 N
Y11 Y12… Y1m
Y21 Y22… Y2m
 :
 :
YN1 YN2… YNm
 />
 />
 :
 />
/> 
/>
:
/>
/> — оценка математического ожиданиярезультатов эксперимента в i-ойсерии.
/> — оценка дисперсии результатовэксперимента в i-ой серии.
Для проверки нулевойгипотезы выбирается критерий Кохрена (G):
/>.
По таблице распределениякритических точек критерия Кохрена в зависимости от уровня значимости q, числа степеней свободы f=m-1 и числа серий N определяем критическую точку:
 
Gkp= G(q, f, N).
По результатамэксперимента вычисляем наблюдаемое значение критерия:
/>.
Если GнаблGкр, то гипотеза Hпринимается, в противном случае принимаетсяH1. Если гипотеза Hне принята, то для воспроизводимостирезультатов эксперимента необходимо или повысить число параллельных опытов m, или увеличить точность измерения переменнойсостояния. Если опыты воспроизводимы, то вычисляется ошибка опыта (дисперсиявоспроизводимости опытов)
/>.
Дисперсиявоспроизводимости опытов S02 является оценкой дисперсии переменной состояния sy2.
Число степеней свободыдисперсии воспроизводимости: f=N(m-1).
В некоторых лабораторныхэкспериментах повторные измерения отклика в параллельных опытах дают один и тотже результат. Тогда для расчета дисперсии воспроизводимости можновоспользоваться метрологическими характеристиками измерительных приборов. Впаспортных данных прибора указывается класс его точности ( K, % от предела измерения />). Этопозволяет определить максимальную ошибку измерения
/>. (1)
Случайная ошибка прибораподчиняется нормальному закону распределения. В машиностроении обычносчитается, что />, при этом вероятность попадания винтервал /> равна0,9973 и является технической единицей.
Врадиоэлектронной аппаратуре стабильность параметров активных и пассивныхэлементов значительно ниже и надежность 0,95 вполне приемлема. Поэтому выбираем/>.Подставляя значение />в выражение (1), получим дисперсию
/>.
Дисперсиювоспроизводимости полагаем равной
/>.
 
Пример:
Проверить гипотезу овоспроизводимости опытов, в которых переменная состояния yзависит от трех факторовx1 , x2 , x3. Выбрать уровень значимости q=0,05.
Проведены 8 серий по 2параллельных опыта в каждой серии. Результаты эксперимента и расчеты сведены втаблицу:
Таблица 3.
№
серии
X1
X2
X3
Y1
Y2
/>
Si2 1 0.40 0.20 24.00 0.71 0.77 0.74 0.001800 2 0.40 0.38 36.00 0.61 0.54 0.58 0.002450 3 0.40 0.38 24.00 0.65 0.59 0.62 0.001800 4 0.40 0.20 36.00 0.75 0.72 0.74 0.000450 5 0.60 0.20 24.00 0.73 0.64 0.69 0.004050 6 0.60 0.20 36.00 0.90 0.79 0.84 0.006050 7 0.60 0.38 24.00 0.74 0.71 0.73 0.000450 8 0.60 0.38 36.00 0.80 0.78 0.79 0.000200
Для каждой серии опытоввычисляем среднее значение /> и дисперсии результатов Si2. Далее выбираем /> и вычисляем
 />.Наблюдаемое значениекритерия:
/>.
Значение критерия Кохренапо таблице: Gкр=0.82.
Так как GнаблGкр ,то нулевая гипотеза H0 принимается.
Опыты воспроизводимы.Ошибка опыта S2=0.0021562.

 5. Проверка гипотезы онормальном распределении ошибок эксперимента
Как правило, ошибкирезультатов экспериментов распределены по нормальному закону .
Выберем следующиегипотезы:
H: ошибки эксперимента распределены понормальному закону;
H1: ошибки эксперимента не распределеныпо нормальному закону.
Для проверки гипотезы Hиспользуется W–критерий.
Пусть проведено mпараллельных опытов( 3 £m£50 ).
 Для обработкирезультатов эксперимента нужно:
1)   Расположить значения переменнойсостояния в неубывающем порядке:
y1 £y2 £...£ym .
2)   Вычислить: />.
3)   Вычислить: />где />, если m-чётное и />,
если m-нечётное.
 Коэффициенты aiвыбираются из таблицы в зависимостиот m.
4)   Вычислить наблюдаемое значение критерия:
/> 
5)   По таблице критических точек найти Wкр -критическое значение критерия взависимости от числа степеней свободы f= m и уровня значимости q:
Wкр= W(q, f );
6) Если наблюдаемое значение большекритическогоWнабл >Wкр (критическая область левосторонняя),то гипотеза H0 принимается, т.е. ошибки экспериментараспределены по нормальному закону. В противном случае, еслиWнаблWкр, то гипотеза H0 отвергается.
Пример:
Проведено 16 параллельныхопытов. Получены следующие значения переменной состояния Y:
0.035 0.047 0.0550.067 0.066 0.077 0.078 0.088
0.95 0.1 0.1210.136 0.153 0.176 0.22 0.231
m = 16, q =0,05, l = 16/2 = 8.
Отметим, что результатыэксперимента расположены в неубывающем порядке.
/>;
/>;
где значения /> для m = 16 взяты из таблицы: />
Наблюдаемое значениекритерия:
/>.
Критическое значениекритерия: />
Так как Wнабл>Wкр,, то ошибки эксперимента распределеныпо нормальному закону.6.Проверка гипотезы о виде распределения. ( Критерий согласия Пирсона )
Пусть проведены N экспериментов в одинаковых условиях.Проверяется гипотеза H0 : результаты эксперимента распределеныпо закону А. Критерий для проверки выдвинутой гипотезы называетсякритерием согласия.
Разобьем интервалполученных результатов эксперимента [Ymin, Ymax] на m равныхинтервалов.
 
[Yi-1 , Yi]; i=1,...,m.
Обозначим через Yi* середину i-го интервала, ni — число результатов, попавших в i-й интервал. Получим рядраспределения:
Yi*
Y1*
Y2* ...
Ym*
ni
n1
n2 ...
nm
 
Пусть в предположении,что результаты эксперимента имеют распределениеА, вычислены теоретическиечастоты ni’.
В качестве статистическогокритерия выбирается случайная величина:
/>
Чем меньше значение,принимаемое c2, тем ближе между собой теоретическое и эмпирическое распределения.Случайная величина c2 имеет известное распределение Пирсона или c2. — распределение.
Критическое значениекритерия определяется по таблице распределения критических точек по заданномууровню значимости qи числу степеней свободы f:
 
f= m-r-1;
где r-число параметров распределения,определяемых по результатам эксперимента. Для нормального распределения r=2, для распределения Пуассона и показательногораспределения r=1.
Наблюдаемое значениекритерия c2набл рассчитывается по результатамэкспериментов
/>.
Если c2наблc2кр, то гипотеза H0 принимается, т. е. результаты экспериментараспределены закону А. Если c2набл>c2кр, то H0 -отвергается (критическая областьправосторонняя).6.1Расчёт теоретических частот для нормального распределения
1. Вычисляем оценкиматематического ожидания и дисперсии:
/>
/>
/>
2. Вычисляем границыинтервалов нормированной переменной Z:

/>, i= 0,1,…., m.
 
3.   Выберем по таблице значения функцииЛапласа Ф(Zi);
4.   Найдём вероятность попадания значенийнормально распределённой случайной величины Z в i-йчастичный интервал:
/>
5.   Вычисляем теоретические частоты: />.
Пример:
Пусть даны результаты 75экспериментов. Проверить гипотезу о нормальном распределении результатовэкспериментов:-50 -39 -48 -56 -49 -44 -39 -42 -56 -46 -39 -50 -52 -48 -55 -46 -37 -51 -52 -45 -46 -51 -43 -49 -35 -57 -48 -42 -42 -54 -33 -44 -56 -44 -43 -41 -47 -42 -47 -59 -54 -53 -55 -34 -53 -50 -36 -53 -53 -55 -54 -39 -53 -42 -49 -45 -48 -50 -48 -56 -52 -46 -53 -56 -57 -42 -53 -50 -44 -46 -59 -62 -57 -36 -43 Начало первого интервала: -64 Длина интервала: 4 /> /> /> />
Разобьем интервал [–64,-32]на частичные интервалы с шагом, равным 4. Для каждого частичного интервалаподсчитаем число результатов, попавших в данный интервал. Обозначим эти частотыni. Вычислим середины частичных интервалов/>.
Полученныерезультаты вычислений занесем в таблицу.
Находимоценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения />(1/75)·(-65-290-972-650-644-788-190-170)=
= -3566/75=-47.54;
где Y*i – середина i -го интервала.
/>(1/74)×(209.09+547.058+751.1688+ />
+78.6708+33.2024+429.6824+455.058+916.658)= =3420.5884/74=46.224 ;
Sy = 6.7988=6.80;
Вычислим границыинтервала в кодированных переменных:
/>.
Вероятность попаданиянормально распределённой случайной величины в i-тый частичный интервал
Pi= Ф(Zi+1) — Ф(Zi); i=1,...,m,
где Ф(z) — функция Лапласа.
Вычислим теоретическиечастоты ni' =N×Pi.
Величины Zi, Piи ni'заносим в таблицу.
Определим наблюдаемоезначение критерия
/>
Kнабл= 0,9168+ 0,0526 + 4,008 + 0,69 + 0,4303 + 0,1555 + 0,3874 + 0,74137) = 7,38197;
Найдём критическоезначение критерия Пирсона для уровня значимости q=0.1 и числа степеней свободы
f=m-2-1=8-2-1=5:
Kкр=c2 (q,f)= c2(0.1;5)=9.236.
Таблица 4.№
/>
ni
/>
Z i
Ф(Z i)
Pi
ni1
ni
(ni1-ni)2
 ni1
1
2
3
4
5
6
7
8
-64
-60
-56
-52
-48
-44
-40
-36
-32
1
5
18
13
14
14
5
5
-62
-58
-54
-50
-46
-42
-38
-34
-¥
-1.83
-1.24
-0.65
-0.06
0.52
1.11
1.69
+¥
-0.5
-0.4664
-0.3925
-0.2415
-0.0239
0.19847
0.3665
0.45449
0.5
0.0336
0.0739
0.1504
0.2182
0.2224
0.1680
0.0880
0.0455
åPi=1
2.52
5.54
11.277
16.36
16.679
12.6
6.599
3.41
1
5
18
13
14
14
5
5
0.9168
0.0526
4.008
0.69
0.4303
0.1555
0.3874
0.74137
Так как Kнабл

 7.Проверка гипотезы осогласованности мнений экспертов (априорное ранжирование переменных)
Суть метода состоит втом, что специалистам (экспертам), хорошо знакомым с исследуемым процессом,предлагается расположить факторы в порядке убывания степени их влияния напеременную состояния.
Пусть приглашены m экспертов, которым предложенопроранжировать n факторов: x1, x2,...,xn. Обозначим через аij — ранг, выставляемый i-ым экспертом j-му фактору (1£аij£n; i=1,...,m; j=1,...,n).
Результаты опросазаносятся в сводную таблицу:
Таблица 5.
 фактор
X1
X2
................
Xn
№спец
1
2
:
:
:
m
a11
a21
:
:
:
am1
A12
a22
:
:
:
am2
................
................
................
................
................
................
A1n
a2n
:
:
:
amn
Сумма рангов по строке(сумма рангов, выставляемых конкретным экспертом) для всех строк одинакова
/>.
Среднее значение рангов встроке:
/>
Среднее значение суммырангов фиксированного фактора:
/>
По результатам опросаэкспертов проверяется гипотеза H: мнение экспертов согласованы, при альтернативной гипотезе H1: мнения экспертов не согласованы. Вычисляетсякоэффициент согласия (коэффициент конкордации):
/>,
гдеS(d2) — сумма квадратов отклонения суммы рангов от среднейсуммы:
/>,
а />.
Если мнения экспертовсогласованны, то:
/>
Если мнения экспертоврассогласованны, то: S(d2) близко к0.
Таким образом, получаем,что если мнения экспертов согласованны, то коэффициент конкордации W= 1. Если мнения экспертов полностьюрассогласованны, то W».
Для проверки нулевойгипотезы в качестве статистического критерия выбираем случайную величину (n-1)×m×W. Доказано, что при n>7 эта случайная величина имеет c2. — распределение с числом степеней свободы f= n— 1. Таким образом, критическое значениекритерия определяется по таблице критических точек c2.-распределения в зависимости от q и f. Наблюдаемое значение:
 
c2.набл.= (n-1)×m×W
Если c2.набл.> c2.кр., то мнения экспертов согласуются. Впротивном случае мнения экспертов рассогласованны (критическая область левосторонняя).
Если из несколькихфакторов эксперт ни одному не может отдать предпочтение, то в этом случае втаблицу ранжирования этим факторам он выставляет одинаковые дробные ранги.Коэффициент конкордации вычисляется по формуле:
/>,
где
/>,
где i — номер эксперта;
k — номер повторения;
tik — число одинаковых рангов в k-ом повторении.
Если мнения экспертовсогласованны, то строится ранжировочная диаграмма. В ней по оси абсциссоткладываются факторы, по оси ординат — суммы рангов в обратном порядке. По видудиаграммы судят о значимом или незначимом влиянии факторов на переменнуюсостояния и об использовании факторов в основном эксперименте.
Пример:
Для некотороготехнологического объекта рассматриваются шесть факторов, влияющих на переменнуюсостояния. Мнения четырёх экспертов приведены в таблице. Проверить гипотезу осогласованности экспертов и, если она справедлива, то изобразить гистограммуранжирования.
Таблица 7.
№ф./ №спец
x1
x2
X3
X4
x5
x6
ti1
t3i1-ti1
ti2
t3i2- ti2
Ti 1 1.5 5 1.5 4 3 6 2 6 6 2 2 3 1 4.5 4.5 6 2 6 6 3 2 3 1 5.5 5.5 4 2 6 6 4 1.5 3.5 1.5 5 3.5 6 2 6 2 6 12
/> 7 14.5 5 19 16.5 2.2
/> -7 0.5 -9 5 2.5 8
dj2 49 0.25 81 25 6.25 64
m=4; n=6.
Средняя сумма рангов встолбце:
/>.
/>.
Вычислим коэффициентконкордации:
/>/>.

Наблюдаемое значениекритерия определяется по формуле:
 
c2.набл=m(n-1)W=4×5×0,805=16,1..
Критическое значениекритерия находим в таблице для уровня значимости q=0.05 и числа степеней свободы f = n — 1= 6 – 1 = 5:
 
c2.кр.=c2.(0,05;5)=11,07.
Так как c2.набл.> c2.кр., то мнения экспертов согласованны.
/>/> åаij
/>/>/>/>/>/> 0
/>/>/>/>/>/>/>/> 10
/>/> 
/>/>/>/> 20
/>/> 
 
/> 30 X
 X3 X1 X2 X5 X4 X6
Рис.2. Ранжировочнаягистограмма.

 8. Уравнение линейнойрегрессии. Коэффициент корреляции. Проверка гипотезы о значимости коэффициентакорреляции
После отсеиваниянезначимых факторов проверяется наличие корреляционных связей между факторами имежду факторами и переменной состояния. Из статистики известно, что линейнаясвязь между величинами X и Y оценивается с помощью коэффициентакорреляции.
/>
Пусть проведены Nэкспериментов, в результате которыхполучены следующие значения величин X и Y:X
x1,x2,............,xN Y
y1,y2,............,yN
Нанесём результатыэкспериментов на координатную плоскость в виде точек, координатами которыхявляется xi, yi, получим корреляционное поле
/>/>

/>
Рис.3. Корреляционноеполе.
На рис.3а) – явнолинейная зависимость между X и Y,
на рис.3б) –зависимостьнелинейная,
на рис.3в) – зависимостьмежду X и Y отсутствует.
Простейшим видомэмпирической формулы является линейная зависимость
Y = aX + b.
Функцию f(x) = ax + b называют линейной регрессией Y на X.
Существуют различныеметоды вычисления коэффициентов a и b: метод “натянутой нити”, метод сумми метод наименьших квадратов.
 Рассмотрим метод“натянутой нити”.
 Нанесём результатыэксперимента на координатную плоскость (см. рис.4)). Мысленно натянем нитьтаким образом, чтобы по обе стороны от неё оставалось приблизительно равноечисло точек, при этом суммы расстояний от точек до нити с обеих сторон должныбыть одинаковы и минимальны.
/> />
Рис.4. Метод”натянутой нити”.
На прямой, совпадающей снаправлением нити, выберем две точки с координатами (x1,y1) и (x2,y2). Подставим координаты точек в уравнение y=ax+b. Получим системуиз двух уравнений с двумя неизвестными a и b ирешаем её
/>
Составим уравнение y=ax+b, используя решение(a,b) системы.8.1Метод наименьших квадратов
Будем искать уравнениерегрессии в виде линейной зависимости:
/>

Коэффициенты a0и a1 определяютсяиз условия: сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y от рассчитанных по уравнениюрегрессии должна быть минимальной.
/>
Для отыскания минимумасоставим систему уравнений
/>
Решая эту систему,получаем значения коэффициентов:
/>
Обозначим через rxy оценку коэффициента линейнойкорреляции:
/>.
Тогда коэффициентырегрессии определяются равенствами
/>
/> - уравнениелинейной регрессии.
 Аналогичные вычислениядля второго уравнения регрессии x=b1y+b=g(y) дают следующие значения коэффициентов:
/>.
Тогда уравнение регрессииимеет вид:
/>.
Свойства коэффициенталинейной корреляции:
1.Коэффициент линейнойкорреляции rxy по абсолютной величине не превышает1: />
2.Если X и Y (случайные величины) независимы, то rxy=0, обратное утверждение верно не всегда.
3.Если rxy=±1, то величины X, Y связаны функциональной линейной зависимостью.
4.Если />, то зависимость X и Y строят в виде линейной функции. В случае />рассматриваются другиевиды зависимости, например, квадратичная зависимость, гиперболическая,логарифмическая:
/>, />

 8.2 Проверканезначимости коэффициента корреляции
Пусть по результатам экспериментарассчитана оценка коэффициента корреляции rxy. Выберем нулевую гипотезу: H- коэффициент корреляции rxy незначим; альтернативную гипотезу: H1 – коэффициент корреляции rxy значим.
Для проверкисправедливости H0 выберем критерий Стьюдента.Наблюдаемое значение критерия рассчитывается по результатам эксперимента по следующейформуле:
/>;
По таблице критическихточек критерия Стьюдента определим Ткр.= Т( q, f) по уровню значимости q и числу степеней свободы f= N-2. Если |Тнабл|, тогипотеза H0– справедлива, т.е. коэффициент корреляции rxy — незначим. В противном случае,нулевая гипотез H0отвергается, т.е. случайные величиныX и Y связаны линейной зависимостью (критическая областьдвусторонняя)./> />
Рис.5. Критическая областькритерия Стьюдента…
При использовании методанаименьших квадратов для вычисления коэффициента корреляции и построенияуравнения регрессии предполагается, что X и Yимеют нормальное распределение.

 8.3. Использованиекорреляционной таблицы для вычисления коэффициента корреляции
Если число экспериментоввелико, то составляются корреляционные таблицы. Для этого среди результатовэксперимента выбираются xmin, xmax, ymin, ymax. Интервал [xmin, xma)] возможных значений X делимс шагом h1 на n частичных интервалов, Интервал [ymin,ymax] для Y делим с шагом h2 на m частичных интервалов. Границыинтервалов по X записываются в 1-ый столбец, по Y — в 1-ую строку.
Для каждой пары (xi, yi) определяем в какую строку попалозначение xi и в какой столбец yi. В клетку, расположенную напересечении найденной строки и столбца, ставим палочку (или точку). Операциюпроводим для всех пар. Подчитываем число палочек (точек) в каждой клетке изаписываем полученное число в клетку. Просуммируем числа, стоящие в 1- ойстроке, получим частоту /> — число пар (xi,yi), у которых первая координата попалав первый частичный интервал. Проведём суммирование по всем остальным строкам,полученные числа />заносим в последний столбец.
Таблица 7
/>Y,V
X, U
[y0, y1) y1*, v1
[y1, y2) y2*, v2 ……
[yj1,yj)
 yj*, vj
C2 ……
[ym-1, ym) ym*, vm
/>
[x0, x1)
x1*, u1
/>
/> ……
/> ……
/>
/>
[x1, x2)
x2*, u2
/>
/> ……
/> ……
/>
/> ……… ……… ……… …… ……… …… ………… …………
[xi-1,xi)
C1, xi*, ui
/>
/> ……
/> ……
/>
/>
[xn1,xn) xn*,un
/>
/> ……
/> ……
/>
/>
/>
/>
/> ……
/> ……
/> N
Просуммируем величины,которые стоят в первом столбце. Получим частоту /> — число пар (xi, yi), у которых y попадает в первый интервал. Найдёмсуммы по всем столбцам. Полученное значение запишем в последнюю строку. Суммыполученных значений равны N:
/>
По виду корреляционнойтаблице можно судить о виде корреляционной зависимости.
Вычислим серединычастичных интервалов
/>; />
i=1,…,n; j=1,…,m.
Внесем найденные значенияв корреляционную таблицу. По таблице вычислим оценки математических ожиданий идисперсий
/>; />;
/>; />;
/>; />;
/>.
Коэффициент линейнойкорреляции определяются по формуле:

/>.
Для простоты вычисленийобычно используют замену переменных:
/>; />;
где С1 и С2– значения xi* и yj* соответствующие максимальной частоте/>. Желательно, чтобы клетка с даннойчастотой находилась в середине таблицы. Точку (С1, С2)называют ложным нулем. Переменные U и V – принимают значения: 0; ±1; ±2,…
/>, />, />,
/>; />.
При вычисленияхиспользуем, что
/>; />.
Коэффициент корреляциивычисляется по формуле:
/>.
Вернемся к исходнымпеременным:
/>; />;
/>; />.
Уравнения регрессии:
/>; />.
Графики функцийпересекаются в точке />.
 
Пример:
Даны результаты 78экспериментов:X Y X Y X Y X Y 73 -291 57 -219 61 -241 68 -264 69 -270 71 -281 62 -243 62 -240 72 -279 66 -262 63 -245 70 -277 72 -282 76 -302 71 -282 70 -279 65 -254 70 -275 65 -252 65 -253 67 -264 68 -267 70 -276 70 -275 56 -216 74 -290 70 -276 63 -248 70 -276 68 -266 63 -246 63 -243 63 -248 71 -283 73 -284 67 -264 64 -253 60 -237 68 -271 68 -267 70 -276 56 -222 59 -227 55 -213 67 -262 71 -281 64 -256 56 -218 60 -234 68 -269 79 -309 58 -223 80 -313 66 -257 77 -300 70 -278 71 -278 60 -235 78 -310 59 -236 74 -292 70 -275 66 -255 68 -263 68 -271 69 -276 63 -252 69 -268 65 -256 72 -282 69 -274 63 -243 73 -291 70 -277 74 -291 70 -271 63 -243 69 -270
Начало первого интервала x0= 53, y0= –321;
Длина интервала h1 = 5, h2 = 17.    
1. Построитькорреляционное поле для 4-ых столбцов X и Y и методом “натянутой нити” найтилинейные функции регрессии.
2. Составитькорреляционную таблицу. Вычислить коэффициент линейной корреляции, найтиуравнения регрессий и построить их графики.
3. Проверитьгипотезу о незначимости коэффициента корреляции.
Решение.
1. По последним столбцам X и Y находим:
xmin=55; ymin=-279;
xmax=70; ymax=-213;
На осях отображаем тотпромежуток, где находятся значения X и Y. Представляя в виде точек пары чисел(x1; yj) строим корреляционное поле:
/>
Используя метод“натянутой нити”, проведём прямую. На прямой выберем две точки (57, -220) и(69, -270), расположенные достаточно далеко друг от друга… Подставляя значенияв функцию y=ax+b, получим системууравнений относительно a и b.
/> ,

Получим решение a = — 4,17; b = 17,69.Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = — 4,17 x +17,69.
2. Найдёмминимальные и максимальные значения X и Y среди результатов эксперимента:
xmin=55; ymin=-313; xmax=80; ymax=-213;
Составим корреляционнуютаблицу с шагом h1=5 по X и h2=17 по Y. Учитываем, что левая граница входит в интервал, а праваянет.
Клетка в шапке сверхусодержит границы интервала по Y [yj, yj+1], значение середины интервала yj* и значение середины интервала для условной переменнойV. Клетка в шапке слева содержитграницы интервала по X [xi, xi+1], значение середины интервала xi* и значение середины интервала для условной переменнойU.
Произвольная клеткатаблицы содержит число результатов />, попавших в соответствующиеинтервалы. В нижней строке записываются суммы чисел в столбцах. В крайнем левомстолбце – суммы чисел в строках.
Таблица 8.
Y,V
X,U
[321,-304)
-312,5;
-2
[304,-287)
-295,5;
-1
[287,-270)
-278,5;
[270,-253)
-261,5;
 1
[253,-236)
-244,5;
 2
[236,-219)
-227, 5;
3
[219,-202)
-210,5; 4
nx
nu
 
[53,58)
55,5;-3 . 1
. .
… 4 5
[58,63)
60,5;-2
. .
… 4
. .
… 5  9
[63,68)
65,5;-1
. .
… 9
… .
… 11 20
[68,73)
70,5;0
/> />
… 24
. .
… 9 33
[73,78)
75,5;1
. .
… 7
.
 1 8
[78,83)
80,5;2
. .
. 3  3
ny,
nv  3  7  25
 18
   15
 
 6  4 78
 Переход к условнымвариантам.
/>; />;
C1=70,5; С2=-278,5 – координаты клетки смаксимальным числом результатов экспериментов.
/>, />,…,/>;
/>, />,…,/>;
Вычисляем средние:
/>
/>.
Вычислим среднееквадратов:
/>/>.
Вычислим среднееквадратическое отклонение:
/>; />;
/>/>;
Коэффициент корреляции:
/>;
Находим статистическиехарактеристики X, Y:
/>; />;
/>; />;
Уравнение регрессии:
/>; />;
/>;
/> (I);
/>;
/> (II)

Определим координаты двухточек для каждого графика:X 60 75 Y -231,4 -291 Y -300 -220 X 76,46 58,06
/>
Графики пересеклись вточке M(68; -263,2)
3. Проверим гипотезуо незначимости коэффициента корреляции. Наблюдаемое значение критерия:
/>; N=max{n, m};
 
n, m – число частичных интервалов по X и Y.
n= 6; m= 7; N=7.
/>;
 
Tкр=T(0,05; N-2)=T(0,05; 5)=2,57 – по таблице распределения Стьюдента.
Так как |Tнабл|=6,65>2,57, то гипотеза отвергается,следовательно r xyзначим.

Вывод
В курсовую работу вошлизадачи, решаемые на стадии предварительного эксперимента. При решении этихзадач использованы идеи и методы математической статистики, в частности ееразделы — оценивание параметров и проверка статистических гипотез. Используяэти методы, проверяются следующие гипотезы: о воспроизводимости результатовэксперимента, о виде распределения результатов эксперимента, о наличиикорреляционных связей между факторами и переменной состояния и др. 
Списоклитературы
1.Егоров А.Е., Азаров Г.Н., КовальА.В. Исследование устройств и систем автоматики методом планированияэксперимента. – К.: Вища школа, 1986.
2.Бондарь А.Г., Статюха Г.А.Планирование эксперимента в химической технологии. – К.: Вища школа, 1978.
3.Кафаров В.В. Методы кибернетики вхимии и химической технологии. – М.: Химия, 1971.
4.Колде Я.К. Практикум по теориивероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1991.
5.Твердохлебов Г.Н., Бродский А.Л., СтаробинаЕ.К., Кутакова Д.А. Методические указания по математическим методам анализа ипланирования эксперимента для студентов всех химических специальностей. -Ворошиловград,1985.

 Приложение 1 (таблица значений функцииЛапласа Ф(х))
(Таблица значений функции/> x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) 0.00 0.0000 0.22 0.0871 0.44 0.1700 0.66 0.2454 0.01 0.0040 0.23 0.0910 0.45 0.1736 0.67 0.2486 0.02 0.0080 0.24 0.0948 0.46 0.1772 0.68 0.2517 0.03 0.0120 0.25 0.0987 0.47 0.1808 0.69 0.2549 0.04 0.0160 0.26 0.1026 0.48 0.1844 0.70 0.2580 0.05 0.0199 0.27 0.1064 0.49 0.1879 0.71 0.2611 0.06 0.0239 0.28 0.1103 0.50 0.1915 0.72 0.2642 0.07 0.0279 0.29 0.1141 0.51 0.1950 0.73 0.2673 0.08 0.0319 0.30 0.1179 0.52 0.1985 0.74 0.2703 0.09 0.0359 0.31 0.1217 0.53 0.2019 0.75 0.2734 0.10 0.0398 0.32 0.1255 0.54 0.2054 0.76 0.2764 0.11 0.0438 0.33 0.1293 0.55 0.2088 0.77 0.2794 0.12 0.0478 0.34 0.1331 0.56 0.2123 0.78 0.2823 0.13 0.0517 0.35 0.1368 0.57 0.2157 0.79 0.2852 0.14 0.0557 0.36 0.1406 0.58 0.2190 0.80 0.2881 0.15 0.0596 0.37 0.1443 0.59 0.2224 0.81 0.2910 0.16 0.0636 0.38 0.1480 0.60 0.2257 0.82 0.2939 0.17 0.0675 0.39 0.1517 0.61 0.2291 0.83 0.2967 0.18 0.0714 0.40 0.1554 0.62 0.2324 0.84 0.2995 0.19 0.0753 0.41 0.1591 0.63 0.2357 0.85 0.3023 0.20 0.0793 0.42 0.1628 0.64 0.2389 0.86 0.3051 0.88 0.3106 1.14 0.3729 1.40 0.4192 1.66 0.4515 0.89 0.3133 1.15 0.3749 1.41 0.4207 1.67 0.4525 0.90 0.3159 1.16 0.3770 1.42 0.4222 1.68 0.4535 0.91 0.3186 1.17 0.3790 1.43 0.4236 1.69 0.4545 0.92 0.3212 1.18 0.3810 1.44 0.4251 1.70 0.4554 0.93 0.3238 1.19 0.3830 1.45 0.4265 1.71 0.4564 0.94 0.3264 1.20 0.3849 1.46 0.4279 1.72 0.4573 0.95 0.3289 1.21 0.3869 1.47 0.4292 1.73 0.4582 0.96 0.3315 1.22 0.3883 1.48 0.4306 1.74 0.4591 0.97 0.3340 1.23 0.3907 1.49 0.4319 1.75 0.4599 0.98 0.3365 1.24 0.3925 1.50 0.4332 1.76 0.4608 0.99 0.3389 1.25 0.3944 1.51 0.4345 1.77 0.4616 1.00 0.3413 1.26 0.3962 1.52 0.4357 1.78 0.4625 1.01 0.3438 1.27 0.3980 1.53 0.4370 1.79 0.4633 1.02 0.3461 1.28 0.3997 1.54 0.4382 1.80 0.4641 1.03 0.3485 1.29 0.4015 1.55 0.4394 1.81 0.4649 1.04 0.3508 1.30 0.4032 1.56 0.4406 1.82 0.4656 1.05 0.3531 1.31 0.4049 1.57 0.4418 1.83 0.4664 1.06 0.3554 1.32 0.4066 1.58 0.4429 1.84 0.4671 1.07 0.3577 1.33 0.4082 1.59 0.4441 1.85 0.4678 1.08 0.3599 1.34 0.4099 1.60 0.4452 1.86 0.4686 1.09 0.3621 1.35 0.4115 1.61 0.4463 1.87 0.4693 1.10 0.3643 1.36 0.4131 1.62 0.4474 1.88 0.4699 1.11 0.3665 1.37 0.4147 1.63 0.4484 1.89 0.4706 1.12 0.3686 1.38 0.4162 1.64 0.4495 1.90 0.4713 1.13 0.3708 1.39 0.4177 1.65 0.4505 1.91 0.4719 x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) 1.92 0.4726 2.18 0.4854 2.52 0.4941 2.84 0.4977 1.93 0.4732 2.20 0.4861 2.54 0.4945 2.86 0.4979 1.94 0.4738 2.22 0.4868 2.56 0.4948 2.88 0.4980 1.95 0.4744 2.24 0.4875 2.58 0.4951 2.90 0.4981 1.96 0.4750 2.26 0.4881 2.60 0.4953 2.92 0.4982 1.97 0.4756 2.28 0.4887 2.62 0.4956 2.94 0.4984 1.98 0.4761 2.30 0.4893 2.64 0.4959 2.96 0.4985 1.99 0.4767 2.32 0.4898 2.66 0.4961 2.98 0.4986 2.00 0.4772 2.34 0.4904 2.68 0.4963 3.00 0.49865 2.02 0.4783 2.36 0.4909 2.70 0.4965 3.20 0.49931 2.04 0.4793 2.38 0.4913 2.72 0.4967 3.40 0.49966 2.06 0.4803 2.40 0.4918 2.74 0.4969 3.60 0.499841 2.08 0.4812 2.42 0.4922 2.76 0.4971 3.80 0.499928 2.10 0.4821 2.44 0.4927 2.78 0.4973 4.00 0.499968 2.12 0.4830 2.46 0.4931 2.80 0.4974 4.50 0.499997 2.14 0.4838 2.48 0.4934 2.82 0.4976 5.00 0.499997 2.16 0.4846 2.50 0.4938
Приложение2 (таблица критическихточек критерия Пирсона)
c2 – распределение (распределение Пирсона)f b 0.05 0.01 0.005
1
2
3
4
5
6
7
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
3.84
5.99
7.81
9.49
11.1
12.6
14.1
15.5
18.3
21.0
23.7
26.3
28.9
32.4
33.9
36.4
38.9
41.3
43.8
6.63
9.21
11.3
13.3
15.1
16.8
18.5
20.1
23.2
26.2
29.1
32.0
34.8
37.6
40.3
43.0
45.6
48.3
50.9
7.88
10.6
12.8
18.5
20.5
22.5
24.3
26.1
29.6
32.9
36.1
39.3
42.3
45.3
48.3
51.2
54.1
56.9
59.7
Приложение3 (таблица критическихточек критерия Стьюдента)
(t – критерий)
ft a 0.05 0.01 0.005
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
22
24
26
30
¥
12.71
4.30
3.18
2.78
2.57
2.45
2.36
2.31
2.26
2.23
2.18
2.14
2.12
2.11
2.09
2.07
2.06
2.06
2.04
1.6
63.66
9.92
5.84
4.60
4.03
3.71
3.50
3.36
3.25
3.17
3.06
2.98
2.92
2.88
2.84
2.82
2.80
2.78
2.75
2.56
127.3
14.1
7.45
5.60
4.77
4.32
4.03
3.83
3.69
3.58
3.43
3.33
3.25
3.19
3.15
3.12
3.09
3.07
3.03
2.81
Приложение4 (таблица критическихточек критерия Фишера)
(F – распределение для уровня значимости q=0.05)
f2
f1 1 2 3 4 5 8 12 24 ¥
1
2
3
4
5
6
7
8
10
12
16
20
60
¥
164
18.5
10.1
7.71
6.61
5.99
5.50
5.32
4.96
4.75
4.49
4.35
4.00
3.84
199
19.0
9.55
6.94
5.79
5.14
4.74
4.46
4.10
3.88
3.63
3.49
3.15
2.99
215
19.2
9.28
6.59
5.41
4.76
4.35
4.07
3.71
3.49
3.24
3.10
2.76
2.60
224
19.2
9.12
6.39
5.19
4.53
4.12
3.84
3.48
3.26
3.01
2.87
2.52
2.37
234
19.3
8.94
6.16
4.95
4.28
3.87
3.58
3.22
3.00
2.74
2.60
2.25
2.09
239
19.4
8.84
6.04
4.82
4.15
3.73
3.44
3.07
2.85
2.59
2.45
2.10
1.94
243
19.4
8.74
5.91
4.68
4.00
3.57
3.28
2.91
3.69
2.42
2.28
1.92
1.75
249
19.4
8.64
5.77
4.53
3.84
3.41
3.12
2.74
2.50
2.24
2.08
1.70
1.52
254
19.5
8.53
5.63
4.36
3.67
3.23
2.93
2.54
2.30
2.01
1.84
1.39
1.00
 
Примечание. f1 – число степеней свободы большей дисперсии, f2 – число степеней свободы меньшей дисперсии.
Приложение5 (таблица критическихточек критерия Кохрена)
(G- критерий для уровня значимости q=0.05)
få
fu 1 2 3 4 5 7 9 16 36 ¥
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
30
60
120
0.998
0.967
0.906
0.841
0.781
0.727
0.680
0.638
0.602
0.471
0.389
0.293
0.174
0.100
0.975
0.871
0.768
0.684
0.616
0.561
0.516
0.478
0.445
0.335
0.270
0.198
0.113
0.063
0.939
0.798
0.684
0.598
0.532
0.480
0.438
0.403
0.373
0.276
0.220
0.159
0.090
0.050
0.906
0.746
0.629
0.544
0.480
0.431
0.391
0.358
0.331
0.242
0.192
0.138
0.076
0.042
0.877
0.707
0.589
0.506
0.445
0.397
0.360
0.329
0.303
0.220
0.174
0.124
0.068
0.037
0.833
0.653
0.536
0.456
0.398
0.354
0.318
0.290
0.267
0.191
0.150
0.106
0.058
0.031
0.801
0.617
0.502
0.424
0.368
0.326
0.293
0.266
0.244
0.174
0136
0.096
0.052
0.028
0.734
0.547
0.437
0.364
0.314
0.276
0.246
0.223
0.203
0.143
0.111
0.077
0.041
0.022
0.660
0.475
0.372
0.307
0.261
0.228
0.202
0.182
0.166
0.114
0.088
0.060
0.032
0.016
0.500
0.333
0.250
0.200
0.167
0.143
0.125
0.111
0.100
0.067
0.050
0.033
0.017
0.008
 
Примечание. fu – число степеней свободы числителя; få — число степеней свободызнаменателя.
Приложение6 (таблица критическихточек r ‑ критерия)
(r – критерий для уровней значимости q={0.05;0.01})f q=0.05 q=0.01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
25
30
35
40
45
50
1.41
1.69
1.87
2.00
2.09
2.17
2.24
2.29
2.34
2.43
2.49
2.55
2.60
2.64
2.73
2.80
2.86
2.91
2.96
2.99
1.41
1.72
1.96
2.13
2.26
2.37
2.46
2.54
2.61
2.71
2.80
2.87
2.93
2.98
3.09
3.17
3.24
3.29
3.34
3.38