Критерии оптимальности в эколого-математических моделях

1Критерии оптимальности в эколого-математических моделях
 
1.1Использование принципа выживания
 
В качествекритерия оптимальности предлагается использовать принцип выживания, полагая,что в диаде выживание – приспособленность первичным является выживание. Пустьдинамику экосистемы, в которую входит рассматриваемый вид, адекватно описываетсистема уравнений с неизвестными численностями особей всех элементов экосистемы.В качестве параметров уравнений выступают экологические условия, а такжеструктурно-функциональные параметры особей всех элементов экосистемы. Выделяют s-япопуляция и некоторый структурный или функциональный параметр /> этой популяции. Делают предположениео том, что популяция состоит из двух подпопуляций, различающихся величинойфенотипического параметра. Пусть xs(1),xs(2),/>,/>– численностии величины фенотипического параметра двух подпопуляций.
Исследованиединамической системы, в которую внесены соответствующие изменения, учитывающиеразличия фенотипического параметра у особей s-ой популяции, позволяетанализировать асимптотические свойства численностей подпопуляций. Один извозможных вариантов поведения – вытеснение второй подпопуляции первой(фенотипический параметр />имеет селективное преимущество посравнению с параметром />в заданных экологическихусловиях). Математически этот вариант описывается выражениями
                                />
Оптимальной сточки зрения выживания величиной фенотипического параметра />является такая величина,при которой для любого отличного от этого значения параметра />выполняются условия
                                />
Следует отметить,что эти условия верны при произвольных начальных условиях. С оптимальнойвеличиной, удовлетворяющей критерию, следует сопоставлять среднее значениефенотипического параметра.
Также весьмаважно то, что если популяция не обладает оптимальным значением параметра, тоэто не значит, что она элиминируется из биоценоза. Однородная популяция можетстабильно существовать при любом значении структурно-функционального параметра />, относящимся кобласти, соответствующей условию стабильного существования популяции, вчастности и при значении, не равном оптимальному/>. Оптимальное же значениеустанавливается в результате конкуренции особей с различными значениями рассматриваемогоструктурно-фенотипического параметра. Именно вследствие этой конкуренции особис неоптимальными значениями параметра />элиминируются.
Применениеобщего критерия оптимальности возможно путем численного интегрированияуравнений динамики экосистемы при различных величинах рассматриваемогофенотипического параметра. Также возможно применение частных критериевоптимальности, справедливых в конкретных случаях и следующих из общегокритерия. Используя критерий отбора, необходимо учитывать ограничения,вытекающие из физико-химических или биологических закономерностей процесса.

1.2Использование максимума относительной скорости роста численности популяций
В рядеисследований в качестве критерия оптимальности выступало требование максимумаотносительной скорости роста численности популяции:
                                       />
Этот критерийможет быть применен для определения оптимальных величин структурно-функциональныхпараметров, если относительная скорость роста численности представлена в видефункции этих параметров. Причем, если рассматриваемый параметр не зависит отвозраста особи, то задача нахождения оптимального значения сводится к отысканиюпараметра, соответствующего максимуму относительной скорости роста; если жерассматриваемый параметр зависит от возраста, то искомая оптимальнаязависимость может быть определена путем решения соответствующей вариационнойзадачи.
Общийкритерий оптимальности применяли к исследованию популяций лосей в лесномбиоценозе. Оптимизируемыми параметрами были начальный вес новорожденных ирождаемость. Кроме того, из общего критерия оптимальности выводили требованиемаксимума относительной скорости роста популяции, а затем на основании этоготребования оптимизировали функцию роста, определяющая зависимость веса телаособи от возраста. Сравнение теоретических величин, полученных для лосей, исоответствующих биологических данных свидетельствовали об их хорошем согласии.
В теорииоптимальных биологических процессов применимы более простые критерии, например,определяющие оптимальность структурно-функциональных параметров органов исистем, роль которых в организме сводится к выполнению определенных функций.Критерием оптимальности такого органа является условие минимума егопотребностей при условии выполнения этим органом заданных функций
                               />
гдеПор– потребности органа; Пп – потребление пищи в единицувремени, связанное с поддержанием жизненного органа, не несущего функциональнуюнагрузку; Пf – потребление пищи в единицу времени, связанноес осуществлением органом его функций в организме. Использование данногокритерия  требует учитывать условия, определяющие функции, выполняемые органомили системой.
Критерий,определяющий оптимальные функциональные параметры, имеет вид: Пf=min. Здесь необходимо сформулировать дополнительные условия, определяющиефункции органа.
Еслиопределяющей является энергетическая деятельность органа, то критерийоптимальности может быть сформулирован в виде
                                    />,
где Wi– мощность, потребляемая i-м органом.
Вэкспериментальных условиях было представлено применение общего критерия отборадля определения оптимального в эволюционном смысле начального весановорожденных (на примере данных биологических исследований для популяциилосей); энергетического критерия оптимальности  для определения функциональногосостояния системы транспорта кислорода при физической нагрузке и при ееотсутствии, а так же для нахождения энергетически оптимальной концентрацииэритроцитов в крови, парциального давления в артериальной и венозной крови,определения оптимальных функциональных параметров системы внешнего дыхания идр.

2 Принцип минимального воздействия вэколого-математических моделях
Один изспособов применения целевой функции состоит в формулировании общего утвержденияотносительно поведения системы. Хорошо известные экстремальные принципыотносятся к этому случаю. Самый известный из них – принцип Гамильтона, согласнокоторому, каждая механическая система ведет себя так, чтобы действие (интегралпо времени от функции Лагранжа) было минимальным. В экологии предпринималисьпопытки использования этого подхода для получения уравнения роста популяции,точнее, рассматривалась обратная задача: записать действие, которое приведет кспециальному уравнению роста. Одна из наиболее удачных попыток разрешить этузадачу, предложенная М.Гатто с соавторами, представлена в работе Дж.Вебба.
В качествефункционала действия, который приведет к логистическому уравнению ростапопуляции численности n, было рассмотрено следующее выражение
                       />
Для упрощениявычисления была сделана замена переменных
                       />
Согласновариационному принципу, уравнение эволюции x(t) задаетсятребованием экстремальности действия, т.е. dS = 0. После необходимыхвычислений было получено динамическое уравнение
/>                                 />
Чтобысравнить этот результат с логистическим уравнением                   
                                  />
егопереписали в переменных
                              />
ипродифференцировали:
                                    />
Полученноесовпадение показывает, что любое решение логистического уравнения являетсярешением динамического уравнения, выведенного из функционала действия. Однако,не любое решение уравнения  является решением логистического уравнения. Длявыявления взаимосвязи между данными уравнениями было проведено исследованиеполученного уравнения эволюции. После некоторых преобразований и интегрированиябыло получено выражение
                          />
Уравнениеэволюции характеризуется константой R: при R > 0 популяциянеограниченно растет, при R R = 0 приводит клогистическому уравнению, тем самым, показывая, что логистический рост – этоособый случай равновесия между неограниченным ростом и затуханием.
В работетакже был рассмотрен вопрос об интерпретации введенного таким образом“биологического” действия. Описание в терминах кинетической и потенциальнойэнергии неприемлемо, поскольку ведет к неизменности общей энергии системы(экологические системы обычно подразумеваются открытыми). По аналогии сфизикой, где действие разделено на свободное движение и взаимодействие,предлагалось рассматривать действие  как сумму члена, описывающего популяцию,которая не подвержена помехам в росте, и члена V(x), описывающеговнешнее влияние среды на популяцию. Однако, подобная интерпретация хорошоописывает лишь случай V(x) = 0, когда применение вариационногопринципа приводит к уравнению экспоненциального роста. Сам М.Гатто и егосоавторы описывали действие как цену роста.
По мнениюДж.Вебба, применение вариационного принципа позволяет сместить акцент споведения системы на факторы, которые его определяют, а также делает возможнымразделение внутреннего поведения популяции и эффектов внешней среды.

3 Модели случайных стационарных процессов и принципы, накоторых они основываются
Моделислучайных стационарных процессов рассматривают систему как совокупностьвзаимодействующих элементов со случайными свойствами. В модель вводитьсяфункция распределения показателей состояния и глобальная характеристикавзаимодействия компонентов (энтропия, энергия или вещественый результат).Область применения рассматриваемых моделей ограничивается описаниемнеструктурированных гомогенных систем, когда необходимо оценить воздействиемногих факторов на результирующий признак
Статистическиемодели строятся при допущении, что исследуемый процесс случаен и может бытьизучен с помощью статистических методов анализа систем. Они включают:эмпирические- и динамические статистические модели, корреляционный и факторныйанализ, многомерное шкалирование, анализ временных рядов. Для снижения размерностистатистических моделей используется ряд методов, например выделение главныхкомпонент в регрессионных уравнениях и гармонических рядах.
3.1Эргодичность стационарногослучайного процесса
Для некоторых процессов вдостаточнодлинных реализациях случайного процесса содержатся все его значения. Следователь­но, помимо статистических средних характеристикпроцесса, определяемых пу­тем усреднения поансамблю возможных значенийпроцесса, имеется возможность определитьвременные средние харак­теристики путем усреднения по времени до­статочно длинной реализации процесса.
Случайные процессы, у которых стати­стические ивременные средние характери­стики совпадают, называются э р г о д и ч е с к и м и.Далеко не все случайные про­цессы удовлетворяют условию эргодично­сти. Однакомногие стационарные процессы этому условию удовлетворяют и для них (несмотря нафлюктуации временных сред­них характеристик от одной реализации к другой)с вероятностью, равной единице, временныесредние совпадают со статисти­ческимисредними:
/>
где /> - реализации процесса,сдвинутые на />.
Можно показать (теорема Винера – Хинчина), чтофункция корреляции стационарного случайного процесса являетсяФурье-преобразованием некоторой функции частоты />:
/> ()
Физическийсмысл  /> следует из условия />, прикотором />  — средняя мощностьпроцесса, а следовательно  />  — его спектральная плотность мощности (спектр мощности).
Иначе говоря, функция корреляции со­держит полнуюинформацию о распределе­нии энергии процесса по частоте, но не мо­жет датьсведений о частотном распределе­нии амплитуд и фаз спектральных состав­ляющихреализаций процесса.
Многие распространенные случайные процессыприближенно можно описать кор­реляционнойфункцией вида
/>
и соответствующей ей спектральной плот­ностью
/>.
Итак, спектр мощности и функция кор­реляции неявляются независимыми харак­теристиками случайного процесса. Обе эти характеристикиопределяют степень вероят­ностной связи между значениями сигнала в различныемоменты времени или, как ино­гда говорят, степень последейст­вия процесса.Процесс считается не имею­щимпоследствия, если вероятность наступ­ления последующих значений процесса не зависит от того, какими были предыдущие значения. В процессах с последействием, на­оборот, предыдущее значение процесса влия­ет на вероятность наступления последу­ющего илиряда последующих значений процесса.Чем сильнее выражено последей­ствиепроцесса, тем больше максимальный интервалвремени />, в течение которого данноезначение процесса еще влияет на следующиеза ним значения.
Функция корреляции характеризует сте­пень влияния одного значения процессана последующие в зависимости от интервала времени/>,разделяющего эти значения. Как правило,функция корреляции уменьшается сростом />.
Интервал />, на котором функциякорреляции имеет ещезаметную величину, называется интерваломкорреляции. Чем больше интервалкорреляции, тем более удаленныезначения процесса имеют еще вероятностныевзаимосвязи.
Аналогично этому за ширину спектра мощности принимают интервал частот />длякоторого значения />  име­ют еще заметную величину.
Можно показать, что интервал корреля­ции и ширинаспектра мощности связаны обратной зависимостью:
/>
где /> — постоянная величина ( база сигнала).
Так как наиболее полным описаниемслучайной последовательности является функция распределения вероятностей еезначений, то задача тестирования в общем случае сводится к получениюэмпирических вероятностных характеристик по доступным выборочным данным ипроверке гипотез об их соответствии некоторым стандартным характеристикам,определяющим различные классы случайных последовательностей и отдельные их свойства.Часто в качестве стандартной случайной последовательности (СП) /> выступаетстандартная случайная последовательность, например, с нормальным распределением/> ичисловыми характеристиками: /> — математическое ожидание и />-дисперсия случайной последовательности.
Общий алгоритм тестированияслучайной последовательности с учетом вводимой стандартной случайнойпоследовательности может включать следующие этапы.
1. Определение эмпирическихвероятностных характеристик тестируемой случайной последовательности(математического ожидания, дисперсии, корреляционного момента, вероятностейсобытий и функции распределения вероятностей). Важно, чтобы качество полученныхэмпирических оценок соответствовало выдвигаемым априорно требованиям кдопустимому отклонению от истинных значений характеристик (доверительномуинтервалу и доверительной вероятности), а также определялось требуемым дляэтого размером выборки. На основе полученных характеристик могут бытьустановлены свойства симметрии распределения (совпадение значений среднего,моды и медианы, либо равенство значений вероятностей превышения и не превышениясреднего значения) и близости его формы к некоторому стандартному, например, кнормальному.
2. Построение гистограммывероятностей и восстановление эмпирического распределения случайнойпоследовательности на основе полученных вероятностных характеристик ивыдвижение гипотезы о виде распределения СП.
3. Проверка верностивыдвинутой гипотезы по критериям соответствия (согласия) эмпирических ианалитических вероятностных характеристик, а также определение класса иосновных свойств случайной последовательности с оценкой показателей качестваоценок и решений.
Рассмотрим основные этапытестирования случайных последовательностей в предположении выполнения условийстационарности и эргодичности выборочных данных.
Вероятностнойхарактеристикой />  случайной величины />, определяемойнепосредственно путем эксперимента, является некоторое число — математическоеожидание, дисперсия, вероятность события />. Символ /> означаетистинное значение характеристики. Путем обработки результатовэкспериментального исследования X получаютэкспериментальное значение характеристики, статистическую характеристику илиоценку /> характеристики/>.
Экспериментальноеисследование случайной величины Xсцелью определения  /> — оценки (приближенногозначения) />, заключается впроведении N опытов (испытаний, наблюдений) и получении (путем соответствующих измерений) ряда значений/>— реализацийX. В результате обработки экспериментальных данныхопределяется /> как функцияэксперимента.
Если провестиеще одну серию из N опытов, то будет получен ряд других реализаций /> случайнойвеличины Xи другое значение /> оценкиискомой характеристики />. Значение /> случайнойвеличины X, полученное в результате /> — огоопыта в серии, можно рассматривать как значение случайной величины /> аоценку /> -как реализацию более общей случайной величины
/>, (1)
являющейсяфункцией независимых случайных величин/>, все вероятностныехарактеристики которых совпадают с характеристиками X.
Вероятностнымихарактеристиками системы двух случайных величин (X,Y), определяемыминепосредственно на основании эксперимента, являются математические ожидания,дисперсии, корреляционный момент, вероятность события />. Экспериментзаключается в проведении N опытов и получении ряда значений />  реализацийслучайных величин X,Y.  В результате обработки экспериментальныхданных получается оценка
/>,
какреализация случайной функции
                                 />,                              (2)
аналогичной (1).
Погрешностьприближения оценки />  равная
                                                             />,                                                     (3)
является, каки />,случайной величиной.
Функцию /> желательновыбирать так, чтобы выполнялось три условия
1.  Математическое ожидание /> равно нулю:
                                                                  />                                                     (4)
2. Дисперсия />стремитсяк нулю с увеличением N
                                                          />                                                     (5)
3 Дисперсия /> приданной /> должнабыть наименьшей.
Привыполнении условия (4) оценка />называется несмещенной, условий(4), (5) — состоятельной, всех трех условий — эффективной.
Вследствиеслучайного характера погрешности (3) для характе­ристики точности приближенногоравенства /> необходимо располагатьвероятностью рдтого, что абсолютное значение погрешности не превзойдет некоторого предела
                                                      />                                                (6)
Интервал от /> до />, вкотором с вероятностью рднаходится истинное значение />,  называетсядоверительным интервалом, его границы — доверительными границами,авероятность рд — доверительной вероятностью.
Если числоэкспериментальных данных N достаточно велико, то
погрешность(3) состоятельной оценки /> можнопрактически счи­тать
распределеннойнормально с математическим ожиданием (4), дисперсией /> исредним квадратическим отклонением /> При этом выражение (6)имеет вид:
                                                />/>                       (7)
где /> — функцияЛапласа, />.
С помощьюэтой формулы решается задача определения доверительной вероятности рдпо известным данным />.
ФункцияЛапласа /> выражает зависимость />от />.Обратная />выражает зависимость /> от />. При/>,/> имеем
                                                  />                                          (8)С помощью формулы (8) и обратной функцииЛапласа решается задача определения доверительного интервала /> поизвестным рди /> и необходимогочисла испытаний по известным рди />.
При решениипервой задачи согласно (8) определяется />.При решении второй задачисогласно (8) определяется />, а затем N.
Дляпроведения тестирования СП обычно приводят к стандартному виду. Для случаядвоичной ноль — единичной последовательности это достигаетсяперекодировкой исходной последовательности в симметричную -1,1- юпоследовательность в соответствии с правилом
/>.
Здесь />-элементы стандартной и исходной последовательностей соответственно.
3.2  Определение математического ожидания
Оценкаматематического ожидания /> какэкспериментальное (выборочное) значение первого начального момента случайнойвеличины X равна
/>,
В тоже время оценка среднего всей генеральнойсовокупности значений случайной величины определяется из выражения 
                                                             />,                                               (9)
где />-независимые случайные величины с одинаковыми/>, т.е. с числовымихарактеристиками, равными истинным, но неизвестным априори, их значениям.
Математическоеожидание погрешности оценки среднего равно
           />.           (10)Дисперсия погрешности оценки среднего равна
/>. (11)
Среднееквадратическое отклонение оценки математического ожидания
                                                         />.                                       (12)
Как видно из(10,11) оценка (9) – несмещенная, состоятельная и эффективная.Выражения (8-12) могут быть положены в основу определениятребуемого размера выборки для обеспечения заданных значений доверительногоинтервала погрешности и доверительной вероятности. Так, имея требования квеличине доверительного интервала /> и доверительнойвероятности /> и принимая гипотезу огауссовом характере распределения погрешности оценивания />, т.е. возможностиопределения доверительной вероятности в виде />, из выражения (8)определяем требуемое значение среднего квадратического отклонения погрешностиоценки />. Вместе с тем извыражения (12) следует, что среднее квадратическое значение погрешности />оценкисреднего случайной величины связано со значениями СКО /> и объемомвыборки N следующей зависимостью:
/>,
откуда,приравнивая правые части последних равенств, окончательно определяем выражениедля расчета требуемого объема выборки
/>.
Здесьзначение СКО случайной величины />может задаваться априорно,либо определяться экспериментально по выборке меньшего чем N объема.
Определениеоценки дисперсии и ее среднего квадратического отклонения
Оценкадисперсии />как экспериментальноезначение второго центрального момента случайной величины Xможет бытьвычислена по формуле
/>.
Так какзначение />априори неизвестно, то принимают/> и тогда
                                                  />.                                         (13)
Математическоеожидание погрешности оценки равно
                                                />,                                         (14)
 чтоозначает, что оценка (14) является смещенной.
 Смещение пропорционально Dxи обратно пропорционально N. Этоозначает, что оценка Dx, полученная согласно (14),- состоятельная.
Смещениеустраняется с переходом к />.
При этомвместо (13) имеем
                                   />.                            (15)
При большихзначениях N результаты расчета по формулам (13) и (15) практическибудут одинаковыми.
Выражение длядисперсии оценки (15), равной дисперсии погрешности />, при нормальном видезакона распределения X(для худшего случая) можно получить следующее [1-3]:
                                                        />.                                                  (16)
Зависимостьсреднего квадратического отклонения />от его точного значения />определяетсявыражением
/>.
 
 
3.3Определениекорреляционного момента и коэффициента корреляции
Экспериментальноезначение корреляционного момента Rxy как оценка смешанногоцентрального момента m11 системыдвух случайных величин равно
/>
Так какзначения Мх,  Му неизвестны, топринимают />, /> итогда
/>
ИЛИ
/>.                                           (17)
Погрешностьоценки />
/>                                                                  (18)
Математическоеожидание погрешности (18)
/>
Это означает,что оценка (17) — смещена и равна
/>.                                                                                      (19)
Можно показать, что она является и состоятельной.
Смещениеустраняется с переходом от /> к />.  При
этом вместо(17) имеем
/>. (20)
Для дисперсииоценки (17), равной дисперсии /> погрешности (18),можно получить [1-3]
/>,      (21)
где /> -четвертый смешанный центральный момент системы (XY). При Y= Xвыражения (20) и (21) превращаются в (15), (16). Если система (XY) распределена нормально, то /> и согласно (21)
/>
Так какзначения Rxy, Dx, Dy неизвестны,то практически используется приближение
                                        />.                                                   (22)
Среднееквадратическое значение погрешности (18)равно среднему квадратическому отклонению оценки (20):
/>. (23)
Оценкакоэффициента корреляции определяется согласно
/>. (24)
Если оценки />, /> полученыв результате одной серии наблюдений, а оценка /> – врезультатедругой, то их погрешности   /> />, /> –независимые случайные величины, являющиеся аргументами линейной функции:
/> .                                                             (25)
Значение /> рассчитываетсясогласно (15), доверительный интервал /> – по формуле (8).
3.4 Определение вероятности события
Экспериментальноезначение вероятности Р некоторого события — это частость [1-3]
/>,                                                                         (26)
причем число ппоявлений события в серии из N испытаний можно рассматривать каксумму N независимых случайных слагаемых:
/>,                                                                                           (27)
каждое изкоторых может принимать только два значения 1 и 0 с вероятностями  P и 1 – P.
Математическоеожидание и дисперсия случайной величины Xi:
/>.                                                              (28)
Погрешностьоценки (26) равна
/>.  (29)
Математическое ожиданиепогрешности и ее дисперсия:
/>.                                   (30)
Такимобразом, оценка (26) — несмещенная исостоятельная. Среднее квадратическое отклонение оценки (26)
/>.
На практикепринимают
/>.                                                       (31)
 
3.5 Определение законов распределения случайной величины
Экспериментальноеопределение законов распределения случайных величин сводится к определениюоценок вероятностей, математических ожиданий, дисперсий и среднихквадратических отклонений [1-3].
Если случайная величина X— дискретная, то определяются />, /> и оценки /> значенийфункции вероятности /> или оценки /> значений функции распределения />.
Еслислучайная величина X— непрерывная,то определяются Мх , Dх и оценки fx(x),Fx(x) плотности вероятности fx(x) и функции распределения Fx(x).
Приоценивании законов распределения непрерывной случайной величины процессобработки экспериментальных данных — реализаций х ,...,xN,, начинается с выбора границ а иb> а интервала, заключающеговозможные значения X, и деленияэтого интервала на kравных элементарных промежутков с = (b — a)/ k.
При расчете сзначения а и b следует для удобства округлять,
принимая,например, вместо b = 3,341, а= -2,63 значения 3,4 и -2,7. Во всех случаях округление производится всторону увеличения разности b- а. Значение kвыбирается в пределах от 8 до 20. Удобно принять k= 10.
После этогоопределяют границы /> всехэлементарных промежутков и составляют таблицу (табл.1), в которой х'0=а,x'k=b.Значение /> - это число реализацийX, оказавшихся в пределах j-ого интерва­ла от />, до />.Значения />и />:
/>     (32)
/>.                                                                                                                  (33)
Пригруппировке реализаций Xпоотдельным интервалам может оказаться что некоторые из них придутся точно награницу двух смежных промежутков. В этих случаях необходимо прибавить к чис­лам/>и/> смежныхинтервалов по 1/2.Таблица 1
/>/>/>/> … />/>/>/>  />/>… />  />  />/>… />  />  />/>… /> 
Поданным таблицы могут быть построены эмпирические гистограмма и график функциираспределения.
Затемвозникает весьма сложная задача подбора аналитического закона распределения,достаточно хорошо согласующегося с результатамиэксперимента.
Основаниемдля выбора аналитического выражения плотности вероятности fx(x) могут служить соображения о том, чтобы простейшиечисловые характеристики теоретической случайной величины были равныэкспериментальным значениям этих характеристик. Если, например, теоретическийзакон определяется двумя параметрами, то их выбирают так, чтобы совпали двамомента (/>).
 
3.6 Критерий интервальных оценок
 
Располагая результатами эксперимента согласно (31) рассчитывают средние квадратические отклонения:
/>; 
/>/>.                                                                    (34)
Согласно (8)рассчитываются доверительные интервалы
/>
и границыизменения ВВХ
/>,                                                                                          (35)
соответствующиедоверительной вероятности />и />.
Располагая выбранным аналитическим выражением плотности вероятности fx(x), рассчитываются теоретические значения:
/>                                                                 (36)
Критериемсогласия теоретического и экспериментального распределения является соблюдениенеравенств:
/>                                                                                (37)
/>
Критерий />
Рассчитав />согласно(35), находят значения
/> (38)
ирассчитывают
/>.                                                                                     (39)
Еслирасхождение между экспериментальным и теоретическим распределениемнесущественно, то распределение случайной величины (39) близко к нормальному сматематическим ожиданием /> и
среднимквадратическим отклонением />, где s— так называемое число степеней свободы исогласно (8) с доверительной вероятностью рд = 0,997справедливо неравенство
/>.                                                                                              (40)
Число степеней свободы s= k— и — это разностьмежду числом интервалов k, выбираемых произвольно, и числомусловий и, которым должно удовлетворять эмпирическое распределениеслучайной величины. Этих условий обычно три: сумма всех /> равнаединице, математическое ожидание равно /> дисперсия равна/>
3.7 Сравнение математических ожиданий и дисперсий
Особойзадачей, возникающей при экспериментальном исследовании случайных величин,является сравнение экспериментальных математических ожиданий />идисперсий />, полученных в результате N1, и N2независимых измеренийслучайных вели­чин X1и X2.
Для проверкигипотезы />  или, что то же самое />, рассчитывается критерий [1-3]
/>.                                                                              (41)
Если />,гипотезу можно признать справедливой с доверительной вероятностью /> =0,9972 .
3.8Использование модели случайных стационарных процессов для анализа динамикичисленности птиц
Для анализа рядамноголетних наблюдений динамики численности птиц были применены методыстационарных случайных процессов.
Численность (плотность)птиц рассчитывалась на объединенную площадь лесов и на объединенную площадьвсех исследованных местообитаний.
С помощью методаавтокорреляции были получены коррелограммы процессов изменения численности птицза 12-летний период на объединенных площадях и площадях всех лесов. Подсчитаныкоэффициенты автокорреляции и частной автокорреляции (наибольший коэффициентавтокорреляции R1=0,63; частной автокорреляции Rpar 1=0,63). При исследованиикоррелограмм не обнаружились характеристические свойства моделей скользящейсредней и авторегрессионной модели, т.е. конечная протяженностьавтокорреляционной функции и частной автокорреляционной функции. Поэтому былавыбрана смешанная модель авторегрессии-скользящей средней (АРСС).
Экологический смыславторегрессионных параметров заключается в отражении периодичности изменениячисленности птиц в сезонном и многолетнем рассмотрении. Использованиескользящей средней можно обосновать, ссылаясь на известное высказывание о том,что одним из простейших методов, позволяющих элиминировать случайные колебанияэмпирической линии регрессии, является метод выравнивания способом скользящейсредней (Биоиндикация…, 1994).
Подобранная модель имеетвид:
                            xt = xt-1+at — θat-1,
где x – прогнозирующаяпеременная авторегрессии,
а – скользящей средней,  
θ – параметрысмешанной модели.
Проверка адекватностимодели, точнее, ее прогнозных качеств, производилась на усеченных рядах данных(10-летних). Прогноз рассчитывался на два года вперед и сравнивался сэмпирическими данными. Подсчет коэффициентов корреляции между опытными даннымии прогнозом показал сильную связь для лесных местообитаний (непараметрическийкоэффициент корреляции Спирмена R=0,81) и меньшую связь для объединенныхплощадей (R=0,53). Ряды остатков подобранных моделей не обнаруживают какой-либоостаточной структуры, судя по полученным коррелограммам остатков. Заниженныепрогнозные значения модели процесса не противоречат полученному нами ранеетренду небольшого многолетнего уменьшения численности птиц.
Построенная модель можетслужить для анализа и прогноза численности птиц.
Литература
 
1. ПотемкинВ.Г. МАТЛАБ. Справочное пособие, Изд-во «Диалог МИФИ», 1998 г.
2. Барабашева Ю.М.,Девяткова Г.Н., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. Некоторые модели динамики численностейвзаимодействующих видов с точки зрения математической статистики // Журналобщей биологии. – 1996. 57, N.2. – С.123 – 139.
3. Боголюбов А.Г.Математические модели эколого-генетических процессов конкуренции видов.Автореферат диссертации на соискание ученой степени докторафизико-математических наук. С.-Пб. 1995. – 34 с.
4. Болсуновский А.Я.Эколого-биофизические механизмы доминирования микроводорослей в культуре иводоеме. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора биологическихнаук. Красноярск. 1999. – 48 с.
5. Гаузе Г.Ф.Исследования над борьбой за существование в смешанных популяциях // Зоол. журн.– 1935. 14, N.4. – С.243 – 270.
6. ЗамолодчиковД.Г., Левич А.П., Рыбакова С.Ю. Исследование адекватности теоретико-категорноймодели фитопланктонных сообществ // Проблемы экологического мониторинга имоделирования экосистем. Т.15. Л.: Гидрометеоиздат. 1993. – С.234 – 246.
7. Зотин А.И., ЗотинА.А. Направление, скорость и механизмы прогрессивной эволюции:Термодинамические и экспериментальные основы. М.: Наука. 1999. – 320 с.
8. Крупаткина Д.К.Особенности роста фитопланктона в связи с содержанием биогенных элементов вклетках // Биология моря. – 1978. Вып.47. – С.18 – 25.
9. Кучай Л.А.Использование концепции клеточной квоты в моделях динамики фитопланктона. ДЕП8567-В85. ВИНИТИ. 1985. – 35 с.
10. Левич А.П.Структура экологических сообществ. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1980. – 181 с.
11. Левич А.П.,Булгаков Н.Г., Замолодчиков Д.Г. Оптимизация структуры кормовых фитопланктонныхсообществ. Под редакцией проф. В.Н.Максимова. М.: Товарищество научныхиздателей КМК. 1996б. – 136 с.
12. Минкевич И.Г.,Андреев С.В., Ерошин В.К. Влияние органического и минерального субстратов навеличину затрат клеток на поддержание // Микробиология. – 1998. 67, N.2. –С.176 – 181.
13. Печуркин Н.С.Энергетические аспекты развития надорганизменных систем. Новосибирск: Наука.1982. – 112 c.
14. Приц А.К. Принципстационарных состояний открытых систем и динамика популяций. Калининград. 1974.– 123 c.
15. Ризниченко Г.Ю.,Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. Учебноепособие. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1993. – 302 c.
16. Розен Р. Принципоптимальности в биологии. М.: Мир. 1969. – 215 c.
17. Свирежев Ю.М.Феноменологическая термодинамика взаимодействующих популяций // Журнал общейбиологии. – 1991. 52, N.6. – С.840 – 853.
18. Свирежев Ю.М.,Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. 1978. – 352 с.
19. Силкин В.А.,Хайлов К.М. Биоэкологические механизмы управления в аквакультуре. Л.: Наука.1988. – 230 c.
20. Страшкраба М.,Гнаук А. Пресноводные экосистемы. Математическое моделирование. М.: Мир. 1989.– 376 c.