Министерствообразования и науки Украины
ДонецкийНациональный университет
Курсоваяработа
на тему:«Математические модели поведения производителей»
Выполнила:студентка II курса группа А
Полева Е. Л.
Проверила: ЖилинаЛ. С.
Донецк-2008
Содержание
Определение математическоймодели
Общая схема принятиярешений
Типы задач на оптимизацию
Модель фирмы
Задачи
Список литературы
Определениематематической модели
Важнымфактором, определяющим роль математики в различных приложениях, являетсявозможность описания наиболее существенных черт и свойств изучаемого объекта наязыке математических символов и соотношений. Такое описание принято называтьматематическим моделированием или формализацией.
Определение1. Математическоймоделью реальногообъекта (явления) называется ее упрощенная, идеализированная схема, составленнаяс помощью математических символов и операций (соотношений).
Дляпостроения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы)рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:
1. Определениеизвестных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок(что дано и что требуется найти?);
2. Выявлениеважнейших факторов проблемы;
3. Выявлениеуправляемых и неуправляемых параметров;
4. Математическоеописание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношенийвзаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя изсодержания рассматриваемой задачи.
Известныепараметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними(заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе ихназывают экзогенными переменными. Значение же изначально неизвестныхпеременных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению кмодели они считаются внутренними. В экономической литературе ихназывают эндогенными переменными.
С точкизрения назначения, можно выделить описательные модели и моделипринятия решения. Описательные модели отражают содержание и основныесвойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовыезначения экономических факторов и показателей.
Моделипринятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей илиуправленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационныемодели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типапланирования, а наиболее сложными —игровые модели, описывающие задачиконфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти моделиотличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значенийуправляющих параметров (чего нет в описательных моделях).
Общая схема принятиярешения
Вматематической экономике трудно переоценить роль моделей принятия решения. Наиболеечастое применение находят те из них, которые сводят исходные задачиоптимального планирования производства, рационального распределенияограниченных ресурсов и эффективной деятельности экономических субъектов кэкстремальным задачам, к задачам оптимального управления и к игровым задачам.Какова же общая структура таких моделей?
Любая задачапринятия решения характеризуется наличием лица или лиц, преследующихопределенные цели и имеющих для этого определенные возможности. Поэтому длявыявления основных элементов модели принятия решения требуется ответить наследующие вопросы:
кто принимает решение?
каковы цели принятия решения?
в чем состоит принятие решения?
каково множество возможных вариантовдостижения цели?
при каких условиях происходитпринятие решения?
Итак переднами некая общая задача принятия решения. Для построения ее формальной схемы(модели) введем общие обозначения.
Буквой Nобозначим множество всех, принимающих решение сторон. Пусть N={1,2,..., n},т.е. имеется всего n участников идентифицируемых только номерами. Каждыйэлемент />называетсялицом, принимающим решение (ЛПР). (например, отдельная личность, фирма,плановый орган большого концерна, правительства и др.).
Предположим,что множество всех допустимых решений (альтернатив, стратегий) каждого ЛПРпредварительно изучено и описано математически (например, в виде системынеравенств). Обозначим их через X1, X2 ,..., Xn.После этого процесс принятия решения всеми ЛПР сводится к следующемуформальному акту: каждое ЛПР выбирает конкретный элемент из своего допустимогомножества решений />, />,...,/>. В результате получается набор х=(х1 ,..., хn) выбранных решений, который мы называем ситуацией.
Для оценкиситуации х с точки зрения преследуемых целей ЛПР строятся функции f1,..., fn(называемыми целевыми функциями или критериямикачества), ставящие в соответствие каждой ситуации х числовые оценки f1(x),...,fn(x) (например, доходы фирм в ситуации х, или их затраты и т.д.). Тогда цель i-го ЛПР формализуется следующим образом: выбрать такоесвое решение />, чтобы в ситуации х =(х1,..., хn) число fi(х) было как можно большим(или меньшим). Однако достижение этой цели от него зависит частично в видуналичия других сторон, влияющих на общую ситуацию x с целью достижения своихсобственных целей. Этот факт пересечения интересов (конфликтность) отражается втом, что функция fi помимо xi зависит и отостальных переменных xj (j />i). Поэтому в моделях принятиярешения со многими участниками их цели причодится формализовать иначе, чеммаксимизация или минимизация значений функции fi(х). Наконец,пусть нам удалось математически описать все те условия, при которых происходитпринятие решения. (описание связей между управляемыми и неуправляемымипеременными, описание влияния случайных факторов, учет динамическиххарактеристик и т. д.). Совокупность всех этих условий для простоты обозначим однимсимволом />.
Такимобразом, общая схема задачи принятия решения может выглядеть так:
/>
/>/>(1)
Конкретизируяэлементы модели (1.6.1.), уточняя их характеристики и свойства, можно получтьтот или иной конкретный класс моделей принятия решения. Так если в (1.6.1.) Nсостоит только из одного элемента (n=1), а все условия и предпосылкиисходной реальной задачи можно описать в виде множества допустимых решенийэтого единственного ЛПР, то из (1.6.1.) получаем структуру оптимизационной(экстремальной) задачи: . В этой схеме ЛПР может рассматриватьсякак планирующих орган. С помощью данной схемы можно написать экстремальныезадачи двух видов:
/>
/> (2)
Если вэкстремальной задаче явно учитывается фактор времени, то она называется задачейоптимального управления. Если n />2, то (1.6.1.) является общейсхемой задачи принятия решения в условиях конфликта, т. е. в тех ситуациях,когда имеет место пересечение интересов двух или более сторон.
Часто у ЛПРимеется не одна, а несколько целей. В этом случае из (1) получаем схему />, где всефункции f1(x),..., fn(x) определены на одном и томже множестве Х. Такие задачи называются задачами многокритериальной оптимизации.
Имеютсяклассы задач принятия решения, получившие свои названия исходя из ихназначения: системы массового обслуживания, задачи управления запасами, задачисетевого и календарного планирования, теория надежности и др.
Если элементымодели (1) не зависят явно от времени, т. е. процесс принятия решения сводитсяк мгновенному акту выбора точки из заданного множества, то задача называется статической.В противном случае, т. е. когда принятие решения представляет собоймногоэтапный дискретный или непрерывный во времени процесс, задача называется динамической.Если элементы модели (1) не содержат случайных величин и вероятностных явлений,то задача называется детерминированной, в противном случае — стохастической.
Типы задачна оптимизацию
Задачаоптимального раскроя материала. Фирма изготавляет изделие состоящее из р деталей. Причем водно изделие эти детали входят в количествах k1 ,..., kr. С этой целью производится раскрой m партий материала. В i-ой партии имеется biединиц материала. Каждую единицу материала можно раскроить на детали nспособами. При раскрое единицы i-ой партии j-м способомполучается аijr деталей r-го вида. Требуется составитьтакой план раскроя материала, чтобы из них получить максимальное число изделий.
Транспортнаязадача. Имеется nпоставщиков и m потребителей одного и того же продукта. Известны выпускпродукции у каждого поставщика и потребности в ней каждого потребителя, затратына перевозки продукции от поставщика к потребителю. Требуется построить плантранспортных перевозок с минимальными транспортными расходами с учетомпредложения поставщиков и спроса потребителей.
Задачао назначениях на работу . Имеется n работ и n исполнителей. Стоимостьвыполнения работы i исполнителем j равна cij.Нужно распределить исполнителей на работы так, чтобы минимизировать затраты наоплату труда.
3адачао смесях (о рационе). Из m видов исходных материалов каждый из которых состоит из n компонент,составить смесь, в которой содержание компонент должно быть не меньше b1,...,bn.Известны цены единиц материалов с1 ,..., сmи удельный вес j-го компонента в единице i-го материала.Требуется составить смесь, в которой затраты будут минимальными.
Задачао рюкзаке.Имеется n предметов. Вес предмета i равен рi,ценность – сi (i=1,...,n). Требуется при заданной ценности груза выбратьсовокупность предметов минимального веса.
Задачао коммивояжере.Имеется n городов и заданы расстояния cij между ними (j,i=1,...,n).Выезжая из одного (исходного) города, коммивояжер должен побывать во всехостальных городах по одному разу и вернуться в исходный город. Нужно определитьв каком порядке следует обьезжать города, чтобы суммарное пройденное расстояниебыло наименьшим.
Задачао станках. Науниверсальном станке обрабатываются одинаковые партии из n деталей. Переход отобработки детали i к обработке детали j требует переналадкистанка, которая занимает cij времени. Требуется определитьпоследовательность обработки деталей, при которой общее время переналадокстанка при обработку партии деталей минимально.
Задачао распределении капиталовложений. Имеется n проектов, причем для каждого проекта jизвестны ожидаемый эффект />от его реализации и необходимаявеличина капиталовложений gj. Общий объем капиталовложенийне может превышать заданной величины b. Требуется определить, какиепроекты необходимо реализовать, чтобы суммарный эффект был наибольшим.
Задачао размещении производства. Планируется выпуск m видов продукции, которые могли быпроизводиться на n предприятиях (n>m). Издержки производства и сбытаединицы продукции, плановый объем годового производства продукции и плановаястоимость единицы продукции каждого вида известны. Требуется из nпредприятий выбрать такие m, каждое из которых будет производить одинвид продукции.
Модель фирмы
Пустьпроизводственная фирма выпускает один вид продукции или много видов, но впостоянной структуре. Тогда годовой выпуск фирмы в натурально-вещественнойформе X — это число единиц продукции одного вида или число много номенклатурныхагрегатов. Для производства продукции фирма использует настоящий труд L( среднее число занятых в год либо отработанные за год человеко-часы) прошлыйтруд в виде средств трудаК (основные производственные фонды) ипредметов труда М (затраченные за год топливо, энергия, сырьё,материалы, комплектующие и т.п.).
Каждый изэтих трех агрегированных видов ресурсов (труд, фонды и материалы) имеетопределенное число разновидностей (труд разной квалификации, оборудованиеразличного вида и т.п.). Обозначим вектор-столбец возможных объемов затратразличных видов ресурсов через х=(х1 ..., хn)'.Тогда технология фирмы определяется ее производственной функцией, выражающейсвязь между затратами ресурсов и выпуском:
X=F(x). (3)
Предполагается,что F(x) является дважды непрерывно-дифференцируемой и неоклассической,кроме того, ее матрица вторых производных отрицательно определена.
Если ценаединицы продукции равна р, а цена единицы ресурса j-го вида — wj ,j=1, ..., n, то каждому вектору затрат х отвечает прибыль П(х) = pF(x)-wx,( 4) где w= (w1, w2 ..., wn) — вектор-строка цен ресурсов. Ценыресурсов имеют естественный и понятный смысл: если хj — среднегодовоечисло занятых определенной профессии, то wj — годовая заработная платаодного работника данной профессии; если хj — по-купные материалы(топливо, энергия и т.п.), то wj — покупная цена единицы данногоматериала; если хj — производственные фонды определенного вида, то wj— годовая арендная плата за единицу фондов или стоимость поддержания единицыфондов в исправности, если фирма владеет этими средствами.
В (4) R =pX= pF(x) — стоимость годового выпуска фирмы или ее годовой доход, С =wx — издержки производства или стоимость затрат ресурсов за год.
Если нетдругих ограничений на размеры вовлекаемых в производ-ство ресурсов, кромеестественного требования их неотрицательности, то задача на максимум прибылиприобретает вид
max[pF(x)- wx] (5)
Это задачанелинейного программирования с п условиями неотрицательности х>0,необходимыми условиями ее решения являются условия Куна-Таккера (см. В. А.Колемаев «Математическая экономика», с.236, Приложение 4)
/> (6)
/>
Если воптимальном решении использованы все виды ресурсов, т.е. х*>0, тоусловия (6) принимают вид
/>
или (7)
/>
т.е. воптимальной точке стоимость предельного продукта данного pесурса должна равнятьсяего цене.
Точно такоеже по форме решение имеет задача на максимум выпуска при заданном объемеиздержек
max F(x), (8)wx /> С, х /> 0
Это задачанелинейного программирования с одним линейным ограничением и условиемнеотрицательности переменных. Согласно теории (см. Приложение 4) вначале строимфункцию Лагранжа
L(x,/>) = F(x) + />(C-wx),
затеммаксимизируем ее при условии неотрицательности переменных. Для этого необходимовыполнение условий Куна—Таккера
/>/> (9)
Как видим,условия (9) полностью совпадают с (6), если />
Пример.Выпускоднопродуктовой фирмы задается следующей проиводственной функциейКобба-Дугласа:
Х= F(K, L) = 3K2/3L1/3
Определитьмаксимальный выпуск, если на аренду фондов и оплату труда выделено 150 д.е., стоимостьаренды единицы фондов wк= 5 д.е./е.ф., ставка заработной платы wL= 10 д.е./чел.
Каковапредельная норма замены одного занятого фондами в оптимальной точке?
Решение. ПосколькуF(0,L) = F(K, 0) = 0, то в оптимальном решении К* > 0, L*>0,поэтому условия (9) принимают вид
/> (10)
или в нашемслучае
/>
Поделивпервое уравнение на второе, получаем
/>
Подставив этосоотношение в условие wKK* + wLL* = 150, находим
/>
Решение можнопроиллюстрировать геометрически. На рис. 1 изображены изокосты (линиипостоянных издержек для С = 50, 100, 150) и изокванты (линии постоянныхвыпусков для Х= 25,2; 37,8).
/>
Рисунок 1
Изокостыимеют следующие уравнения:
5K+10L=C =const.
Изоквантыимеют следующие уравнения:
/> В оптимальной точке К* = 20, L* = 5 изокванта X*= 37,8 и изокоста, проходящие через эту точку, касаются, поскольку согласно (10)нормали к этим кривым, заданные градиентами />, коллинеарны.
Норма заменытруда фондами в оптимальной точке
/>
т.е. одинработающий может быть заменен двумя единицами фондов.
Решая задачуфирмы (5) на максимум прибыли, находим единственный оптимальный набор ресурсов х*>0 (рассматриваем случай, когда все ресурсы войдут в набор). Этому наборуотвечает единственное значение издержек С* = wx*. Решим теперь задачу (8)на максимум выпуска при заданных издержках С*. Если F(x) —неоклассическая производственная функция, то в оптимальном решении х*> 0, причем это решение единственно.
Такимобразом, с одной стороны,
/>,
а с другойстороны –/>. Поскольку П(х*)= pF(x*)-wx*/> pF(/>)-w/>=П(/>) и wx*= w/>=С*, то />, но />,поэтому />.
Так какрешение задачи на максисмум прибыли (5) единственно, то />= х*. Итак, если задача на максимумприбыли имеет единственное решение х* > 0, то ей отвечает задача намаксимум выпуска при заданных издержках С* = wx*, причем последняя имееттакое же решение, как и первая (см. рис. 1).
Геометрическоеместо точек касания изокост и изоквант при разных значениях издержек Сопределяет долгосрочный путь развития фирмы Х(С), т.е. показывает, какбудет увеличиваться (уменьшаться) выпуск, если издержки возрастут (уменьшатся).Поскольку эта зависимость монотонна, то существует обратная монотонная функцияиздержек
С = С(Х).
Поскольку Х(С)— максимальный выпуск при заданных издержек то издержки С(Х), отвечающиеэтому максимальному выпуску X, — минимальные издержки.
Если известнафункция минимальных издержек С(Х), оптимальный размер выпуска сноваопределяется из условия максимума прибыли
max П(х), П(х)= рХ -С(X). (11)
Приравниваемк нулю производную:
/>
т.е. воптимальной точке предельные издержки равны цене выпуска:
/>
(кроме того, максимумприбыли достигается при />). Рассмотримп соотношений (7)
/>
Этисоотношения могут быть разрешены относительно х в окрестностиоптимальной точки, если якобиан |J| /> 0,где
/>
Это означает,что должен быть отличен от нуля гессиан |Н| производственной функции (ноН отрицательно определена, поэтому действительно |Н| =0). Тогда
х* = х*(р,w) (12)
или
хj*= хj* (р,w), j = 1,…,n
Эти пуравнений задают функции спроса (на ресурсы), найденные с помощью моделиповедения фирмы. Функции спроса на ресурсы могут быть также найденыэкспериментально с помощью методов математической статистики по выборочнымданным. Функция предложения
Х*(р, w) =F [x*(p, w)].
Подобноуравнениям Слуцкого, показывающим реакцию потребителя на изменения цен товаров,аналогичные уравнения описывают реакцию производителя на изменения цен выпускаи ресурсов.
При заданныхценах р, w поведение производителя определяется следующими соотношениями(всего (п + 1) соотношение):
/>Х*(р, w) = F [x*(p, w)],
/>.
Задачи
1. Производственная функция Х=/> описывает зависимостьмежду затратами ресурсовх1, х2, х3 ивыпуском Х.
Определить максимальныйвыпуск, если
х1+х2+х3=9.
Каковы предельныепродукты в оптимальной точке?
Решение.
Согласно условиям (8) длязадачи на максимум выпуска, должны выполняться:
max F(x), wx/> С, х /> 0.
Составимфункцию Лагранжа:
L(x,/>) = F(x) + />(C-wx),
L(x,/>)= />+/>;
Дифференцируязаданную функцию по перменным х1, х2, х3,имеем систему неравенств:
/>/>
Решая систему,получим значения: при />=/>4,061, />0,877.
Обозначимнайденую точку через М. Найдем значение функции Х в полученойточке:
/>11,28.
Найдемпредельные продукты по ресурсам в точке М:
/>
2. Производственная функция фирмы имеетследующий вид:
Х=3/>.
Определитьпредельные продукты по ресурсам и построить изокванту Х=3. Написатьуравнеие изоклинали (линии наибольшего роста выпуска), проходящей через точку х1=1,х2=1, найти норму замены первого ресурса вторым в этой точке.
Решение.
Предельнымпродуктом по первому ресурсу является />
по второму – />
Уравнениеизокванты имеет вид при Х=3: />
/>х1
х2
Общееуравнение изоклинали имеет вид: /> , где(х1 0, х2 0) – координаты точки, через которую проходитизоклиналь. Подставим точки в уравнение, получим: />.
Норма заменыпервого ресурса вторым в этой точке равен:
/>
Списокиспользуемой литературы
1. В. А.Колемаев «Математическая экономика».
2. В. Д.Камаев «Экономическая теория для вузов».
3. В. С.Немчинов «Экономико-математические методы и модели».
4. РесурсInternet.