Введение
В практических наблюдениях мы обычно имеем совокупность наблюденийх1, х2,…, хn, на основе которых требуется сделать те или иные выводы. Частоэтих наблюдений много, поэтому возникает задача их компактного описания. Видеале таким описанием могло бы быть утверждение, что х1, х2,…, хn являются выборкой, т.е. независимымиреализациями случайной величины x с известным законом распределения F(x). Это позволило бы теоретическипроизвести расчеты всех необходимых исследователю характеристик наблюдаемогоявления.
Однако далеко не всегда мы можем утверждать, что х1, х2,…, хn являются независимыми и одинаковораспределенными случайными величинами. Во-первых, это необходимо проверить, аво-вторых, часто заведомо известно, что это не так. Поэтому для компактногоописания совокупности наблюдений используют другие методы – методы описательнойстатистики.
1. Методыописательной статистики
Методами описательной статистикиназываются методы описания выборок х1, х2,…, хn с помощью различных показателей играфиков. Достоинство методов описательной статистики в том, что ее простые идовольно информативные статистические показатели избавляют от необходимостипросмотра большого количества значений выборки.1Показатели описательной статистики
Показатели, описывающие выборку можно разбить на несколько групп:
1. Показатели положения описывают положение данных (или середины совокупности) начисловой оси:
- Минимальный и максимальный элементы выборки
- Выборочные верхний и нижний квартили
- Среднее
- Выборочная медиана
- Выборочная мода
2. Показатели разброса описывают степень разброса данных относительно своего центра(насколько кучно основная масса данных группируется около серединысовокупности)
- Дисперсия выборки
- Выборочное среднее квадратическое отклонение (стандартноеотклонение)
- Размах
- Коэффициент эксцесса
3. Показатели асимметрии описывают симметричность распределения данных около своего центра
- Коэффициент асимметрии
- Положение выборочной медианы относительно выборочного среднего иотносительно выборочных квартилей
- Гистограмма
4. Показатели, описывающие законраспределения, дают представление озаконе распределения данных
- Гистограмма
- Выборочная функция распределения
- Таблица частот
Из перечисленных выше характеристик на практике по традиции чащевсего используют выборочные среднее, медиану и дисперсию (или стандартноеотклонение). Однако для получения более точных и достоверных выводов необходимоиспользовать и другие показатели.
Особое внимание следует обратить на наличие в выборке выбросов– грубых, сильно отличающихся от основной массы, наблюдений. Большинствотрадиционных статистических методов весьма чувствительны к отклонениям отусловий применимости метода. Поэтому выбросы могут не только исказить значение выборочныхпоказателей, но и привести к ошибочным выводам. Подозрение о присутствии такихнаблюдений должно возникнуть, если выборочная медиана сильно отличается отвыборочного среднего, хотя в целом совокупность симметрична, или, еслиположение медианы сильно несимметрично относительно минимального имаксимального элементов выборки. Проще всего обнаружить выбросы с помощьюперехода от выборки к вариационному ряду или гистограмме с большим числоминтервалов группировки.
2Порядок выполнения работы 2.1 Исходные данные
Исходными данными является набор реализаций случайной величины(например, значения какой-либо величины, полученные при измерении). Размервыборки — n шт. Исходные данные оформить в виде таблицы (таблица 1).
Таблица 1 – Исходные данныеНомер реализации Значение Номер реализации Значение Номер реализации Значение Номер реализации Значение 1... ...n 2.2Построение вариационного ряда
Для удобства работы с данными выборку преобразуют в вариационныйряд – ряд, в котором элементы выборки упорядочиваются по возрастанию.
Этапы выполнения:
1. Найти наименьший элемент ряда Xmin
2. Найти наибольший элемент ряда Xmax
3. Записать ряд, начиная с наименьшего элемента Xmin и заканчивая наибольшим Xmax (таблица 2)
4. Для упрощения процедуры обработки и с целью уменьшения ошибок привычислениях необходимо вычесть из каждого элемента ряда постоянное число(например, округленное Xmin) и использовать в расчетах не сами размеры, а их отклонениями.Получившиеся отклонения записать в таблицу 2.
Таблица 2 – Вариационный ряд с отклонениями относительно x0 = [1]Номер элемента Элемент Отклонение Номер элемента Элемент Отклонение 1... n 2.3 Группировка данных
Этапы выполнения:
1. Разбить весь диапазон R = Xmax – Xmin на r интервалов. Число интервалов r устанавливают в зависимости от числанаблюдений n:n r
40-100
100-500
5000-10000
7-9
8-12
10-16
При небольших выборках />.
2. Назначить длину интервалов. Длину интервалов Dx чаще всего выбирают одинаковой: Dx = R/r. Ее округляют до значения, удобного дляграфического отображения.
3. Назначить нижнюю границу xн первого интервала (в отклонениях от x0). Она должна быть меньше xmin и удобной с позицииграфического отображения. Результат занести в таблицу 3.
4. Назначить нижние xн и верхние xв границы всех оставшихся интервалов (в отклонениях от x0). Результаты занести в таблицу 3.
5. Определить число размеров, попадающих в интервал mi. Условие попадания размера xj в интервал xiн />.2.4 Определение частостей
Отношение частоты mi к общему числу наблюдений n называется частостью:
/>
Частость представляет собой эмпирическую оценку вероятностипопадания результатов наблюдений Хj в i интервал.
Определить частости и результаты занести в таблицу 3.
Полученные результаты проверить по условию />.2.5 Определение эмпирической плотности вероятностей
Эмпирическая плотность вероятностей равна:
/>
Определить эмпирическую плотность вероятности, результаты занестив таблицу 3.
Таблица 3 – Расчетные данныеНомера интервалов Границы интервалов, Частота, mi
Частость, /> Эмпирическая плотность вероятности pi Середина интервала xi xн xв 1...
/>
/>
Для дальнейших геометрических построений необходимы значениясередины интервалов xi. Определить их, результаты занести в таблицу 3.2.6 Построение полигона
Этапы выполнения[2]:
1. Определить масштабы по осям абсцисс и ординат, исходя ихсоотношения />:R = 5 » 8.
2. На оси абсцисс отложить интервалы значений измеряемой величины.
3. В серединах интервалов отметить ординаты, пропорциональныечастостям.
4. Полученные точки соединить прямыми линиями.
Пример полигона приведен на рисунке 1.
/>
Рисунок 1 – Пример полигонаПостроение гистограммы распределения
Этапы выполнения:
1. Повторить пункты 1-2 из 2.5.
2. Над каждым интервалом по оси абсцисс построить прямоугольник,высота которого пропорциональна эмпирической плотности вероятностей.
Пример гистограммы распределения приведен на рисунке 2.
/>
Рисунок 2 – Пример гистограммы распределения2.7 Построение эмпирической функции распределения
В середине каждого интервала по оси абсцисс ордината возрастаетскачком на значение, соответствующее />.
Этапы выполнения:
1. Повторить пункты 1-2 из 2.5.
2. В середине интервала 1 отметить скачок, равный />.Провести горизонтальную линию от получившейся точки до середины следующегоинтервала.
3. В середине интервала 2 отметить скачок от горизонтальной линии,полученной в п.2, равный />. Провести горизонтальную линию от получившейся точки до серединыследующего интервала.
4. Повторить пункт 2 для остальных интервалов.
Значения /> для каждого интервала называют кумулятивной частостью, а сумму /> - кумулятивнойчастотой.
Пример гистограммы эмпирической функции распределения приведен нарисунке 3.
/>
Рисунок 3 – Пример эмпирической функции распределения2.8 Расчет параметров распределения
С помощью гистограммы распределения можно рассчитать параметрыраспределения:
1. Для среднего арифметического
/>
2. Для выборочной дисперсии
/>
3. Для оценки центрального момента третьего порядка
/>
4. Для оценки центрального момента четвертого порядка
/>
Однако все расчеты можно значительно упростить, если всеотклонения размеров yi выражать относительными величинами в долях ширины интервала Dx (целыми числами), а за начало отсчетаотклонений принять условный нуль x0, равный середине интервала, имеющего наибольшую частоту mi:
/>
Относительные начальные моменты в этом случае определяются:
/>
Возвращаясь к размерностям измеряемой величины, получим:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Результаты расчета относительных начальных моментов удобнее всегосвести в таблицу 4.
Таблица 4 – Расчетные данные моментовНомер интервалов Середина интервала xi, yi
/>
/>
/> mi miyi
/>
/>
/>
1
... Суммы Начальные моменты Обозначения а1 а2 а3 а4
Этапы выполнения:
1. Определить все произведения в таблице 4.
2. Определить все суммы в таблице 4.
3. Определить относительные начальные моменты в таблице 4.
4. Пересчитать полученные моменты для размерности измеряемойвеличины.
5. Рассчитать коэффициенты эксцесса и асимметрии.
6. Определить графически верхний и нижний квартили.
7. Определить графически выборочную медиану.
8. Определить выборочную моду (по вариационному ряду).
9. Определить размах.2.9 Оформление результатов
Полученные результаты свести в таблицу 5 (нечисловые результатызаменить ссылками на рисунки и приложения). На рисунках в приложениях нанести(если возможно) параметры.
Таблица 5 – Показатели описательной статистики для выборки n=Показатель Значение
1. Показатели положения
- Минимальный элемент выборки MIN
- Максимальный элемент выборки MAX
- выборочный верхний квартиль x0,75
- выборочный нижний квартиль x0,25
- среднее />
- выборочная медиана Md
- выборочная мода Mo
2. Показатели разброса
- дисперсия выборки S2
- выборочное среднее квадратическое отклонение S
- размах R
- коэффициент эксцесса kэкс
3. Показатели асимметрии
- Коэффициент асимметрии kас
- положение выборочной медианы относительно выборочного среднего и относительно выборочных квартилей
- гистограмма
Приложение 2
Приложение 2
4. Показатели, описывающие закон распределения
- гистограмма
- выборочная функция распределения
- таблица частот
Приложение 2
Приложение 3
Таблица 3
Список использованной литературы
1. Мелник М. Основы прикладной статистики: Пер. с англ. – М.:Энергоатомиздат, 1983. – 416 с.
2. Рудзит Я.А., Плуталов В.Н. Основы метрологии, точность инадежность в приборостроении: Учеб. пособие для студентов приборостроительныхспециальностей вузов. – М.: Машиностроение, 1991. – 304 с.
3. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных накомпьютере/ Под ред. В.Э.Фигурнова. – М.: ИНФРА-М, 1998. – 528 с.