Министерство образования и науки Украины
кафедра прикладной математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Эконометрия»
Харьков, 2008 г.
Задание № 1.
По заданным статистическим данным с помощью пакета «Excel»:
построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу олинейной зависимости
Y = b0+ b1 * X;
определить параметры b0иb1;
вычислить коэффициенты детерминации R2и коэффициент корреляции r;
сделать прогноз Y в указанной точке Xр.
Решение:
1. Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1 X Y 3.11 10.65 3.15 11.87 3.85 12.69 4.84 13.40 4.62 15.12 4.87 16.03 6.09 16.29 7.06 18.07 6.23 18.40 6.83 19.53 8.01 20.48 8.26 21.72 9.37 23.17 9.02 23.57 9.76 24.41
2. На основе данных таблицы1 строим диаграмму рассеивания.
/>
Визуально можно предположить, что между данными существует линейнаязависимость, то есть их можно аппроксимировать линией.
Y = b0+ b1X
3. Найдем параметры b0и b1.
Опишем полученный результат:
в первой строке находятся оценки параметров регрессии b1, b0;
во второй строке находятся средние квадратичные отклонения sb1, sb0.
в третьей строке в первой ячейке находится коэффициентдетерминации R2, а во второй ячейке оценкасреднего квадратичного отклонения показателя sе.
в четвертой строке в первой ячейке находится расчетноезначение F — статистики, вовторой ячейке находится k — число степеней свободы;
в пятой строке в первой ячейке находится сумма квадратовотклонений расчетных значений показателя от его среднего значения, а во второйячейке — сумма квадратов остатков.
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2. Результаты расчетов 1,958977 5,277335 0,10027 0,671183 0,967063 0,836194 381,6981 13 266,8909 9,089857
По данным таблицы 2 можем записать модель:
Y = 5,277335 + 1,958977Х
Коэффициент детерминации R2= 0,967063 — близок к 1,следовательно, модель адекватна.
4. Найдем прогноз в заданной точке Xp= 10,1. Для этого подставим Xpв модель. Получим
Yp = 5,277335 + 1,958977 * 10,1 = 25,063.
Все полученные результаты запишем в таблицу 3.
Таблица 3. X Y 3.11 10.65 3.15 11.87 3.85 12.69 4.84 13.40 4.62 15.12 4.87 16.03 6.09 16.29 7.06 18.07 6.23 18.40 6.83 19.53 8.01 20.48 8.26 21.72 9.37 23.17 9.02 23.57 9.76 24.41 10,1 25,063 /> />
5. Диаграмма примет вид:
6. Вычислим коэффициент корреляции r.В результате расчета получим коэффициент корреляции r =0,9834.
r = /> = √0,967063 = 0.9834
Задание № 2.
По заданным статистическим данным с помощью пакета «Excel»:
построить диаграмму рассеивания и подтвердить гипотезу окриволинейной связи между Х и Y;
произвести линеаризацию;
определить параметры a и b;
сделать прогноз в указанной точке;
Решение:
Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1. X Y 1,03 0,44 1,63 0,33 2,16 0,25 2,71 0, 20 3,26 0,16 3,77 0,12 4,35 0,10 4,91 0,07 5,50 0,05 6,01 0,04
На основе данных таблицы 1 строим диаграмму рассеивания./>
beax />
Визуально можно предположить, что зависимость не линейная. Исходнаямодель имеет вид Y = beax.Делаем линеаризующую подстановку: V = Y,U = lnX.
Полученные данные заносим в таблицу 2.
Таблица 2. X Y V U 1,03 0,44 0,44 0.02956 1,63 0,33 0,33 0.48858 2,16 0,25 0,25 0.77011 2,71 0, 20 0, 20 0.99695 3,26 0,16 0,16 1.18173 3,77 0,12 0,12 1.32708 4,35 0,10 0,10 1.47018 4,91 0,07 0,07 1.59127 5,50 0,05 0,05 1.70475 6,01 0,04 0,04 1.79342
Строим корреляционное поле:
/>
Визуально можно предположить, что между данными существуетлинейная зависимость, то есть их можно аппроксимировать линией
Y = b1X + b0
Диаграмма примет вид:
3. Найдем параметры b0и b1.
/>
Полученные результаты заносим в таблицу 3.
Таблица 3. Результаты расчета /> /> -0,2297 0,436791 /> 0,005542 0,006967 /> 0,995364 0,009454 /> 1717,627 8 /> 0,153525 0,000715 />
Параметры модели b0=0,436791, b1 = — 0,2297. Коэффициентдетерминации R2 = 0,995364 — близок к 1,следовательно, модель адекватна.
Находим параметры исходной нелинейной модели:
а = еb1 = e-0,2297 = 0,79477
b = eb0= e0,436791 = 1,54773
Исходная нелинейная модель примет вид: Y= 1,54773e0,79477X
5. Вычислим прогнозируемое Ypв то Xp = 6,5:
Yp = 1,54773e0,79477*6,5 = 271,18
Задание № 3
По заданным статистическим данным с помощью пакета «Excel»:
построить корреляционную матрицу;
по корреляционной матрице проверить факторы X1, X2, X3 на мультиколинеарность, и, если она есть,устранить ее, исключив один из факторов;
проверить гипотезу о наличии линейной связи междупоказателем Y и оставшимися факторами;
определить параметры линейной связи;
вычислить коэффициент детерминации;
сделать прогноз в указанной точке.
Решение:
Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1. X1 X2 X3 Y 2,61 10,35 6,61 7,72 4,89 11,78 7,94 10,77 6,24 14,09 8,62 11,86 9,01 14,64 8,83 13,73 10,79 15,17 10,68 17,04 13,53 17,42 10,66 18,8 16,32 19,24 11,78 21,28 18,6 20,6 13,78 23,7 21,48 22,04 13,74 27,63 23,02 22,69 14,56 27,45 25,17 22,65 14,09 29,71 26,4 24,83 16,66 32,8 27,62 24,82 15,12 31,81 30, 19 25,17 15,42 25,22 32,25 26,22 15,77 37,26 33,76 27,72 17,4 39,2 35,97 29,15 17,77
2. По исходным данным строим корреляционную матрицу (таблица2):
Таблица 2. X1 X2 X3 Y X1 1 0,9921671 0,9741853 0,9656738 X2 0,9921671 1 0,9864174 0,9700431 X3 0,9741853 0,9864174 1 0,96548 Y 0,9656738 0,9700431 0,96548 1
Визуально можно предположить, что между данными X2 и X3 и X1 и X3 естьзависимость, значит, фактор X3 исключаем измодели, так как между ним и Y связь меньше, чем между Y и X2 (0,96548
Y = b0+ b1X1 + b2X2;
3. Строим график зависимости между X1,X2 и Y: визуальноможно предположить, что зависимость между X1,X2 и Y линейная,коэффициент детерминации R2 = 0,9416518 — близок к 1, следовательно,модель адекватна.
4. Найдем параметры b0, b1 и b2. Полученныерезультаты заносим в таблицу 3:
/>
Таблица 3. Результаты расчета 1,344552 0, 1954415 -7,0318824 0,9429349 0,5065553 9,4389862 0,9416518 2,4854573 --- 104,90023 13 --- 1296,0419 80,307473 ---
5. По данным таблицы можем записать модель:
Y = — 7,0318824 + 0, 1954415X1 + 1,344552X2;
Коэффициент детерминации R2= 0,9416518 — близок к 1,следовательно, модель адекватна.
6. Найдем прогноз в заданной точке. Для этого достаточноподставить Xp в модель.
Yp = — 7,0318824 + 0, 1954415 * 35,97 + 1,344552* 29,15 = 39, 19
Задание №4.
Предположим, что между показателем Y — объем выпущенной продукции и факторами X1 — трудовые затраты, X2 — объем основныхфондов, существует зависимость типа
Y = AX/> × X/>/>/>
(производная функция Кобба-Дугласа). По приведеннымстатистическим данным с помощью пакета «Excel»:
определить коэффициенты А, б1,б2;
вычислить прогноз в указанной точке;
определить коэффициент эластичности по каждому из факторов вточке прогноза.
Решение:
1. Набираем исходные данные в таблицу 1:
Таблица 1. X1 X2 Y 54,2 33,6 75,4 56,8 39,1 85,4 59,7 40,4 88,5 61,4 42,9 92,7 63,5 44 95,2 64,7 46,8 99,5 64,8 51,9 106,2 67,4 56,3 113,2 69 56,6 114,5 70,7 58,7 118,1 71,3 59,6 118,7 73,7 62,4 123 75,9 63,9 127,4 77,5 67,2 ?
Так как модель не линейная, перейдем к линейной с помощьюзамены:
V = lnY, U1= lnX1, U2= lnX2, b0= lnA, b1 = б1
получим линейную модель:
V = b0+ b1U1 + b2U2
Полученные результаты заносим в таблицу 2.
Таблица 2. X1 X2 Y V U1 U2 54,2 33,6 75,4 4,3228 3,9927 3,5145 56,8 39,1 85,4 4,4473 4,0395 3,6661 59,7 40,4 88,5 4,4830 4,0893 3,6988 61,4 42,9 92,7 4,5294 4,1174 3,7589 63,5 44 95,2 4,5560 4,1510 3,7842 64,7 46,8 99,5 4,6002 4,1698 3,8459 64,8 51,9 106,2 4,6653 4,1713 3,9493 67,4 56,3 113,2 4,7292 4,2106 4,0307 69 56,6 114,5 4,74057 4,2341 4,0360 70,7 58,7 118,1 4,7715 4,2584 4,0724 71,3 59,6 118,7 4,7766 4,2669 4,0877 73,7 62,4 123 4,8122 4,3000 4,1336 75,9 63,9 127,4 4,8473 4,3294 4,1573 77,5 67,2 4,3503 4, 2077
2. Найдем параметры b0, b1 и b2. Полученныерезультаты заносим в таблицу 3:
Таблица 3. Результаты расчета 1,296429 0,5234561 4,655595 0,09192 0,1394437 4,694014 0,998782 0,6193063 --- 4101,677 10 --- 3146,317 3,8354032 ---
3. По данным таблицы можем записать модель:
V = 4,6556 + 0,5235U1 + 1,2964U2
4. Найдем параметры исходной модели:
А = ebo = e4.655595 = 105.1723; a1 = b1= 0,5234561; a2 = b2 = 1,296429.
Исходная модель имеет вид:
Y = 105.1723 * X10.5235* X21.2964
5. Найдем прогноз в заданной точке:
Y = 105.1723 * 77.50.5235* 67.21.2964 = 239856.97;
Вычислим коэффициент эластичности, который показывает, насколько% увеличится (если Ех > 0) или уменьшится (если Ех
EX1 = (X1 * ∂y) /(y * ∂x1) = (X1/ (105.1723 * X10.5235* X21.2964)) * ( (∂ (105.1723 * X10.5235* X21.2964)) / ∂x1) = (X1/ (105.1723* X10.5235 * X21.2964)) * (105.1723* X21.2964 * (∂ (X10.5235)) /∂x1) = (X1/X10.5) * 0.5X1-0.5= 0.5X11-0.5-0.5 = 0.5X10=0.5
Вывод
Для модели Кобба-Дугласа коэффициент эластичности — этопоказатели степени a1 и a2, при чем a1 = 0.5235 — коэффициентэластичности по трудозатратам, а a2= 1.2964 — коэффициент эластичности по объему основных фондов.
Литература
1. Лук`яненко І.Г., Краснікова Л.І.Економетрика. Підручник. — К. Товариство “Знання”. — 1998. — 494 с.
2. Грубер Й. Эконометрия: учебное пособие для студентов экономическихспециальностей. — К. 1996. — 400 с.
3. Методические указания и контрольные задания подисциплине «Эконометрия» для студентов экономического направлениязаочного факультета. / Сост. В.Н. Черномаз, Т.В. Шевцова, — Харьков: 2006 г. — 32 с.
4. Конспект лекций по курсу «Эконометрия»