Изложение и анализ апорий Зенона

План. 1. Введение. 2. Элейская школа. 3. Зенон Элейский. 4. Апории Зенона. 5. Вывод. 6. Библиография. 1. Введение. 1. О проблеме апорий в науке. Античная философия всегда отличалась разнообразием идей, а также большим количеством их приверженников. Всё это выражалось в многообразии учений и, следовательно, школ древних философов. Одной из них была элейская школа. Двадцать четыре столетия назад её приверженец

Зенон Элейский указывал на невозможность логически непротиворечивого осмысления движения тел, хотя и не сомневался в чувственно удостоверяемой реальности последнего. Зеноном сформулирован ряд апорий, связанных с проблемой движения. Но не меньший интерес в гносеологическом (гносеология есть учение о познании) и логическом плане представляют и апории, с которыми столкнулся знаменитый элеец при анализе проблемы «многого в бытии», проблемы получения

протяженного отрезка при синтезе так называемых непротяженных точек (метрическая апория), и другие. Трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона, и в наши дни нельзя считать преодоленными. Поэтому апории Зенона не перестают интересовать и математиков, и физиков, и философов, и ученых некоторых других направлений. Интерес к апориям в настоящее время связан с проблемами научного познания пространства, времени, движения и строения систем в самом широком смысле, а также с проблемами «начал» науки в смысле

истории возникновения исходных понятий о природе («тело», «точка», «место», «мера», «число», «множество», «конечное», «бесконечное» и др.) и в плане дискуссий, в ходе которых уточнялся смысл этих понятий и которые, в итоге, переросли в проблему основания математики, а также начал точного естествознания. 2. Апории Зенона. Апории Зенона не нашли удовлетворительного разрешения и поныне. Причем современные издания, в отличие от советских, с этим соглашаются: «А[пории] теперь признаются

подлинными парадоксами, связанными, в частности, с описанием движения».1 Все так называемые «разрешения» апорий представляют собой логическую ошибку ignorantia elenchi, состоящую в том, что доказывается не тот тезис, который требуется доказать. Исследование парадоксов Зенона лучше всего начать со знакомства с историей Элейской школы и интерпретации аргументов Зенона, что сразу ведет нас в многообразие связанных с ними

проблем и позволит найти собственный путь к разрешению его загадок. Для этого требуется определить направляющие точки зрения, которые основаны на фактах или более убедительных предположениях. 2. Элейская школа. Элейская школа возникла в 5 веке до н.э. в городе Элея в Греции, представляющей собой совокупность полисов-колоний, которые были созданы древними греками на побережье Южной Италии и в Сицилии. Влияние Элейской школы на формирование абстрактной научной мысли

огромно. Элеаты сосредоточили своё внимание на анализе понятия единого бытия. Считается, что основателем школы стал Ксенофан. Однако нет никаких свидетельств того, что он посещал город Элею в Южной Италии, поэтому его можно считать лишь идейным вдохновителем школы. Нетрудно понять, почему философы этой школы приняли его себе в покровители, потому что они разделяли идею неподвижного Единого. Об этом говорят приписываемые

Ксенофану высказывания. Он нападает на божества греков, созданные по образу и подобию человека: «Если бы быки, лошади или львы имели руки и могли бы ими рисовать и создавать, подобно людям, произведения искусства, лошади изображали бы своих богов похожими на лошадей, а быки – в образе быков, и тела богов были бы похожи на тела лошадей и быков».2 Но, какие бы мнения не существовали, настоящим основателем Элейской школы и с философской, и с исторической точки зрения был, вне всякого сомнения,

Парменид, житель Элеи. Он был первым, кто строго различал чувственное и умопостигаемое, что привело к неизбежной конфронтации между опытом и требованиями разума. Вкратце доктрину Парменида можно изложить так: Бытие, Единое действительно существует, а Становление, изменение - иллюзорно. Именно поэтому элеаты не приняли пифагорейскую доктрину, ставящую в соответствие всякой вещи число.

Зенон Элейский (490-430 гг. до н.э.) сформулировал четыре парадокса, иллюстрирующие невозможность бесконечной делимости и всякого движения, если мыслить пространство и время состоящими из неделимых частей. Общая цель его аргументов показать те нелепости, к которым приходят, когда пытаются получить непрерывные величины из бесконечно малых частиц, взятых в бесконечном множестве. Исчисление бесконечно малых ведет свое начало от интуитивного представления греков о непрерывности,

математической бесконечности и пределе, а также от тех трудностей, с которыми они столкнулись при попытках явно определить эти понятия. Эти три понятия были корректно определены лишь в XIX в когда математики захотели систематизировать достижения своей науки. 3. Зенон Элейский. Зенон Элейский (родился около 490 до н.э.), греческий философ и логик, прославившийся главным образом им парадоксами, которые носят его имя.

О жизни Зенона известно мало. Он был родом из греческого города Элея на юге Италии. Платон сообщает, что Зенон бывал в Афинах и встречался с Сократом. Предположительно, что около 465 до н.э. он изложил свои идеи в не дошедшей до нас книге. Согласно традиции, Зенон погиб в борьбе с тираном (вероятно, правителем Элеи Неархом). Информацию о нем приходится собирать по крупицам: из

Платона, который родился 60-ю годами позже Зенона, из сообщений ученика Платона Аристотеля, из Диогена Лаэртия, который в 3 в. н.э. составил жизнеописания греческих философов. Говорится о Зеноне и у поздних комментаторов аристотелевской школы: Фемистия (4 век), Симплиция и Иоанна Филопона (оба 6 век).3 Историческое окружение. Чтобы оценить роль Зенона в истории науки и развитии логики, необходимо рассмотреть

состояние греческой философии в середине 5 века до н.э. Ионийские философы из Малой Азии искали первоначало всех вещей, основной элемент, из которого образована Вселенная. Каждый останавливался на своем элементе: один отводил эту роль воде, другой - воздуху, третий – бескачественному, «безграничному» или «неопределенному». Ионийцы полагали, что все известные нам виды материи возникают в результате непрерывно протекающих

процессов сдавливания, разрежения и сгущения основного элемента. На этом постоянном изменении сделал акцент Гераклит Эфесский (6–5 век до н.э.): «река, в которую мы входим ныне, не та же самая, что была вчера; все меняется; гармония Вселенной – это гармония противоположностей»4. Наконец, школа, основанная Пифагором (6 веке до н.э.), выдвинула в качестве основного элемента число,

причем числа рассматривались как дискретные единицы, наделенные пространственным измерением. Учитель Зенона Парменид подверг критике все эти теории. Подвергая рассмотрению любой основной элемент, мы можем сделать о нем одно из трех утверждений: он существует; он не существует; он и существует, и не существует. Третье утверждение внутренне противоречиво, второе также немыслимо, поскольку об отсутствии чего-либо

невозможно говорить, прибегая к тем же терминам, что использовались для его описания. Существование небытия невозможно даже представить. Следовательно, этот элемент существует. Изменение невозможно, поскольку это означало бы, что первоэлемент не был распределен с одинаковой плотностью повсюду, а пустоты быть не может, поскольку это было бы такое место, в котором первоэлемент не существует. Итак,

Вселенная представляет собой неподвижный, неизменный, плотный и единовидный шар. Все есть Единое. Заметим, что Парменид приходит к этому выводу исключительно с помощью логики, не прибегая к умозрению или интуиции, характерным для систем его предшественников. Если вывод противоречит чувствам, тем хуже для чувств: видимость обманчива. Зенон продолжил дело, начатое Парменидом. Его тактика сводилась не к защите точки зрения учителя, а

к демонстрации того, что из утверждений его оппонентов возникают еще большие нелепости. В связи с этим Зенон выработал метод опровержения противников посредством серии вопросов. Отвечая на них, собеседник был вынужден прийти к самым необычным парадоксам, с необходимостью следовавшим из его взглядов. Этот метод, получивший название диалектического (от греческого «диалегомай» – «разговаривать»), впоследствии применял Сократ. Поскольку главными противниками

Зенона были пифагорейцы, большинство его парадоксов связано с атомистической концепцией пифагореизма. Поэтому они особенно значимы для современных атомистических теорий числа, пространства, времени и материи. 4. Апории Зенона. Парадоксы Зенона известны нам благодаря Аристотелю, который привел их в своей “Физике”, чтобы подвергнуть критике. Он различает бесконечность относительно сложения и бесконечность относительно деления.

Время тоже бесконечно делимо, и в конечный интервал времени можно пройти бесконечно делимое расстояние. Факт противоречия между данными опыта, с одной стороны, и их мыслительным анализом, с другой стороны, выражен Зеноном в форме апорий (от греческого aporia – затруднение, недоумение). Все они сводятся к доказательству того, что 1) логически невозможно мыслить множественность вещей; 2) допущение движения ведёт к противоречиям. Согласно

Зенону, при попытке помыслить движение мы неизбежно наталкиваемся на противоречия, из этого следует вывод о немыслимости движения вообще. 1. Парадоксы множества. Со времен Пифагора время и пространство рассматривались, с математической точки зрения, как составленные из множества точек и моментов. Однако они обладают также свойством, которое легче ощутить, нежели определить, а именно «непрерывностью». С помощью ряда парадоксов

Зенон стремился доказать невозможность разделения непрерывности на точки или моменты. Его рассуждение сводится к следующему: предположим, что деление проведено нами до конца. Тогда верно одно из двух: либо мы имеем в остатке наименьшие возможные части или величины, которые неделимы, однако бесконечны по своему количеству, либо деление привело нас к частям, не имеющим величины, т.е. обратившимся в ничто, так как непрерывность, будучи однородной, должна быть делимой повсюду, а

не так, чтобы в одной своей части быть делимой, а в другой – нет. Однако оба результата неправильны: первый потому, что процесс деления нельзя считать законченным, пока в остатке – части, обладающие величиной, второй потому, что в таком случае изначальное целое было бы образовано из ничего. Зенон, поддерживая своего учителя, старался доказать, что все сущее должно быть единым и неподвижным. Своё доказательство он основывал на бесконечной делимости любой непрерывности.

Именно, утверждал он, если сущее не будет единым и неделимым, но может делиться на множество, единого по сути вообще не будет, а если ничто не будет по сути единым, невозможно и множество, поскольку множество составлено из многих единиц. Итак, сущее не может быть разделено на множество, следовательно, есть только единое. Симплиций приписывает Зенону так же и следующий аргумент: «Если множество существует, оно должно быть точно таким, каково оно есть, не больше и не меньше.

Однако, если оно таково, каково есть, оно будет конечным. Но если множество существует, вещи бесконечны по числу, потому что между ними всегда будут обнаруживаться еще другие, а между теми еще и еще. Таким образом, вещи бесконечны по числу».5 Рассуждения о множественности были направлены против соперничавшей с элеатами школы, вероятнее всего, против пифагорейцев, которые полагали, что величина или протяженность составлена из неделимых частей.

Зенон считал, что эта школа полагает, будто непрерывные величины и до бесконечности делимы и конечным образом разделены. 2. Парадоксы движения. Аргументы о движении известны нам только по краткому разбору их Аристотелем в «Физике» и комментариям Симплиция, Филопона и Фемистия. Симплиций утверждает, что он имел в своем распоряжении сочинение Зенона, и его комментарии относительно множества подтверждают это.

Но комментарии о движении, хотя по некоторым замечаниям очевидно, что он знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового, отличного от Аристотеля, возможно, из-за общепризнанной трудности этих аргументов. Всего апорий, затрагивающих парадоксы движения, мы знаем четыре: «Дихотомия» и «Ахиллес» затрагивают трудности понимания движения при предположении неограниченной делимости пути и времени, а «Стрела» и «Стадий» выражают затруднения при обратных предположениях, то есть при допущении неделимых элементов

пути и времени (проблема квантов пространства и времени). Апория «Дихотомия». Формулировка апории: Пусть АВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В. Прежде чем дойти до В, она должна «отсчитать» бесконечное множество «середин» А1 , А2, … , Аn , … ; значит, точка В никогда не будет достигнута. Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что оно должно сначала дойти до середины пути,

затем до середины остатка пути и так далее.6 Анализ апории: В первом парадоксе утверждается, что, прежде чем движущийся объект сможет преодолеть определенное расстояние, он должен пройти половину этого пути, затем половину оставшегося пути и т.д. до бесконечности. Поскольку при повторных делениях данного расстояния пополам всякий отрезок остается конечным, а число таких отрезков бесконечно, данный путь невозможно пройти за конечное время.

Более того, этот довод действителен для любого, сколь угодно малого расстояния, и для любой, сколь угодно большой скорости. Следовательно, невозможно какое бы то ни было движение. Бегун не в состоянии даже тронуться с места. Симплиций, который подробно комментирует этот парадокс, указывает, что здесь за конечное время необходимо совершить бесконечное число касаний: «Тот, кто чего-либо касается, как бы считает, однако бесконечное множество невозможно сосчитать или перебрать»7.

Или, как формулирует это Филопон, «бесконечное абсолютно неопределимо». Аристотель усматривал в «Дихотомии» скорее заблуждение, нежели парадокс, полагая, что его значимость сводится на нет «ложной посылкой, «будто невозможно пройти или коснуться бесконечного числа точек за конечный период времени». Также и Фемистий полагает, что «Зенон либо в самом деле не знает, либо делает вид, когда полагает, что ему удалось покончить с движением, сказав, что невозможно движущемуся телу

за конечный период времени пройти бесконечное число положений». При разборе данной апории можно отметить ту ошибку, что Зенон разделили пространство до бесконечности. На самом же деле, пространство и время бесконечно делимы, но никак не бесконечно разделены. Особое внимание при рассмотрении следует уделить тому, что пространство и время не актуально разделены бесконечным образом, а лишь потенциально делимы до бесконечности.

Утверждение Зенона в этой апории относительно невозможности движения спорит со всеми какими бы то ни было законами восприятия мира. Апория «Ахиллес и черепаха». Формулировка апории: Предположим, что Ахилл и черепаха состязаются в беге. Поскольку Ахилл спортсмен, он пускает черепаху вперёд. К тому времени, когда он достигает того места, с которого стартовала черепаха, та уже продвинулась

в другую точку, а когда Ахилл достигает этой точки, она уже продвинулась немного вперёд, пусть даже на небольшое расстояние. Таким образом, Ахилл никогда не догонит черепаху. Анализ апории: Парадокс заключается в том, что Ахилл никогда не догонит черепаху, поскольку сначала он должен добежать до того места, откуда начинает двигаться черепаха, а за это время она доберется до следующей точки и т.д словом, черепаха всегда будет впереди.

Разумеется, это рассуждение напоминает «Дихотомию» с той только разницей, что здесь бесконечное деление идет сообразно прогрессии, а не регрессии. Современный подход к этой проблеме заключается в вычислениях (либо методом сходящихся бесконечных рядов, либо простым алгебраическим уравнением), которыми устанавливается, где и когда Ахилл нагонит черепаху. Предположим, Ахилл бежит в десять раз быстрее черепахи, которая проходит 1 м в секунду и имеет преимущество в 100 м.

Пусть х – расстояние в метрах, пройденное черепахой к тому моменту, когда Ахилл ее нагонит, а t – время в секундах. Тогда t = x/1 = (100 + x)/10 = 111/9 с. Вычисления показывают, что бесконечному количеству движений, которые должен совершить Ахилл, соответствует конечный отрезок пространства и времени. Современные представления о пределе и сходимости ряда позволяют утверждать, что, начиная с некоторого

момента, расстояние между Ахиллом и черепахой станет меньше любого заданного числа , выбранного сколь угодно малым. Однако самими по себе вычислениями парадокс не разрешается. Ведь сначала необходимо доказать утверждение, что расстояние - это скорость, умноженная на время, а сделать это невозможно без анализа того, что подразумевается под моментальной скоростью - понятием, лежащим в основе третьего парадокса движения. Таким образом можно заключить, что этот парадокс построен

на трудности суммирования бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно представить себе, что эта сумма равняется конечной величине. В большинстве источников, где излагаются парадоксы, говорится о том, что Зенон вообще отрицал возможность движения, но иногда утверждается, что доводы, которые он отстаивал, были направлены лишь на доказательство несовместимости движения с постоянно оспаривавшимся им представлением о непрерывности как о множестве.

В «Дихотомии» и «Ахилле» утверждается, что движение невозможно при предположении о бесконечной делимости пространства на точки, а времени на мгновения. В последних двух парадоксах движения утверждается, что движение равным образом невозможно и в том случае, когда делается противоположное предположение, а именно, что деление времени и пространства завершается неделимыми единицами, т.е. время и пространство обладают атомарной структурой. Известный философ-интуитивист

А. Бергсон высказывает такое мнение по поводу этой апории: ««делить можно вещь, но не акт».8 Зенон, по мнению Бергсона, смешивает процесс движения, каждый акт которого неделим, с бесконечно делимым пространством. Однако вряд ли можно согласиться с Бергсоном. Похоже, для Зенона было несомненным, что движение есть именно процесс. Ведь он говорит не о трудностях введения завершенных в своей данности отрезков пространства, а о немыслимости

процесса их прохождения. Либо движение будет описано как процесс, как ряд последовательных операций или действий по осуществлению движения, либо придется признать, что любая попытка такого описания неминуемо ведет к противоречиям, что будет означать логическую невозможность движения. Апория «Стрела». Формулировка апории: Если время и пространство состоят из неделимых частиц, то летящая стрела неподвижна, так как в каждый неделимый момент времени она занимает равное себе положение, то

есть покоится, а отрезок времени и есть сумма таких неделимых моментов. Анализ апории: Зенон утверждает: любая вещь либо движется, либо стоит на месте. Однако ничто не может пребывать в движении, занимая пространство, которое равно ему по протяженности. В определенный момент движущееся тело (в данном случае стрела) постоянно находится на одном месте. Следовательно, летящая стрела не движется. В этом рассуждении допущена явная логическая ошибка.

Она заключается в смешении взаимоисключающих понятий «покоя» и «механического движения». Состояние покоя всегда выступает как отрицание кого-либо механического движения. Аристотель с наскока отмел парадокс «стрела», утверждая, что время не состоит из неделимых моментов. «Ошибочен ход рассуждений Зенона, когда он утверждает, что если все, занимающее равное себе место, находится в покое, и то, что находится в движении, всегда занимает в любой момент такое место, то летящая

стрела окажется неподвижной».9 Трудность устраняется, если вместе с Зеноном подчеркнуть, что в каждый данный момент времени летящая стрела находится там, где она находится, все равно как если бы она покоилась. Динамика не нуждается в понятии «состояния движения» в аристотелевском смысле, как реализации потенции, однако это не обязательно должно приводить к сделанному Зеноном выводу, что раз такой вещи, как «состояние движения», не существует, не существует и самого

движения, стрела неизбежно находится в покое. Как бы то ни было, мы должны признать, что элеаты относились к описанию движения более критично, нежели современная механика, которая не может дать вразумительного ответа, каков физический смысл точки «бесконечно малой величины»? Действительно, если «бесконечно малая величина» — функция (а так оно и есть), то придется признать, что она является всего лишь математической абстракцией, совершенно не имеющей никакого физического

смысла. Следовательно, не имеет никакого физического смысла понятие «мгновенная» скорость. А значит, все это не отменяет положения Зенона, что в любой момент времени t стрела находится в строго определенных точках пути, и в этих точках она вполне неподвижна. Надо отметить, что выдающиеся мыслители чувствовали это. Например, такой тонкий аналитик, как Бертран Рассел, фактически прямо признал то, что

Зенон отрицал в качестве парадокса: «  we live in an unchanging world and the arrow, at every moment of its flight, is truly at rest» («  мы живем в неизменном мире и стрела в каждый момент своего полета фактически покоится»).10 Апория «Стадий». Представим себе 3 группы спортсменов, находящихся на стадионе, одна из них неподвижна, а две другие движутся навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Пусть А1, А2, А3 и А4 – неподвижные тела равного размера, а

В1, В2, В3 и В4 – тела, имеющие такой же размер, что и А, которые единообразно движутся вправо так, что каждое В минует каждое А за одно мгновение, считая мгновение наименьшим возможным промежутком времени. Пусть С1, С2, С3 и С4 – тела также равного А и В размера, которые единообразно движутся относительно А влево так, что каждое С проходит мимо каждого А тоже за мгновение.

Предположим, что в определенный момент времени эти тела находятся в следующем положении друг относительно друга: рис. 1 Тогда через два мгновения позиция станет следующей: рис.2 Отсюда очевидно, что С1 миновало все четыре тела В. Время, которое потребовалось С1 для прохождения одного из тел В, можно принять за единицу времени. В таком случае на все передвижение потребовалось четыре такие единицы.

Однако предполагалось, что два момента, которые прошли за это передвижение, являются минимальными и потому неделимыми. Итак, мы пришли к абсурдному заключению, что целый отрезок времени равен своей половине. Согласно некоторым толкованиям «стадия», Аристотель полагал, что Зенон совершил здесь элементарную ошибку, предположив, что телу требуется одно и то же время на прохождение мимо подвижного тела и тела неподвижного. Эвдем и Симплиций также интерпретируют «стадий» как всего

лишь смешение абсолютного и относительного движения. Но если бы это было так, парадокс не заслуживал бы того внимания, которое уделил ему Аристотель. Поэтому современные комментаторы признают, что Зенон видел здесь более глубокую проблему, затрагивающую структуру непрерывности. 3. Другие парадоксы. «Место». Аристотель приписывает

Зенону парадокс «Место», похожие рассуждения приводят Симплиций и Филопон в 6 веке н.э. В «Физике» Аристотеля эта проблема излагается следующим образом: «Далее, если существует место само по себе, где оно находится? Ведь затруднение, к которому приходит Зенон, нуждается в каком-то объяснении. Поскольку все, что существует, имеет место, очевидно, что место тоже должно иметь место и т.д. до бесконечности».

Считается, что парадокс возникает здесь потому, что ничто не может содержаться само в себе или отличаться от самого себя. Филопон добавляет, что, показав самопротиворечивость понятия «места», Зенон желал доказать несостоятельность концепции множественности.11 «Предикация». К числу более сомнительных парадоксов, приписываемых Зенону, относится рассуждение о предикации. В нем Зенон утверждает, что вещь не может в одно и то же

время быть единой и иметь множество предикатов; таким же точно доводом пользовались афинские софисты. В «Пармениде» Платона это рассуждение выглядит так: «Если вещи множественны, они должны быть и подобными, и неподобными (неподобными, поскольку они не являются одним и тем же, и подобными, поскольку общее у них то, что они не являются одним и тем же). Однако это невозможно, поскольку неподобные вещи не могут быть подобными, а подобные неподобными. Следовательно, вещи не могут быть множественны».

Здесь мы вновь видим критику множественности и столь характерный косвенный тип доказательства, и потому этот парадокс был также приписан Зенону.12 «Метрическая апория». Смысл этой апории заключается в следующем: Если что-нибудь, будучи прибавлено к какой-нибудь вещи или отнято от нее, не делает эту вещь больше или меньше, тогда оно не принадлежит к числу существующего, причем существующая, очевидно, понимается как величина телесная: ведь именно такая величина обладает

бытием в полной мере. Эта апория показывает нам трудности, которые связаны с представлением о теле в виде бесконечной совокупности неделимых частей. Эти части, в свою очередь, представлялись не имеющими измерений точками. Их сумма считалась равной нулю, из чего следовал вывод, что тело, которое имеет измерение, лишено его. Если же части представлялись имеющими измерения, то тогда тело представлялось большим. Но в обоих случаях мы можем наблюдать неразрешимые противоречия, которые неизбежно сталкиваются с эмпирическим

восприятием мира. Это действительно одна из труднейших апорий, нерешенных и поныне, потому что она связана с представлением о протяженном теле или отрезке времени, составленном по предположению, из не имеющих соответственно протяжения или длительности «точек» и «мгновений». Данная апория показала, что нельзя определить меру отрезка как сумму мер «неделимых», что понятие меры множества вовсе не является чем-то очевидно заключенным в самом понятии множества и что мера множества,

вообще говоря, не равна сумме мер его элементов. Теперь мы определяем меру множества при помощи применений к нему систем интервалов, причем понимается, что интервалы уже имеют определенную длину (меру). Затронутые нами проблемы прерывности и непрерывности, конечного и бесконечного, пространства и времени при анализе зеноновской «метрической апории» (создание протяженного тела из непротяженных точек) непосредственным образом примыкают к кругу вопросов, связанных с апориями движения, также сформулированными знаменитым

элейцем. 5. Вывод. Мы видим, что апории Зенона затронули действительно глубокие и сложные вопросы. Как же ответила на них античная наука? В частности, как она разрешила вопрос о том, допустимо ли пользоваться в математике актуально бесконечно большими и актуально бесконечно малыми величинами? Мы можем судить о тех точках зрения, которые имели место в античной математике, и о тех дискуссиях, которые там велись, по косвенным данным, главным образом по сообщениям

Аристотеля и других философов этого времени. Четырьмя парадоксами Зенон очень хорошо достигает того, чего хотел. Он логически строго показывает, что в пифагорейских представлениях о движении, пространстве и времени что-то неверно. Эти демонстрационные примеры Зенона не убедили более поздних мыслителей принять выводы Парменида, однако заставили этих мыслителей проникнуться уважением к формальной логике и увидеть новые

возможности ее применения. Так же они заставили их попытаться сформулировать пифагорейские понятия по-новому, таким образом, чтобы исключить показанные Зеноном противоречия. Эти попытки имели много форм: у Анаксагора – отказ от представления об отдельных точках и замена их непрерывной последовательностью, у Аристотеля – полное отделение арифметики от геометрии, а в атомистической теории – лежащее в ее основе четкое разграничение физической и математической «делимости».

Итак, можно заключить, что Зенон Элейский много привнёс не только в античную философию, но и в развитие мировой математики посредством своих апорий. 6. Библиография. 1) Ф. Коплстон «История философии: Древняя Греция и Древний Рим», том 1, М.: «Центр-полиграф», 2003. 2) «Философия: экзаменационные билеты» - М.: «РИОР», 2006. 3) В.Я. Комарова «Учение Зенона

Элейского. Попытка реконструкции системы аргументов». Л 1988. 4) Фрагменты ранних греческих философов, ч. 1 М 1989. 5) В.Я. Комарова «Учение Зенона Элейского», Вестник Ленинградского университета, 1981. 6) А. К. Манеев «Философский анализ зеноновских апорий», Минск,

1972. 7) А.А. Ивин, А.Л. Никифоров «Словарь по логике», М.: «Владос», 1997. 8) А. Бергсон, Сочинения в 4 т Том 1 М.: Московский клуб, 1992. 9) B. Russell  «Our Knowledge of the External World», London–Chicago: Open Court, 1914.