ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТАМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)
Институт транспортной техники и организации производства
(ИТТОП)
Кафедра: «Локомотивы и локомотивное хозяйство»Курсовой проект
на тему:
«Статистические методы обработки выборочных данных наблюденийили экспериментов»Выполнил: студент Краснов М.А.группы ТЛТ-451
Принял: Пузанков А.Д.
Москва 2009
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПЕРВИЧНЫЙ АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
2. ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ПЛОТНОСТИРАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ АНАЛИЗИРУЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ И РАСЧЕТ ЕЕ ХАРАКТЕРИСТИК
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И РАСЧЕТ ЕГО ПАРАМЕТРОВ ПРИ ПОМОЩИ МЕТОДА МОМЕНТОВ
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА ТЕОРЕТИЧЕСКОГОЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ГРАФИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
1. Первичныйанализ экспериментальных данных
Запишемполученные значения в вариационный ряд в возрастающем порядке:
Таблица1.16,4 21,6 35,46 38,76 39,84 40,65 44,25 46,73 47,62 50,25 50,25 51,02 51,8 55,22 55,25 55,55 61,73 63,3 64,93 67,56 68,5 68,5 71,94 73 73,53 73,53 74,07 77,52 78,12 78,74 78,74 80,64 85,47 86,2 87,72 90,1 92,6 94,34 95,24 96,15 99,01 99,01 106,4 108,6 116,28 133,3 135,13 137 144,93 149,25 153,84 161,3 166,7 172,4 172,4 175,44 178,6 178,6 185,18 192,3 208,33 212,76 227,27 232,56 238,1 243,9 256,41 277,8 277,8 285,7 285,71 285,71 322,6 322,6 344,83 370,4 370,4 370,4 384,6 420,6 526,3 555,55 588,23 943,4
xmax =943,4; xmin = 16,4
Результатпоследних двух измерений вызывает сомнения. Поэтому выполняем проверку:
Величинувыборочного среднего /> находим из соотношения:
/> (1)
Кореньквадратный из дисперсии, взятый с положительным знаком, называетсясреднеквадратическим отклонением и рассчитывается по формуле:
/>/> (2)
Упрощённаяпроверка сомнительного результата на брак выполняется из условия:
/>
/>
Такимобразом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения браком являютсяпоследнее одно значение, отбрасываем их и пересчитываем /> и />: />
Проверяемпо упрощённой проверки:
/>
Такимобразом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения бракомявляются последние два значения, отбрасываем их и пересчитываем /> и />: />
/>
Такимобразом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения бракомявляются последнее одно значение, отбрасываем их и пересчитываем /> и />: />
/>
Такимобразом, по упрощенной проверке результат сомнительного измерения не являетсябраком.
Также выполним подобную проверку с помощью критерия Ирвина:
/>
/>
Такимобразом, по расчётам обеих проверок результат последнего сомнительногоизмерения не является браком.
Изэтого следует, что нужно произвести повторный расчёт, но уже без данногоизмерения:
/>
2. Построениеэмпирической плотности распределения случайной анализируемой величины и расчётеё характеристик
Определяемразмах имеющихся данных, т.е. разности между наибольшим и наименьшим выборочнымзначениями (R = Xmax – Xmin):
/>
Выборчисла интервалов группировки k причисле наблюдений n
/>
Тогдаширина интервала:
/>
Результатподсчёта частот и характеристик эмпирического распределения
Таблица2.
Границы интервала
группировки
Ср.знач.
интерв.
Распределение
данных
fi U U*f U^2*f 16,4…61,31 38,86 //////////////// 16 -1 -16 16 61,31…106,22 83,77 ////////////////////////// 26 106,22…151,13 128,68 //////// 8 1 8 8 151,13…196,04 173,59 ////////// 10 2 20 40 196,04…240,96 218,50 ///// 5 3 15 45 240,96…285,87 263,41 ///// 5 4 20 80 285,87…330,78 308,32 //// 4 5 20 100 330,78…375,69 353,23 //// 4 6 24 144 375,69…420,60 398,14 // 2 7 14 98 ИТОГО 80 105 531
Принимаем«ложный нуль» x0=83,77 и обозначаем нулем тот интервал, которомусоответствует максимальная частота (f=26). Далее, для интервалов, следующих к наименьшему наблюдаемомузначению вписываем -1, -2 … и 1, 2, … для интервалов, следующих к наибольшемузначению наблюдаемой величины.
Выборочноесреднее х и среднеквадратическое отклонение Sx рассчитываем, используя следующие выражения:
/> (3)
/>
Дляпостроения гистограммы, приведённой на рис.1, по оси абсцисс в выбранноммасштабе отмечаем границы интервалов. Левая ось размечается масштабом частот, ана правую, в случае необходимости, можно нанести шкалу относительных частот. Начистом поле гистограммы указываются значения: числа данных; среднегоарифметического; среднеквадратического отклонения.
/>
Рис.1
Помимогистограммы эмпирические данные измерений случайной величины могут бытьпредставлены в виде кумулятивной кривой функции распределения вероятностей. Дляэтого данные, представленные в табл.1., должны быть дополнены частостями (см.табл.2.).
Частостьнаходим из соотношения:
/>
Таблицачастот f и частостей ω.
Таблица3.
Границы интервала
группировки Частота,fi
Частость,
ω i
Накопленная
частость, ω н /> /> 16,4…61,31 16 0,20 0,20 /> 61,31…106,22 26 0,33 0,53 /> 106,22…151,13 8 0,10 0,63 /> 151,13…196,04 10 0,13 0,75 /> 196,04…240,96 5 0,06 0,81 /> 240,96…285,87 5 0,06 0,88 /> 285,87…330,78 4 0,05 0,93 /> 330,78…375,69 4 0,05 0,98 /> 375,69…420,60 2 0,03 1,00 /> ИТОГО 80 1 />
/>Рис. 2
3. Определение видазакона распределения случайной величины и расчёт его параметров при помощиметода моментов
Экспоненциальный(нормальный) закон распределения
Параметрзакона распределения: />
Таблица4№
xi
103 км
fi
шт λ*xi
e-λ*xi
φ(xi)
10-6
fi’
шт
/> 1 38,86 16 0,270 0,763 0,531 19,08 0,50 2 83,77 26 0,583 0,558 0,388 13,96 10,39 3 128,68 8 0,895 0,408 0,284 10,21 0,48 4 173,59 10 1,208 0,299 0,208 7,47 0,86 5 218,50 5 1,520 0,219 0,152 5,47 0,04 6 263,41 5 1,833 0,160 0,111 4,00 0,25 7 308,32 4 2,145 0,117 0,081 2,93 0,39 8 353,23 4 2,458 0,086 0,060 2,14 1,62 9 398,14 2 2,770 0,063 0,044 1,57 0,12 ИТОГО: 80 14,64
/>
Рис.4
Нормальныйзакон распределения двухпараметрический, число степеней свободы υ = 7 и /> = 14,067.
Таккак χ2 > χ0,052, то гипотеза опринадлежности эмпирической выборки значений, экспоненциальному законураспределения отвергается
РаспределениеВейбулла — Гнеденко
Величинавыборочного коэффициента вариации:
/>
Поданным приложения таблица П1,2:
/>
/>
/>
Таблица5№
Xi
103 км
fi
шт xi/a a* φ(xi)
φ(xi)
10-6
fi’
шт
/> 1 38,86 16 0,246 0,6944 4,4017 15,81 0,00 2 83,77 26 0,531 0,7197 4,5618 16,39 5,63 3 128,68 8 0,816 0,6085 3,8567 13,86 2,48 4 173,59 10 1,100 0,4637 2,9393 10,56 0,03 5 218,50 5 1,385 0,3293 2,0870 7,50 0,83 6 263,41 5 1,670 0,2213 1,4029 5,04 0,00 7 308,32 4 1,954 0,1422 0,9014 3,24 0,18 8 353,23 4 2,239 0,0879 0,5570 2,00 2,00 9 398,14 2 2,524 0,0525 0,3325 1,19 0,54 ИТОГО: 80 75,60 11,69
/>
Рис.5
Нормальныйзакон распределения двухпараметрический, число степеней свободы υ = 6 и /> = 12,592.
Таккак χ2 > χ0,052, то эмпирическаявыборка значений пренадлежит закону распределения Вейбулла — Гнеденко
Нормальный(Гауссовский) закон распределения
Таблица6№
Xi
103 км fi ti
φ(ti)
10-2 φ(xi)
fi’
щт
/> 1 38,86 16 -1,025 0,231 0,101 8,09 7,72 2 83,77 26 -0,586 0,328 0,144 11,52 18,18 3 128,68 8 -0,147 0,386 0,169 13,53 2,26 4 173,59 10 0,292 0,374 0,164 13,11 0,74 5 218,50 5 0,731 0,298 0,131 10,48 2,86 6 263,41 5 1,169 0,197 0,086 6,91 0,53 7 308,32 4 1,608 0,107 0,047 3,75 0,02 8 353,23 4 2,047 0,048 0,021 1,68 3,18 9 398,14 2 2,486 0,018 0,008 0,62 3,04 ИТОГО: 80 69,71 38,54
/>
Рис.6
Нормальныйзакон распределения двухпараметрический, число степеней свободы υ = 6 и /> = 12.592.
Таккак χ2 > χ0,052, то гипотеза опринадлежности эмпирической выборки значений, нормальному (Гауссовскому) законураспределения отвергается
Логарифмически- нормальный закон распределения
Значениясредне-выборочное и средне-квадратичное:
/>
/>
Таблица7№
Xi
103 км fi ti φ(ti) φ(xi)
fi’
щт
/> 1 38,86 16 -1,481 0,133 4,808 17,28 0,094 2 83,77 26 -0,404 0,367 6,155 22,12 0,682 3 128,68 8 0,198 0,391 4,263 15,32 3,494 4 173,59 10 0,618 0,329 2,663 9,57 0,019 5 218,50 5 0,941 0,256 1,645 5,91 0,140 6 263,41 5 1,203 0,193 1,030 3,70 0,455 7 308,32 4 1,423 0,144 0,659 2,37 1,126 8 353,23 4 1,614 0,108 0,430 1,55 3,892 9 398,14 2 1,782 0,081 0,287 1,03 0,908 ИТОГО: 80 10,81
/>
Рис.7
Нормальныйзакон распределения двухпараметрический, число степеней свободы υ = 6 и /> = 12.592.
Таккак χ2
4. Определение видатеоретического закона распределения случайной величины графическими методами
Расчёткоординат эмпирических точек заданной выборки
Таблица8.№ п/п
Среднее значение
интервала xi, 103 км
fi, шт
Σ fi
F(x)= Σ fi/n+1 1 38,86 16 16 0,198 2 83,77 26 42 0,519 3 128,68 8 50 0,617 4 173,59 10 60 0,741 5 218,50 5 65 0,802 6 263,41 5 70 0,864 7 308,32 4 74 0,914 8 353,23 4 78 0,963 9 398,14 2 80 0,988
Используяполученные в табл.4. данные, строим вероятностную сетку и выполняем проверкусогласованности.
Выбормасштаба построения вероятностной сетки:
· ширина графика(ось абсцисс) А = 140 мм ;
· высота графика(ось ординат) Н = 180 мм .
Нормальныйзакон распределения
Масштабзначений оси абсцисс устанавливается на основе выражения:
/>
Таблица9P = F(x) 0,5 0,6 0,7 0,8 0,8413 0,85 0,903
y = Q-1(P) 0,25 0,52 0,85 1 1,05 1,3 Ky (P), мм 7,5 15,6 25,5 30 31,5 39 P = F(x) 0,96 0,971 0,98 0,991 0,9953 0,997 0,9987
y = Q-1(P) 1,75 1,9 2,05 2,35 2,6 2,75 3 Ky(P), мм 52,5 57 61,5 70,5 78 82,5 90
/>
Лгарифмически- нормальный закон распределения
Масштабзначений оси абсцисс устанавливается на основе выражения:
/>
Таблица10№ Границы интервала
xi
103 км
/>
/> 1 418,78…475,69 38,86 456,01 0,198 2 475,69…499,40 83,77 489,15 0,519 3 499,40…514,62 128,68 507,68 0,617 4 514,62…525,85 173,59 520,60 0,741 5 525,85…534,75 218,50 530,52 0,802 6 534,75…542,12 263,41 538,59 0,864 7 542,12…548,42 308,32 545,38 0,914 8 548,42…553,91 353,23 551,25 0,963 9 553,91…558,78 398,14 556,42 0,988
/>
/>
/>
Экспоненциальный(нормальный) закон распределения
Таблица11P = F(x) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Ky (P), мм 0,0 3,2 6,7 10,7 15,3 20,8 27,5 36,1 P = F(x) 0,8 0,9 0,95 0,97 0,98 0,99 0,995 0,9975 Ky(P), мм 48,3 69,1 89,9 105,2 117,4 138,2 158,9 179,7
/>
РаспределениеВейбулла – Гнеденко
Таблица12P = F(x) 0,03 0,04 0,06 0,1 0,2 0,3 0,4
y = Q-1(P) -3,5 -3,2 -2,8 -2,25 -1,5 -1,03 -0,7 Ky (P), мм -118,8 -108,6 -95,0 -76,4 -50,9 -35,0 -23,8 P = F(x) 0,5 0,632 0,78 0,9 0,97 0,955 0,999
y = Q-1(P) -0,36 0,00 0,41 0,83 1,25 1,66 1,93 Ky(P), мм -12,2 0,00 13,9 28,2 42,4 56,3 65,5
/>