/>Задача 1
Магазин торгует подержанными автомобилями. Статистика ихпотребительских цен накапливается в базе данных. В магазин пригоняют на продажуочередную партию небольших однотипных автомобилей. Как назначить их цену?Статистический подход позволяет дать прогноз среднего значения цены идоверительных интервалов для него.
Ценаавтомобиля зависит от множества факторов. К числу объясняющих переменных можноотнести, например, модель автомобиля, фирму-производитель, регион производства(Европа, США, Япония), объем двигателя, фирму-производитель, регионпроизводства (Европа, США, Япония), объем производителя, количество цилиндров,время разгона до 100 км/час, пробег, потребление горючего, год выпуска и т.д.Первые из названных переменных очень важны при ценообразовании, но они –качественные. Традиционный регрессионный анализ, рассматриваемый в этомзадании, предназначен для количественных данных. Поэтому, не претендуя навысокую точность, не будем включать их в эконометрическую модель. Сделаемвыборку, например, только для автомобилей одной фирмы-производителя. Пусть,например, оказалось, что продано n= 16таких автомобилей. Для упрощения выберем из базы данных цены yi (i = 1......16) проданных автомобилей и только две объясняющиепеременные: возраст хi1 (i = 1, …..16) в годах и мощностьдвигателя хi2 (i = 1, ….16) в лошадиных силах. Выборка представлена втаблице:I номер
yi, цена, тыс. у.е.
хi1 возраст, лет
хi2, мощность двигателя
1 11 5,0 155 2 6 7,0 87 3 9,8 5,0 106 4 11 4,0 89 5 12,3 4,0 133 6 8,7 6,0 94 7 9,3 5,0 124 8 10,6 5,0 105 9 11,8 4,0 120 10 10,6 4,0 107 11 5,2 7,0 53 12 8,2 5,0 80 13 6,5 6,0 67 14 5,7 7,0 73 15 7,9 6,0 100 16 10,5 4,0 118
1. Построить поля рассеяния между ценой y и возрастом автомобиля х1,между ценой y и мощностью автомобиля x2. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезуо виде статистической зависимости y от х1 и y от х2.Найти точечные оценки независимых параметров
а0а1 модели y = а0+ а1 х1 + ε и
β1β2 модели y = β0+ а1х1 + δ
2. Проанализировать тесноту линейной связи между ценой ивозрастом автомобиля, а также ценой и мощностью двигателя х2. Дляэтого рассчитать коэффициенты парной корреляции ryx1 и ryx2 и проверить их отличие от нуля при уровне значимостиα = 0,1.
3. Проверить качество оценивания моделей на основекоэффициента детерминации, F- и t- критериев при уровне значимостиα = 0,05 и α = 0,10.
4. Проверить полученные результаты с помощью средств Microcoft Excel.
5. С помощью уравнений регрессии рассчитать доверительныеинтервалы для среднего значения цены, соответствующие доверительной вероятности0,9. Изобразить графически поля рассеяния, линии регрессии и доверительныеполосы.
На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей.Их возраст х1 равен 3 года. Мощность двигателя х2 = 165л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения ценыпоступивших автомобилей по моделям y = а0+ а1 х1 + ε и y = β0+ а1х1 + δ с доверительной вероятностью 0,9.
Решение:
На основе поля рассеяния, построенного на основе табл. 1,выдвигаем гипотезу о том, что зависимость цены y от возраста автомобиля x1 описываетсялинейной моделью вида
y = а0+ а1 х1 + ε
где а0и а1 – неизвестные постоянныекоэффициенты, а ε – случайная переменная (случайное возмущение),отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.
/>
Рисунок 1 – Поле рассеяния «возраст автомобиля-цена»
Аналогично, на основе анализа поля рассеяния (рис. 2), такжепостроенного на основе таблицы 1, выдвигаем гипотезу о том, что зависимостьцены y от мощности автомобиля x2описывается линейной моделью вида
y = β0+ β1 х1 +δ
где β0и β1 – неизвестныепостоянные коэффициенты, а ε – случайная переменная (случайноевозмущение), отражающая влияние неучтенных факторов и погрешностей измерений.
/>
Рисунок 2 – Поле рассеяния «мощность автомобиля-цена»
На основе табл. 1 исходных данных для вычисления оценокпараметров моделей составляется вспомогательная табл. 1.1. Воспользуемся формуламии левой частью таблицы 1.1. для нахождения оценок а0и а1.
Так как n = 16,получаем
/>= 145/16=9.0625
/> = 84.0/16=5.25
/> = 27.5625
/>= 365
/> = 460i
yi
xi1
xi12
xi1 yi
yi2 i
yi
xi2
xi22
xi2 yi
1 11 5.0 25 55 121 1 11 155 24025 1705 2 6 7.0 49 42 36 2 6 87 7569 522 3 9,8 5.0 25 49 96,04 3 9,8 106 11236 1038,8 4 11 4.0 16 44 121 4 11 89 7921 979 5 12,3 4.0 16 49,2 151,29 5 12,3 133 17689 1635,9 6 8,7 6.0 36 52,2 75,69 6 8,7 94 8836 817,8 7 9,3 5.0 25 46,5 86,49 7 9,3 124 15376 1153,2 8 10,6 5.0 25 53 112,36 8 10,6 105 11025 1113 9 11,8 4.0 16 47,2 139,24 9 11,8 120 14400 1416 10 10,6 4.0 16 42,4 112,36 10 10,6 107 11449 1134,2 11 5,2 7.0 49 36,4 27,04 11 5,2 53 2809 275,6 12 8,2 5.0 25 41 67,24 12 8,2 80 1600 656 13 6,5 6.0 36 39 42,25 13 6,5 67 4489 435,5 14 5,7 7.0 49 39,9 32,49 14 5,7 73 5329 416,1 15 7,9 6.0 36 47,4 62,41 15 7,9 100 10000 790 16 10,5 4.0 16 42 110,25 16 10,5 118 13924 1239 Сумма 145,1 84.0 460 726,2 1393,15 145,1 1611 167677 15327,1
Следовательно,
а1 = />
а0 = 9,0625- (-1,844) * 5.25 = 18,74
Таким образом,
/>
Аналогично находятся оценки коэффициентов второйрегрессионной модели y =β0+ β1 х1 + δ. При этомиспользуется правая часть таблицы
/> = 1611/16=100,6875
/> = 10137.97
/>= 153271,1
/> = 167677
β1 = />
β0 = 9,0625- 0,0099 * 100.6875= 2.0355
Окончательно получаем:
/>
Подставляем соответствующие значения в формулу:
ryx = />
ryx1 = />= 0,915
ryx2 = />= 0.8
В нашей задаче t0.95;14 = 1,761
Для ryx1 получаем
/> = />= 0,955
Условие не выполняется, следовательно, коэффициент парнойкорреляции не значим, гипотеза отвергается, между переменными отсутствуетлинейная связь
/> = />= 4.98>1.761
Условие выполняется, следовательно, коэффициент парнойкорреляции значимый, гипотеза подтверждается, между переменными существуетсильная линейная связь
Коэффициент парной корреляции ryx связан с коэффициентом а1 уравнениярегрессии
/> следующим образом
ryx = a1 Sx/Sy
где Sx, Sy – выборочные среднеквадратичныеотклонения случайных переменных х и y соответственно, рассчитывающиеся по формулам:
Sx1 = √ Sx12
Sx12 = 1/n ∑(xi — />)2
Sy = √ Sy2
Sy2 = 1/n ∑(yi — />)2
ryx1 = 0,915
ryx2 = 0,8
R2 = ryx12 = 0,8372
Вариация на 83,72 % объясняется вариацией возраста автомобиля
R2 = ryx22 = 0,64
Вариация на 64 % объясняется вариацией мощности двигателяавтомобиля
Рассчитаем фактическое значение F- статистикиФишера по формуле:
F=/>
F=/>= 0,768 длязависимости y от х1
F=/>= 0,285длязависимости y от х2
Fт = 4,6
Поэтому для зависимостей y от х1и y от х2 выполняется неравенство
Fт
гипотеза отклоняется и признается статистическая значимостьуравнения регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессиииспользуется t-критерий Стьюдента.
Для зависимости y от х1:
/> = √F = √0,768 = 0,876
Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевуюгипотезу равенства нулю а1
Для зависимости y от х2:
/> = √F = √0,285 = 0,533
Поскольку это значение меньше 1,761, то принимаем нулевуюгипотезу равенства нулю а1
Проверка с помощью Microsoft ExcelОценка параметра а1 -1,87237 Оценка параметра а0 18,89868 Среднеквадратическое отклонение 0,200234 Среднеквадратическое отклонение а0 1,073633
Коэффициент детерминации R2 0,861987 Среднеквадратическое отклонение y 0,872798 F-Статистика 87,43972 Число степеней свободы 14 Регрессионная сумма квадратов 66,60951 Остаточная сумма квадратов 10,66487 Оценка параметра а1 0,0698523 Оценка параметра а0 2,0354973 Среднеквадратическое отклонение 0,013746 Среднеквадратическое отклонение а0 1,4271948
Коэффициент детерминации R2 0,648444 Среднеквадратическое отклонение y 1,3929996 F-Статистика 25,822959 Число степеней свободы 14 Регрессионная сумма квадратов 50,108105 Остаточная сумма квадратов 27,16627
/>
/>
Рассчитаем доверительный интервал среднегозначения цены для y = a0+ a1x1/
: ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,
где ув, ун – соответственно верхняя инижняя границы
доверительного интервала;
ŷ(х0) – точечный прогноз;
t1-α/2,n-2 –квантильраспределения Стьюдента;
(1-α/2) – доверительная верояность;
(n-2) – числостепеней свободы;
: ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,
ta = 2,57
Доверительный интервал для уn:
Нижняя граница интервала:
/> = 18,74-1,844*5 = 9,52
Верхняя граница интервала:
/> = 18,74-1,844*7 = 5,832
/>
Sx12 = 1/n ∑(xi — />)2 = 19/16 = 1,1875
Sx1= 1,089
xi1
xi1 — хср1
(xi1 — хср1)2
х2
х1х2 5.0 -0,25 0,0625 155 775 7.0 1,75 3,0625 87 609 5.0 -0,25 0,0625 106 530 4.0 -1,25 1,5625 89 356 4.0 -1,25 1,5625 133 532 6.0 0,75 0,5625 94 564 5.0 -0,25 0,0625 124 620 5.0 -0,25 0,0625 105 525 4.0 -1,25 1,5625 120 480 4.0 -1,25 1,5625 107 428 7.0 1,75 3,0625 53 371 5.0 -0,25 0,0625 80 400 6.0 0,75 0,5625 67 402 7.0 1,75 3,0625 73 511 6.0 0,75 0,5625 100 600 4.0 -1,25 1,5625 118 472 19 8175
myx= S/>1,089*√1/16 + 1,5625/19 = 0,414
5,832 – 2,57*0,414 ≤ yn ≤ 5,832 + 2,57*0,414
На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей.Их возраст xp1 = 3 года. Мощность двигателя xp2 = 165 л.с.
Рассчитаем точечный и интервальный прогноз среднего значенияцены поступивших автомобилей по первой парной регрессионной модели
y = β0+ β1 х1 +δ
Подставляем xp1в уравнение регрессии: />
Получим точечный интервальный прогноз среднего цены.
/> (xp1)= 18,74 – 1,844*3 = 13,208 тыс. у.е.
Подставляем точечный интервальный прогноз среднего цены/> (xp1) = 12,3 тыс. и xp1 = 3 года в уравнения границ доверительного интерваларегрессии. Получим интервальный прогноз с доверительной вероятностью 0,9
ŷв.н. = 13,208±2,57*0,414 или ŷн = 12,14 тыс. у.е.,
ŷв = 14,27 тыс. у.е.Задача 2
Найти по методу наименьших квадратов оценки коэффициентовмножественной регрессионной модели
y = а0+ а1 х1 + а2х2 +ε
Проверить качество оценивания моделей на основе коэффициентадетерминации и F-критерия.Пояснить их содержательный смысл.
Проверить полученные в заданиях результаты с помощью средств Microcoft Excel.
Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значенияцены поступивших автомобилей по множественной модели y = а0+ а1 х1 + а2х2 +ε с доверительной вероятностью 0,9. Как в задаче 1, возрастпоступивших автомобилей х1 = 3 года, мощность двигателя х2= 165 л.с.
На основе полученных в задачах 1-2 статистическиххарактеристик провести содержательную интерпретацию зависимости цены автомобиляот возраста и мощности двигателя.
Сумма произведений ∑х1х2 равна:8175
ХТХ = /> ХТY =/>
Найдем матрицу (Хт Х), обратную матрице ХТХ.
Для этого сначала вычислим определитель.
ХТХ =16*460*167667+1611*84*8175+1611*84*8175-1611*460*1611-84*84*167677-16*8175*8175= 1234102720+1106273700+1106273700-1193847660-1183128912-1069290000 = 383548
Определим матрицу алгебраических дополненийЗадача 3
В таблице представлены ежегодные данные объема продажавтомагазина. Построить график во времени. Выдвинуть гипотезу о наличии тренда.Оценить неизвестные параметры линейной трендовой модели z = а0а1t +ε с методом наименьшихквадратов.
Таблица 2 Ежегодные объемы продажt годы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
zt, продажи, тыс.у.е. 350 314 300 293 368 393 339 443 467 457 488 424
Для найденного уравнения тренда построить доверительнуюполосу при уровне доверия 0,9. Изобразить графически точечный и интервальныйпрогноз среднего объема продаж.
В таблице 3 объемы продаж zt в тыс. у.е. детализированы помесяцам. Построить график объема продаж во времени. Выдвинуть гипотезу оналичии линейного тренда и сезонных колебаний объема продаж:
z1 = а0а1t + а2cos (2πt/12) + а3sin (2πt/12) + εt
Оценить параметры этой модели методом наименьших квадратов.
По уравнению трендово-сезонной модели найти точечный прогнозсреднего объема продаж на 12 месяцев и интервальный прогноз среднего объемапродаж на 1 месяц вперед при доверительной вероятности 0,9.
Ежемесячные объемы продажt, годы
Zt t
ytt
t2 1 2 3 4 5 1 350 1 350 1 2 314 2 728 4 3 300 3 900 9 4 293 4 1172 16 5 368 5 1840 25 6 393 6 2358 36 7 339 7 2373 49 8 443 8 3544 64 9 467 9 3736 81 10 457 10 4570 100 11 488 11 5368 121 12 424 12 5088 144 78 4636 78 32027 650
∑t = ½*12 (12+1) = 78
∑t2 = 1/6*12 (12+1) (24+1)= 650
а0 = />515294/1716=283,61
а1 =/>=22716/1716=15,804
Следовательно, уравнение тренда (регрессии) будет иметь вид:
y= 283,61+15,84t
/>
Доверительный интервал для линейного тренда находится поформуле:
ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,
где ув, ун – соответственно верхняя инижняя границы
доверительного интервала;
ŷ(х0) – точечный прогноз;
t1-α/2,n-2 –квантильраспределения Стьюдента;
(1-α/2) – доверительная верояность;
(n-2) – числостепеней свободы;
ŷв.н. = ŷ(х0) ± t1-α/2,n-2Sŷ,
ta = 2,35
Доверительный интервал для уn:
Нижняя граница интервала:
y= 300.29+13.24t =300,29+13,24*293 = 4179,61
Верхняя граница интервала:
y= 300.29+13.24t = 300,29+13,24*488= 6761,41
/>
Sx12 = 1/n ∑(xi — />)2 = 51804,7/12 = 4317,06
Sx1= 65,704
zср = 386.33z
zi — zср
(zi — ziср)2 350 -36.33 1319,87 314 -72.33 5231,63 300 -86.33 7452,89 293 -93.33 8710,49 368 -18.33 335,99 393 6.67 44,49 339 -47.33 2240,13 443 56.67 3211,49 467 80.67 6507,65 457 70.67 4994,25 488 101.67 10336,79 424 37.67 1419,03 4636 24624 51804,7
myx= S/>65,704*√1/12+ 24624/51804,7 =36,71
65,704 – 2,35*36,71 ≤ yn ≤ 65,704 + 2,35*36,71
Точечный прогноз среднего значения продаж по линейному трендунаходится следующим образом:
ŷв.н. = 283,61+15,84*13 = 489,53
Окончательно получаем интервальный прогноз продаж
ŷв.н. = 489,5 ±2,353*36,71
Или ŷв= 489,5 ±2,353*36,71 = 575,89
Или ŷн= 489,5 ±2,353*36,71 = 403,12Задача 4
Для регрессионных моделей:
y = а0+ а1 х1 + а2х2 +ε
z1 = а0а1t + а2cos (2πt/12) + а3sin (2πt/12) + εt
проверить наличие или отсутствие автокорреляции, используякритерий Дарбина-Уотсона при уровне значимости α = 0,05.
Для регрессионной модели y = а0+ а1 х1 + а2х2 +ε
Проверить наличие или отсутствие мультиколлинеарности,используя критерии xи-квадрат (χ2)при уровне значимости α = 0,05.