МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОУВПО Омский государственный технический университет
Кафедра«Экономика и организация труда»
Контрольная раБОтА
подисциплине «Методы и модели в экономике»
Вариант28
Выполнил:
студент гр. ЗУТ-217
Чупраков Д. А.
Проверила:
__________ Е. Н.Казанцева
«___» ___________ 2009 г.
Омск2009
СОДЕРЖАНИЕ
Задача 1
Задача 2
Задача 3/> />
Задача №1
1. Составитьматематическую модель задачи.
Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в двамагазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремяскладами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.Магазины Склады №1 №2 №1 20 руб. 45 руб. №2 30 руб. 20 руб. №3 40 руб. 35 руб.
Составитьнаиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологическихспособов, чтобы получить максимум прибыли?
Решение
Введем переменные/>, представляющие собойколичество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.
Посколькусуммарные запасы />= 65 (т) исуммарные потребности />= 60(т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей),необходимо ввести фиктивный /> пунктпотребления />. Тогда транспортнаяматрица будет иметь следующий вид (табл.1).
Таблица 1-Общий вид транспортной матрицыПункты производства, i Пункты потребления, j Объем производства 1 2 3 1 20 45 15 2 30 20 20 3 40 35 30 Объем потребления (спрос) 25 35 5 65
Зададимцелевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортнойзадачи.
/>
Найдемопорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 –Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
Пункты
производства, i Пункты потребления, j Объем производства 1 2 3 1
20
15
45
-
- 15/0 2
30
10
20
10
- 20/10/0 3
40
-
35
25
5 30/5/0 Объем потребления 25/10/0 35/25/0 5/0 65
Опорный план />, найденный методом северо-западного угла имеетвид:
/> (т) или /> = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).
Целеваяфункция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: /> (руб.).
Итерация 1.
Шаг 1.1.Вычисление потенциалов
20
15
45
-
-
u1=0
30
10
20
10
-
u2=-10
/>
40
-
35
25
5
u3=-25
v1=20
v2=10
v3=-25
Система дляплана /> имеет вид: />
Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: v1=20, v2=10, u2=-10, v3= — 25, u3= — 25, т.е. (0; — 10; -25; 20; 10; -25).
Шаг 1.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />. -35 -25
u1=0 /> -15
u2=-10
?1= 10 -10 -5
u3=-25
v1=20
v2=10
v3=-25
Таккак имеются />>0, топереходим к шагу 3.
Шаг 1.3.Составление нового плана перевозок. /> соответствует клетка К31.
-30
/>/>10
+20
/>10
?1=
/>+40
-
-35
25
? =/>= 10. Составим новый планперевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1.Вычисление потенциалов
20
15
45
-
-
u1=0
30
-
20
20
-
u2=-5
/>
40
10
35
15
5
u3=-20
v1=20
v2=15
v3=-20
Система дляплана />имеет вид: />
Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).
Шаг 2.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />. -35 -20
u1=0 /> -5 -15
u2=-5
?1=
u3=-20
v1=20
v2=15
v3=-20
Так как всеоценки />?0,следовательно, план /> — оптимальный.
Х оптим =(0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции:/>(руб.).
Ответ: Х оптим= (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.
Задача№2
2. Решитьграфически задачу: найти экстремумы функции />, если />, />.
Решитьсимплекс-методом
/>
РЕШЕНИЕ
а) Решимзадачу графически при
z = 3x1 – 2x2 > max
/>
/>, />.
Построим наплоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямыхс осями координат (рис.1).
x2
16
5 />
Рис.1.Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 > max
Строим вектор/> из точки (0;0) в точку (3;-2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений,через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора />. Поэтому Е – это точка максимумацелевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:
/>.
б) Решимзадачу графически при
z = 3x1 – 2x2 > min
/>
/>, />.
Построим наплоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямыхс осями координат (рис.2).
x2
16
5 />
Рис.2.Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 > min
Строим вектор/> из точки (0;0) в точку (-3;2). Точка Е (0;1) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений,через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора />. Поэтому Е – это точка минимумацелевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:
/>.
Ответ: а)Функция z= 3x1 – 2x2 > max и равна 21 в точке(7;0).
б)Функция z= 3x1 – 2x2 > min и равна — 2 в точке (0;1).
Задача№3
Решитьметодом потенциалов транспортную задачу, где /> – цена перевозки единицы груза из пункта /> в пункт />.
/>
Решение
Посколькусуммарные запасы />= 35 (ед.груза) и суммарные потребности />= 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело соткрытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный /> пункт производства />. Тогда транспортная матрица будет иметьследующий вид (табл.1).
Таблица 1-Общий вид транспортной матрицыПункты производства, i Пункты потребления, j Объем производства 1 2 3 4 1 6 8 4 2 10 2 5 6 9 8 10 3 4 2 3 8 15 4 13 Объем потребления (спрос) 5 8 15 20 48
Найдемопорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).
Таблица 2 –Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла
Пункты
производства, i Пункты потребления, j Объем производства 1 2 3 4 1
6
5
8
5
4
-
2
- 10/5/0 2
5
-
6
3
9
7
8
- 10/7/0 3
4
-
2
-
3
8
8
7 15/7/0 4
-
-
-
13 13/0 Объем потребления 5/0 8/3/0 15/8/0 20/13/0 48
Опорный план />, найденный методом северо-западного угла имеетвид:
/> (ед. груза) или /> = (5; 5; 0; 0; 0; 3;7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).
Целеваяфункция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: /> (ден. ед.).
Итерация 1.
Шаг 1.1.Вычисление потенциалов
6
5
8
5
4
-
2
-
u1=0
5
-
6
3
9
7
8
-
u2=2
/>
4
-
2
-
3
8
8
7
u3=8
-
-
-
13
u4=16
v1=6
v2=8
v3=11
v4=16
Система дляплана /> имеет вид: />
Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: v1=6, v2=8, u2=2,v3=11, v4=16, u3=8, u4=16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).
Шаг 1.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />. 7 14
u1=0 /> -1 6
u2=2
?1= -6 -2
u3=8 -10 -8 -5
u4=16
v1=6
v2=8
v3=11
v4=16
Так какимеются />>0, то переходимк шагу 3.
Шаг 1.3.Составление нового плана перевозок. /> соответствует клетка К14.
— 8
/>/>5
4
-
+2
/>-
+6
/>3
— 9
/>7
8
-
?1=
2
-
+3
/>8
— 8
7
-
-
13
? =/>= 5. Составим новый планперевозки.
Итерация 2.
Шаг 2.1.Вычисление потенциалов
6
5
8
-
4
-
2
5
u1=0
5
-
6
8
9
2
8
-
u2=-12
/>
4
-
2
-
3
13
8
2
u3=-6
-
-
-
13
u4=2
v1=6
v2=-6
v3=-3
v4=2
Система дляплана /> имеет вид: />
Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: v1=6, v2=-6, u2=-12,v3=-3, v4=2, u3=-6, u4=2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).
Шаг 2.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />. -14 -7
u1=0 /> 13 6
u2=-12
?1= 8 -2
u3=-6 4 -8 -5
u4=2
v1=6
v2=-6
v3=-3
v4=2
Так какимеются />>0, то переходимк шагу 3.
Шаг 1.3.Составление нового плана перевозок. /> соответствует клетка К21.
-6
/>/>5
8
-
4
-
+2
/>5
?1=
+5
/>-
6
8
-9
/>2
8
-
4
-
2
-
+3
/>13
-8
2
? =/>=/>= 2. Возьмем /> и составим новый план перевозки.
Итерация 3.
Шаг 3.1.Вычисление потенциалов
6
3
8
-
4
-
2
7
u1=0
5
2
6
8
9
8
-
u2=1
/>
4
-
2
-
3
15
8
-
u3=7
-
-
-
13
u4=2
v1=6
v2=7
v3=10
v4=2
Система дляплана /> имеет вид: />
Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).
Шаг 3.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />. -1 6
u1=0 /> -7
u2=1
?1= -5 -2 -13
u3=7 4 5 8
u4=2
v1=6
v2=7
v3=10
v4=2
Так как имеются/>>0, то переходим к шагу3.
Шаг 3.3.Составление нового плана перевозок. /> соответствует клетка К43.
-6
/>/>3
8
-
4
-
+2
/>7
+5
/>2
6
8
-9
/>0
8
-
?1=
4
-
2
-
3
15
8
-
-
-
+0
/>-
-0
13
? =/>= 0. Составим новый планперевозки.
Итерация 4.
Шаг 4.1.Вычисление потенциалов
6
3
8
-
4
-
2
7
u1=0
5
2
6
8
9
-
8
-
u2=1
/>
4
-
2
-
3
15
8
-
u3=-1
-
-
13
u4=2
v1=6
v2=7
v3=2
v4=2
Система дляплана /> имеет вид: />
Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).
Шаг 4.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />. -1 -2
u1=0 /> -8 -7
u2=1
?1= 3 6 -5
u3=-1 4 5
u4=2
v1=6
v2=7
v3=2
v4=2
Так какимеются />>0, то переходимк шагу 3.
Шаг 4.3.Составление нового плана перевозок. /> соответствует клетка К32.
-6
/>/>3
8
-
4
-
+2
/>7
+5
/>2
-6
/>8
-9
-
8
-
?1=
4
-
+2
/>-
-3
/>15
8
-
-
-
+0
/>0
-0
13
? =/>= 3. Составим новый планперевозки.
Итерация 5.
Шаг 5.1.Вычисление потенциалов
6
-
8
-
4
-
2
10
u1=0
5
5
6
5
9
-
8
-
u2=-5
/>
4
-
2
3
3
12
8
-
u3=-1
-
-
3
10
u4=2
v1=0
v2=1
v3=2
v4=2
Система дляплана /> имеет вид: />
Полагая u1=0, находим значения всехпотенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).
Шаг 5.2.Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок />. -6 -7 -2
u1=0 /> -2 -1
u2=-5
?1= -3 -5
u3=-1 -2 -1
u4=2
v1=0
v2=1
v3=2
v4=2
Так как всеоценки />?0,следовательно, план /> — оптимальный.
Х оптим =(0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевойфункции:/>(ден. единиц).
Ответ: Х оптим= (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.