Министерство образования и науки РФХабаровская государственная академияэкономики и праваКафедравысшей математики
Факультет «Финансист»
Специальность: «Финансы и кредит»
Специализация: ГМФ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕВариант№ 6
Выполнил: Алепов А.В.
студ. 3ФК курса,г. Южно-Сахалинск 2006 г.
№6
Привести систему к системес базисом, найти соответствующее базисное решение и сделать проверку, подставиврешение в исходную систему:
/>
Решение:
Составим таблицу:
/>
/>
/>
/>
/> 2 7 3 1 6 1 -5 1 3 10 6 -1 -2 5 -2 1 -5 1 3 10 2 7 3 1 6 6 -1 -2 5 -2 1 -5 1 3 10 17 1 -5 -14 29 -8 -13 -62
/>
/>
/>
/>
/> 1 1 -5 3 10 1 17 -5 -14 -8 29 -13 -62 1 -22 8 24 1 17 -5 -14 165 -53 -174 1
/>
/> 1
/>
/> 1
/>
/>
Получили систему с базисом:
/>
Здесь />, />, /> - базисные неизвестные, /> - свободное неизвестное. Положим />. Получим />, />, />.
Подставим решение в исходнуюсистему:
/>,
решение найдено верно.
№26
Предположим, что для производствадвух видов продукции А и В можно использовать только материал трех сортов. При этомна изготовление единицы изделия А расходуется 2 кг материала, 3 кг материала второгосорта, 4 кг материла третьего сорта. На изготовление единицы изделия В расходуется5 кг материала, 2 кг материала второго сорта, 3 кг материла третьего сорта. На складефабрики имеется всего материала первого сорта 45 кг, второго сорта — 27 кг, третьегосорта – 38 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль7 тыс. рублей, а от продукции вида В прибыль составляет 5 тыс. рублей.
Определить максимальную прибыльот реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплексным методом и графически.
Решение:
1. Решение с помощью симплексногометода.
Составим математическую модельзадачи. Обозначим через х1 и х2 выпуск продукции А и В соответственно.Затраты материала первого сорта на план /> составят 2х1 + 5х2и они недолжны превосходить запасов 45 кг:
/>
Аналогично, ограничения поматериалу второго сорта
/>
И по материалу третьего сорта:
/>
Прибыль от реализации х1изделий А и х2 изделий В составит
/>
целевая функция задачи.
Получили модель задачи:
/>
/>
/>
Вводом балансовых переменныхприводим модель к каноническому виду:
/> />
/>
Запишем начальное опорноерешение:
/>
Симплекс-таблицу заполняемиз коэффициентов при неизвестных из системы ограничений и функции:Баз.перем. С План 7 5
х1
х2
х3
х4
х5
х3 45 2 5 1
х4 27 3 2 1
х5 38 4 3 1 ∆Z -7 -5
x3 27 11/3 1 -2/3
x1 7 9 1 2/3 1/3
х5 2 1/3 -4/3 1 ∆Z 63 -1/3 7/3
x3 5 1 14 -11
x1 7 5 1 3 -2
x2 5 6 1 -4 3 ∆Z 65 1 1
/>
в индексной строке содержатсядве отрицательные оценки, наибольшая по абсолютной величине (-7)
/>
В индексной строке содержитсяотрицательная оценка (-1/3).
в индексной строке нет отрицательныхоценок
Так как все оценки положительныезаписываем оптимальное решение:
/>
При этом плане прибыль отреализации изделий х1 = 5 и х2 = 6 составит Zmax = 65; х4 = 0 и х5= 0 означает, что материал второго и третьего сорта использован полностью, а х3= 5 говорит о том, что осталось еще 5 кг материала первого сорта.
Получили Zmax = 65 тыс. руб. при />.
2. Графическое решение:
Рассмотрим систему линейныхнеравенств.
/>
/>
/>
Строим область допустимыхрешений данной задачи. Для этого строим граничные линии в одной системе координат:
/> (I),
/> (II),
/> (III),
х1 = 0 (IV), х2 = 0 (V).
Для построения прямых беремпо две точки:
/> /> />
/>
/>
Областью решений являетсяпятиугольник ABCDO.
Затем строим на графике линиюуровня
/>
и вектор
/>
или
/>
Теперь перемещаем линию уровняв направлении вектора />. Последняя точка при выходе из даннойобласти является точка С – в ней функция
/>
достигает своего наибольшегозначения.
Определим координаты точкиС из системы уравнений (II) и (III):
/>
Подставим найденные значенияв целевую функцию:
/>.
Т.е. максимальная прибыльот реализации изделий А и В составит 65 тыс. рублей.
№46
Для модели предыдущей задачисоставить двойственную, из симплексной таблицы найти ее решение и проверить по основнойтеореме.
Решение:
Модель предыдущей задачи:
/>
/>
/>
Двойственная ей задача имеетвид:
/>
/>
/>
Для предыдущей задачи ее решение:/> при />
Следовательно, по основнойтеореме для двойственной задачи: /> при />
Проверка:
/> верно.
№ 66
Решить транспортную задачу.
/>
/>
/>
Решение:
1. Занесем данные задачи втаблицу:
В1
В2
В3
В4
В5
/>
А1 5 8 7 10 3 100
А2 4 2 2 5 6 200
А3 7 3 5 9 2 200
А4 5 7 4 2 5 100
/> 190 100 130 80 100 600
2. Составляем математическуюмодель задачи: для этого вводим неизвестные хij, которыми являются количество едиництовара, перевозимого от каждого поставщика к каждому потребителю.
/> ограничения по поставкам
/> ограничение по потребителям
/> (/>,(/>ограничения по здравому смыслу.
Цель задачи (стоимость всейперевозки) в математической форме:
/>
Задача разрешима, т.к.
/>.
3. Находим оптимальный планпо методу наименьшего элемента
В1
В2
В3
В4
В5
/>
А1 5100 87 76 108 33 100
А2
4/>-2 + 270- 2130 53 65 200
А3 — 770 +330 52 95 2100 200
А4 520 76 43 280 55 100
/> 190 100 130 80 100 600
/> - план невырожденный
/>
Дадим оценку полученному плануметодом потенциалов. Каждому поставщику Аi ставим в соответствие число />(/>, называемое потенциалом поставщика;каждому потребителю Bj – число /> (/>, называемое потенциаломпотребителя. Причем /> и /> выбираем так, чтобы в любой загруженнойклетке сумма их равнялась тарифу этой клетки, т.е. />
Всего занятых клеток m + n – 1 = 8 (план не вырожденный). Придаемодному из неизвестных значение 0.
Для определения потенциаловсоставляем систему:
/>
Откуда
/>
Вычисляем оценки для свободныхклеток по формуле
/>
и запишем их в левом углусвободных клеток. В клетке (2; 1) получили отрицательную оценку. Строим для неецикл
/>
вдоль которого перемещаем
/>.
Получаем следующий план перевозок:
В1
В2
В3
В4
В5
/>
А1 5100 85 74 108 31 100
А2 470 20 2130 54 65 200
А3 72 3100 52 97 2100 200
А4 520 74 41 280 53 100
/> 190 100 130 80 100 600
/> - план невырожденный
/>
Дадим оценку полученному плану.Всего занятых клеток m + n – 2 = 7 (план не вырожденный). Придаем двум из неизвестных значение0.
Для определения потенциаловсоставляем систему:
/> Откуда />
Вычисляем оценки для свободныхклеток и записываем их в левом углу свободных клеток.
Все оценки положительны, значит,план оптимален.
Оптимальный план можем представитьв виде
/>
транспортные расходы по этомуплану составят
/>условных единиц.