/>/>РОСАТОМ
СЕВЕРСКАЯГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
Кафедра Э иАФУ
ЛИНЕЙНЫЕАВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
КУРСОВОЙПРОЕКТ
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯЗАПИСКА
200600.В075.01.000ПЗ
Преподаватель:
_________В.Я.Дурновцев
«___»____________2008г.
Студент:
__________И.А.Акелькин
«___»____________2008г.
Северск –2008
СОДЕРЖАНИЕ
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1 ПОСТРОЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА
1.1 Статическая модель объекта первого порядка
1.2 Статистическая модель объекта второго порядка
1.3 Расчёт коэффициентов передачи объекта
2 ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА
2.1 Динамическая модель объекта 1-го порядка без запаздывания
2.2 Динамическая модель объекта 1-го порядка с запаздыванием
2.3 Динамическая модель объекта 2-го порядка без запаздывания
2.4 Динамическая модель объекта 2-го порядка с запаздыванием
3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА
3.1 Приведение к нормальной системе дифференциальныхуравнений
3.2 Решение нормальной системы уравнений методом Рунге-Кутта,с постоянным шагом.
4 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА
4.1 Частотные характеристики
4.1.1 Расчёт частотных характеристик вручную
4.1.2 Расчёт частотных характеристик в системе MathCAD.
4.2 Расчет расширенных частотных характеристик объекта.
4.2.1 Расчет расширенных частотных характеристик объекта всистеме MathCAD13
5 ВЫБОР И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ
5.1 П — регулятор
5.1.1 Расчёт П — регулятора вручную
5.1.2 Расчёт П — регулятора в системе MathCAD
5.2 И – регулятор.
5.2.1 Расчёт И – регулятора вручную.
5.2.2 Расчёт И – регулятора в системе MathCAD
5.3 ПИ – регулятор
5.3.1 Расчёт ПИ – регулятора вручную
5.3.2 Расчёт ПИ – регулятора в системе MathCAD
6 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
6.1 Разомкнутые системы
6.2 Замкнутые системы
7 ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГОУПРАВЛЕНИЯ
7.1 Постановка задачи
7.2 Методы исследования САУ на устойчивость
7.3 Проверка устойчивости САУ по критерию Рауса
7.3.1 Замкнутая система с П – регулятором
7.3.2 Замкнутая система с И – регулятором
7.3.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором
7.4 Проверка устойчивости систем по частотному критериюНайквиста
7.4.1 Разомкнутая система с П – регулятором
7.4.2 Разомкнутая система с И – регулятором
7.4.3 Разомкнутая система с ПИ-регулятором
7.5 Проверка устойчивости САУ по корням характеристическогоуравнения
7.5.1 Замкнутая система с П – регулятором по возмущению
7.5.2 Замкнутая система с И – регулятором по возмущению
7.5.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором по возмущению
7.6 Проверка устойчивости САУ по критерию устойчивостиГурвица
7.6.1 Замкнутая система с П – регулятором по управлению
7.6.2 Замкнутая система с И – регулятором по управлению
7.6.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором по управлению
7.7 Проверка устойчивости САУ по частотному критериюМихайлова
7.7.1 Замкнутая система с П – регулятором по возмущению
7.7.2 Замкнутая система с И – регулятором по возмущению
7.7.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором по возмущению
8 ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
8.1 Постановка задачи. Методы решения
8.2 Построение переходных процессов в замкнутых системах повозмущению
8.2.1 Система с П – регулятором
8.2.2 Система с И – регулятором
8.2.3 Система с ПИ – регулятором
8.3 Построение переходных процессов в замкнутых системах поуправлению
8.3.1 Система с П – регулятором
8.3.2 Система с И – регулятором
8.3.3 Система с ПИ – регулятором
9 ОЦЕНКА КАЧКСТВА РАБОТЫ САУ
9.1 Постановка задачи. Критерии качества переходных процессов
9.2 Оценка качества замкнутых САУ по возмущению
9.2.1 Система с П – регулятором
9.2.2 Система с И – регулятором
9.2.3 Система с ПИ – регулятором
9.3 Оценка качества замкнутых САУ по управлению
9.3.1 Система с П – регулятором
9.3.2 Система с И – регулятором
9.3.3 Система с ПИ – регулятором
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
/>ВВЕДЕНИЕ
/>Автоматизация производственныхпроцессов является одним из главнейших факторов повышения производительности общественно полезного труда и улучшения качества выпускаемой продукции.На этапе проектирования технологического процесса, установки, объекта долженбыть выполнен синтез автоматической системы регулирования (АСР) по параметрамбудущего объекта. При сооружении объекта необходимо смонтировать элементы АСР иустановить настроечные параметры. На работающем объекте, параметры которогоочень часто отличаются от проектных или существенно изменяются в процессе длительнойэксплуатации, необходимо исследовать объект, построить его математическуюмодель в виде статической и динамической характеристик, произвести расчет параметровнастройки выбранных регуляторов (а часто и выбрать тип регулятора), установитьэти параметры и оценить качество функционирования системы «объект — регулятор».
Даже из перечисленияработ видно, что трудоемкость проектирования и исследования любых АСР значительна.Трудоемкость вычислений настолько велика, что часто за отведенное время невозможноуложиться с полным расчетом одной АСР, не говоря уже о вариантном переборе различныхАСР, о приобретении навыков в системе расчетов и о получении интуитивногопонимания различных АСР. Поэтому решение поставленной задачи: за один фрагментучебных занятий (лабораторные, практические занятия, курсовое проектирование)выполнить вариантный расчет АСР для заданного объекта (дифференциальнымиуравнениями, передаточной функцией или экспериментальными данными) — может бытьнайдено только на пути активного взаимодействия в системе «Пользователь — ЭВМ». Такая программа работ может быть дополнена экспериментальным исследованиемреального объекта (или его модели, стенда) и настройкой рассчитанных параметроврегулятора с проверкой работоспособности всей системы по заданным критериям качества.
1ПОСТРОЕНИЕ СТАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА
Статический объект — такой объект, у которого выходная величина является функцией от входной y=f(x)и не изменяется с течением времени.
Для того, чтобы знатьповедение статического объекта, строят математическую модель, описывающую ваналитической форме зависимость выходного сигнала от сигнала на входе объекта.
Постановка задачи:
Для получения статическойхарактеристики объекта регулирования необходимо выполнить следующие действия:
— задаться рядом значенийвходной величины x;
— для каждого xi, поданного на вход объекта выдержатьвремя, необходимое для завершения переходного процесса;
— зарегистрироватьзначение выходного сигнала yi.
Для построения статической модели, статическогообъекта, мы имеем значения входных и соответствующих им выходных величин втаблице 1.
Таблица 1 – Исходные данныеI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 1 2 3 4 5 6 7 9 Y 3 4,1 5 6 7 7,5 7,8 8,2 9 />/>/>/>/>/>/>/>1.1 Статическая модельобъекта первого порядка
Объект первого порядка(линейная модель) описывается уравнением вида y=ax+b. Для нахождениякоэффициентов a и b, удовлетворяющих всем состояниям объекта регулированиясоставим систему линейных алгебраических уравнений.
/>
Для решения даннойсистемы уравнений воспользуемся методом Крамара.
X∙А=Y
XТX∙А=XТY
где /> — матрица с неизвестнымивеличинами
Составим соответствующиематрицы входных и выходных сигналов:
/> />
/>
— произведение />: /> />
— произведение />: />/>
/> />
/> />
Вычислили значениякоэффициентов: а=0,668; b=3,655
Окончательно получимуравнение: y = 0,668x + 3,655
Для качественной оценкиполученного полинома вычислим аналитически значения функции и сравним их сэкспериментальными данными. Результаты сведем в таблице 2.
Таблица 2 – РезультатырасчётаX 1 2 3 4 5 6 7 9
Yзад 3 4.1 5 6 7 7.5 7.8 8.2 9
Yаналит 3.655 4.323 4.991 5.659 6.327 6.995 7.663 8.331 9.667 ΔY 0.655 0.223 -0.009 -0.341 -0.673 -0.505 -0.137 0.131 0.667
ΔY2 0.429 0.050 0.000 0.116 0.453 0.255 0.019 0.017 0.449
/>
Далее приведенпроверочный расчет линейной аппроксимации на ЭВМ в программной среде MathCAD.
Вектор данных:
/> />
Длина вектора: />
/>
Операторslope определяет тангенс угла образованного аппроксимирующей прямой иположительным направлением оси ОХ, т.е. определяет коэффициент при х.
/>
/>
Оператор intercept определяет точку пересеченияаппроксимирующей прямой с осью OY,т.е. определяет свободный член.
/>
/>
Получаем уравнениеаппроксимирующей прямой:
/>
Определяем суммуквадратов отклонений:
/>
/>
/>
/>
Рисунок 1 – График статическоймодел/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>и 1-го порядка1.2Статистическая модель объекта второго порядка
В целом ход действий аналогиченслучаю для линейной модели. Модель объекта второго порядка описывается уравнениемвида y=ax2+bx+c.
/>
Для решения этой системы воспользуемсяматричным методом наименьших квадратов.
Составим матрицы входныхи выходных сигналов:
/> />
/>
/> />
Таким образом, получили матричноеуравнение:
/>,
где /> - матрица коэффициентов полинома второго порядка
Находим значение главногоопределителя:
Δ=314160
Подставляя матрицу /> поочередно впервый, второй и третий столбец матрицы />, находим вспомогательные определители:
/> />
/> />
/> />
Находим коэффициенты полинома:
/> />
/> />
/> />
Таким образом, получилиполином второго порядка:
/>
Для качественной оценкиполученного полинома вычислим аналитические значения функции и сравним их сэкспериментальными данными. Результаты сведем в таблице 3.
Таблица 3 – Результаты расчетаX 1 2 3 4 5 6 7 9
Yзад. 3 4,1 5 6 7 7,5 7,8 8,2 9
Yаналит. 3,155 4,265 5,261 6,143 6,991 7,565 8,105 8,531 9,041 ΔY 0,155 0,165 0,261 0,143 -0,089 0,065 0,305 0,331 0,041
ΔY2 0,024 0,027 0,068 0,020 0,008 0,004 0,093 0,110 0,002
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Далее приведенпроверочный расчет линейной аппроксимации на ЭВМ в программной среде MathCAD.
/> /> — векторы данных;
/> /> — длина вектора
/>/> — задание степени
/>
/>/>
/>
— переход к созданию матрицыВандермонда и подматрицы для решения системы уравнений;
/>
— матрица коэффициентовсистемы уравнений;
/>
— вектор правых частейсистемы уравнений;
/>
— решение системыуравнений;
/>/>
/>-коэффициент c;
— коэффициент b;
— коэффициент a;
/>
— вычисление значений аппроксимирующейфункции;
Определяем суммуквадратов отклонений:
/>
/>
/>
/>
Рисунок 2 – Графикстатической модели 2-го порядка
1.3 Расчёт коэффициентов передачи объекта
Коэффициент передачиобъекта показывает, в какую сторону и в какой степени происходит изменениесигнала при прохождении его через объект, то есть усилительные свойстваобъекта.
Коэффициент передачиопределяется как производная от выходной величины:
/>
/>
Расчет коэффициента передачи производим при 10%, 50% и90% номинального режима, из таблицы данных находим максимальное и минимальноезначения сигнала на выходе объекта
/> />
/> />
/> />
/> />
Решим алгебраическиенелинейные уравнения, исследуем полученные корни и, подставив, нужный корень,получили коэффициенты передач.
/> />
/> />
/> />
/> />
/> />
/> />
Таблица 4 – Результатырасчета коэффициентов передачи 10% 50% 90% y 3,6 6 8,4 k 1,209 1,417 1,598
/>2 ПОСТРОЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИОБЪЕКТА
Динамическая характеристика объектанужна для построения его динамической математической модели, которая описываетповедение объекта во времени, начиная с момента подачи входного сигнала и домомента, когда все переходные процессы заканчиваются.
Динамические характеристики, в своюочередь, подразделяются на временные и частотные.
Временными характеристиками звена илисистемы называют изменение во времени значений выходной величины припоступлении на вход некоторого типового воздействия. Наиболее важной временнойхарактеристикой является реакция системы на единичное, мгновенное,скачкообразное изменение значения входной величины, так как этот режим оченьчасто возникает в системах регулирования, как при включении, так и приизменении заданного значения регулируемой величины.
Таким образом, под временнойхарактеристикой системы будем понимать процесс изменения выходной величины вфункции времени при переходе системы из одного равновесного состояния в другоев результате поступления на вход системы единичного, ступенчатого воздействия.
Для получения динамической переходнойхарактеристики объекта регулирования необходимо:
а) задаться рядом значений времени t;
б) зарегистрировать значениевыходного сигнала Yi взаданные моменты t, в результате интенсивного экспериментирования. Эти данныесведены в таблицу 5.
Таблица 5 – Динамическаяхарактеристика объекта регулированияi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t 1 2 3 4 5 6 7 9 Y 0,1 0,5 0,7 0,82 0,91 0,975 0,99 1
Для получения аналитическойзависимости, заданную таблично динамическую характеристику необходимоаппроксимировать выражением первого порядка. Затем по наименьшему значениюсуммы квадратов отклонений для характеристик без запаздывания и с запаздываниемнужно выбрать наиболее приближенную к экспериментальным данным динамическуюхарактеристику.
Для статических объектовпервого порядка без запаздывания будем иметь:
- дифференциальноеуравнение
/>
Т — постоянная времени, это время в течение которого выходнаякоордината объекта достигла установившегося состояния, если бы изменялась смаксимальной скоростью;
k — коэффициент передачи.
- передаточнуюфункцию
/>
- решениедифференциального уравнения
/>
Для статических объектовпервого порядка с запаздыванием будем иметь:
- дифференциальноеуравнение
/>
- передаточнуюфункцию
/>
- решениедифференциального уравнения
/>
Для статических объектов N-го порядка беззапаздывания, имеющих кратные (одинаковые корни), будем иметь:
- передаточнуюфункцию
/>
- решениедифференциального уравнения (переходный процесс)
/>
Для статических объектов N-го порядка с запаздыванием будемиметь:
- передаточнуюфункцию
/>
переходный процесс
/>
Общий процесс решения поставленной задачи будетвыглядеть следующим образом:
- составляем систему уравнений для всейсовокупности экспериментальных точек. Для объектов высоких порядков системупредварительно линеаризуем посредством замены переменных и решения в каждойточке нелинейного уравнения для этой введенной дополнительной переменной;
- составляемсистему уравнений для всей совокупности экспериментальных точек. Для объектоввысоких порядков систему предварительно линеаризуем посредством заменыпеременных и решения в каждой точке нелинейного уравнения для этой введеннойдополнительной переменной;
- полученнуюсистему уравнений решаем матричным методом наименьших квадратов и находимнеизвестные и T.2.1Динамическая модель объекта 1-го порядка без запаздывания
Расчёт вручную
Решением дифференциального уравнениябудет являться сумма общего и частного решений:
/>
Найдем Yобщ(t):
/>
/>
Найдем Yчаст(t):
/>
Подставим:
/>
Найдем постоянную С:
Y(0)=Y0
тогда
/>;
/>
Подставим С:
/>
/>
По таблице при t = 0, Y(0) = 0, тогда:
/>, откуда/>и получим:
/>
Где /> - установившееся значение, в нашем случае Yуст = Ymax.
Найдем постоянную времени Т методомнаименьших квадратов. Преобразуем выражение:
/>
/>
Прологарифмируем выражение:
/>
Обозначим
/>
Рассчитаем /> для каждого момента времени ti и занесем в таблицу 6.
Таблица 6 — Значения/>i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
/> 1 0.9 0.5 0.3 0.18 0.09 0.025 0.01
Далее составляем системуалгебраических уравнений:
/>
В систему не вошлоуравнение для момента времени t9, так как ln0 не определен, и для момента времени t=0, так как в них/>. Составляем матричноеуравнение для:
/>
Составим матрицы:
/> />
Находим произведение />:
/>
Находим произведение />:
/>
Окончательно найдем T:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 3 – Графикдинамической модели объекта 1-го порядка без запаздывания
/>2.2Динамическая модель объекта 1-го порядка с запаздыванием
/>/>
Расчёт вручную
Системой с запаздыванием называетсясистема, в которой имеется звено, обладающее таким свойством, что реакция наего выходе отстает по времени на некоторую величину />.
Объект первого порядка с запаздываниемможно описать уравнением вида:
Запишем решение дифференциальногоуравнения:
/>
где
/>
Найдем постоянную времени Т и времязапаздывания /> методом наименьших квадратов.Преобразуем выражение:
/>
Прологарифмируем выражение :
/>
/>
где />, значение /> (таблица 6).
Составим систему алгебраическихуравнений первого порядка, причем число уравнений равно числу состояний объектав эксперименте, кроме точек />, так как в них />, а также точки и/>, так как вэтой точке /> несуществует:
/>
Составим матричное уравнение длярешения системы:
/>
где
/>.
Составим матрицы L и t:
/> />
Найдем произведение />:
/>
Найдем произведение />:
/>/>
Найдем главный определитель:
/>
Находим вспомогательные определители /> и />, подставляяматрицу /> поочереднов первый и второй столбцы матрицы /> соответственно:
/> />
Находим Т и t:
/>
/>
Расчёт в системе MathCAD
/>
/>
/> — решение системы линейных алгебраических уравнений методом наименьших квадратов посредством обращения матрицы;
/>
/> — время запаздывания; — постоянная времени;
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 4 – Графикдинамической модели объекта 1-го порядка с запаздываниемТаблицы исходных данных и результатов:
/>
/>
/>
/>
/> 2.3Динамическая модель объекта 2-го порядка без запаздывания
/>
/>
/>
Рисунок 5 – Графикдинамической модели объекта 2-го порядка без запаздыванияТаблицы исходных данных и результатов:
/>
2.4Динамическая модель объекта 2-го порядка с запаздыванием
/>
/>
/> — длина вектора данных;
/>
/>
/> — задание границ адекватности исходных данных предполагаемой модели по значениям y1;
/>
/> — нелинейное уравнение;
/> — решение нелинейного уравнения;
/> — вектор правых частей;
/>
/>
/>
/>
/> — вектор коэффициентов системы уравнений;
— решение системы линейныхалгебраических уравнений методом наименьших квадратов посредством обращенияматрицы;
/>
/>
/> — время запаздывания — постоянная времени;
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 6 – Графикдинамической модели объекта 2-го порядка с запаздываниемТаблицы исходных данных и результатов:
/>
/>
/>
/>
/>
Таким образом, в результате расчетаиз четырёх моделей объекта выбрана модель второго порядка c запаздыванием, так как она наиболееточно отражает протекание переходных процессов и обеспечивает заданное качестворегулирования. Это видно из расчетов, у этой модели сумма квадратов отклоненийимеет наименьшее значение, чем у остальных объектов и также это видно из кривойпереходного процесса.
3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА/> 3.1 Приведение к нормальной системе дифференциальныхуравнений
Пусть имеем передаточную функцию ввиде степенного полинома, который необходимо представить в обычной форме. Втаком виде обычно формируется математическая модель объекта по результатамисследования. Передаточная функция представляет собой отношение выходнойвеличины к входной величине, и она выбирается по минимальномусреднеквадратическому отклонению от экспериментальных данных динамическиххарактеристик. В нашем случае это передаточная функция динамическойхарактеристики второго порядка с запаздыванием:
/>
Где:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Разложим звено запаздывания встепенной ряд в виде отношения полиномов:
/>
/>
Тогда перемножая, получим:
/>
/>
/>
Получили дифференциальное уравнение.Приведем к нормальной системе дифференциальных уравнений методом формальногоинтегрирования.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Получили нормальную системудифференциальных уравнений, разрешённую относительно первой производной:
/>
Неизвестную величину /> найдём из соотношения:
/>
/>
Где k — коэффициент передачи при 50% мощности от номинальногорежима;
/> — максимальное значение />экспериментальных данных.
Подставив /> в полученную систему получим:
/>
В результате решения получаетсяматрица чисел, содержащая столбец точек независимой переменной (в нашем случае- времени) и столбцы соответствующих значений функций, определенных системойуравнений и вычисленных в этих точках./>3.2 Решение нормальной системы уравнений методом Рунге – Кутта,с постоянным шагом
/> — Вектор начальных условий;
/>
/> - Количество точек; — Вектор правых частей исходной системы дифференциальных уравнений в нормальной форме;
/> — Обращение к процедуре rkfixed
/>
/>/>
Время, с
Рисунок 7 — График переходного процесса
На рисунке:/>– исходные данные; Y(t1) – полином второго порядка с запаздыванием.
/>/>/>4 ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТА/>/>/>/>/> 4.1 Частотные характеристики/> 4.1.1 Расчёт частотныххарактеристик вручную
Для оценки установившихся режимовоказалось более удобным рассматривать поведение элементов и систем привоздействии, являющихся периодическими функциями времени. Частотныехарактеристики всякого объекта связаны с его передаточной функцией, котораяимеет вид:
/>
Где /> - коэффициент передачи при 50 %;
/> - постоянная времени;
/> - время запаздывания.
В выражении для объекта второгопорядка, заменив /> на мнимую величину />, получим комплекснуюфункцию />,которую называют частотной функцией и имеет следующий вид:
/>
где /> - частота.
Экспоненту преобразуем по формуламЭйлера, получим:
/>
Преобразовав выражение, получим выражение:
/>
Обозначим в формуле:
/>
— вещественная частотнаяхарактеристика системы;
/>
— мнимая частотная характеристикасистемы.
Подставив /> и /> в уравнение:
/>
На основании равенств составимсоотношения, связывающие между собой частотные характеристики:
/>
/>
/>
где /> - амплитудно-частотная характеристика;
/> - фазо-частотная характеристика;
/> - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.
Пусть />, тогда действительнаясоставляющая равна:
/>
Мнимая составляющая /> равна:
/>
Амплитуда колебаний равна:
/>
Фазовая составляющая равна:
/>
Результаты, полученные при другихчастотах, сведены в таблицу 7.
Таблица 7 – Результаты вычислений
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1,417 1,417 6,971 0,1 1,341 -0,413 1,403 6,733 -0,299 0,2 1,13 -0,762 1,363 6,191 -0,594 0,5 0,165 -1,123 1,135 2,532 -1,425 1 -0,597 -0,386 0,711 -6,832 0,574
/>4.1.2 Расчёт частотных характеристик в системе MathCAD
/>
/>
/>
/> -диапазон изменения частоты;
/> -замена p на комплексную переменную i
/> -передаточная функция объекта;
/> -действительная составляющая;
/> -мнимая составляющая;
/> -АЧХ;
/> -ЛАЧХ;
/>
/> -ФЧХ.
/>
Рисунок 8.1 – АФХ объекта
/>
Рисунок 8.2 – АЧХ объекта
/>
Рисунок 8.3 – ЛАЧХ объекта
/>
Рисунок 8.4 – Действительная частотнаяхарактеристика
/>
Рисунок 8.5 – Мнимая частотнаяхарактеристика
/>
Рисунок 8.6 – Фазо – частотнаяхарактеристика
Фазо – частотная характеристика вычисляетсяв диапазоне от 0 до 3600. Для значений больше 3600 необходимо прибавить вычисленное значение.
Таблица 8 – Результаты вычислений всистеме MathCAD
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>4.2 Расчет расширенных частотных характеристик объекта
Расширенные частотные характеристикиприменяются при расчете регуляторов с заданными показателями качества замкнутойсистемы, и, в частности, с заданной величиной степени колебательности />. При />, регулятордолжен обеспечить замкнутой системе 75%-ое затухание. Расчет расширенныхчастотных характеристик даёт более наглядное представление о происходящихпроцессах./>4.2.1 Расчет расширенных частотных характеристикобъекта в системе MathCAD
Заменив в выражении для объектавторого порядка величину /> на мнимую величину />, получим комплекснуюфункцию />.
/>
/>
/>
/> — степень колебательности;
/> -диапазон изменения частоты;
/> -замена p на комплексную переменную i
/> -передаточная функция объекта;
/> -действительная составляющая;
/> -мнимая составляющая;
/> -АЧХ;
/> -ЛАЧХ;
/>
/> -ФЧХ.
/>
Рисунок 9.1 – АФХ объекта
/>
Рисунок 9.2 – АЧХ
/>
Рисунок 9.3 – Логарифмическая АЧХ
/>
Рисунок 9.4 – Действительная ЧХ
/>
Рисунок 9.5 – Мнимая ЧХ
/>
Рисунок 9.6 – ФЧХ
Фазо–частотная характеристикавычисляется в диапазоне от 0 до 3600. Длязначений больше 3600 необходимо прибавить вычисленноезначение.
Результаты расчетов представлены втаблице 9
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Таблица 9 – Результаты вычислений всистеме MathCAD
/>5 ВЫБОР И РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ
Регулятор состоит из элементарныхзвеньев и включается в цепь обратной связи системы автоматическогорегулирования. Автоматические регуляторы по своим динамическим свойствамподразделяются: на линейные и нелинейные. При проектировании наиболее часто излинейных регуляторов применяют:
— П – регулятор (пропорциональныйрегулятор);
— И – регулятор (интегральныйрегулятор);
— ПИ – регулятор(пропорционально-интегральный регулятор);
— Д – регулятор (дифференциальныйрегулятор);
— ПД – регулятор(пропорционально-дифференциальный регулятор);
— ПИД – регулятор(пропорционально-интегро-дифференциальный регулятор);
Требования, предъявляемые крегулятору, обусловлены требованиями ко всей системе регулирования. Дляобеспечения устойчивости замкнутой системы, при проектировании систем стремятсяобеспечивать их устойчивость, так чтобы изменения параметров в некоторыхпределах не могло привести к неустойчивости системы. Расчёт параметровнастройки регуляторов производится при помощи расширенных частотныххарактеристик объекта. Расширенные частотные характеристики рассчитываются приподстановке />.Одним из методов расчёта, является критерий Найквиста. Этот частотный критерийустойчивости, разработанный в 1932г. Американским учёным Г.Найквистом,позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовойхарактеристике. Критерий Найквиста формулируется следующим образом: Еслиразомкнутая система автоматического управления устойчива, то замкнутая системаавтоматического управления будет устойчива, если амплитудно-фазоваяхарактеристика разомкнутой системы /> не охватывает точку (-1,0). Вматематической форме условия устойчивости системы по критерию Найквистаследующие:
/>
В данной работе рассмотрено несколькорегуляторов, при выборе регуляторов необходимо пользоваться рекомендациями. Вцелом процедуры расчета регулятора следующие:
1) Имея передаточную функцию объекта(любого порядка с запаздыванием или без него) зададимся величиной />,обеспечивающей требуемое качество переходного процесса в замкнутой системе, атакже диапазоном и шагом изменения частоты/>.
2) Рассчитаем значения расширеннойчастотной характеристики объекта и в явном виде определим параметры настройкирегулятора в заданном диапазоне частот.
3) Удовлетворяя фазовым соотношениям,находим по полученным графикам и таблицам оптимальные параметры настройкирегуляторов./> 5.1 П — регулятор/> 5.1.1 Расчёт П — регулятора вручную
Передаточная характеристика имеетвид:
/>/>
где: /> — коэффициент передачи при 50%;
/> - постоянная времени;
/> — время запаздывания.
Заменив в выражении для объектавторого порядка величину /> на мнимую величину />, получим комплексную функцию />.
/>
где: /> - степень колебательности;
/> - диапазон изменения частоты.
/>
/>
/>
/>
Обозначим в формуле вещественные имнимые части частотной характеристики:
/>
/>
Подставив /> и />в уравнение, получим:
/>
/>; />; />
Найдём значение /> для некоторых частот,результаты вычислений сведем в таблицу.
Таблица 10 — Результаты вычислений
/>
/>
/>
/> 1 -1 0,1 1,195 -0,485 -0,718 0,2 1,241 -1,198 -0,417 0,5 0,345 -1,152 -0,239 1 0,12 -0,289 -1,226 />5.1.2 Расчёт П — регулятора в системе MathCAD
Для П — регулятора будем иметь следующие расчетные соотношения:
Kп = Rp = R0 (m,) / [R20 (m,) + I20 (m,)],
п (m,w)= + 0 (m,w).
Оптимальный параметр настройки П — регулятора соответствует
п (m,w) = 0. Расчет параметров настройки:
/> -степень колебательности; -диапазон изменения частоты; -замена p на комплексную переменную i;
/> -передаточная функция объекта;
/>
/> -действительная составляющая;
/> -мнимая составляющая; -знаменатель;
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/> -фазо-частотная характеристика регулятора;
/> -действительная составляющая регулятора;
/> -мнимая составляющая регулятора;
/> -Kп регулятора.
Таблица 11 – Результаты расчётапараметров настройки П – регулятора по расширенным частотным характеристикам
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 10.1 – АФХ объекта
/>
Рисунок 10.2 – /> П — регулятора
Проведем более точное исследование П– регулятора при частоте:
/> -диапазон изменения частоты;
Таблица 12 – Результаты расчётапараметров настройки П – регулятора по расширенным частотным характеристикам
/>
Коэффициент передачи П – регулятора />, будемвыбирать, при нулевой фазовой составляющей. Таким образом, при />, />./>5.2 И – регулятор/> 5.2.1 Расчёт И – регулятора вручную
Для И – регулятора передаточнаяхарактеристика имеет вид:
/>
Заменив комплексную переменную /> на /> получимвыражение вида:
/>
Действительная часть:
/>
Мнимая часть:
/>
Выразим />:
/>
/>и /> возьмем из таблицы 10.
Найдём значение /> для некоторых частот,результаты вычислений сведем в таблицу:
Таблица 13 – Результаты вычислений
/>
/>
/>
/> 1 0,1 1,195 -0,485 0,341 0,2 1,241 -1,198 0,396 0,5 0,345 -1,152 0,567 1 0,12 -0,289 5,817 />5.2.2 Расчёт И – регулятора в системе MathCAD
/>
/>
/>
/> — степень колебательности;
/> -диапазон изменения частоты;
/> -замена p на комплексную переменную iw;
Таблица 14 – Результаты расчётапараметров настройки И – регулятора по расширенным частотным характеристикам
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 11.1 – АЧХ
/>
Рисунок 11.2 – /> И – регулятора
Проведем более точное исследование И– регулятора при частоте:
/> -диапазон изменения частоты;
Таблица 15 – Результаты расчётапараметров настройки И – регулятора по расширенным частотным характеристикам
/>
Коэффициент передачи И –регулятора />,будем выбирать, при нулевой фазовой составляющей. Таким образом, при />, />
/>5.3 ПИ – регулятор/> 5.3.1 Расчёт ПИ – регуляторавручную
Для ПИ – регулятора передаточнаяхарактеристика имеет вид:
/>
Заменив комплексную переменную />, на />, получимвыражение вида:
/>
Отсюда выразим действительные имнимые части:
/>
/>
Выразим /> и />:
/>
/>
Найдем численные значения /> и /> для рядачастот, результаты сведем в таблицу.
Таблица 16 – Результаты вычислений
/>
/>
/>
/>
/> 1 -1 0,1 1,195 -0,485 -0,031 -0,783 0,2 1,241 -1,198 -0,084 -0,506 0,5 0,345 -1,152 -0,418 -0,415 1 0,12 -0,289 -3,098 -1,879 />5.3.2 Расчёт ПИ – регулятора в системе MathCAD
/>
/>
/>
/> — степень колебательности;
/> -диапазон изменения частоты;
/> -замена p на комплексную переменную iw;
/> -передаточная функция объекта;
/> -действительная составляющая;
/> -мнимая составляющая;
/> -знаменатель;
/>
/> -фаза;
/> -действительная составляющая регулятора;
/> -мнимая составляющая регулятора;
/> -коэффициент передачи И – регулятора.
/> -коэффициент передачи П – регулятора.
Таблица 17 – Результаты расчётапараметров настройки ПИ–регулятора по расширенным частотным характеристикам
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Рисунок 12.1 – АЧХ
/>
Рисунок 12.2 – />,/>ПИ – регулятора
Проведем более точное исследование ПИ– регулятора при частоте:
/> -диапазон изменения частоты;
Таблица 18 – Результаты расчётапараметров настройки ПИ–регулятора по расширенным частотным характеристикам
/>
Коэффициенты передачи ПИ – регулятора/> и />, будемвыбирать, при максимальном значении коэффициента передачи И – составляющей.Таким образом, при: />, />, />.
Для дальнейших расчетов выберемкоэффициенты />,/>, />:
Таблица19 – Значения коэффициентовпередачи для различного типа регуляторовКоэффициент передачи Вид регулятора: П И ПИ
/> --- 0,374 0,710
/> 1,537 --- 0,861
/>/>6 ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМАВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
/>/>6.1 Разомкнутые системы
Разомкнутыми системами называютсятакие системы, в которых отсутствует обратная связь между выходом объекта ивходом устройства управления.
Различают разомкнутые системыавтоматического управления, у которых управление осуществляют по задающемуизвне воздействию, а также системы, где управление осуществляется повозмущению. Наиболее перспективными являются системы, управление которыхпроизводят по задающему воздействию и по возмущению.
Структурная схема разомкнутой САУизображена на рисунке 14.
/>
Рисунок 13 – Структурная схемаразомкнутой системы
Передаточной функцией такой системыбудет следующее выражение:
/>,
Где:
/> - передаточная функция объекта,
/> - передаточная функциярегулятора.
В нашем случае передаточная функцияобъекта имеет вид:
/>
Передаточные функции регуляторов:
1. Для П –регулятора:
/>.
/>
2. Для И – регулятора:
/>.
/>
3. Для ПИ – регулятора:
/>.
/>
/>/>6.2 Замкнутые системы
В этих системахустройство управления исключает все отклонения выходной величины, вызванныелюбыми возмущениями, а также внешними и внутренними помехами. Замкнутая системапредставляет собой замкнутый контур из устройства управления и объекта. Приэтом имеется обратная связь, связывающая выход системы с входом. Ее наличие иобуславливает почти стопроцентную точность управления.
Структурная схемазамкнутой САУ изображена на рисунке 15:
/>
Рисунок 14 – Структурная схемазамкнутой системы
Передаточной функцией такой системыбудет следующее выражение:
1. по возмущению
/>;
2. по управлению
/>.
Подставив все известные выраженияпередаточных функций объекта регулирования и регуляторов, получим передаточные функциисистем с различными регуляторами:
-c П – регулятором:
/>
/>
— c И – регулятором:
/>;
/>
— c ПИ – регулятором:
/>
/>
/>/>7 ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМАВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ/>/> 7.1 Постановка задачи
Система автоматического регулированиякак динамическая система, характеризуется переходным процессом, возникающем всистеме при нарушении ее равновесия любым возмущением. Основной динамическойхарактеристикой системы регулирования является ее устойчивость илинеустойчивость.
Исследование замкнутых АСР на устойчивостьпредполагает получение ответов на следующие вопросы. Является ли система срассчитанным регулятором устойчивой, то есть, возвращается ли она в состояниеравновесия при наличии возмущений? Какие из параметров системы (объекта ирегулятора) и каким образом влияют на устойчивость? При каких предельныхзначениях параметров система становится неустойчивой? Каков запас устойчивости системыпри заданных значениях параметров?/>/>7.2 Методы исследования САУ на устойчивость
Для исследования на устойчивостьзамкнутых САУ разработано множество методов:
определение устойчивости по корнямхарактеристического уравнения, по критерию Гурвица, по критерию Рауса, почастотному критерию Михайлова, по частотному критерию Найквиста и другие.
Передаточную функцию замкнутойсистемы можно представить в виде:
/>,
Где /> и /> - полиномы по степеням />.
Уравнение /> - характеристическое уравнениесистемы, описывающее невозмущенное состояние.
Если все действительные корнихарактеристического уравнения и действительные части комплексных корней будутотрицательны, то система под воздействием любого возмущения, после его снятия,возвратится в исходное состояние, а значит, система будет устойчивой.
Критерий Гурвица
При оценке устойчивости изкоэффициентов характеристического уравнения составляется определитель Гурвица вида:
/>
Для устойчивости САУ необходимо идостаточно, чтобы полный определитель Гурвица и все частные определители,образованные вычеркиванием соответствующих строк и столбцов были одного знака с/>.
Критерий Рауса
Для проверки устойчивостисоставляется таблица коэффициентов по правилам, приведенным в таблице 20.
Таблица 20 – Критерий Рауса---
/>
/>
/> ---
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Система будет устойчива, если всекоэффициенты таблицы Рауса положительны, то есть />, />, />, />,/>и так далее. Если вхарактеристическом уравнении />, то умножаем все коэффициентыисходного характеристического уравнения на -1.
Критерий Михайлова
При исследовании устойчивостистроится годограф /> характеристического уравнения />замкнутойсистемы. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф /> при изменениичастоты от 0 до />, начиная с положительной действительнойполуоси и двигаясь против часовой стрелки, последовательно проходил /> квадрантов(где /> –порядок полинома), нигде не обращаясь в нуль.
Критерий устойчивости Найквиста
Данный критерий формулируетсяследующим образом: если разомкнутая система устойчива, то для устойчивостисистемы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазоваяхарактеристика разомкнутой системы не охватывала точку на действительной оси скоординатами />. Расстояние от этой точки до точкипересечения годографа с действительной осью называется запасом устойчивости.
Необходимо отметить, что при исследованияхна устойчивость по критериям Михайлова и Найквиста рассчитываются и строятся графикиАФХ характеристического уравнения (критерий Михайлова) или разомкнутой АСР (критерийНайквиста), что является трудоемкой задачей. Поэтому для построения АФХ используетсяЭВМ.
/> 7.3 Проверкаустойчивости САУ по критерию Рауса/>/> 7.3.1 Замкнутая система с П –регулятором
Для замкнутой системы с П– регулятором составим таблицу 21, подставив в соответствующие ячейкикоэффициенты при /> из знаменателя передаточнойхарактеристики системы:
/>
Используя правила изтаблицы 20, составим таблицу 21
Таблица 21 –Критерий Рауса для системы с П – регуляторомКоэффициенты ri Номера столбцов 1 2 3 4 – 0,004 0,378 1,654 – 0,056 1,723 3,178 0,071 0,256 1,428 0,219 1,410 3,178 0,182 0,850 1,659 3,178 0,267
Из таблицы 21 видно, чтозамкнутая система с П – регулятором устойчива, так как выполняется необходимоеусловие устойчивости по критерию Рауса.
/>/>7.3.2Замкнутая система с И – регулятором
Аналогично правилам таблицы 20 составим таблицу 22 для замкнутойсистемы с И – регулятором, характеристическое уравнение которого имеет вид:
/>
Таблица 22 – Критерий Рауса длясистемы с И – регуляторомКоэффициенты ri Номера столбцов 1 2 3 4 – 0,004 0,387 2,308 0,530 – 0,056 1,616 0,847 0,071 0,272 2,248 0,530 0,206 1,153 0,738 0,236 2,074 0,530 0,556 0,443 4,682 0,530 0,836
Из таблицы 22 видно, что замкнутаясистема с И – регулятором устойчива, так как выполняется необходимое условиеустойчивости по критерию Рауса./>/> 7.3.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором
Аналогично правилам таблицы 20 составим таблицу 23 для замкнутойсистемы с ПИ – регулятором, характеристическое уравнение которого имеет вид:
/>
Таблица 23 – Критерий Рауса длясистемы с ПИ – регуляторомКоэффициенты ri Номера столбцов 1 2 3 4 – 0,004 0,382 1,979 1,006 – 0,056 1,673 1,093 0,071 0,263 1,901 1,006 0,213 1,268 0,879 0,207 1,693 1,006 0,749 0,126 13,437 1,006 0,125
Из таблицы 23 видно, что замкнутаясистема с ПИ – регулятором устойчива, так как выполняется необходимое условиеустойчивости по критерию Рауса./>/> 7.4 Проверка устойчивости систем по частотному критериюНайквиста/>/> 7.4.1 Разомкнутая система с П –регулятором
Для исследования системы по критериюНайквиста образуем передаточную функцию, построим годограф АФХ разомкнутойсистемы и исследуем ее поведение в окрестности точки с координатами />.
Передаточная функция данной системыобразуется следующим образом:
/> - диапазон изменения чатоты;
/> - замена p на комплексную величину i; - передаточная функция разомкнутой системы;
/> - действительная составляющая;
/> - мнимая составляющая;
/>
/>
Рисунок 15 – Годограф Найквиста П –регулятора
Из рисунка 15, видно, что годограф не охватывает точку скоординатами />, следовательно, разомкнутаясистема с П – регулятором является устойчивой, так как выполняется необходимоеи достаточное условие устойчивости по критерию Найквиста./>/>7.4.2 Разомкнутаясистема с И – регулятором
Передаточная функция данной системыобразуется следующим образом:
/>
/> - диапазон изменения чатоты;
/> - замена p на комплексную величину i;
/>
Рисунок 16 – Годограф Найквиста И –регулятора
Из рисунка 16, видно, что годограф не охватывает точку скоординатами />, следовательно, разомкнутаясистема с И – регулятором является неустойчивой, так как выполняетсянеобходимое и достаточное условие устойчивости по критерию Найквиста./>7.4.3 Разомкнутая система с ПИ-регулятором
/> - диапазон изменения чатоты;
/> - замена p на комплексную величину i; - передаточная функция разомкнутой системы;
/> - действительная составляющая;
/> - мнимая составляющая;
/>
/>
Рисунок 17 – Годограф Найквиста ПИ –регулятора
Из рисунка 17, видно, что годограф не охватывает точку скоординатами/>,следовательно, разомкнутая система с ПИ – регулятором является устойчивой, таккак выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критериюНайквиста./>/>7.5 Проверка устойчивости САУ по корням характеристическогоуравнения
Для определения устойчивости системы необходимовычислить корни полинома знаменателя (характеристического уравнения). Для этоговыделим полином знаменателя, воспользовавшись системой аналитическихпреобразований и образуем вектор коэффициентов этого полинома A3. Для нахождения воспользуемся функциейpolyroots(X).
/>/>7.5.1 Замкнутая система с П –регулятором по возмущению
Составим вектор коэффициентов:
/>
/>
/>
Анализ корней показывает, что системаустойчива, поскольку все корни расположены в левой полуплоскости.7.5.2Замкнутая система с И – регулятором по возмущению
Составим вектор коэффициентов:
/>
/>
/>
Анализ корнейпоказывает, что система устойчива, поскольку все корни расположены в левойполуплоскости.
7.5.3Замкнутая система с ПИ – регулятором по возмущению
Составим вектор коэффициентов:
/>
/>
/>
Анализ корней показывает, что системаустойчива, поскольку все корни расположены в левой полуплоскости./>/>7.6 Проверка устойчивости САУ по критерию устойчивости Гурвица
Система, описываемая передаточнойфункцией:
/>,
или линейным дифференциальнымуравнением:
/>,
будет устойчивой, если все корни еехарактеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. А дляэтого необходимо и достаточно, чтобы определитель А. Гурвица (1895 г.), составленный в следующем виде:
/>,
и все его диагональные миноры:
/>; />,
и.т.д. были одного знака с />. При выборезнака /> определительГурвица и все его диагональные миноры должны бать положительны.
Как следствие этого, необходимоеусловие устойчивости будет следующие, что все коэффициенты характеристическогоуравнения должны быть положительны./>/> 7.6.1 Замкнутая система с П –регулятором по управлению
Общий вид передаточной функциизамкнутой системы с П – регулятором по управлению:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
По результатам расчётавсе миноры определителя Гурвица />, />, /> и /> вместе с коэффициентом /> положительны,значит замкнутая система, описываемая этой передаточной функцией, устойчива.
7.6.2Замкнутая система с И – регулятором по управлению
Общий вид передаточной функциизамкнутой системы с И – регулятором по управлению:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
По результатам расчёта все минорыопределителя Гурвица />, />, /> и /> вместе с коэффициентом /> положительны,значит замкнутая система, описываемая этой передаточной функцией, устойчива.
7.6.3Замкнутая система с ПИ – регулятором по управлению
Общий вид передаточной функциизамкнутой системы с ПИ – регулятором по управлению:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
По результатам расчётавсе миноры определителя Гурвица />, />, /> и /> вместе с коэффициентом /> положительны,значит замкнутая система, описываемая этой передаточной функцией, устойчива./>7.7 Проверка устойчивости САУ по частотному критериюМихайлова
Для исследования устойчивостизамкнутой системы по критерию Михайлова строится годограф векторахарактеристического уравнения знаменателя замкнутой системы при изменениичастоты /> от/> до />. Дляустойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова приизменении частоты от /> до />, начав свое движение сположительной действительной полуоси и вращаясь против часовой стрелки,последовательно проходил /> квадрантов, нигде не обращаясь внуль (где /> -порядок характеристического уравнения).
Таким образом, для исследованиясистемы на устойчивость по критерию Михайлова необходимо построить годографзнаменателя передаточной функции замкнутой системы и по его виду оценить ееустойчивость.
Необходимо заметить, что дляадекватного отображения годографа в области малых и больших частот частоприходиться строить несколько вариантов этого годографа в различных диапазонахчастот, чтобы просмотреть его поведение во всем диапазоне./>7.7.1 Замкнутая система с П – регулятором повозмущению
/>
Общий вид передаточной функциизамкнутой системы с П – регулятором по возмущению:
/> - диапазон изменения чатоты;
/> - замена p на комплексную величину i;
/> - знаменатель передаточной функции;
/> - действительная составляющая;
/> - мнимая составляющая;
/>
Рисунок 18 – Годограф Михайловаразомкнутой системы с П – регулятором в интервале частот [0;2]
Изменим диапазон частоты:/>и покажем, чтогодограф разомкнутой системы с П – регулятором проходит все 5 квадрантов.
/>
/>
Рисунок 19 – Годограф Михайловаразомкнутой системы с П – регулятором в интервале частот [2;9,5]
Из рисунков 18 и 19 видно, годографпроходит 5 квадрантов, начав свое движение с положительной действительнойполуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь внуль. Таким образом, замкнутая система с П – регулятором является устойчивой,так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критериюМихайлова.
/>7.7.2 Замкнутая система с И – регулятором повозмущению
Общий вид передаточной функциизамкнутой системы с ПИ – регулятором по возмущению:
/> - диапазон изменения чатоты;
/> - замена p на комплексную величину i;
/> - знаменатель передаточной функции;
/> - действительная составляющая;
/> - мнимая составляющая;
/>
Рисунок 20 – Годограф Михайловаразомкнутой системы с И – регулятором в интервале частот [0;2,5]
Изменим диапазон частоты:/>и покажем, чтогодограф разомкнутой системы с И – регулятором проходит все 6 квадрантов.
/>
/>
Рисунок 21 – Годограф Михайловаразомкнутой системы с И – регулятором в интервале частот [2,5; 9,5]
Из рисунков 20 и 21 видно, годографпроходит 6 квадрантов, начав свое движение с положительной действительнойполуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь внуль. Таким образом, замкнутая система с И – регулятором является устойчивой,так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критериюМихайлова.
/>7.7.3 Замкнутая система с ПИ – регулятором повозмущению
Общий вид передаточной функциизамкнутой системы с ПИ – регулятором по возмущению:
/>
/> - диапазон изменения чатоты;
/> - замена p на комплексную величину i; - знаменатель передаточной функции;
/> - действительная составляющая;
/> - мнимая составляющая;
/>
/>
Рисунок 22 – Годограф Михайловаразомкнутой системы с ПИ – регулятором в интервале частот [0;2,5]
Изменим диапазон частоты:/>и покажем, чтогодограф разомкнутой системы с ПИ – регулятором проходит все 6 квадрантов.
/>
/>
Рисунок 23 – Годограф Михайловаразомкнутой системы с ПИ – регулятором в интервале частот [2,5; 9,5]
Из рисунков 22 и 23 видно, годографпроходит 6 квадрантов, начав свое движение с положительной действительнойполуоси, вращаясь последовательно против часовой стрелки нигде не обращаясь внуль. Таким образом, замкнутая система с ПИ – регулятором является устойчивой,так как выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости по критериюМихайлова.
/>/>8 ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХПРОЦЕССОВ/>/> 8.1 Постановка задачи. Методы решения
Чтобы окончательно убедиться впригодности САУ нужно исследовать результаты их переходных процессов. Поэтомуна завершающей стадии проектирования САУ всегда стремятся тем или иным способомполучить оценки динамических характеристик системы и сравнить их с заданными.
Переходные процессы рассчитывают длязамкнутых САУ по возмущающему и управляющему воздействиям. Если переходныепроцессы рассчитываются для замкнутых САУ по возмущению, то регулятор должен втечение переходного процесса скомпенсировать это возмущение, а объект –вернуться в исходное состояние, в котором он был до приложения возмущения. Еслиже переходные процессы рассчитываются для замкнутых САУ по управлению, торегулятор должен отработать управляющее воздействие и регулируемая величина навыходе объекта должна принять заданное значение.
Для построения переходных процессов,используя при этом любые методы (аналитические, численные), необходимо иметьматематическую модель замкнутой системы в форме передаточной функции илидифференциального уравнения (ДУ).
Если передаточная функция замкнутойсистемы приведена к ДУ с произвольной правой частью, то аналитическое решениеищется в следующей последовательности:
– находятся корни характеристическогоуравнения;
– строится частное решение снеопределенными коэффициентами;
– полученное частное решениеподставляется в исходное уравнение;
– после приравнивания коэффициентовпри одинаковых степенях /> находятся все неопределенныекоэффициенты;
– записывается искомое частное решение.
Это решение и будет являтьсязависимостью выходной координаты системы от времени.
При использовании численных методовдля построения переходных процессов необходимо:
– передаточную функцию замкнутойсистемы преобразовать в ДУ;
– ДУ /> порядка привести к нормальнойсистеме, состоящей из /> ДУ первого порядка;
– задать уравнение для возмущающеговоздействия;
– выбрать один из численных методовдля решения полученной системы;
– составить программу на ЭВМ длярешения полученной системы ДУ и построения переходных процессов.
Для решения поставленной задачииспользуются следующие методы:
1) Метод Эйлера;
Интегрирование ДУ этим методоманалогично вычислению определенного интеграла по методу левых прямоугольников:
/>.
2) Модифицированный метод Эйлера
Аналогично методу среднихпрямоугольников:
/>.
Недостатком данного метода являютсядвойные затраты на решение.
3) Усовершенствованный методЭйлера-Коши
Аналогично методу трапеций:
/>.
4) Метод Эйлера – Коши с итерациями
/>
В данном методе приближенное решениеиспользуется для уточнения этого же решения (подстановка в правую часть), этаитерация продолжается до обеспечения требуемой точности; если точность недостигается за заданное количество итераций, то либо нужно изменить дополнительноечисло итераций, либо уменьшить требуемую точность;
5) Методы с автоматическим выборомвеличины шага (адаптивные)
Во всех численных методах точностьзависит от величины шага, в то же время искомое решение изменяется с разной скоростьювнутри интервала. Для численных методов необходимо выбрать разный шаг на разныхучастках изменения функции, чтобы обеспечить на них одинаковую точность. В этихметодах решение на каждом шаге находится дважды: с исходным шагом и с шагом, вдва раза меньшим. Эти два решения сравниваются, и если точность не достигнута,то исходный шаг уменьшается вдвое и процедура повторяется; таким образом, какимбы ни был исходный шаг, машиной выберется шаг в соответствии с заданнойточностью. В такой процедуре шаг может быть выбран исключительно малым ипрохождение всего интервала с таким шагом может оказаться неэффективным,поэтому на следующем шаге выполняется обратная процедура. Решение находится сэтим же шагом и с шагом в два раза большим; если точность достаточна, то шагувеличивается еще вдвое. Таким образом, величина шага однозначно определяетсявеличиной дополнительной погрешности получения решения;
6) Метод Рунге – Кутта:
/>.
7) Экстраполяционные методы
В основе этих методов лежит получениерешения в последующей точке через найденные решения в предыдущих точках;
8) Методы решения для жестких систем(метод Гира, метод Штера, метод Булирша)
Для этого вычисляется матрица Якоби:
/>./>/>8.2 Построение переходных процессов в замкнутых системах повозмущению/>/> 8.2.1 Система с П – регулятором
Запишем передаточную функцию даннойсистемы:
/>.
По аналогии с п.5 преобразуемполученную передаточную функцию в ДУ пятого порядка и приведем его к нормальнойсистеме. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решимеё:
/>
/>
/>
/>
Полученные результаты отобразим нарисунке 24.
/>
Рисунок 24 – График переходногопроцесса в замкнутой системе с П – регулятором по возмущению
8.2.2Система с И – регулятором
Запишем передаточную функцию даннойсистемы:
/>.
По аналогии с п.5 преобразуемполученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его кнормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решимеё:
/>
/>
/>
/>
Полученные результаты отобразим нарисунке 25.
/>
Рисунок 25 – График переходногопроцесса в замкнутой системе с И – регулятором по возмущению 8.2.3 Система с ПИ – регулятором
Запишем передаточную функцию даннойсистемы:
/>.
По аналогии с п.5 преобразуемполученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его кнормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решимеё:
/>
/>
/>
/>
Полученные результаты отобразим нарисунке 26.
/>
Рисунок 26 – График переходногопроцесса в замкнутой системе с ПИ – регулятором по возмущению
/>/>8.3 Построение переходных процессов в замкнутых системах поуправлению/>/>8.3.1 Система с П –регулятором
Запишем передаточную функцию даннойсистемы:
/>
По аналогии с п.5 преобразуемполученную передаточную функцию в ДУ пятого порядка и приведем его к нормальнойсистеме. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решимеё:
/>
/>
/>
/>
Полученные результаты отобразим нарисунке 27.
/>
Рисунок 27 – График переходногопроцесса в замкнутой системе с П – регулятором по управлению8.3.2Система с И – регулятором
Запишем передаточную функцию даннойсистемы:
/>
По аналогии с п.5 преобразуемполученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его кнормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решимеё:
/>
/>
/>
/>
Полученные результаты отобразим нарисунке 28.
/>
Рисунок 28 – График переходногопроцесса в замкнутой системе с И – регулятором по управлению8.3.3Система с ПИ – регулятором
Запишем передаточную функцию даннойсистемы:
/>
По аналогии с п.5 преобразуемполученную передаточную функцию в ДУ шестого порядка и приведем его кнормальной системе. После этого зададим нормальную систему в виде вектора.
Запишем нормальную систему и решимеё:
/>
/>
/>
/>
Полученные результаты отобразим нарисунке 29.
/>
Рисунок 29 – График переходногопроцесса в замкнутой системе с ПИ – регулятором по управлению
/>/>9 ОЦЕНКА КАЧЕСТВА РАБОТЫ САУ/> 9.1 Постановка задачи. Критериикачества переходных процессов
Любая система автоматическогорегулирования, для того чтобы удовлетворять своему назначению, прежде всего,должна быть устойчивой. Однако устойчивость является необходимым, нонедостаточным условием технической пригодности системы регулирования. Помимоустойчивости, к переходному процессу предъявляются требования, обуславливающиеего так называемые показатели.
Качество функционирования АСРоценивается прямыми показателями оценки качества переходных процессов взамкнутой АСР. К ним относятся:
Соответственно основными критериямикачества системы управления являются:
1) Устойчивость системы;
2) Максимальная динамическая ошибка
3) Статическая ошибка;
4) Время регулирования ;
5) Величина перерегулирования;
6) Степень затухания переходногопроцесса;
7) Степень колебательности.
Как всякая динамическая система, САУможет находиться в одном из двух режимов – стационарном (установившемся) ипереходном. Стационарный режим может быть двух типов: статический идинамический. В статическом режиме, при котором все внешние воздействия ипараметры системы не меняются, качество управления характеризуется точностью.
Исчерпывающее представление окачестве переходного процесса дает, естественно, сама кривая процесса. Однакопри разработке САУ необходимо иметь возможность судить об основных показателяхкачества переходного процесса без построения их кривых, по каким-либо косвеннымпризнакам, которые определяются более просто и, кроме того, позволяют связатьпоказатели качества непосредственно со значениями параметров САУ. Такиекосвенные признаки называются критериями качества переходного процесса.
Существуют три группы критериевкачества: корневые, интегральные и частотные.
Группа корневых критериев основана наоценке качества переходного процесса по значениям полюсов и нулей передаточнойфункции САУ. В частном случае, когда нулей нет, качество переходного процессаопределяется только полюсами.
Переходный процесс в устойчивойсистеме распадается на затухающие и колебательные составляющие. Если найтидлительность самой длительной составляющей и величину колебательности самойколебательной составляющей, то по ним можно оценить верхние пределы величиндлительности и колебательности всего переходного процесса.
Интегральными критериями качества называются такие, которыеодним числом оценивают и величины отклонений, и время затухания переходногопроцесса. Такие критерии качества используются для определения оптимальныхзначений варьируемых параметров по минимуму значения соответствующейинтегральной оценки. Применяются интегральные критерии обычно в теорииоптимальных систем.
Наибольшее распространение получили частотныекритерии, в основу которых положено использование частотных характеристик.
Рассмотрим некоторые критериикачества работы САУ:
1) Статическая ошибка (имеет местотолько в П – регуляторе) – это отклонение регулируемого параметра от заданногов установившемся режиме (точность системы);
/>.
Если в числителе передаточной функциисистемы нет свободного члена, то статическая ошибка равна нулю;
2) Динамическая ошибка /> - это максимальноерассогласование между заданной и текущей траекторией в переходном режиме;
3) Время регулирования /> – это время, в течениекоторого переходный процесс войдет в зону допустимой погрешности регулирования />, где /> определяетсяследующим образом:
/>.
4)Величина перерегулирования /> - определяетсякак отношение амплитуды второй полуволны к первой
/>.
5)Степень затухания
/>
учитывая, что
/>.
C данным критерием тесно связан еще один параметр-степеньколебательности системы
/>;
Данные критерии взаимосвязаныследующими соотношениями:
/>.
Проведя небольшой анализ приведенныхсоотношений, можно выделить два крайних состояния системы:
а) апериодический процесс />, />;
б) незатухающие колебания />, />.
Часто в расчетах применяют />, />.
Все системы регулированиярассчитываются с заданным значением либо />, либо />. Система регулирования считаетсянастроенной оптимально, если она удовлетворяет двум или трем показателям качества.Например, максимальная динамическая ошибка, степень затухания, времярегулирования удовлетворяют заданным значениям./>/>9.2 Оценка качества замкнутых САУ по возмущению
/>/>9.2.1 Система с П –регулятором
Используя рисунок 24, определимкритерии качества данной системы.
Рассчитаем статическую ошибку поформуле:
/>
Определим динамическую ошибку:/>.
Время регулирования имеет значение:/>.
Вычислим величину перерегулирования:
/>
Определим степень затухания:
/>
Степень колебательности:
/>.9.2.2Система с И – регулятором
Используя рисунок 25, определимкритерии качества данной системы.
Статическая ошибка: />
Определим динамическую ошибку:/>.
Время регулирования имеет значение:/>.
Вычислим величину перерегулирования:
/>
Определим степень затухания:
/>
Степень колебательности:
/>.9.2.3Система с ПИ – регулятором
Используя рисунок 26, определимкритерии качества данной системы.
Статическая ошибка: />
Определим динамическую ошибку:/>.
Время регулирования имеет значение:/>.
Вычислим величину перерегулирования:
/>
Определим степень затухания:
/>
Степень колебательности:
/>./>/>9.3 Оценка качества замкнутых САУ по управлению 9.3.1 Система с П – регулятором
Используя рисунок 27, определимкритерии качества данной системы.
Статическая ошибка: />
Определим динамическую ошибку:/>.
Время регулирования имеет значение:/>.
Вычислим величину перерегулирования:
/>
Определим степень затухания:
/>
Степень колебательности:
/>.9.3.2Система с И – регулятором
Используя рисунок 28, определимкритерии качества данной системы.
Статическая ошибка: />
Определим динамическую ошибку:/>.
Время регулирования имеет значение:/>.
Вычислим величину перерегулирования:
/>
Определим степень затухания:
/>
Степень колебательности:
/>.9.3.3Система с ПИ – регулятором
Используя рисунок 29, определимкритерии качества данной системы.
Статическая ошибка: />
Определим динамическую ошибку:/>.
Время регулирования имеет значение:/>.
Вычислим величину перерегулирования:
/>
Определим степень затухания:
/>
Степень колебательности:
/>.
Составим таблицы критериев качествадля замкнутых САУ по возмущению и управлению вычисленных в п.9.2, 9.3.
Таблица 24 – Критерии качествазамкнутых САУ по возмущению
/>Критерии качества
/>Регулятор П И ПИ
/>Статическая ошибка, /> 0,43
Динамическая ошибка, /> 0,6 1,02 0,7
Время регулирования, />, c 30 60 50
Перерегулирование, /> 0,941 0,510 0,629
Степень затухания, /> 0,882 0,735 0,6
Степень колебательности, /> 0,34 0,211 0,146
Таблица 25 – Критерии качествазамкнутых САУ по управлению
/>Критерии качества
/>Регулятор П И ПИ
/>Статическая ошибка, /> 0,67 1 1
Динамическая ошибка, /> 0,93 1,5 1,7
Время регулирования, />, c 30 60 60
Перерегулирование, /> 0,962 0,5 0,629
Степень затухания, /> 0,923 0,76 0,6
Степень колебательности, /> 0,408 0,227 0,146
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В курсовом проекте были затронутывопросы касающиеся: построения статической модели объекта по заданнымпараметрам, нахождения коэффициентов передачи объекта при 10, 50, 90%номинального режим, построения динамической модели объекта по требуемойдинамической характеристике, построения объектов первого и второго порядков сзапаздыванием и без запаздывания. При рассмотрении последнего вопроса можносделать вывод о том, что модель объекта второго порядка с запаздываниемописывает исходные данные с наименьшей погрешностью, в результате чего былавыбрана именно эта модель.
Следующими этапами проекта являлосьпостроение математической модели, которая формировалась из ранее выбраннойпередаточной функции второго порядка с запаздыванием, определение частотных ирасширенных характеристик, необходимые дальнейших расчетов регуляторов,нахождение коэффициентов при требуемых значениях частот для П, И, ПИ –регуляторов, формирование передаточных функций разомкнутых и замкнутых системавтоматического управления, как по возмущению, так и по управлению.
Важным шагом являлась оценка САУ наустойчивость по различным критериям устойчивости, среди них критерий Михайлова,критерий Гурвица, и другие. Отметим что, при проверке заданных системавтоматического управления по этим критериям эти системы оказались устойчивыми.
Следующий вопрос, который был,затронут это построение переходных процессов для замкнутых САУ по возмущению ипо управлению. После чего была произведена оценка качества систем и сделаныследующие выводы:
САУ с П – регулятором имеет наименьшеезначение максимальной динамической ошибки, однако такой системе присущастатическая ошибка, поэтому П – регуляторы могут применяться в случаях, когдадопускается отклонение регулируемой величины от заданного значения вравновесном состоянии системы.
САУ с И – регулятором характеризуетсянебольшим перерегулированием, а также длительным переходным процессом, поэтомуобласть применения И – регуляторов ограничивается объектами, допускающиминормальное максимальное отклонение регулируемой величины.
САУ с ПИ – регулятором имеет средниепараметры по степени затухания, колебательности, поэтому без ПИ – регулятораможно обойтись при любых требованиях к значению установившегося отклонения илюбом диапазоне возмущающих воздействий.
/>/>/>/>/>/>/>/>ЛИТЕРАТУРА
1. Наладка автоматических систем и устройствуправления технологическими процессами: /Справочное пособие./Под ред. А.С.Клюева – М: Энергия, 1977.- 400 с.
2. Полоцкий Л. М., Лалшенков Г. И. Автоматизацияхимических производств. Теория, расчет и проектирование систем автоматизации. — М.: Химия, 1982. — 296 с.
3. Дурновцев В. Я., Ширяев А. А. Расчет автоматическихсистем регулирования. Расчет линейных АСР. — Указания по выполнениюиндивидуальных заданий и курсовых проектов. — Томск: ТПИ, 1989. — 92 с.
4. Дурновцев В. Я., Ширяев А. А. Расчет автоматическихсистем регулирования в электронных таблицах. Электронная книга / Руководство повыполнению лабораторных и расчетных работ. – Северск: СТИ ТПУ, 1997. — 58 с.
5. Дурновцев В. Я. Расчет АСР / Электронная книга.Северск: СТИ ТПУ,1997.-188 с.
6. Дурновцев В. Я. Математические модели объектовуправления и оптимизация / Электронная книга. — Северск: СТИ ТПУ, 1998. — 215с.