1. Які існують характеристики точності прогнозу?
Прогнозуваннятимчасового ряду по його поточних і минулих значеннях є важливим прикладнимзавданням. Один з найпоширеніших методів прогнозування полягає в екстраполяції,тобто в продовженні в майбутнє тенденції, що спостерігалася в минулому.Екстраполяція базується на наступних допущеннях:
1. розвитокявищі може бути з достатньою підставою охарактеризовано плавкою (эволюторной)траєкторією — трендом;
2. загальніумови, що визначають тенденцію розвитку в минулому, не перетерплять істотнихзмін у майбутньому.
Основнимивимогами, пропонованими до результатів прогнозування, є, з одного боку,точність прогнозу, а з іншого боку — максимальна глибина прогнозу.Удосконалення існуючих підходів до встановлення зв'язку глибини й точностіпрогнозу не тільки з кількісними, але й з якісними характеристиками базипрогнозування є актуальним напрямком для досліджень. У такий спосіб ціль даноїроботи — представити математичний підхід до визначення величини глибинипрогнозу, реалізація якої здійснюється за допомогою рішення наступних завдань:
1. оглядметодів статистичного прогнозування й аналізу тимчасових рядів, видів процесівтимчасових рядів;
2. моделюванняпропонованого підходу для тимчасових рядів з різними коливаннями, іншимивипадковими характеристиками тимчасових рядів;
3. аналізповодження автокорреляційних функцій тимчасових рядів;
4. дослідженнязалежності точності прогнозованих значень від розрахованої глибини прогнозу.
У цейчас у практичній діяльності економістами для оцінки глибини економічногопрогнозу використається наступна залежність:
/>
де L — періодпопередження, n — кількість прогнозних значень ряду, В — наявна база прогнозу.Такий підхід для різних динамічних рядів є необґрунтованим, оскільки ніяк невраховує якісної характеристики бази прогнозування, тобто різний ступіньзашумлення, рівень коливань, ступінь взаємозв'язку даних вихідного ряду (див.Рисунок 1).
/>
Рисунок 1 — Використовуванийу цей час підхід до оцінки глибини економічного прогнозу
Проте, саме цей використається фахівцями в області фінансового й економічногопрогнозування. В [1] відомий фахівець в області стратегічного планування йпрогнозування — Фатхутдінов Р.А. визначає глибину прогнозування чистоемпіричним шляхом, ґрунтуючись на сформованих поданнях і догмах, залежно від використовуваногометоду прогнозування. У таблиці 1 представлений підхід Фатхутдінова.
Таблиця1 — Оцінка глибини прогнозу для різних методів прогнозування
Метод
Область застосування 1. Нормативний Строк попередження до 10-15 років. 2. Експериментальний Строк попередження до 10-15 років. 3. Параметричний Строк прогнозування до 10 років. 4. Екстраполяція Строк прогнозування до 5 років. 5. Індексний Строк прогнозування до 5 років. 6. Експертний Строк прогнозування не обмежений. 7. Оцінка технічних стратегій Строк прогнозування не обмежений. 8. Функціональний Строк прогнозування не обмежений. 9. Функціональний Строк прогнозування не обмежений.
Повнійвідсутності чіткого математичного обґрунтування глибини прогнозу у вітчизнянихдослідників протистоїть західна школа. Пропонуються також підхід до визначенняоптимальної глибини прогнозу за допомогою аналізу хаотичного компонентатимчасових рядів. Однак використовувана їм методика становить інтерес дляекономічного прогнозування лише таких рядів, у яких цей компонент є.
Пропонованийпідхід є досить простим і в той же час дуже важливим інструментам дляпідвищення точності економічного прогнозу й дозволяє перебороти наступнінедоліки використовуваних у цей час підходів: не облік ступеня коливань рядунавколо тренда; не облік наявності/відсутності зв'язку між рівнями ряду вбазовому періоді; Відсутність чіткої границі, за межами якої економічнийпрогноз не має змісту Запропонований новий підхід до оцінки глибиниекономічного прогнозу синтезує кількісну і якісну характеристики вихіднихзначень динамічного ряду й дозволяє обґрунтовано з математичної точки зорузадавати період попередження для екстраполіруємих тимчасових рядів. Сутністьпропонованого підходу в наступному. Для визначення зв'язку між значеннямивихідного ряду використається вибіркова функція автокореляції. При побудовіцієї функції використається методика теорії ймовірностей для випадку двохвибірок. Часовий лаг характеризує зрушення значень вихідного тимчасового з. Напрактиці величина k обмежується невеликим числом перших значень вибірковоїавтокорреляційної функції />. Отже, k-ий член вибірковоїавтокорреляційної функції визначається в такий спосіб:
/>
Далі необхіднознайти площу ділянки, що перебуває під кривої функції. Знайдена в такий спосібвеличина характеризує оптимальну глибину прогнозу з урахуванням тіснотикореляційного зв'язку між вихідними даними. Тобто, глибина прогнозу не повиннаперевищувати границь значимого зв'язку рівнів динамічного ряду.
1. Екстраполяціятренда й довірчі інтервали прогнозу. Якщо при аналізі розвитку об'єкта прогнозує підстави прийняти два базових допущення екстраполяції, про які ми говориливище, те процес екстраполяції полягає в підстановці відповідної величиниперіоду попередження у формулу, що описує тренд. Причому, якщо по яких-небудьміркуваннях при екстраполяції зручніше початок відліку часу встановити намомент, що відрізняється від початкового моменту, прийнятого при оцінюванніпараметрів рівняння, то для цього у відповідному багаточлені досить змінитипостійний член. Так у рівнянні прямої при зрушенні початку відліку часу на троків уперед постійний член буде дорівнює a+bm, для параболи другого ступенявін складе величину а+ bт + ст2. Екстраполяція, загалом кажучи, дає крапкову прогностичнуоцінку. Інтуїтивно відчувається недостатність такої оцінки й необхідністьодержання інтервальної оцінки для того, щоб прогноз, охоплюючи деякий інтервалзначень прогнозованої змінної, був би більше надійним. Як уже сказане вище,точний збіг фактичних даних і прогностичних крапкових оцінок, отриманих шляхомекстраполяції кривих, що характеризують тенденцію, — явища малоймовірне.Відповідна погрішність має наступні джерела: вибір форми кривій, щохарактеризує тренд, містить елемент суб'єктивізму. У всякому разі часто немаєтвердої основи для того, щоб затверджувати, що обрана форма кривої є єдиноможливою або тим більше найкращою для екстраполяції в даних конкретних умовах;
2. оцінюванняпараметрів кривих (інакше кажучи, оцінювання тренда) виробляється на основіобмеженої сукупності спостережень, кожне з яких містить випадковий компонент. Усилу цього параметрам кривій, а отже, і її положенню про простір властива деяканевизначеність;
3. трендхарактеризує деякий середній рівень ряду, на кожний момент часу. Окреміспостереження, як правило, відхилялися від нього в минулому. Природноочікувати, що подібного роду відхилення будуть відбуватися й у майбутньому.
Погрішність,зв'язана із другим і третім її джерелом, може бути відбита у вигляді довірчогоінтервалу прогнозу при прийнятті деяких допущень про властивість ряду. Задопомогою такого інтервалу крапковий екстраполяційний прогноз перетвориться в інтервальний.Цілком можливі випадки, коли форма кривій, що описує тенденцію, обрананеправильно або коли тенденція розвитку в майбутньому може істотно змінюватисяй не додержуватися того типу кривої, що був прийнятий при вирівнюванні. Востанньому випадку основне допущення екстраполяції не відповідає фактичномуположенню речей. Знайдена крива лише вирівнює динамічний ряд і характеризуєтенденцію тільки в межах періоду, охопленого спостереженням. Екстраполяціятакого тренда неминуче приведе до помилкового результату, причому помилкутакого роду не можна оцінити заздалегідь. У зв'язку із цим можна лише відзначитите, що, очевидно, варто очікувати ріст такої погрішності (або ймовірності їївиникнення) при збільшенні періоду попередження прогнозу. Одне з основнихзавдань, що виникають при екстраполяції тренда, полягає у визначенні довірчихінтервалів прогнозу. Інтуїтивно зрозуміло, що в основу розрахунку довірчогоінтервалу прогнозу повинен бути покладений вимірник коливань рядуспостережуваних значень ознаки. Чим вище ці коливання, тим менш певне положеннятренда в просторі «рівень — час» і тем ширше повинен бути інтервалдля варіантів прогнозу при одній і тім же ступені довіри. Отже, питання продовірчий інтервал прогнозу варто почати з розгляду вимірника коливань. Звичайнотакий вимірник визначають у вигляді середнього квадратичного відхилення(стандартного відхилення) фактичних спостережень від розрахункових, отриманихпри вирівнюванні динамічного ряду. У загальному виді середнє квадратичноговідхилення від тренда можна виразити як:
/>
У загальному видідовірчий інтервал для тренда визначається як:
/>
Якщоt = і + L, то рівняння визначить значення довірчого інтервалу для тренда,продовженого на L одиниць часу. Довірчий інтервал для прогнозу, очевидноповинен ураховувати не тільки невизначеність, пов'язану з положенням тренда,але можливість відхилення від цього тренда. У практиці зустрічаються випадки,коли більш-менш обґрунтовано для екстраполяції можна застосувати кілька типівкривих. При цьому міркування іноді зводяться до наступного. Оскільки кожна ізкривих характеризує один з альтернативних трендів, те очевидно, що простір міжтрендами, що екстраполірують являє собою деяку природну довірчу область дляпрогнозованої величини. З таким твердженням не можна погодитися. Насамперед тому,що кожна на можливих ліній тренда відповідає деякій заздалегідь прийнятійгіпотезі розвитку. Простір же між трендами не зв'язано з жодною з них — черезнього можна провести необмежене число трендів. Варто також додати, що довірчийінтервал пов'язаний з деяким рівнем імовірності виходу за його границі. Простірміж трендами не зв'язано ні з яким рівнем імовірності, а залежить від виборутипів кривих. До того ж при досить тривалому періоді попередження цей простір,як правило, стає настільки значним, що подібний довірчий інтервал втрачаєвсякий зміст.
/>
Рисунок 2 — Пошукмаксимального інтервалу кореляції
Дляпорівняння якості рішення завдань прогнозування при традиційному йпропонованому підході використаються довірчі інтервали прогнозу для лінійноготренда. Як приклад аналізу впливу якісних характеристик тимчасових рядів наглибину прогнозу були взяті три тимчасових ряди розмірністю n рівної 30 зрізними коливаннями навколо тренда. У підсумку обчислень значень площі діляноккривих вибіркових автокорреляційних функцій вийшли наступні оцінки дляоптимальної глибини прогнозу: для слабоколивального ряду — 9 рівнів, для середньоколивального- 3 рівні, для сильноколивального — 1 рівень (Рисунок 2).
/>
Рисунок3 — Отримані результати оцінки глибини прогнозу
Аналізрезультатів показує, що навіть при середньому коливанні значень ряду навколотренда довірчий інтервал виявляється досить широким (при довірчій імовірності90%) для періоду попередження, що перевищує розрахунковий пропонованимспособом. Уже для попередження на 4 рівні довірчий інтервал склав майже 25%розрахункового рівня. Досить швидко екстраполяція приводить до невизначеного встатистичному змісті результатам. Це доводить можливість застосуваннязапропонованого підходу. Оскільки вище розрахунок проводився ґрунтуючись наоцінках величин, представляється можливим побудувати залежність оцінки глибиниекономічного прогнозу від значень його бази, задавши значення тимчасового лагаk і відповідні їм значення глибини економічного прогнозу. Таким чином,запропонований новий підхід до оцінки глибини економічного прогнозу синтезуєкількісну і якісну характеристики вихідних значень динамічного ряду й дозволяєобґрунтовано з математичної точки зору задавати період попередження для екстраполіруемихтимчасових рядів.
2. ЗАДАЧА
Розподілити загально- «сукупні» витрати центру витрат на змінні та постійні, за умови, щоїх загальна сума за звітній період порівняно з планом зросла з 50 тис. грн. на60 тис. грн., а обсяг збільшився на 10%.
СПИСОКВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Фатхутдинов Р.А. Конкурентоспособность:экономика, стратегия, управление. Серия «Высшее образование». Москва:ИНФРА-М, 2000, 312 с.
2. Четыркин Е.М. Статистическиеметоды прогнозирования. изд. 2-е, перераб. и доп., — М.: Статистика, 1977, 199с.
3. Бокс Дж., Дженкинс Г., Анализвременных рядов. Прогноз и управление. — М.: Мир, 1974, 608 с
4. Мирский Г.Я. Характеристикистохастической взаимосвязи и их измерения. — М.: Энергоиздат, 1982. — 320 с.,ил.
5. Мирский Г.Я. Аппаратурноеопределение характеристик случайных процессов. Изд. 2-е переработ. и доп., М.,«Энергия», 1972.
6. Жовинский А.Н., ЖовинскийВ.Н. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов. — М.: Энергия, 1979.-112с.
7. Минько А.Л. Статистическийанализ в MS Excel.- М.: Изд. «Вильямс», 2004. — 448 с.