Математическое моделирование потребностей регионов в
педагогических кадрах
Н.В.
Перцев, Омский государственный педагогический университет, кафедра математического
анализа
1. Введение
Потребность
некоторого региона в педагогических кадрах зависит от сочетания различных
факторов демографического и социально-экономического характера. Эти факторы
подвержены изменениям, которые влияют на количество учителей, работающих в
школах региона, поэтому количество учителей может быть недостаточным,
избыточным или соответствующим потребности в них. Соотношения между количеством
работающих учителей и потребностью в них могут регулироваться за счет изменения
некоторых параметров, численно выражающих влияние указанных факторов. К ним
относятся, в частности, такие параметры, как средняя нагрузка учителей, граница
допустимого возраста работы в школе (свыше пенсионного возраста), планы наборов
в педвузы и училища, включая обучение на коммерческой основе. Конкретные
значения этих параметров могут задаваться руководителями системы образования
под влиянием реальной демографической и социально-экономической ситуации в
регионе. В данной работе описан один из возможных подходов, позволяющий
определять наиболее рациональные значения перечисленных параметров.
Предлагаемый подход опирается на прогноз динамики количества учителей в школах
региона с помощью математической модели. Определение искомых параметров
сводится к постановке и решению задачи о нахождении оптимальных значений
некоторых из параметров модели.
2. Описание
модели
Динамика
педагогических кадров в школах региона определяется балансовыми соотношениями
между числом ежегодно увольняющихся и принимаемых на работу учителей. Пусть
моменты времени t = t0, t1, t2, означают начало очередного учебного
года, причем tk = tk-1+1, k=1, 2, , t0 - фиксировано, например, t0 =
1996. Примем, что величина y(t) задает общую численность учителей некоторой
специальности, например, учителей математики в рассматриваемом регионе.
Распределение численности учителей по возрасту будем описывать величинами
y0(t), y1(t), , ym(t), такими, что y(t) = mi=0 yi(t). Здесь
индекс i = 0, 1, , m означает условный возраст учителей, i=0 задает
наименьший возраст (для выпускников педвузов и училищ), i = 1 - следующий
возраст, , i = m задает границу допустимого возраста работы в школе
(этой границей может быть пенсионный или больший возраст). Пусть qi(t) -
средние доли ежегодно увольняющихся учителей условного возраста i, 0
qi(t) 1, 0 i m, (без учета
выхода на пенсию). Тогда величина
y0(t) =
m-1 i = 0
[(1 - qi(t - 1)) yi(t - 1)]
равна
общему количеству учителей, оставшихся работать в школах к началу очередного
учебного года t (здесь и далее выражение [a] обозначает целую часть числа a).
Прием
на работу в школы учителей условного возраста i будем описывать с помощью
неотрицательных функций fi(t), которые показывают, сколько учителей данного
условного возраста принято на работу в начале учебного года t, 0 i
m. Предположим, что возрастной состав учителей y0(t-1), y1(t-1), ,
ym(t-1) в учебный год t-1 известен. Тогда возрастной состав учителей в учебный
год t будет вычисляться по формулам
y0(t)
= f0(t), y1(t) = [(1 - q0(t-1)) y0(t-1)] + f1(t), ...............................................................,
yk(t) = [(1 - qk-1(t-1)) yk-1(t-1)] + fk(t), ................................................................,
ym(t) = [(1 - qm-1(t-1)) ym-1(t-1)] + fm(t).
Установим
вид функций fi(t), входящих в эти формулы. Пусть S(t) означает потребность
региона в учителях фиксированной специальности на начало учебного года t.
Значение S(t) определяется учебным планом по данному предмету и количеством
классов-комплектов в школах региона при условии, что все учителя работают на
ставку. Далее будем считать, что S(t) 1 при всех t t0.
Примем, что (t) описывает среднюю нагрузку учителей на начало учебного
года t. Предполагаем, что (t) может принимать некоторые значения из
диапазона 1 (t) 2, где параметры 1
0, 2 1 задают нижнюю и верхнюю допустимые
границы средней нагрузки учителей, например, 1 - 1,5 ставки. Зафиксируем S(t)/(t).
Тогда величина d(t) = S(t)/(t)-y0(t) описывает разность между
потребностью в учителях и их фактическим количеством на начало учебного года t.
При d(t) 0 оставшихся учителей хватает, и новых учителей на работу
можно не принимать. Если же d(t) 0, то можно либо увеличить (t),
либо принять новых учителей, которые заполнят вакантные места. Общее количество
вакантных мест V(t) и среднюю нагрузку (t) в учебном году t будем
задавать соотношениями: если S(t) 1 y0(t), то V(t) = 0, (t)
= 1, если же верно неравенство S(t) q1y0(t), то
полагаем, что
V(t)
= min{x}, x = 0, 1, 2, , 1(y0(t) + x) S(t)
2(y0(t) + x), (t) = S(t)/(y0(t) + V(t)).
Обозначим
через A0(t), A1(t), , Am(t) количество учителей соответствующего
условного возраста, обращающихся для трудоустройства в школы региона, по
состоянию на начало учебного года t. Общее число A(t) учителей, принятых на
работу к началу учебного года t, очевидно, равно
A(t) = min {
m i = 0
Ai(t), V(t)}.
Весь
набор условных возрастов 0 i m предcтавим в виде списка (i0, ,ik,
, im), который устанавливает приоритетность приема на работу учителей
определенного возраста. Например, если i0 = 0, то в первую очередь на работу
принимаются молодые специалисты (выпускники педвузов и училищ). Далее полагаем
fi0(t)
= min{Ai0(t), max{0, A(t)}}, fi1(t) = min{Ai1(t), max{0, A(t) - fi0(t)}},
fik(t) =
min{Aik(t), max{0, A(t) -
k-1 n=0
fin(t)}},
2
k m.
Заметим,
что величина A0(t) может быть представлена в виде A0(t) = (t) +
[pM(t-4)], где (t) 0 описывает численность молодых
специалистов, прибывающих на работу из других регионов; M(t-4) 0
задает план набора студентов в педвузы и училища, расположенные в данном
регионе; параметр 0 p 1 означает долю первоначально принятых
на учебу студентов, успешно закончивших курс обучения и направляющихся на
работу в школы региона (рассматривается пятилетний цикл обучения).
В
завершение зададим начальные условия:
yi(t0) = ci, 0 i m, M(t) = B(t), t0-4 t t0,
где
ci 0 означают начальную численность учителей в год t0; 0 i
m, B(t0-j) - планы наборов в педвузы и училища региона в течение пяти
предшествующих лет; 0 j 4, включая год t0.
Представленные
выше соотношения позволяют исследовать динамику численности учителей в течение
заданного периода времени t0 t T. Для проведения конкретных
расчетов необходимо иметь значения начальных данных и параметров модели. Все
параметры модели можно разбить на две группы. Первая группа параметров -
функции S(t), qi(t), Ai(t), 0 i m, (t) - отражает
демографическую и социально-экономическую ситуацию в регионе. При решении
задачи по прогнозу численности учителей на период 5 - 10 лет эти функции могут
быть приняты постоянными либо могут описываться с помощью простейших, например,
линейных зависимостей. Опыт обработки реальных данных [1] указывает на
удовлетворительное описание этих функций с помощью линейных зависимостей.
Значение параметра p также может быть установлено по статистическим данным.
Вторая группа параметров - m, 1, 2, MT={M(t-4), t0 t
T } - может задаваться руководством системы образования региона на основе
анализа данных по фактическому количеству работающих учителей и потребности в
них. Один из способов выбора наиболее рациональных значений этих параметров
описан в следующем разделе.
3. Вычисление
оптимальных значений параметров модели
Исходя
из смысла рассматриваемой задачи, будем выбирать такие значения второй группы
параметров модели, чтобы количество учителей y(t) было бы как можно ближе к
потребности в них S(t)/(t), t0 t T. В качестве меры
такой близости будем использовать максимальную за некоторый период Q = {t
t0 : T- t T} разность между S(t)/(t) и y(t).
Иначе говоря, введем функционал:
F
= F(m, 1, 2, MT) = maxtQ S(t)/(t) -
y(t),
минимальное
значение Fmin 0 которого требуется найти. При решении экстремальной
задачи F min необходимо учитывать, что возможные значения второй
группы параметров модели ограничены сверху :
m m*, 1 2 *, M(t)
M*, tQT
(1)
Здесь
m* - максимально допустимый возраст работы в школе; * - максимальная
средняя нагрузка учителей; M* - максимальный план набора в педвузы и училища
региона. Кроме того, в некоторых случаях планы наборов должны учитывать
особенности социально-экономических и демографических условий региона в виде:
G(T1,T2) =
T2 t=T1
(t) M(t) G*,
(2)
где
величина G(T1,T2) может означать, например, суммарную плату за обучение
студентов в течение периода T1 t T2, количество
предоставляемых квартир и т. д.; G* - их максимально допустимые значения; (t)
0 - коэффициенты пропорциональности, T1 t T2.
Анализ
рассматриваемой задачи показал, что оптимальные значения параметров модели
должны определяться по следующей схеме: а)
если существуют параметры m,1,2,MT, удовлетворяющие
ограничениям (1), (2), причем F(m,1,2,MT)1, то среди
них выбираются m,1,2, имеющие наименьшие значения, и MT,
минимизирующие G(T1,T2); б) если для
всех параметров m,1,2,MT, удовлетворяющих ограничениям (1),
(2), верно неравенство F(m,1,2,MT)1, то ищется решение
задачи Fmin с заданными ограничениями; в случае нестрогого экстремума
параметры выбираются по способу, указанному в пункте а.
Вычисление
искомых параметров проводится в три этапа: 1) параметры m,1,2
фиксируются, M(t) задается в виде линейной функции ML(t) = u + t, где
u,w - целочисленные параметры, подлежащие определению; 2) при фиксированных m,1,2
функция M(t) подбирается путем перебора возможных значений в некоторой
окрестности ML(t); 3) окончательные значения всех параметров уточняются в
режиме диалога с ЭВМ. Проведенный вычислительный эксперимент показал вполне
приемлемую работу данного алгоритма.
Таким
образом, приведенные модель и метод определения оптимальных значений ее
параметров дают решение поставленной в работе задачи. Применение модели к
исследованию потребностей конкретного региона в педагогических кадрах
предполагает наличие статистических данных, позволяющих оценивать ее параметры
S(t), qi(t), Ai(t), 0 i m, (t), p. Эти данные должны
накапливаться и храниться в соответствующих базах данных, а также быть
доступными для обработки.
В
ряде случаев расчеты могут проводиться по неполным данным на основе упрощенных
вариантов модели. Минимальный набор данных включает в себя следующие
компоненты: динамика числа классов-комплектов; средние доли ежегодно увольняющихся
учителей и начальное количество учителей (независимо от возраста);
распределение численности учителей по возрасту, близкому к предпенсионному.
Остальные параметры модели могут варьироваться в некоторых пределах, что
позволяет определить лишь интервальные оценки для искомых оптимальных значений
параметров второй группы. Очевидно, что в этих случаях результаты
прогнозирования динамики количества учителей на заданный период t0 t
T могут иметь весьма приближенный характер.
Список литературы
Перцев
Н.В., Жуков С.И. Социально-экономические исследования в народном образовании
Северо-Казахстанской области // Отчет по НИР Петропавловского пед. ин-та.
Петропавловск, 1993. 96 с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.omsu.omskreg.ru/