ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ФИЛИАЛ В Г. ЛИПЕЦКЕ
Контрольная работа
по эконометрике
Липецк, 2009 г.
Задача
По предприятиям легкойпромышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объемавыпуска продукции (Y, млн.руб.) отобъема капиталовложений (Х, млн.руб.)Y 31 23 38 47 46 49 20 32 46 24 Х 38 26 40 45 51 49 34 35 42 24
Требуется:
1. Найти параметрыуравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициентарегрессии.
2. Вычислитьостатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков />; построить графикостатков.
3. Проверитьвыполнение предпосылок МНК.
4. Осуществитьпроверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).
5. Вычислитькоэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), найтисреднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве.
6. Осуществитьпрогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,01 при Х=80% от егомаксимального значения.
7. Представитьграфически фактических и модельных значений Y, точки прогноза.
8. Составитьуравнения нелинейной регрессии:
· Гиперболической;
· Степенной;
· Показательной.
Привести графикипостроенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделейнайти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительныеошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Решение
1. Уравнение линейной регрессииимеет вид:
/>= а0+ а1x.
Построим линейную модель.
Для удобства выполнениярасчетов предварительно упорядочим всю таблицу исходных данных по возрастаниюфакторной переменной Х (Данные => Сортировка). ( рис. 1).
/>
Рис.1
Используем программуРЕГРЕССИЯ и найдем коэффициенты модели (рис.2)
/>
Рис.2
Коэффициенты моделисодержатся в таблице 3 (столбец Коэффициенты).
Таким образом, модельпостроена и ее уравнение имеет вид
Yт = 12,70755+0,721698Х.
Коэффициент регрессии b=0,721698, следовательно, приувеличении объема капиталовложений (Х) на 1 млн руб. объем выпуска продукции (Y) увеличивается в среднем на 0,721698млн руб.
2. Вычислитьостатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков S?e; построить график остатков.
Остатки содержатся встолбце Остатки итогов программы РЕГРЕССИЯ (таблица 4).
Программой РЕГРЕССИЯнайдены также остаточная сумма квадратов SSост=148,217 и дисперсия остатков MS=18,52712 (таблица 2).
Для построения графикаостатков нужно выполнить следующие действия:
· Вызвать МатерДиаграмм, выбрать тип диаграммы Точечная (с соединенными точками).
· Для указанияданных для построения диаграммы зайти во вкладку Ряд, нажать кнопку Добавить; вкачестве значений Х указать исходные данные Х (таблица 1); значения Y — остатки (таблица 4).
/>
Рис.3 График остатков
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
Предпосылками построенияклассической линейной регрессионной модели являются четыре условия, известныекак условия Гаусса-Маркова.
· В уравнениилинейной модели Y=a+b*X+? слагаемое? — случайная величина, которая выражает случайный характер результирующейпеременной Y.
· Математическоеожидание случайного члена в любом наблюдении равно нулю, а дисперсия постоянна.
· Случайные членыдля любых двух разных наблюдений независимы (некоррелированы).
· Распределениеслучайного члена является нормальными.
1) Проведем проверкуслучайности остаточной компоненты по критерию повторных точек.
Количество повторныхточек определим по графику остатков: p=5
Вычислим критическоезначение по формуле:
/>.
При/> найдем />
Схемакритерия:
/>
Сравним/>, следовательно, свойствослучайности для ряда остатков выполняется.
1. Равенствонулю математического ожидания остаточной компоненты для линейной модели,коэффициенты которой определены по МНК, выполняется автоматически. С помощьюфункции СРЗНАЧ для ряда остатков можно проверить: />.
Свойствопостоянства дисперсии остаточной компоненты проверим по критериюГольдфельда–Квандта.
Вупорядоченных по возрастанию переменной Xисходных данных (/>) выделим первые4 и последние 4 уровня, средние 2 уровня не рассматриваем.
Спомощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по первым четырем наблюдениям(регрессия-1), для этой модели остаточная сумма квадратов />.Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 107,7894737 107,7894737 15,67347 0,15751 Остаток 1 6,877192982 6,877192982 Итого 2 114,6666667
Спомощью программы РЕГРЕССИЯ построим модель по последним четырем наблюдениям(регрессия-2), для этой модели остаточная сумма квадратов />.Дисперсионный анализ df SS MS F Значимость F Регрессия 1 4,166666667 4,166666667 0,186916 0,707647 Остаток 2 44,58333333 22,29166667 Итого 3 48,75
Рассчитаемстатистику критерия:
/>.
Критическоезначение при уровне значимости />и числахстепеней свободы /> составляет />.
Схемакритерия:
/>
Сравним/>, следовательно, свойствопостоянства дисперсии остатков выполняется, модель гомоскедастичная.
2. Дляпроверки независимости уровней ряда остатков используем критерийДарбина–Уотсона
/>.
Предварительнопо столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН определим />; используем найденнуюпрограммой РЕГРЕССИЯ сумму квадратов остаточной компоненты />.
Такимобразом,
/>
Схемакритерия:
/>
Полученноезначение d=2,375, чтосвидетельствует об отрицательной корреляции. Перейдем к d’=4-d=1,62и сравним ее с двумя критическими уровнями d1=0,88и d2=1,32.
D’=1,62 лежит в интервале от d2=1,32до 2, следовательно, свойство независимости остаточной компоненты выполняются.
/>
Спомощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков />, следовательно r(1)=2,4869Е-14/148,217=1,67788Е-16.
Критическоезначение для коэффициента автокорреляции определяется как отношение />Onи составляет для данной задачи />
Сравненияпоказывает, что cr(1)=1,67788Е-16
4)Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью />критерия:
/>.
Спомощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим />, />. Стандартная ошибка моделинайдена программой РЕГРЕССИЯ и составляет />.Тогда:
/>
Критическийинтервал определяется по таблице критических границ отношения /> и при /> составляет (2,67; 3,57).
Схемакритерия:
/>
2,995/> (2,67; 3,57), значит, дляпостроенной модели свойство нормального распределения остаточной компонентывыполняется.
Проведеннаяпроверка предпосылок регрессионного анализа показала, что для моделивыполняются все условия Гаусса–Маркова.
4.Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t–критерияСтьюдента (/>).
t–статистика для коэффициентовуравнения приведены в таблице 4.
Длясвободного коэффициента /> определенастатистика />.
Длякоэффициента регрессии /> определенастатистика />.
Критическоезначение /> найдено для уравнениязначимости /> и числа степеней свободы /> с помощью функцииСТЬЮДРАСПОБР.
Схемакритерия:
/>
Сравнениепоказывает:
/>, следовательно,свободный коэффициент aявляется значимым.
/>, значит,коэффициент регрессии bявляется значимым.
5.Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии спомощью F–критерия Фишера (/>), найти среднююотносительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Коэффициентдетерминации R–квадрат определенпрограммой РЕГРЕССИЯ и составляет />.
Такимобразом, вариация объема выпуска продукции Yна 79,5% объясняется по полученному уравнению вариацией объема капиталовложенийX.
Проверимзначимость полученного уравнения с помощью F–критерияФишера.
F–статистика определена программой РЕГРЕССИЯ(таблица 2) и составляет />.
Критическоезначение /> найдено для уровня значимости/> и чисел степеней свободы />, />.
Схемакритерия:
/>
Сравнениепоказывает: />; следовательно, уравнениемодели является значимым, его использование целесообразно, зависимая переменнаяY достаточно хорошо описываетсявключенной в модель факторной переменной Х.
Длявычисления средней относительной ошибки аппроксимации рассчитаем дополнительныйстолбец относительных погрешностей, которые вычислим по формуле
/>
спомощью функции ABS (таблица 5).
ВЫВОД ОСТАТКА Наблюдение Предсказанное Y Остатки Отн. Погр-ти 1 27,14150943 6,858490566 20,17% 2 29,30660377 -3,306603774 12,72% 3 30,02830189 -6,028301887 25,12% 4 35,08018868 2,919811321 7,68% 5 35,80188679 -0,801886792 2,29% 6 40,13207547 -0,132075472 0,33% 7 45,90566038 -3,905660377 9,30% 8 45,90566038 5,094339623 9,99% 9 46,62735849 -1,627358491 3,62% 10 48,07075472 0,929245283 1,90%
Постолбцу относительных погрешностей найдем среднее значение /> (функция СРЗНАЧ).
Схемапроверки:
/>
Сравним:9,31%
Вывод:на основании проверки предпосылок МНК, критериев Стьюдента и Фишера и величиныкоэффициента детерминации модель можно считать полностью адекватной. Дальнейшееиспользование такой модели для прогнозирования в реальных условияхцелесообразно.
6.Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Yпри уровне значимости />, если прогнозноезначение фактора X составит 80% отего максимального значения.
Согласноусловию задачи прогнозное значение факторной переменной Х составит 80% от 49,следовательно, />. Рассчитаем поуравнению модели прогнозное значение показателя У:
/>.
Такимобразом, если объем капиталовложений составит 39,2 млн. руб., то ожидаемыйобъем выпуска продукции составит около 48 млн. руб.
Зададимдоверительную вероятность /> ипостроим доверительный прогнозный интервал для среднего значения Y.
Дляэтого нужно рассчитать стандартную ошибку прогнозирования:
/>
Предварительноподготовим:
— стандартную ошибку модели /> (Таблица2);
— по столбцу исходных данных Х найдем среднее значение /> (функция СРЗНАЧ) иопределим /> (функция КВАДРОТКЛ).
Следовательно,стандартная ошибка прогнозирования для среднего значения составляет:
/>
При/> размах доверительногоинтервала для среднего значения
/>
Границамипрогнозного интервала будут
/>
/>
Такимобразом, с надежностью 90% можно утверждать, что если объем капиталовложенийсоставит 39,2 млн. руб., то ожидаемый объем выпуска продукции будет от 45,3млн. руб. до 50,67 млн. руб.
7.Представить графически фактические и модальные значения Yточки прогноза.
Дляпостроения чертежа используем Мастер диаграмм (точечная) – покажем исходныеданные (поле корреляции).
Затемс помощью опции Добавить линию тренда… построим линию модели:
тип> линейная; параметры > показывать уравнение на диаграмме.
Покажемна графике результаты прогнозирования. Для этого в опции Исходные данныедобавим ряды:
Имя> прогноз; значения />; значения/>;
Имя> нижняя граница; значения />; значения/>;
Имя> верхняя граница; значения />;значения />
/>
8.Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической; степенной;показательной.
8.1 Гиперболическая модель
Уравнение гиперболическойфункции:
/>= a + b/x.
Произведем линеаризациюмодели путем замены X = 1/x. В результате получим линейноеуравнение
/>= a + bX.
Рассчитаем параметрыуравнения по данным таблицы 2.
b =/> =/>
а = /> =38,4+704,48*0,03=60,25.
Получим следующееуравнение гиперболической модели:
/> = 60,25-704,48/х.
8.2 Степенная модель
Уравнение степенноймодели имеет вид: />=аxb
Для построения этой моделинеобходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведемлогарифмирование обеих частей уравнения:
lg />= lg a + b lg x.
Обозначим через
Y=lg />, X=lg x, A=lg a.
Тогда уравнение приметвид: Y = A + bX –линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данныетаблицы 3.
b = /> =/>
A = /> = 1,57-0,64*1,53=0,59
Уравнение регрессии будетиметь вид: Y = 0,59+0,64* Х.
Перейдем к исходным переменнымx и y, выполнив потенцирование данного уравнения.
/>= 100,59* х0,64.
Получим уравнениестепенной модели регрессии:
/>= 3,87* х0,64.
8.3 Показательная модель
Уравнение показательнойкривой: />=abx.
Для построения этоймодели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществимлогарифмирование обеих частей уравнения:
lg /> = lg a + x lg b.
Обозначим: Y = lg />, B = lg b, A = lg a. Получим линейное уравнение регрессии: Y = A + B x. Рассчитаем его параметры, используяданные таблицы 4.
В =/> =/>
А =/> = 1,57-0,01*35,6=1,27
Уравнение будет иметьвид: Y = 1,27+0,01х.
Перейдем к исходнымпеременным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
/>=101,27* ( 100,01)х= 18,55*1,02х.
Графики построенныхмоделей:
/>
Рис.3. Гиперболическая
/>
Рис.4. Степенная
/>
Рис.5. Показательная
9. Сравнение моделей похарактеристикам: коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средниеотносительные ошибки аппроксимации. Вывод.
9.1 Гиперболическая модель
Коэффициент детерминации:
/>=/>
Вариация результата Y на 70,9% объясняется вариацией фактораХ.
Коэффициент эластичности:
/> =/> =0,05.
Это означает, что приувеличении фактора Х на 1 % результирующий показатель изменится на 0,05 %.
Бета-коэффициент:
Sx=/>=0,01Sy=/>=8,5/>60,25*0,01/8,5=0,07.
Т.е. увеличение объемакапиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателяприведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,07среднеквадратического отклонения этого показателя.
Средняя относительнаяошибка аппроксимации:
/>отн = 109,7/ 10= 10,97 %.
В среднем расчетныезначения /> для гиперболической моделиотличаются от фактических значений на 10,97%.
9.2 Степенная модель
Коэффициент детерминации:
/>=/>
Вариация результата Y на 73,6% объясняется вариациейфактора Х. Коэффициент эластичности:
/> =/> =0,57.
Это означает, что приувеличении факторного признака на 1 % результирующий показатель увеличится на0,57%.
Бета-коэффициент:
/>, Sy=/> иSx=/>.
Sx=/>=0,14Sy=/>=0,10/>0,59*0,14/0,1=0,78.
Т.е. увеличение объемакапиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателяприведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 0,78среднеквадратического отклонения этого показателя.
/>отн= /> = 93,77/10 = 9,34%.
В среднем расчетныезначения /> для степенной моделиотличаются от фактических значений на 9,34%.
9.3 Показательная модель
Коэффициент детерминации:
/>=/>
Вариация результата Y на 75,7% объясняется вариациейфактора Х. Коэффициент эластичности:
/> /> =28,71.
Это означает, что приросте фактора Х на 1 % результирующий показатель Y изменится на 28,71 %.
Бета-коэффициент:
Sx=/>=10,5Sy=/>=0,10/>1,27*10,5/0,10=129,10.
Т.е. увеличение объемакапиталовложений на величину среднеквадратического отклонения этого показателяприведет к увеличению среднего значения объема выпуска продукции на 129,1 среднеквадратическогоотклонения этого показателя.
/>отн= 91,9/ 10 = 9,19%.
В среднем расчетныезначения /> для показательной моделиотличаются от фактических значений на 9,19%.
Вывод
Лучшей из уравненийнелинейной регрессии является показательная: выше коэффициент детерминации,наименьшая относительная ошибка. Модель можно использовать для прогнозирования.