--PAGE_BREAK--x3 = 0 + 120 + 400 + 480 = 1000;
Тогда матрицы A и B коэффициентов и принимают вид:
240
72
140
0.30
0.12
0.14
800
600
1000
0.10
0.44
0.18
,
A=
80
264
180
=
800
600
1000
0.00
0.20
0.40
0
120
400
800
600
1000
180
30
50
0.23
0.05
0.05
800
600
1000
1.50
2.50
0.00
,
B=
1200
1500
0
=
800
600
1000
0.50
2.00
0.30
400
1200
300
0.20
1.00
1.00
800
600
1000
160
600
1000
800
600
1000
2. Заменяя выражения найденными коэффициентами получаем систему уравнений для определения искомых полных выпусков продукции:
SHAPE \* MERGEFORMAT
x1 = 0.30*x1 + 0.12*x2 + 0.14*x3 + 360,
x2 = 0.10*x1 + 0.44*x2 + 0.18*x3 + 90,
x3 = 0.00*x1 + 0.20*x2 + 0.40*x3 + 450.
Эту систему можно записать в матричной форме где E – единичная матрица, X – матрица-столбец из неизвестных, C – матрица-столбец из чисел c1=360, c2=90, c3=450. Решая полученное матричное уравнение, найдем полные выпуски продукции. Его решение имеет вид: Строим обратную матрицу Для этого найдем алгебраические дополнения и определитель для матрицы Имеем:
0,70
-0,12
-0,14
Е–A=
-0,10
0,56
-0,18
,
0,00
-0,20
0,60
0,56
-0,18
A11=
=
0,56*0,60 – (-0,18)*(-0,20)
=
0,30
,
-0,20
0,60
Аналогично:
-0,10
-0,18
-0,10
0,56
A12= –
=
0,06
,
A13=
=
0,02
,
0,00
0,60
0,00
-0,20
-0,12
-0,14
0,70
-0,14
A21= –
=
0,10
,
A22=
=
0,42
,
-0,20
0,60
0,00
0,60
0,70
-0,14
-0,12
-0,14
A23= –
=
0,14
,
A31=
=
0,10
,
-0,10
-0,18
0,56
-0,18
0,70
-0,14
0,70
-0,12
A32= –
=
0,14
,
A33=
=
0,38
,
-0,10
-0,18
-0,10
0,56
При этом ∆ = 0,70*0,30 – 0,12*0,06 – 0,14*0,02 = 0,20,
1,5
0,5
0,5
=
0,3
2,1
0,7
,
0,1
0,7
1,9
Умножая матрицу на C, найдем искомые полные выпуски продукции:
х1
1,5
0,5
0,5
360
1,5*360
+
0,5*90
+
0,5*450
810
х2
=
0,3
2,1
0,7
*
90
=
0,3*360
+
2,1*90
+
0,7*450
=
612
,
х3
0,1
0,7
1,9
450
0,1*360
+
0,7*90
+
1,9*450
954
То есть, х1 = 810, х2 = 612, х3 = 954.
3. При определении запаса k-го вида ресурсов, необходимого для производства найденных полных выпусков продукции, достаточно умножить матрицу ресурсо-затрат B на матрицу-столбец из полных выпусков продукции:
b1
0,23
0,05
0,05
0,23*810
+
0,05*612
+
0,05*954
264,6
810
b2
1,50
2,50
0,00
1,50*810
+
2,50*612
+
0,00*954
2745,0
=
*
612
=
=
,
b3
0,50
2,00
0,30
0,50*810
+
2,00*612
+
0,30*954
1915,2
954
b4
0,20
1,00
1,00
0,20*810
+
1,00*612
+
1,00*954
1728,0
То есть запас ресурса следует иметь в количестве 264,6 ед., ресурса – в количестве 2745 ед., ресурса – в количестве 1915,2 ед., ресурса – в количестве 1728 ед.
Задача 4-2
Урожайность пшеницы зависит от количества внесенных удобрений и погодных условий. Фермер может вносить на 1 гектар, или центнеров удобрений. Погодные условия характеризуются тремя состояниями: , и . Урожайность пшеницы с одного гектара составляет центнеров при внесении центнеров удобрений и состоянии погоды . Рыночная цена на зерно составляет ден. ед., если было внесено ц/га удобрений. Стоимость одного центнера удобрений составляет S ден. ед.
Требуется определить, какое количество удобрений следует вносить в почву, чтобы получить как можно большую прибыль, если: а) известны вероятности состояний природы ; б) о вероятностях состояний природы ничего определенного сказать нельзя.
Указание. Составить платежную матрицу, рассчитав значении прибыли по формуле: , .
Исходные данные:
а1
а2
а3
с1
с2
с3
b11
b12
b13
b21
b22
b23
b31
b32
b33
S
p1
p2
p3
λ
2
4
6
9
5
3
5
9
6
10
12
9
13
15
11
4
0,3
0,4
0,3
0,8
РЕШЕНИЕ:
Одним из участников рассматриваемой ситуации является фермер, который должен вносить удобрения в почву для получения хорошего урожая пшеницы. Если описанной ситуации придать игровую схему, то фермер выступит в ней в качестве сознательного игрока А, заинтересованного в максимизации прибыли с 1 гектара земли. Вторым участником является в буквальном смысле природа (игрок П), то есть внешние природные условия.
Так как фермер на 1 гектар земли может вносить разное количество центнеров удобрений, то чистыми стратегиями игрока А будут следующие стратегии:
– А1: вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли;
– А2: вносить 4 ц. удобрений на 1 гектар земли;
– А3: вносить 6 ц. удобрений на 1 гектар земли.
Природа может реализовать одно из трех состояний: П1, П2, П3.
Таким образом, платежная матрица игры будет иметь размер 3х3.
Вычисляем значении прибыли по формуле: , .
h11 = 9*5 – 4*2 = 37; h23 = 5*9 – 4*4 = 29;
h12 = 9*9 – 4*2 = 73; h31 = 3*13 – 4*6 = 15;
h13 = 9*6 – 4*2 = 46; h32 = 3*15 – 4*6 = 21;
h21 = 5*10 – 4*4 = 34; h33 = 3*11 – 4*6 = 9;
h22 = 5*12 – 4*4 = 44;
Итак, платежная матрица принимает вид (таблица 4.1)
37
73
46
34
44
29
15
21
9
В платежной матрице нет доминируемых стратегий игрока А, поэтому матрица не требует упрощений.
а) для определения оптимальной стратегии игрока А по критерию Байеса вычислим среднее значение (математическое ожидание) выигрыша при использовании каждой из возможных стратегий по формуле: . Получаем:
= 37*0,3 + 73*0,4 + 46*0,3 = 54,1;
= 34*0,3 + 44*0,4 + 29*0,3 = 36,5;
= 15*0,3 + 21*0,4 + 9*0,3 = 15,6.
Оптимальной по критерию Байеса является стратегия , так как именно ей соответствует наибольшее из чисел :
max
{
54.1
;
73
;
46
}
=
73;
Таким образом, располагая информацией о возможных состояниях природы, наиболее выгодным для фермера будет использование стратегии А1 – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. Среднее значение ожидаемой прибыли в этом случае составит 54,1 ден. ед.
б) для определения оптимальной стратегии игрока А с использованием максимаксного критерия, применим формулу: .
Получаем:
m1 = {37; 73; 46} = 73;
m2 = {34; 44; 29} = 44;
m3 = {15; 21; 9} = 21;
Оптимальной по максимаксному критерию является стратегия , так как именно ей соответствует наибольшее из чисел :
max
{
73
;
44
;
21
}
=
73;
Таким образом, в расчете на самое благоприятное стечение обстоятельств, наиболее выгодным для домовладельца будет использование стратегии – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. Прибыль, потраченная при этом от продажи зерна, составит 73 ден. ед.
Определим оптимальную стратегию игрока А по критерию Вальда:
w1 = min {37; 73; 46} = 37;
w2 = min {34; 44; 29} = 29;
w3 = min {15; 21; 9} = 9.
max
{
37
;
29
;
9
}
=
37;
Следовательно, оптимальной по критерию Вальда является стратегия – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли. При этом минимальная прибыль составит 37 ден. ед.
Для определения оптимальной стратегии игрока А с использованием критерия Сэвиджа составим матрицу рисков. В каждом столбце платежной матрицы определим максимальный элемент и вычтем из него все элементы данного столбца. В первом столбце максимальным является элемент h11 = 37, во втором – h12 = 73, в третьем – h13 = 46.
Матрица рисков представлена в таблице 4.2.
Таблица 4.2
Определим максимальный риск при использовании каждой стратегии.
Получаем:
r1 = max {0; 0; 0} = 0,
r2 = max {3; 29; 17} = 29,
r3 = max {22; 52; 37} = 52.
min
{
0
;
29
;
52
}
=
0;
Таким образом, оптимальной по Сэвиджу является стратегия – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли.
Для определения оптимальной стратегии по критерию Гурвица найдем показатель критерия по формуле , .
Получаем:
γ1 = 0,8*37 + (1 – 0,8)*73 = 44,2;
γ2 = 0,8*29 + (1 – 0,8)*44 = 32,0;
γ3 = 0,8*9 + (1 – 0,8)*21 = 11,4.
max
{
44,2
;
32,0
;
11,4
}
=
44,2;
Следовательно, оптимальной является стратегия – вносить 2 ц. удобрений на 1 гектар земли.
продолжение
--PAGE_BREAK--