ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
Математическоемоделирование работы систем массового обслуживания
Задание
Вариант 1.Газозаправочнаястанция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущейк насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которыеобслуживаются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уезжают искать другуюзаправку. Распределение прибывающих автомобилей является пуассоновским сматематическим ожиданием 20 автомобилей в час. Время обслуживания клиентовимеет экспоненциальное распределение с математическим ожиданием 6 минут.
На основерасчета функциональных характеристик СМО определить:
– процентавтомобилей, которые будут искать другую заправку;
– процентвремени, когда используется только один из насосов;
– процентвремени использования двух насосов;
– вероятностьтого, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди;
– среднеевремя пребывания автомобиля на газозаправочной станции.
массовый обслуживание транспорт автомобильный
Функциональныехарактеристики СМО
Характеристика
Описание
Значение l интенсивность входного потока заявок 20 m интенсивность обслуживания 10 относительная нагрузка на систему 2,00000
эфф эффективная интенсивность поступления заявок в систему 13,3333
Lq среднее число заявок в очереди 2,00000
Ls среднее число находящихся в системе заявок 3,73333
Wq средняя продолжительность пребывания заявки в очереди 0,11538
Ws средняя продолжительность пребывания заявки в системе 0,21538
p0
вероятность состояния S0 0,06667
p1
вероятность состояния S1 0,13333
P2
вероятность состояния S2 0,13333
P3
вероятность состояния S3 0,13333
P4
вероятность состояния S4 0,13333
P5
вероятность состояния S5 0,13333
P6
вероятность состояния S6 0,13333
P7
вероятность состояния S7 0,13333
Интерпретацияполученных результатов.
– процентавтомобилей, которые будут искать другую заправку = pc+m = p7 = 13,33%
– процентвремени, когда используется только один из насосов = p1 = 13,33%
– процентвремени использования двух насосов = p2 + … +p7 = 80%
– вероятностьтого, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди = 1 – p7 = 86,67%
– среднеевремя пребывания автомобиля на газозаправочной станции = Ws = 0,21538 ч. = 13минут
Контрольныевопросы:
1. Изкаких основных компонентов состоит СМО?
Системымассового обслуживания (СМО) – это такие системы, в которые в случайные моментывремени поступают заявки на обслуживание, которые удовлетворяются с помощьюимеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания (сервисов).
Основнымикомпонентами СМО являются два потока событий:
1) входнойпоток заявок (требований на обслуживание), характеризующийся своейинтенсивностью l (средним количеством клиентов, поступающих всистему в единицу времени) или средним интервалом времени между их последовательнымипоступлениями tпост;
2) выходнойпоток заявок, описываемый интенсивностью обслуживания m (средним количествомобслуженных заявок в единицу времени) или средней продолжительностьюобслуживания tобсл.
Для СМОразомкнутого типа, у которых входной и выходной потоки подчинены распределениюПуассона, в качестве исходных данных для расчета функциональныххарактеристик используются:
· интенсивностьвходного потока заявок l;
· интенсивностьобслуживания m;
· количествомпараллельно работающих однородных сервисов (обслуживающих каналов) с;
· максимальнаяемкость очереди m;
· мощностьисточника заявок f.
2. Какиебывают СМО?
Состояниемсистемыназывается число находящихся в данный момент в СМО заявок n. Поступающие заявкимогут сразу попасть на обслуживание (если сервис свободен) или ожидать вочереди.
Еслимаксимально допустимое число мест в очереди m конечно, то в СМО могутпроисходить отказы в предоставлении сервиса (система с отказами). Отклоняютсяот обслуживания те заявки, в момент прихода которых все места в очередислучайно оказались занятыми или при m = 0 (система без очереди) все каналы обслуживанияоказались занятыми. В СМО с неограниченной длиной очереди (m = ¥) пришедшая заявка приневозможности немедленного обслуживания ожидает обслуживания при любой длинеочереди и продолжительности времени ожидания.
По способуотбора из очереди заявок для обслуживания различают следующие виды дисциплиныочереди:
1) первымпришел – первым обслуживается (FCFS);
2) последнимпришел – первым обслуживается (LCFS);
3) случайныйотбор заявок (SIRO);
4) ограниченовремя пребывания заявки в очереди;
5) сприоритетами, при которой некоторые находящиеся в очереди заявки имеют правопервоочередного обслуживания (например, срочные работы выполняются раньшеобычных).
По числуканалов обслуживания c различают одноканальные и многоканальные СМО. МногоканальныеСМО разделяют:
· похарактеристикам каналов – на однородные и неоднородные СМО;
· порасположению каналов – на СМО с параллельным и последовательным расположениемсервисов.
В некоторыхСМО интенсивность входного потока может зависеть от числа заявок, уженаходящихся в системе (СМО замкнутого типа). В такой системе конечность очередиявляется следствием ограниченности мощности источника, создающего заявки наобслуживание. В СМО с источником бесконечной мощности (СМО разомкнутого типа)интенсивность входного потока практически не зависит от состояния системы.
3. Какопределить основные функциональные характеристики СМО?
Наиболееупотребляемыми функциональными характеристиками стационарных СМОявляются следующие:
· pотк – вероятность отказа в обслуживании (средняя долязаявок, получивших отказ в обслуживании):
– дляСМО с отказами
/>;
– дляСМО с неограниченной очередью
pотк = 0;
· q – относительнаяпропускная способность системы (средняя доля обслуженных заявок; вероятностьобслуживания)
q = 1 – pотк;
· – относительнаянагрузка на систему
r = l / m;
· эфф – эффективнаяинтенсивность поступления заявок в систему (абсолютная пропускная способностьсистемы; среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени)
· Lq – среднее число заявок в очереди (средняя длинаочереди):
– дляСМО без очереди
Lq = 0;
– дляСМО с ограниченной очередью
/>
– дляСМО с неограниченной очередью
/>;
· Ls – среднее число находящихся в системе заявок
· Wq – среднее время (средняя продолжительность)пребывания заявки в очереди
· Ws – среднее время (средняя продолжительность)пребывания заявки в системе
· /> – среднееколичество занятых средств обслуживания
/>;
· pn – вероятность того, что в системе находится n заявок
– дляСМО с отказами
/>; />;
– дляСМО с неограниченной очередью
/>;
В ходе работыя научилась определять количественные показатели качества функционированиясистемы массового обслуживания.