Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательноеучреждение высшего профессионального образования
Всероссийский заочныйфинансово-экономический институт
Филиал в г. Туле
Факультет финансово-кредитный
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
Финансовая математика
Вариант №6.
Тула-2009 г.
Содержание:
Задание №1
Задание №2
Задание №3
Список использованной литературы
Задание№1
В каждом вариантеприведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищноестроительство (в условных единицах, табл. 1.1) за 4 года (всего 16 кварталов,первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Таблица 1.1
Исходные данные Вариант №6 Квартал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Данные 36 46 55 35 39 50 61 37 42 54 64 40 47 58 70 43
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модельХольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1=0,3,α2=0,6, α3=0,3.
2) Оценить точность построенной модели с использованиемсредней относительной ошибки аппроксимации.
3) Оценить адекватность построенной модели на основеисследования:
- случайности остаточной компоненты покритерию пиков;
- независимости уровней ряда остатковпо d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициентуавтокорреляции при критическом значении r1=0,32;
- нормальности распределения остаточнойкомпоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные ипрогнозные данные.
Решение:
1) Модель Хольта-Уинтерсаимеет вид:
/>
где k – период упреждения, k=1;
at, bt, Ft — коэффициенты модели;
L — период сезонности, L=4.
Адаптация к новомузначению параметра времени tкоэффициентов модели Хольта-Уинтерса производится по формулам
/>
Для оценки начальныхзначений a0и b0применим линейную модель к первым8-ми значениям заданного ряда (табл. 1.2.)
Таблица 1.2
Расчет параметровлинейной модели a0и b0t
yt
/>
/>
/>
/>
/>
1
2
3
4
5
6
7 1 36 -8,875 -3,5 12,25 31,0625 41,90 2 46 1,125 -2,5 6,25 -2,8125 42,75 3 55 10,125 -1,5 2,25 -15,1875 43,60 4 35 -9,875 -0,5 0,25 4,9375 44,45 5 39 -5,875 0,5 0,25 -2,9375 45,30 6 50 5,125 1,5 2,25 7,6875 46,15 7 61 16,125 2,5 6,25 40,3125 47,00 8 37 -7,875 3,5 12,25 -27,5625 47,85
/>36 359 42 35,5 4,5 44,875
Расчет a0и b0произведем по формулам:
/>
Таким образом, линейнаямодель имеет вид
/>.
Подставив фактическиезначения времени, найдем />
Оценим приближенныезначения коэффициентов сезонности F-3; F-2; F-1; F0по формулам:
/>
/>
/>
/>
1. Тогда для моментавремени t=0, и k=1 имеем
/>
2. Для t=1, k=1,
/>
/>
/>
/>
3. Для t=2, k=1,
/>
/>
/>
/>
4. Для t=3, k=1,
/>
/>
/>
/>
5. Для t=4, k=1,
/>
/>
/>
/>
6. Для t=5, k=1,
/>
/>
/>
/>
7. Для t=6, k=1,
/>
/>
/>
/>
8. Для t=7, k=1,
/>
/>
/>
/>
9. Для t=8, k=1,
/>
/>
/>
/>
10. Для t=9, k=1,
/>
/>
/>
/>
11. Для t=10, k=1,
/>
/>
/>
/>
12. Для t=11, k=1,
/>
/>
/>
/>
13. Для t=12, k=1,
/>
/>
/>
/>
14. Для t=13, k=1,
/>
/>
/>
/>
15. Для t=14, k=1,
/>
/>
/>
/>
16. Для t=15, k=1,
/>
/>
/>
/>
17. Для t=16, k=1
/>
/>
/>
Сведем полученные данныес таблицу (табл. 1.3.)
адаптивныймультипликативный коммерческий сглаживание
Таблица 1.3
Расчетные данные помодели Хольта-Уинтерса
y
at
bt
Ft
/>
/>
/>
1
2
3
4
5
6
7
8
-3 0,8601
-2 1,0797
-1 1,2797 41,05 0,85 0,7803
1 36 41,90 0,85 0,8601 36,04 -0,04 0,0011
2 46 42,75 0,85 1,0797 46,16 -0,16 0,0035
3 55 43,60 0,85 1,2796 55,79 -0,79 0,0144
4 35 44,45 0,85 0,7802 34,68 0,32 0,0091
5 39 45,30 0,85 0,8601 38,96 0,04 0,0010
6 50 46,15 0,85 1,0797 49,83 0,17 0,0034
7 61 47,00 0,85 1,2796 60,14 0,86 0,0141
8 37 47,85 0,85 0,7802 37,33 -0,33 0,0089
9 42 48,70 0,85 0,8601 41,89 0,11 0,0026
10 54 49,55 0,85 1,0797 53,50 0,50 0,0093
11 64 50,40 0,85 1,2796 64,49 -0,49 0,0077
12 40 51,25 0,85 0,7801 39,98 0,02 0,0005
13 47 52,10 0,85 0,8601 44,81 2,19 0,0466
14 58 52,95 0,85 1,0797 57,17 0,83 0,0143
15 70 53,80 0,85 1,2796 68,84 1,16 0,0166
16 43 54,65 0,85 0,7801 42,63 0,37 0,0086
Σ 4,76 0,1617
ср. 0,30 0,0101
2) Оценим точностьпостроенной модели Хольта-Уинтерса с использованием средней относительнойошибки аппроксимации, которую найдем по формуле (расчеты произведем в табл.1.3. графы 7,8)
/>
Так как средняяотносительная ошибка аппроксимации А меньше 5%, то модель точная.
3) Проверим адекватностьмодели.
а) Для адекватной моделихарактерно равенство математического ожидания ряда остатков 0. Проверкаосуществляется на основе t-критерияСтьюдента. Расчеты произведем в табл. 1.4.
Таблица 1.4
Проверка адекватностимодели
/>
/>
Тп
/>
/>
/>
1
2
3
4
5
6
1 -0,04 0,1139 - - 0,0016 - 2 -0,16 0,2093 0,0144 0,0256 0,0064 3 -0,79 1,1827 1 0,3969 0,6241 0,1264 4 0,32 0,0005 1 1,2321 0,1024 -0,2528 5 0,04 0,0663 1 0,0784 0,0016 0,0128 6 0,17 0,0163 0,0169 0,0289 0,0068 7 0,86 0,3164 1 0,4761 0,7396 0,1462 8 -0,33 0,3938 1 1,4161 0,1089 -0,2838 9 0,11 0,0352 0,1936 0,0121 -0,0363 10 0,50 0,0410 1 0,1521 0,2500 0,0550 11 -0,49 0,6202 1 0,9801 0,2401 -0,2450 12 0,02 0,0770 0,2601 0,0004 -0,0098 13 2,19 3,5816 1 4,7089 4,7961 0,0438 14 0,83 0,2836 1 1,8496 0,6889 1,8177 15 1,16 0,7439 1 0,1089 1,3456 0,9628 16 0,37 0,0053 - 0,6241 0,1369 0,4292 7,6870 10 12,5083 9,1028 2,7794
/>
где
/>
Сравним tрасч с табл t0,05;15= 2,13. Т.к. 1,67
б) Проверим условиеслучайности уровней остаточной компоненты по критерию пиков.
/>
р=10, т.к. р>q(10>6), то условие случайности уровней остаточной компоненты выполняется.
в) Проверку независимостиуровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции) проведем с помощью критерияДарбина-Уотсона. Расчеты произведем в табл. 1.4.
/>
Т.к. d1
/>
rтабл=0,34, так как r1
г) Проверку соответствияряда остатков нормальному закону распределения выполним по R/S-критерию.
/>
3
d1
Так как все 4 условиявыполнены, то модель является адекватной и ее можно использовать дляпрогнозирования.
4) Построим точечныйпрогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
/>
/>
/>
/>
/>
5) Отобразим на графикефактические, расчетные и прогнозные данные (Рис. 1).Задание №2
Даны цены (открытия,максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принятьравным пяти дням. Рассчитать:
1. экспоненциальную скользящую среднюю;
2. момент;
3. скорость изменения цен;
4. индекс относительной силы;
5. %R, %К, %D.
Расчеты проводить для техдней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных(табл. 2.1.).
/>
Рис. 1.1 График
Табл. 2.1
Исходные данныеВариант №6 Дни Цены макс. мин. закр. 1 600 550 555 2 560 530 530 3 536 501 524 4 545 521 539 5 583 540 569 6 587 562 581 7 582 561 562 8 573 556 573 9 610 579 592 10 645 585 645
Решение:
1) Рассчитаем экспоненциальнуюскользящую среднюю по формуле
/>, где
ЕМАt— значение экспоненциальнойскользящей средней текущего дня t;
Сt — цена закрытия t-го дня;
k – коэффициент,
/>;
n – интервал сглаживания, n=5.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Отобразим полученныеданные на графике (рис. 2.1.)
/>
Рис. 2.1 График цен закрытия и ЕМА
На основании графика(рис. 2.1.) нельзя сделать выводов, так как графики цен закрытия и ЕМА непересекаются.
2) Найдем момент поформуле
/>, где
Сt – цена закрытия текущего дня;
Ct-n – цена закрытия торгового дня n дней назад.
/>
/>
/>
/>
/>
Построим график />
/>
Рис. 2.2 График изменения момента МОМt.
График МОМt непересекает нулевую линию, поэтому нет сигналов ни к покупке, ни к продажеакций, однако положительные значения МОМt свидетельствуют об относительном росте цен.
3) Найдем скоростьизменения цен по формуле
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Отобразим /> на графике(рис. 2.3.)
/>
Рис. 2.3 График изменения скорости измененияцен ROCt.
График ROC (рис. 2.3.)нигде не пересекает уровень 100%, что означает, что нет сигналов ни к покупке,ни к продаже.
4) Найдем индексотносительной силы торгов по формуле
/>, где
AU – сумма приростовконечных цен за n дней;
AD – сумма убытков за nдней.
Таблица 2.2
Расчет значенийпараметров RSIДни
Сt
∆Сt↑
∆Сt↓
∑∆Сt↑
∑∆Сt↓ RSI
1
2
3
4
5
6
7 1 555 - - 2 530 25 3 524 6 4 539 15 5 569 30 6 581 12 57 31 64,77 7 562 19 57 25 69,51 8 573 11 68 19 78,16 9 592 19 72 19 79,12 10 645 53 95 19 83,33
/>
/>
/>
/>
/>
Построим график индексаотносительной силы торгов RSI (рис. 2.4).
/>
Рис. 2.4 График индексаотносительной силы торгов RSI
Из графика RSI (рис.2.4.) видно, что индекс относительной силы входит в «зону перекупленности» (от80 до 100) на 9-й день. Значит, цены сильно выросли, надо ждать падения и подготовитьсяк продаже. Сигналом к продаже будет служить момент выхода графика RSI из «зоныперекупленности».
5) Рассчитаемосцилляторные индексы %R, %К, %D по формулам
/>
/>
/>, где
Kt, Rt, Dt – значения индексов текущего дня t;
H5 (L5) – максимальная (минимальная) ценаза 5 предшествующих дней, включая текущий.
Расчеты произведем втабл. 2.3.
Таблица 2.3
Расчет значенийосцилляторов %Rt, %Kt, %Dt.Дни
Сt
Сmax
Сmin
H5
L5
H5 — Сt
H5-L5
%Rt
Ct-L5
%Kt ∑за 3 дня (графа 10) ∑за 3 дня (графа 8)
%Dt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14 1 555 600 550 2 530 560 530 3 524 536 501 4 539 545 521 5 569 583 540 600 501 31 99 31,31 68 68,69 6 581 587 562 587 501 6 86 6,98 80 93,02 7 562 582 561 587 501 25 86 29,07 61 70,93 209 271 77,12 8 573 573 556 587 521 14 66 21,21 52 78,79 193 238 81,09 9 592 610 579 610 540 18 70 25,71 52 74,29 165 222 74,32 10 645 645 585 645 556 89 0,00 89 100,00 193 225 85,78
/>;
/>
/>; />
/>; />; />
/>; />; />
/>; />; />
/>; />; />
Сведем полученные данныев таблицу (табл. 2.3.) и отобразим на графике расчетные значения осцилляторов(рис. 2.5.)
/>
Рис. 2.5 Графики изменения осцилляторов %Rt, %Kt, %Dt.
Задание №3
Таблица 3.1
Исходные данныеВариант Сумма Дата начальная, Дата конечная Время в днях Время в годах Ставка Число начислений S
Тн
Тк
Тдн
Тлет i m
6 3000000 14.01.02 18.03.02 90 5 35 4
Выполнить различныекоммерческие расчеты, используя данные, приведенные в табл. 3.1.
В условии задачи значенияпараметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях, Тлет –время в годах, i – ставку впроцентах и т. д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующиечисленные значения параметров и выполнить требуемые расчеты.
3.1 Банк выдал ссудуразмером S руб. Дата выдачи ссуды — Tн, возврата — Тк. День выдачи и деньвозврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой ставке i% годовых. Требуется найти:
а) точные проценты сточным числом дней ссуды;
б) обыкновенные процентыс точным числом дней ссуды;
в) обыкновенные процентыс приближенным числом дней ссуды.
3.2 Через Тдндней после подписания договора должник уплатил S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальнаясумма и дисконт?
3.3 Через Тдндней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учелвексель по учетной ставке i%годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму идисконт.
3.4 В кредитном договорена сумму S руб. и сроком на Тлетлет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.
3.5 Ссуда, размером S руб. представлена на Тлетлет. Проценты – сложные, ставка — i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
3.6 Вычислить эффективнуюставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.
3.7 Определить, какойдолжна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечитьэффективную ставку i% годовых.
3.8 Через Тлетпредприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяетсясложная процентная ставска i%годовых.
3.9 Через Тлетпо векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.
3.10 В течение Тлетлет на расчетный сет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетномсчете к концу указанного срока.
3.1 Известны:
P=3000000 руб.
Тн=14.01.02
Тк=18.03.02
i=35%, или 0,35
Найти: I1, I2, I3.
Решение:
Используем формулы
/>
а) точные проценты сточным числом дней ссуды.
k=365
t=63
/>
б) обыкновенные процентыс точным числом дней ссуды.
k=360
t=63
/>
в) обыкновенные процентыс приближенным числом дней ссуды.
k=360
t=64
/>
Ответ: I1=181232,88 руб.; I2=183750,00 руб.; I3=186666,67руб.
3.2 Известны:
S=3000000 руб.
Тдн=90
n=t/k=90/360=0,25
i%=35, или 0,35
Найти: Р=?, D=?.
Решение:
Первоначальная сумма идисконт находятся по следующим формулам:
/>
/>
Ответ: Р=/>; D=/>
3.3 Известны:
S=3000000 руб.
i%=35, или 0,35.
Тдн=90
Найти: Р-?, D-?.
Решение:
Применим следующиеформулы:
/>
/>
Ответ: предприятие получило 2737500,00 руб.,дисконт составил 262500,00 руб.
3.4 Известны:
Р = 3000000 руб.
n = 5 лет
iсл=35, или 0,35
Найти: S-?
Решение:
1) Для расчета наращенной суммы применим формулу
/>
Ответ: S= 13452100,31 руб.
3.5 Известны:
Р=300000 руб.
j=35%, или 0,35
m=4
n=5
Найти: S-?
Решение:
1) Наращенную сумму можнонайти по формуле
/>
Ответ: S=16058558,84 руб.
3.6 Известны:
j=35% или 0,35
m=4
Найти: iэ-?
Решение:
Эффективную ставкупроцента можно найти по формуле
/>или 39,87%
Ответ: эффективная ставка процентасоставляет 39,87%.
3.7 Известны:
iэ=35%, или 0,35
m=4
Найти: j-?
Решение:
Применим формулу
/>
Ответ: номинальная ставка составляет 31,16%.
3.8 Известны:
n=5
S=3000000 руб.
i=35 %, или 0,35.
Найти: Р-?
Решение:
Используем формулу
/>
Ответ: Р = 669040,51 руб.
3.9 Известны:
n=5
S=3000000 руб.
dcл=35%, или 0,35
Найти: D-?
Решение:
1) Дисконт можно найти поформуле
/>
Ответ: D= 2651912,81 руб.
3.10 Известны:
n=5
R=3000000 руб.
m=4
j=0,35
Найти: S-?
Решение:
Используем формулу
/>
Ответ: сумма на расчетномсчете к концу срока составит 32754831,50 руб.
Список использованнойлитературы:
1. Финансовая математика: математическоемоделирование финансовых операций: учеб. пособие/ под ред. Половникова В.А.,Пилипенко А.И… — М.: Вузовский учебник, 2004.
2. Финансовая математика: методическиеуказания по изучению дисциплины и контрольные задания./ ВЗФЭИ. — М.:Финстатинформ, 2002.