Задача № 1
Имеются следующие выборочные данные попредприятиям одной из отраслей промышленности в отчетном году (выборка 20%-тная,механическая), млн. руб.:
Таблица 1 – Исходные данные
№
предприятия
Выручка от продажи продукции
Затраты на производство и реализацию продукции
№ предприятия
Выручка от продажи продукции
Затраты на производство и реализацию продукции 1 36,45 30,255 16 36,936 31,026 2 23,4 20,124 17 53,392 42,714 3 46,540 38,163 18 41,0 33,62 4 59,752 47,204 19 55,680 43,987 5 41,415 33,546 20 18,2 15,652 6 26,86 22,831 21 31,8 26,394 7 79,2 60,984 22 39,204 32,539 8 54,72 43,776 23 57,128 45,702 9 40,424 33,148 24 28,44 23,89 10 30,21 25,376 25 43,344 35,542 11 42,418 34,359 26 70,720 54,454 12 64,575 51,014 27 41,832 34,302 13 51,612 41,806 28 69,345 54,089 14 35,42 29,753 29 35,903 30,159 15 14,4 12,528 30 50,220 40,678
По исходнымданным:
1. Построимстатистический ряд распределения предприятий по признаку прибыль отпродаж, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Построимграфик полученного ряда распределения. Графически определим значения моды имедианы.
3. Рассчитаемхарактеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли отпродаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию,коэффициент вариации.
4. Вычислимсреднюю арифметическую по исходным данным, сравним ее с аналогичнымпоказателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения.
Решение:
1. Рассчитаем прибыль от продаж продукции, какразность от продажи продукции и затратами на производство и реализациюпродукции
В результате получим новую таблицу:
Таблица 2 – Расчет прибыли от продаж№ предприятия Выручка от продажи продук-ции Затраты на производство и реализацию продукции Прибыль от продаж № предприятия Выручка от продажи продукции Затраты на производство и реализацию продукции Прибыль от продаж 1 36,45 30,255 6,195 16 36,936 31,026 5,910 2 23,4 20,124 3,276 17 53,392 42,714 10,678 3 46,54 38,163 8,377 18 41 33,62 7,380 4 59,752 47,204 12,548 19 55,68 43,987 11,693 5 41,415 33,546 7,869 20 18,2 15,652 2,548 6 26,86 22,831 4,029 21 31,8 26,394 5,406 7 79,2 60,984 18,216 22 39,204 32,539 6,665 8 54,72 43,776 10,944 23 57,128 45,702 11,426 9 40,424 33,148 7,276 24 28,44 23,89 4,550 10 30,21 25,376 4,834 25 43,344 35,542 7,802 11 42,418 34,359 8,059 26 70,72 54,454 16,266 12 64,575 51,014 13,561 27 41,832 34,302 7,530 13 51,612 41,806 9,806 28 69,345 54,089 15,256 14 35,42 29,753 5,667 29 35,903 30,159 5,744 15 14,4 12,528 1,872 30 50,22 40,678 9,542
2. Сначалавычислим величину интервала группировочного признака (прибыль от продаж):
i=(х максимальноезначение–х минимальное значение) /5 групп =
= (18,216 –1,872)/5=3,2688 млн.руб.
Таблица 3 — Распределение предприятий по признаку прибыль от продаж
№
группы
Группы предприятий по прибыли от продаж.
млн.руб.
x
Число предприятий
f
%
к итогу
Накоп-ленная частость
S
Середина интервала
x` x`f I 1,872-5,1408 6 20 6 3,5064 21,0384 II 5,1408-8,4096 13 43 19 6,7752 88,0776 III 8,4096-11,6784 5 17 24 10,044 50,22 IV 11,6784-14,9472 3 10 27 13,3128 39,9384 V 14,9472-18,216 3 10 30 16,5816 49,7448 Итого: 30 100 249,0192
Результатыгруппировки показывают, что наибольшая часть предприятий, т.е. 43 % имеетприбыль от продаж в размере от 5,14 до 8,41 млн.руб.
3. Построимграфик полученного ряда распределения:
/>
Рис.1.Гистограмма распределения предприятий по прибыли от продаж
МодаМо — это величина признака(варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. этоварианта, имеющая наибольшую частоту. Моду находим по формуле:
/>
где:/>минимальнаяграница модального интервала;
/> - величинамодального интервала;
/>{частоты модальногоинтервала, предшествующего и следующего за ним
/> = 5,1408+3,2688 *(13-6/((13-6)+(13-5)) =6,6662 млн.руб.
/> Рис.2.Графическое определение моды в распределении предприятий по прибыли от продаж
Медиана Ме — варианта,находящаяся в середине ряда распределения. Медиану находим по формуле:
/>
где:/> — нижняяграница медианного интервала;
/> - величина медианногоинтервала;
/> - полусуммачастот ряда;
/> - сумманакопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
/> - частотамедианного интервала.
/>= 5,1408+3,2688*((0,5*30-6)/13) =7,4038 млн.руб.
/>
Рис.3.Графическое определение медианы в распределении предприятий по прибыли отпродаж
Значит,наиболее часто встречающееся значение находится в пределе 6,67 млн.руб., асерединное значение 7,4 млн.руб.
4. Рассчитаемхарактеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли отпродаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию,коэффициент вариации.
Средняяарифметическая взвешенная
xcр=∑xf/∑f = 249,02/30 = 8,3 млн.руб. в среднем составляет прибыльот продаж
Среднеквадратическоеотклонение
σ = />=/>= 3,9347 млн.руб.
(на даннуювеличину в среднем отклоняются значения ряда распределения от среднегозначения)
Таблица 4
№
группы
Группы предприятий по прибыли от продаж.
млн.руб.
x
Число предприятий
f
%
к итогу
Середина интервала
x`
|xi-xcp|
xcp=8,3
(xi-xcp)2*f I 1,872-5,1408 6 20 3,5064 4,7936 137,8716 II 5,1408-8,4096 13 43 6,7752 1,5248 30,2252 III 8,4096-11,6784 5 17 10,044 1,744 15,20768 IV 11,6784-14,9472 3 10 13,3128 5,0128 75,38449 V 14,9472-18,216 3 10 16,5816 8,2816 205,7547 Итого: 30 100 464,4437
Дисперсия
/>
Коэффициентвариации
υ =σ/xcp *100 = 3,9347/8,3 * 100 = 47,41 % — значениехарактеризующее однородность ряда. Так как коэффициент вариации превышает 33 %,то делаем вывод, что наш ряд распределения не однороден.
Выводы:
1. Средняявеличина прибыли от продажи продукции на предприятии составляет 8,301 млн. руб.
2. Среднеквадратическоеотклонение показывает, что значение признака в совокупности отклоняется отсредней величины в ту или иную сторону в среднем на 3,9347 млн. руб
3. Совокупностьданных неоднородна, т.к. коэффициент вариации больше 33%.
Задача № 2
Связь между признаками – затраты напроизводство и реализацию продукции и прибыль от продаж.
1. Установим наличие и характер связи между признаками затратына производство и реализацию продукции и прибыль от продаж,образовав заданное число групп с равными интервалами по обоим признакам,методами:
а) аналитическойгруппировки,
б) корреляционной таблицы.
Решение:
1. Прибыль предприятия напрямую зависит от затрат напроизводство и реализацию продукции, тогда обозначим затраты независимойпеременной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждомотдельном случае рассматривается одно предприятие, то на прибыль предприятия,кроме затрат на производство и реализацию продукции, может влиять множествофакторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать, чтосвязь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитическойгруппировки. Для этого сгруппируем предприятия по затратам, а интервалвысчитаем по формуле:
е=(хmax – xmin)/k,
где k– число выделенных интервалов.
е=(60,984-12,528)/5=9,691млн.руб.
Получим следующие интервалы:
12,528-22,219; 22,219-31,910; 31,910-41,602;41,602-51,293; 51,293-60,984
Таблица 5
Группировка предприятий по затратам, млн.руб.
№ предприятия
Затраты на пр-во и реализ., млн.руб
Х
Прибыль млн.руб.
У
У2 I 12,528-22,219 15 12,528 1,872 3,504384 20 15,652 2,548 6,492304 2 20,124 3,276 10,73218 /> 3 48,304 7,696 20,7289 В среднем на 1 предприятие 16,101 2,565 /> II 22,219-31,910 6 22,81 4,029 16,23284 24 23,89 4,55 20,7025 10 25,376 4,834 23,36756 21 26,394 5,406 29,22484 14 29,753 5,667 32,11489 29 30,159 5,744 32,99354 1 30,255 6,195 38,37803 16 31,026 5,91 34,9281 /> 8 219,663 42,335 227,942 В среднем на 1 предприятие 27,458 5,292 /> III 31,910-41,602 22 32,539 6,665 44,42223 9 33,148 7,276 52,94018 5 33,546 7,869 61,92116 18 33,62 7,38 54,4644 27 34,302 7,53 56,7009 11 34,359 8,059 64,94748 25 35,542 7,802 60,8712 3 38,163 8,377 70,17413 30 40,678 9,542 91,04976 /> 9 315,897 70,5 557,491 В среднем на 1 предприятие 35,10 7,833 /> IV 41,602-51,293 13 41,806 9,806 96,15764 17 42,714 10,678 114,0197 8 43,776 10,944 119,7711 19 43,987 11,693 136,7262 23 45,702 11,426 130,5535 4 47,204 12,548 157,4523 12 51,014 13,561 183,9007 /> 7 316,203 80,656 938,581 В среднем на 1 предприятие 45,172 11,522 /> V 51,293-60,984 28 54,089 15,256 232,7455 26 54,454 16,266 264,5828 7 60,974 18,216 331,8227 /> 3 169,517 49,738 829,151 В среднем на 1 предприятие 56,506 16,579 />
ИТОГО
1069,615
250,925 2573,89 />
В среднем
35,65
8,364
Теперь по данным рабочейтаблицы строим итоговую аналитическую таблицу 6:
Таблица 6
Группы предприятий по затратам, млн.руб
Число предприятий
Затраты на производство и реализацию продукции
Прибыль, млн.руб
Всего
В среднем на одно пр-тие
Всего
В среднем на одно пр-тие 12,528-22,219 3 48,304 16,101 7,696 2,565 22,219-31,910 8 219,663 27,458 42,335 5,292 31,910-41,602 9 315,897 35,1 70,5 7,833 41,602-51,293 7 316,203 45,172 80,656 11,522 51,293-60,984 3 169,517 56,506 49,768 16,579
∑
30
1070
35,65
250,925
8,364
По данным аналитическойтаблицы мы видим, что с приростом затрат на производство и реализациюпродукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, междуисследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.
2. Строим расчетную таблицу 7:
Таблица 7Группы предприятий по затратам, млн.руб. Число пр-тий Прибыль, млн.руб
/> /> />
/>
/> /> />
/>
f Всего
В среднем на одно пр-тие,
‾yi /> /> 12,528-22,219 3 7,696 2,565 -5,799 33,628 100,885 /> 22,219-31,910 8 42,335 5,292 -3,072 9,437 75,497 /> 31,910-41,602 9 70,5 7,833 -0,531 0,282 2,538 /> 41,602-51,293 7 80,656 11,522 3,158 9,972 69,812 /> 51,293-60,984 3 49,768 16,579 8,215 67,486 202,459 />
Сумма
30
250,925
8,364
451,19 />
Вычисляем коэффициентдетерминации по формуле:
/>
где /> — межгрупповаядисперсия, находящаяся по формуле:
/>
/> - общаядисперсия результативного признака, находящаяся по формуле:
/>
Теперь находиммежгрупповую дисперсию: />=451,19/30=15,04
Для нахожденияобщей дисперсии, нужно рассчитать:
y2=2573,89/30=85,796
/>=85,796-(8,364)2=15,84
Вычисляемкоэффициент детерминации:
η2=εy2/δy2
η2=15,04/15,84=0,95 или 95%
Следовательно, на 95%вариация прибыли предприятия зависит от вариации затрат на производство иреализацию продукции и на 5% зависит от неучтенных факторов.
Эмпирическое корреляционноеотношение составляет:
η = √0,95=0,975
Это говорит о том, чтокорреляционная связь играет существенную роль между затратами и суммой прибыли.
Задача № 3
По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:
1. Ошибку выборки средней суммы прибыли от продаж играницы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли в генеральной совокупности.
2. Ошибку выборки доли организаций с суммой прибыли 14,948млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.
Решение:
Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммыприбыли на одно предприятие по следующей формуле:
/>
если Р=0,683,то t=1. Т.к. выборка механическая 20%-ная, то N=150
Δх=1*√(15,472/30)*(1-30/150)=0.7млн. руб.
Ошибкавыборки для средней суммы прибыли на одно предприятие Δх=0,7млн.руб.
Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим поформуле :
/>/> />
8,301- 0,7≤ ≤8,301+0,7
/>
7,601≤ ≤9.001
С вероятностью 0,683 можноутверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределахот 7,601 млн. руб. до 9,001 млн. руб.
Доля предприятий со среднейприбылью свыше 16,6 млн.руб. находится в пределах :
/>
Выборочная доля составит:
w=3/30=0,1или 10%
Ошибку выборки определяемпо формуле:
/>
где N-объем генеральнойсовокупности. Т.к. выборка 20%-ная и в выборку вошло 30 предприятий, то N=150.
Подставляя данные в формулу, получим:
Dw=1√(0,1(1-0,1)/30)*(1-30/600)
∆w=0,0024
Следовательно свероятностью 0,683 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью >14,948 млн. руб. будет находиться в следующих пределах:
0,1-0,0024≤∆ω≤0,1+0,0024
0,098≤∆ω≤0,1024
или от 9,8% до 10,24%.
Задача №4
Имеются следующие данные поорганизации о прибыли от продажи продукции и ее рентабельности:
Таблица 8
Вид продукции
Прибыль от продажи продукции, млн. руб.
Изменение рентабельности в отчетном периоде по сравнению с базисным (+,-), %
Базисный период
Отчетный период А 0,8 0,88 10 Б 0,5 0,62 12 В 1,1 1 -2
Определите:
1. Общий индекс рентабельности реализованной продукции.
2. Абсолютное изменение прибыли от продажи продукции врезультате роста рентабельности.
Сделать выводы.
Решение:
Дляпроведения необходимых расчетов построим дополнительную таблицу 9:
Таблица 9Вид про-дук-ции Прибыль от продажи продукции, млн. руб.
Изменение рентабельности в отчетном периоде по сравнению с базисным
(+,-), % Rотч — Rбаз I рент = Rотч/Rбаз
Сотч/
Сбаз Базисный период Отчетный период А 0,8 0,88 10 1,1 1,00000 Б 0,5 0,62 12 1,12 1,10714 В 1,1 1 -2 0,98 0,92764 ИТОГО 2,4 2,5
1) Индексрентабельности – это отношение рентабельности отчетного периода к ее уровню вбазисном периоде.
Дляопределения уровня рентабельности нам необходимо знать величину прибыли отпродажи продукции и ее себестоимость. Поскольку себестоимость неизвестна, ноимеются индивидуальные индексы рентабельности по трем видам продукции, мы можемопределить темп роста себестоимости в отчетном году по сравнению с базисным(Сотч/Сбаз).
Для того,чтобы определить общий индекс рентабельности – нужно суммировать показатели повсем трем видам продукции:
/>
/>, />
/>
Итак, общийиндекс рентабельности составил 1,03, то есть в отчетном периоде по сравнению сбазисным общий уровень рентабельности всей реализованной продукции увеличилсяна 3%.
2) Абсолютноеизменение прибыли от продажи продукции в результате роста рентабельности:
Из таблицывидно, что прибыль от продажи всех трех видов продукции в отчетном периоде посравнению с базисным увеличилась на 0,1 млн. руб. (2,5-2,4), что позволяет намсделать следующий вывод:
Рост рентабельностипродукции в отчетном периоде по сравнению с базисным на 3 % (по продукции А, Б,В) позволил увеличить прибыль от продажи этой продукции на 100 тысяч рублей.