ЛІНІЙНАМОДЕЛЬ ВИРОБНИЦТВА
1.Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування
Будь-якенаціональне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевихвзаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо.Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість,але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовленняавтомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючихчастин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін.Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможутьпри спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення такихвпливів.
Методміжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження ВасилемЛеонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді назапитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основнімакроекономічні показники.
Розглянемодіяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху).Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступеньвиконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічніможливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.
Нехай кількістьвсіх видів ресурсів /> позначимо їх />. Це можуть бути метал,електроенергія, різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що навиробництві можуть випускатися /> типівтоварів />.
Технологієювиробництва товарів/> назвемо набір чисел /> />, що показують, якакількість ресурсів /> необхідні длявипуску однієї одиниці товару />. Таквиробництво товарів /> можна подати якконвеєр, протягом якого подаються ресурси в кількості />а в кінці конвеєра виходитьготова одиниця продукту />.
Отже, можнаскласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливостівиробництва. Позначаємо її через />
/>.
Нехай заданікількості /> ресурсів />,/>, які можуть бутивикористані у виробництві, тоді />–вектор ресурсів. Назвемо планом виробництва вектор />,що показує, яка кількість товарів /> будевироблена.
Вважатимемотехнологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсівзростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під часвипуску /> одиниць продукту /> описуються вектором />, причому одночаснефункціонування декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.
Отже, витратиресурсів, необхідні для виконання плану виробництва />,описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:
/>
або в матричнійформі вектором />. Умоваобмеженості ресурсів записується у вигляді />.Отже, при заданому векторі ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бутибудь-який випущений набір товарів />, якийзадовольняє обмеженням />, />. Як правило, такий векторне єдиний. У зв'язку з цим з'являється можливість вибору найкращого в деякомурозумінні плану.
Розглянемоможливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни /> на продукти виробництва />. Потрібно визначити планвиробництва, що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачітакий:
/>, />, />.(1)
Така постановказадачі відповідає принципу планування за валом. Випадок, коли плануваннявипуску проводиться за номенклатурою товарів, можна змоделювати інакше. Нехайзаданий вектор />, що визначаєодин комплект випуску. Потрібно випустити як можна більше таких комплектів.Нехай /> означає кількістькомплектів, що випускають. Розглянемо задачу
/>, />, />, />.(2)
Тут нерівність /> означає, що вектор /> містить не менше /> повних комплектів /> продукції, щовипускається.
Моделі (1), (2),хоча й відбивають певні риси реального виробництва, є, значно ідеалізованими.Так, відсутнє таке важливе для виробництва поняття, як час. Вважається, що всінеобхідні ресурси />, /> доступні. Отже, такімоделі абстраговані від динаміки виробництва й не враховують цілий ряд іншихпоказників, які є неодмінним атрибутом реального виробництва.
Незважаючи нарозходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) маютьбагато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування.Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і йогомодифікації.
2.Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва
Основою багатьохлінійних методів виробництва є схема міжгалузевого балансу. Нехай весьвиробничий сектор народного господарства розбитий на /> чистих галузей, тобтопродукція кожної з цих галузей передбачається однорідною. Кожна галузь випускаєпродукт тільки одного типу, і різні галузі випускають різні продукти. В процесівиробництва свого виду продукту кожна галузь потребує продукцію інших галузей.Чиста галузь є економічною абстракцією, що не обов'язково існує реально.Подібна ідеалізація виправдана тим, що вона дозволяє провести аналізтехнологічної структури виробництва та розподілу.
Припустимо тепер,що в деякий момент часу, наприклад, у році />,за підсумковими даними складений балансовий звіт по народному господарству зафіксований період часу за формою, наведеною в табл. 1.
Таблиця 1
Галузі /> 1 2 …
/>
Продукти /> 1
/>
/> …
/>
/> 2
/>
/> …
/>
/> … … … … … …
/>
/>
/> …
/>
/> Валовий випуск
/>
/> …
/> Кінцеве споживання
/>
/> …
/>
Величини /> вказують обсяг продукту зномером />, витрачений галуззю /> в процесі виробництва зазвітний період. Числа />, /> дорівнюють обсягупродукції (валовому випуску) />-їгалузі за той самий період, а значення /> –обсягу продукції />-ї галузі, що бувспожитий у невиробничій сфері. Числа />,/> показують розподіл />-го продукту на виробничіпотреби всіх інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, щомають виконуватися співвідношення
/>, />.(3)
Отже, валовапродукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.
Одиниці вимірувсіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно відчого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.
Якщо всі елементи/>-го стовпця таблиці 1розділити на />, то число /> розумітимемо як обсягпродукції />-ї галузі, необхідний длявиробництва однієї одиниці продукту />-їгалузі. Числа />, /> характеризують технологію />-ї галузі у звітний періоді звуться коефіцієнтами прямих витрат />-їгалузі. Під /> розумітимемо часткупродукції />-ї галузі, витрачену наневиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу єквадратна матриця />, яку називаютьматрицею коефіцієнтів прямих витрат.
Першимдопущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінноюпротягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що длявиробництва /> одиниць продукції галузі /> необхідно затратити /> одиниць галузі />, тобто передбачається, щовитрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).
Під часвиробництва набору продукції /> витратипродукції />-ї галузі складуть у цьомувипадку величину
/> />.(4)
Переходячи доматричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює />. Якщо />– вектор кінцевих споживань,тоді валова продукція />-ї галузідорівнює
/>, /> (5)
або в матричнійформі
/>. (6)
Систему рівнянь(6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модельпов'язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бутивикористана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливихпри даних ресурсах випусків />, тосистема (6) дозволить розрахувати набір відповідних значень />. Якщо спочатку відомийбажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі (6) можна визначитинеобхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по галузі, тобто
/> (7)
при заданійматриці />.
3.Розв’язок моделі Леонтьєва
За економічнимиміркуваннями всі коефіцієнти матриці /> невід’ємні:/>, />. У цьому випадку говорять,що матриця /> невід’ємна й записують />. Невід’ємні компонентизаданого вектора /> або />.
Розв’язок, який має бути знайдений, зазмістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей /> або />. Можливість одержанняневід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці/>.
Матриця /> називається продуктивною,якщо існують два вектори /> і />, такі, що />.
Продуктивністьматриці /> означає, що виробничасистема здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всімапродуктами.
Розглянемо умовипродуктивності матриці />:
1) послідовніголовні мінори матриці /> позитивні, тобтодля кожного /> виконана нерівність
/>;
2) матриця /> невід’ємно зворотна, цеозначає, що існує зворотна матриця /> й всіїї елементи невід’ємні: />
3) матричний ряд /> збігається, причому
/>.
4) максимальневласне число />.
Повернемося досистеми рівнянь (7). За заданим вектором /> потрібнознайти вектор />, для якого />. Перепишемо систему (7) увигляді />, де /> – одинична матриця. Якщоматриця /> продуктивна, то відповіднодо умови 2) матриця /> існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь(7) існує, єдиний і має вигляд />. Черезте, що /> й />, />.
Особливістюматриці /> в моделі Леонтьєва є те,що всі елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей.Розглянемо їх в наступному підрозділі.
4.Властивості невід’ємних матриць
Нехай /> – квадратна матрицярозміром /> з невід’ємними елементами />, />; />підмножина множини /> натуральних чисел />. Говорять, що /> ізольовано (щодо даноїматриці />), якщо в матриці /> /> при />, />.
Мовою моделіЛеонтьєва ізольованість множини /> означає,що галузі з номерами /> під час свогофункціонування не використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин/>. Інакше кажучи, частинаекономіки, що утвориться галузями з множини />,може існувати незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб/>, />, що відповідає одночаснійперестановці рядків і стовпців матриці />,то матриця /> матиме вигляд
/>,(8)
де /> й />– квадратні підматрицірозмірів /> і /> відповідно, /> – />.
Матриця /> називається нерозкладною,якщо в множині /> немає ізольованихпідмножин, крім самої /> і порожньоїмножини.
Інакше кажучи,матриця /> нерозкладна, якщоодночасною перестановкою рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).
Нерозкладністьматриці /> в моделі Леонтьєваозначає, що кожна галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.
Розглянемо деяківластивості нерозкладних матриць:
1. Нерозкладнаматриця не має нульових рядків і стовпців; якщо />-йрядок матриці /> нульовий, томножина /> ізольована.
2. Якщо />– нерозкладна й />то />.
ТеоремаФробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця /> маєтаке власне число />, що й модулівсіх інших власних чисел матриці /> неперевищують />; числу /> відповідає з точністю доскалярного множника власний вектор />, всікоординати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати />.
4. Лема: нехай /> – нерозкладна матриця, />, />, />, крім того, у вектора /> є нульові координати та />, тоді у вектора /> знайдеться додатнакоордината />, причому />.
5. Лема: якщоматриця /> нерозкладна, />, />, то з нерівності /> випливає, що />, />.
5.Зв'язок між коефіцієнтами прямих і повних витрат
Нехайрозглядається матриця коефіцієнтів прямих витрат у натуральному або вартісномувиразі />.
Для виробництваодиниці продукції />-ї галузінеобхідно затратити набір продуктів />, щоописується />-м стовпцем матриці />. Але для виробництва цьогонабору /> необхідно безпосередньозатратити набір продуктів, який ми позначимо через />.
Елементи векторавитрат /> називаються коефіцієнтаминепрямих витрат першого порядку відповідних продуктів на виробництво одиниць />-го продукту />.
Матриця />, складена зі стовпців />, />, називається матрицеюнепрямих витрат першого порядку й визначається відповідно до формули
/>.
Непрямимивитратами другого порядку називають прямі витрати, необхідні для забезпечення непрямихвитрат першого порядку, тобто />, або вматричній формі
/>
де />– матриця коефіцієнтівнепрямих витрат другого порядку.
Продовжуючи зааналогією, назвемо непрямими витратами порядку /> прямівитрати на забезпечення непрямих витрат порядку />.Очевидно, що матрицю коефіцієнтів непрямих витрат />-гопорядку одержимо, помноживши /> на />
/>. (9)
Визначимо тепер повнівитрати як суму прямих і непрямих витрат усіх порядків. Відповідно до цьогоматриця />, складена з коефіцієнтів повнихвитрат, утвориться як сума
/>(10)
або з огляду нате, що />, маємо
/>(11)
Коефіцієнтипрямих і повних матеріальних витрат мають важливе значення для характеристикиструктури техніко-економічних зв'язків і для аналізу ефективності виробництва збоку витрат упредметненої праці. Суттєва відмінність коефіцієнтів повних витратвід коефіцієнтів прямих витрат полягає в тому, що вони є не галузевими, анародногосподарськими показниками й формуються з урахуванням технологічнихзв'язків між галузями.
З'ясуємо такиймомент. Чи не виявляться будь-які з коефіцієнтів повних витрат нескінченновеликими?
Розглянемоматрицю />
/>.
Очевидно, щоелементи матриці /> скінченні разомз елементами матриці /> тільки в томувипадку, якщо скінченна сума ряду />. Крімтого, відповідно до умови (3) його збіжність є умовою, еквівалентною продуктивностіматриці />, причому />. Отже, у випадкупродуктивності матриці /> й тільки в цьомувипадку матриця повних витрат /> скінченна,її визначають відповідно до формули
/>.
Для великихзначень /> важко обчислити зворотнуматрицю. В цьому випадку матрицю />, як іматрицю />, можна обчислитиприблизно, користуючись методом ітерацій. На першій ітерації />, на другій ітерації />, на третій />, на />-й ітерації />. Часткова сума /> відрізняється відчасткової суми /> на величину />. Через те що рядзбігається, /> при />. Тому за скінченнукількість кроків можна досягти заданої точності обчислень.
Коефіцієнти /> матриці /> мають таку економічнуінтерпретацію: якщо випуск кінцевого />-гопродукту потрібно збільшити на одиницю, то валовий випуск />-го продукту має бутизбільшений на />.
6.Коефіцієнти трудових витрат. Баланс трудових ресурсів
Модель Леонтьєва, як відзначалося раніше, відображаєлише потенційні можливості, закладені в технології виробничого сектора. У даніймоделі передбачається, що процес виробництва відбувається миттєво – всіпроміжні продукти вважаються виробленими до того моменту, коли в нихз'являється потреба, тобто кожна галузь здатна зробити будь-який обсяг своєїпродукції за умови, що їй буде забезпечена сировина в необхідній кількості.Насправді, це не так, оскільки виробничі можливості будь-якої галузі обмеженінаявним обсягом основних фондів трудових ресурсів.
Розглянемопроблему розподілу трудових ресурсів, яку можна дослідити за допомогою моделіЛеонтьєва.
Зіставимо кожній />-ї галузі число />, що виражає необхідні витратитрудових ресурсів при одиничній інтенсивності даного технологічного процесу.
Нехай /> – вектор прямих витратпраці й /> – матриця прямихматеріальних витрат. На виробництво одиниці продукту виду /> необхідно безпосередньозатратити набір продуктів /> іпрацю в кількості />. Однак навиробництво даного набору продуктів у свою чергу необхідно затратити />одиниць праці. Ця величинаназивається непрямими витратами праці першого порядку на одиницю />-го продукту й позначаєтьсячерез />.
Вектор непрямихвитрат праці першого порядку /> визначаєтьсятаким виразом: />.
Міркуючианалогічно тому, як це робилося під час побудови коефіцієнтів непрямихматеріальних витрат, дійдемо висновку, що вектор /> непрямихвитрат праці порядку /> визначаєтьсятаким співвідношенням:
/> або />.
Повні витратипраці /> є сумою прямих і непрямихвитрат праці
/>.
У матричномузаписі, вважаючи, що /> і, з огляду нате, що />, маємо
/> або />.
Якщо матриця /> продуктивна, то суму вдужках можна замінити на /> й,отже, /> – матриця повних витратпраці.
Зменшення повнихвитрат праці на одиницю продукції є узагальнюючим показником збільшенняпродуктивності праці, ефективності виробництва. Розрахунок коефіцієнтів повнихвитрат праці важливий для ціноутворення на етапі встановлення об'єктивноїоснови ціни – вартості. Для обчислення коефіцієнтів повних витрат працівикористовують ітераційну процедуру
/>,
що дозволяє з заданоюточністю визначити дані коефіцієнти.