ЗАДАНИЕ № 1
Из пункта А в пункт Бежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. Наличный парк вагоновразных типов, из которых ежедневно можно комплектовать данные поезда, и количествопассажиров вмещающихся в каждом вагоне приведены в таблице.
/>
Пропускная способностьдороги не позволяет пройти в день более чем 10 поездам.
Определить оптимальноечисло скорых и пассажирских поездов, при которых будет перевозитьсямаксимальное число пассажиров.
/>
В данном случаенеизвестными являются число скорых и пассажирских поездов Х1 и Х2
Составим математическуюмодель этой задачи.
Максимальное числопассажиров перевозимых данными поездами обозначим L.Тогда целевая функция будет иметь вид:
L=0*(1*х1+1*х2)+58*(5*х1+8*х2)+40*(6*х1+4*х2)+32*(3*х1+1*х2) – max
Ограничение на искомоерешение следующее:
1*х1+1*х2
5*х1+8*х2
6*х1+5*х2
3*х1+1*х2
Х1+х2
/>
/>
/>
ЗАДАНИЕ №2.
1. решить задачугеометрическим методом.
2. составитьдвойственную задачу для исходной.
2х1+5х2≥10
5х1+2х2≥10
3х1+4х2≤24
4х1+3х2≤24
Х1-2х2≤4
Z=3х1+х2→мах
Х1≥0; Х2≥0.
Х1+5x2>5
5x1+x2>5
X1+X2
3x1-4x2
-4x1+3x2
Z=4x1-3x2– max
X1>0X2>0
РЕШЕНИЕ
1. Посколькурассматривается задача на максимум, то все ограничения следует привести к виду«≤». Для этого обе части первого и второго неравенств следует умножить на«-1». Получим: - -2х1-5х2≤-10
-5х1-2х2≤-10
3х1+4х2≤24
4х1+3х2≤24
Х1≥0; Х2≥0.
2. Составим расширеннуюматрицу системы.
-2 -5 -10
-5 -2 -10
А1= 3 4 24
4 3 24
3 1 Z
3. Найти матрицу А1т,транспонированную кА1.
-2 -5 3 4 3
А1т = -5 -2 43 1
-10 -10 24 24 Z
4. Сформулируемдвойственную задачу:
Z=-10у1 -10у2 +24у3 +24у4 → min.
-2 у1 — 5 у2+ 3 у3 + 4 у4≥3
-5у1 — 2у2 + 4у3 + 3у4≥1
у1 ≥0;у2≥0;у3≥0;у4≥0.
ЗАДАНИЕ №3
Составитьматематическую модель задачи и решить ее на ЭВМ.
Найти оптимальный планперевозки, при котором транспортные расходы будут минимальны
Данные для каждоговарианта приведены
1.тарифы перевозокединицы груза от каждого поставщика каждому потребителю
2.запасы груза каждогопоставщика
3.потребности в грузекаждого потребителя.
/>
/>
/>
РЕШЕНИЕ
А1 + А2 + А3 + А4 + А5 = 30+20+10+27+30=117
В1 + В2+ В3 + В4 =30+40+50+10=130
Спрос превышаетпредложение и поэтому добавляем пятого фиктивного постивщика.130-117=13 Отсюда:
Х11+Х12+Х13+Х14+Х15 =30
Х21+Х22+Х23+Х24+Х25 =20
Х31+Х32+Х33+Х34+Х35 =10
Х41+Х42+Х43+Х44+Х45 =27
Х51+Х52+Х53+Х54+Х55 =30
Х61+Х62+Х63+Х64+Х65=13
F= 7Х11+8Х12+5Х13+5Х14+5Х15+9Х16+1Х21+
+4Х22+2Х23+5Х24+9Х25+ 3Х31+5Х32+3Х33+8Х34+7Х35
+9Х36+2Х41+8Х42+7Х43+4Х44+5Х45+9Х46min.
/>
/>
/>
/>
/>
ЗАДАНИЕ №4
Представители однойфирмы могут принять по три стратегии. Матрица эффективности стратегий фирмпредставлена в таблице.
1. Определитьверхнюю и нижнюю цену игры.
2. Найтиседловую точку. В случае ее отсутствия составить двойственные задачимат.програмирования.К\С С 1 С 2 С 3 К 1 1 7 2 К 2 5 4 8 К 3 4 6 3 K 4 1 3 2
РЕШЕНИЕ
Нижняя цена игрывычисляется α = maximinjhij=maxi βj,где αi-наименьшее значение в i-тойстроке.
/>
Верхняя цена игрывычисляется β = minjmaxihij=minj βj,где βj==maxihij-наибольшее значение в j-томстолбце.К\С С 1 С 2 С 3
αi К 1 3 7 3 3 К 2 8 1 5 1 К 3 2 6 4 2 α= 1
βj 8 7 5 β= 8
Седловая точкаотсутствует, значит нужно составить двойственную задачу.
ЗАДАНИЕ №5
Имеются данныеэффективности выпуска новой продукции при различных вариантах решений(стратегий) и различных состояниях среды (природы), таблица 1. Выбратьнаилучшее решение, стратегию используя критерии:
1. Максимакса
2. Вальда
3. Сэвиджа
4. Гурвица(коэффициент пессимизма р=0,3)
5. Байеса(вероятности для каждого состояния среды р1=0,2, р2=0,3,р3=0,3, р4=0,2)
6. Лапласа
ТАБЛИЦА 1.ВАРИАНТЫ РЕШЕНИЙ СОСТОЯНИЕ ПРИРОДЫ П1 П2 П3 П4 А1 7 13 9 15 А2 15 8 11 12 А3 12 6 13 10 А4 11 10 15 14 А5 8 15,5 12 15
/>
РЕШЕНИЕ
1. Покритерию максимакса наилучшим признается решение, при котором достигаетсямаксимальный выигрыш равный
М= maximaxjhij = maxiMi
Находим М=maxihij, табл.2,т.е.максимальное значение в i-тойстроке.
/>
ТАБЛИЦА 2.
/>
М1= 15, М2=15, М3=13, М4= 15, М5= 15,5.
Максимальное значение М= maxiMi=15,5, значит решение А5оптимально.
2. Согласнокритерию Вальда наиболее предпочтительным является решение, при котором W= maximinjhij= maxiWi. НаходимWi=minjhij,т.е. минимальное значение Wв i-той строке.
/>
/>
Максимальное значение W=10,следовательно решение А4 является наилучшим.
3. В соответствии скритерием Сэвиджа предпочтение отдается решению, для которого максимальныепотери при различных вариантах обстановки окажутся минимальными, т.е.достигается значение:
S= minimaxjrij = miniSi.
Найдемматрицу потерь (табл.4 и 5): βj=maxihij; rij=βj-hij.
ТАБЛИЦА4. ВЫИГРЫШИ
/>
/>
ТАБЛИЦА 5. ПОТЕРИ.
/>
/>
Минимальное значение S= 7. Следовательно оптимальным решением является решение А5.
3. Покритерию Гурвица предпочитается то решение, при котором G= maxi { minihij+ (1- p) maxjhij } = maxiGi.
Находим Gi=pWi + (1-p)Mi,р=0,3 по условию задачи.
/>
/>
Находим Gmax= 17,4 значит решение А2 является оптимальным.
4. Согласнокритерию Байеса наилучшим является решение, при котором достигается максимумматематического ожидаемого выигрыша (или минимум среднеожидаемого риска).
Вероятности для каждогосостояния среды по условию задачи таковы:
р1=0,2, р2=0,3,р3=0,3, р4=0,2. Определяем математическое ожиданиевыигрышей по каждому решению: МВ1 = ∑рihij.
/>
/>
Определяем максимуможидаемого математического выигрыша. Он равен 12,85, что соответствуетчетвертому решению, которое, следовательно, и является оптимальным.
Определяемсреднеожидаемый риск по каждому решению.
МРi= ∑pjrij
/>
/>
Определяем минимумсреднеожидаемого риска. Он равен 2,3, что соответствует пятому решению,которое, следовательно, является оптимальным по данному критерию.
5. Определяемзначения для каждого решения по критерию Лапласа.
ВЫИГРЫШИ:
/>
/>
Максимальный выигрышсоставит 12,625 что соответствует 2-ому оптимальному решению.
ПРОИГРЫШИ:
/>
/>
Минимальный проигрышсоставит 2,5, что соответствует 5-ому оптимальному решению.
ЗАДАНИЕ №6.
По экспериментальнымданным опроса восьми групп семей о расходах на продукты питания, в зависимостиот уровня дохода семьи, приведенным в таблице, требуется:
1. Построитьлинейную однофакторную модель зависимости расходов на питание от дохода семьи.
2. Определитькоэффициент корреляции и оценить тесноту связи между доходами семьи и расходамина питание.
3. Определитькоэффициент детерминации и коэффициент эластичности, объяснить их смысл.
4. Определитьсреднюю по модулю относительную ошибку аппроксимации и оценить точностьпостроенной модели.Доходы семьи (х), тыс.грн. 2.2 3,6 4,2 5,8 6,7 7,9 8,6 10,6 Расходы на продукты (у) 1,2 2,0 2,6 2,9 3,1 3,9 4,5 5
РЕШЕНИЕ. Подготовимвспомогательную таблицу:
Табл 1
/>
Табл 2
/>
/>
1. Поформуле определим коэффициенты а0, и а1.
А0= ∑уi*∑xi^2-∑xiyi*∑xi/ n*∑x^2-∑xi*∑xi
Ai=n*∑xiyi-∑xi*∑yi/n*∑x^2-∑xi*∑xi.
/>
/>
Тогда регрессионнаямодель, согласно формуле, запишется:
Y^=А0+Аi*x
Построим графикзависимости и отметим экспериментальные точки.
/>
2. Дляполученной модели определим:
А) коэффициенткорреляции по формуле и оценим тесноту связи между доходами семьи и расходамина питание.
Xcp=∑xi/nYcp=∑yi/nXYcp=∑xiyi/n
Для этого вычислимсредние значения доходов и расходов при помощи EXCEL.Расчеты приведены в табл 2
3. Хср= 49.6/8= 6.2; Уср= 25.2/8= 3.2 XcpУср=180,9/8= 22,6.
Для вычислениясреднеквадратических ошибок Sy,Sx имеем формулу:
Sy=√∑(yi-y^i)/nSx=√∑(xi-x^)^2/n
/>
/>
Коэффициент корреляциивычислим по формуле:
rxy=xy^-x^*y^/sy*sx
/>
/>
3. Рассчитаемкоэффициент детерминации: R2xy= 0,972111224. Значит, 97,2% величины расходов семьи на питание зависит отизменения доходов семьи, а остальные 2,8% связаны с изменением других, невключенных в модель факторов.
/>
/>
Вычислимкоэффициент эластичности:
Эху=aix^/y^
/>
/>
С увеличением доходовсемьи на 1% расходы на питание увеличатся в среднем на 0,8781%.
3. Найдемсреднюю по модулю линейную относительную ошибку аппроксимации по формуле: d=1/n*∑(yi-y^)
/>
/>
Коэффициентнизкий что значит точность построения модели высока.
ЗАДАНИЕ№7.
1. Поисходным данным из задачи 6 рассчитаем Se,Sa0,Sa1по формулам. Для этого подготовим таблицу:
/>
/>
/>
Se= √1/n-2*∑e^2
Sa0=Se*√∑x^2/∑(xi-x^)^2
Sa1=Se*√ 1/∑(x-x^)^2
Согласно задаче имеем:
А0=0,3837079А1 = 0,4461762. для вычисления фактическихзначений t-критерия воспользуемсяформулами: ta0= a0/Sa0 =1.84707; ta1= 14,4617.
По таблице 1 приложенияА найдем табличное значение t-критериядля степеней свободы df=8-1-1 = 6 и уровня зависимости 6%, т.е. tтабл= 1,943.
При уровне значимости6% имеет место неравенство:
ta1=0,073525 ‹ tтабл= 1,943. Значит, с уверенностью 94% можно утверждать, что оценка А1= 0,747263097 не является статистически значимой.
Аналогично проверим длядругого параметра. ta0= 1,743736 ‹ tтабл= 1,943, значит оценка А0= 0,123251901 также не являетсястатистически значимой.
/>
/>
2. Значимостьуравнения регрессии в целом и коэффициента тесноты связи R2определяетсяс помощью критерия Фишера. Значение оценки R2полученов предыдущей задаче, R2= 0,968583448. Фактическое значение Fфактопределяемпо формуле: Fфакт =184,9821.
Табличное значение Fтаблопределяем по таблице: />Fтабл =5,99.
Поскольку Fфакт=184,9821› Fтабл =5,99, то с уверенностью 94% делается заключение о том, что уравнение регрессиив целом статистически значимо и статистически значим показатель степени связи R2,т.е. отвергается нулевая гипотеза о том, что R2=0.
ЗАДАНИЕ №8.
Имеются следующиеисходные данные:Годы 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Объем реализации 10,84 11,12 10,6 11,31 11,62 12,0 12,73 11,12
Коэффициентдостоверности аппроксимации для каждого типа линии тренда
1) Линейнаяу= 0,1795х – 347,71 R^2=0.4163
/>
2) Логорифмическаяу=359,19 Ln(x)-2718,8R^2=0.1464
/>
3) Степеннаяy=3E-102x^31.059R^2=0.422
/>
4) Экспонтенциальнаяу=4Е-13е^0.01558xR^2=0.4218
Каквидно из рисунка в 2005г в сравнении с 2004г в среднем реализация продукцииувеличилась на 0,42 млн. грн.
ЗАДАНИЕ №9.
Имеются данныеиспытаний нескольких величин по результатам обследования десяти статистическиоднородных филиалов фирмы, приведенные в таблице. х1-фондовооруженность, х2 – энерговооруженность, у – производительностьтруда.
Выполнить следующее:
1. Построитьлинейную регрессионную модель при помощи ПЭВМ.
2. Выполнитькоманду «Регрессия».
3. Определитьпо результатам команды «Регрессия» значение коэффициента множественнойкорреляции и детерминации.
4. Проверитьстатистическую значимость оценок параметров модели.
5. Проверитьстатистическую значимость оценки степени достоверности взаимосвязи R2ивсей модели в целом.
РЕШЕНИЕ.
1. построитьрегрессионную модель.
2. выполнить команду«Регрессия», результаты которой показаны ниже.
/>
/>
/>
Рис. Результаты команда«Регрессия»
Регрессионная модельпринимает вид:
у^ = 0929087*2,9+ — 0,4502*4,5-3,246374
3. Согласно Рискоэффициенты множественной корреляции и детерминации, в данном случае R= 0,993689; R2= 0,98742.
4. Статистическуюзначимость оценок параметров модели b,a1, а2осуществим с помощью t-критерия.Для этого определим его табличное значение и его фактические значения длякаждого из оцениваемых параметров. По таблице 1 приложения А при уровне значимости1% найдем табличное значение t-критериядля степеней свободы df=10-2-1 = 7 и уровня зависимости 7%, т.е. tтабл= 3,143.
Фактическое значение t-критериядля каждого из оцениваемых параметров смотрим на рисунке в столбце t-статистикав нашем случае:
t-a1=15,73834 ta2= — 0,855361 tb=15,97697
При уровне значимости7%t-a1=15,73834> tтаблимеет место равенство: Значит, с уверенностью 99% можно утверждать, что оценкаА1 параметра модели является статистически значимой.
Условие ta2=-0,855361
Условие tв=15.97697> tтабл= 3,143 выполняется, значит и эта оценка статистически значима в модели.
5. Значимость уравнениярегрессии в целом и коэффициента тесноты связи R2определяем с помощью критерия Фишера. Фактическое Fфакт=274,684752
Табличное значение Fтаблопределяем по таблице: Fтабл= 9,55. Условие Fфакт=274684752>Fтабл= 9.55 выполняется, поэтому с вероятностью 99% делается заключение о том, что R2статистическизначим, и уравнение регрессии в целом значимо, т.е. отвергается нулеваягипотеза R2 =0.