Статистика. Индексы

МОСКОВСКИЙГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
РЯЗАНСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
Контрольная работа по предмету:
Статистика

Выполнила: студентка 3 курса
ФМС гр. 3015
Черкалина Е.А.  шифр 300620
Проверила: Гостьева Е.В.
Рязань 2004 г
План
1.   Индексы………………………………………………2
2.   Практическое задание………………………………17
3.   Литература…………………………………………..23
ИНДЕКСЫ
Определение индексов.
Слово индекс означаетуказатель, показатель. В статистике индексом называется относительная величина,которая характеризует изменение во времени и в пространстве уровня изучаемогообщественного явления или степень изучения плана.
При помощи индексов:
1)    определяются средниеизменения сложных, непосредственно несоизмеримых совокупностей во времени;
2)    оценивается средняя степеньвыполнения плана по совокупности в целом или ее части;
3)    устанавливаются средниеотношения сложных явлений в пространстве;
4)    определяется роль отдельныхфакторов в общем изменении сложных явлений во времени или в пространстве и, вчастности, изучается влияние структурных сдвигов.
При решении первой задачи — изучении измененияявлений во времени — индексы выступают как показатели динамики, при решениивторой – как показатели выполнения плана, третьей – как показатели сравнения,четвертой – как аналитическое средство. По степени охвата различаютиндивидуальные и общие индексы.
Индивидуальные индексы.
Индивидуальные индексывыражают соотношение отдельных элементов совокупности. Так, если в 1990 г былопроизведено 55,4 млн.т минеральных удобрений, а в 1998 г – 80,4 млн.т, то в1998 г. было произведено 80,4/55,4=1,45 раза, или на 45%, больше минеральныхудобрений по сравнению с 1990 г. Это и есть индивидуальный индекс,характеризующий динамику производства минеральных удобрений за 1990-1998 гг.
Индивидуальный индекс обозначаетсябуквой «i» и определяется путем сопоставления двух величин,характеризующих уровень изучаемого явления во времени или пространстве, т.е. задва сравниваемых периода. Период, уровень которого сравнивается, называетсяотчетным или текущим, периодом и обозначается подстрочным знаком «1», а период,с уровнем которого проводится сравнение, называется базисным  и обозначается подстрочным знаком «0» или«пл», если при внутрифирменном планировании сравнение производится с планом.Если изменение явлений изучается за ряд периодов, то каждый период обозначаетсясоответственно знаком «0», «1», «2», «3» и т.д.
В статистической практикепринято количество обозначать буквой q, цену -  p, себестоимость -  z, затраты времени на производство единицы продукции– t.
Индивидуальные индексыпредставляют собой относительные величины, например:
Индекс цен     
Индекс выражается в виде коэффициентов, когда базадля сравнения принимается за единицу, и в процентах, когда база для сравненияпринимается за 100. Если в результате вычисления полученный индекс больше 1 или100 %, то это указывает на рост явления, если меньше 1 или 100% — на снижениеуровня явления.
Базисные и цепные индексы.
Для вычисления индексов, каки всякой другой относительной величины, необходимо иметь данные за два периода,или два сравниваемых уровня.
Если имеются данные за рядпериодов или уровней, в качестве базы для сравнения может быть принят один итот же начальный уровень или уровень предыдущего периода. В первом случае мыполучим индексы с постоянной базой – базисные,а во втором – индексы с переменной базой – цепные.
И базисные, и цепные индексыимеют определенное значение в экономическом анализе. Первые характеризуютизменение явлений за длительный период времени по отношению к какой-либо однойотправной точке. Если же возникает потребность следить за текущими изменениямиявлений, применяют цепные индексы. Вопрос о том, каким индексом пользоваться, вкаждом конкретном случае решают исходя из целей исследования.
Если базисные и цепныеиндексы охватывают один и тот же период, между ними существует определеннаявзаимосвязь: произведение цепных индексов равно базисному.
Существующая взаимосвязьмежду базисными и цепными индексами дает возможность вычислять базисные индексыпо данным о цепных и наоборот.
В статистике частоприходится иметь дело с показателями, связанными между собой, как сомножители спроизведением. Например, валовой сбор равен произведению урожайности и площади,фонд заработной платы – произведению средней заработнойплаты и численности работников и т.д. В такой же связи находятся ииндексы этих показателей: индекс произведения равен произведению индексовсомножителей.

где  ipq —  индекс товарооборота
       ip– индекс цен
       iq– индекс физического объематоварооборота.
Такие индексы называются сопряженными. Их взаимосвязь даетвозможность по двум имеющимся индексам находить третий.
Общие индексы.
Общие индексы показываютсоотношение совокупности явлений, сосотоящей из разнородных, непосредственнонесоизмеримых элементов. Например, несмотря на различия потребительскихстоимостей отдельных продуктов, все они являются результатом труда и поэтомумогут быть выражены общей мерой через стоимость, трудовые затраты и т.д. Так,для опеределения общей стоимости различных видов продукции в качествесоизмерителя используется обычно цена за единицу продукцию, для определенияобщей себестоимости или произведенных затрат – себестоимость единицы продукции,общих затрат труда – затраты труда на производство единицы продукции и т.д.Рассмотрим построение общего индекса на примере вычисления индексовтоварооборота.
Количество и цены проданныхмагазинам продуктов.
Наименование продукта
Продано
Цена за единицу, руб
Стоимость проданных продуктов
Базисный период
Отчетный период
Базис-ный период
Отчет-ный период
Базис-ный период
Отчет-ный период
По ценам отчет-ного периода
По ценам базис-ного периода
По ценам отчет-ного периода
По ценам базис-ного периода
q0
q1
p0
p1
p1q0
p0q0
p1q1
p0q1
Яйца, шт
2000
25000
0,15
0,10
2000
3000
2500
3750
Капуста, кг
16500
18500
0,20
0,12
1980
3300
2200
3700
Говядина, кг
4850
6250
2,20
2,10
10185
10670
13125
13750
Молоко, л
18000
24000
0,25
0,30
5400
4500
7200
6000
Итого
19465
21470
25045
27200
Обозначим цену за единицукаждого периода в отчетном периоде буквой р1, в базисном периоде – р0,количество проданных товаров в отчетном периоде – q1, в базисном – q0, общую стоимость проданныхтоваров в отчетном периоде по ценам отчетного периода – р1q1, то же в базисном по ценамбазисного периода – р0q0, общий индекс товарооборота– Ipq.
Общее изменениетоварооборота стоимости проданных товаров можно определить, сопоставив общуюстоимость проданных товаров в отчетном периоде по ценам отчетного периода собщей стоимостью проданных товаров в базисном периоде по ценам базисногопериода: Ipq=25045/21470=1,167 или 116,7%. Таким образом,товарооборот (общая выручка от продажи товаров)  увеличился в отчетном периоде посравнению с базисным на 16,7%. В нашем примере в отчетном периоде зареализованные товары было получено 25045 руб., а в базисном – 21470 руб.   Следовательно, в отчетном периоде посравнению с базисным товарооборот увеличился в абсолютном выражении на 25045 –21470=3575 руб.
Придерживаясь принятыхобозначений, можно записать формулу общего индекса товарооборота:

Аналогично индексу товарооборота рассчитываютсяиндексы продукции, потребления и т.д.
Приведенная формула индексатоварооборота называется агрегатной. Агрегатными называются индексы, числителии знаменатели которых представляют собой суммы, произведения или суммыпроизведений уровня изучаемого явления. Агрегатная форма индекса являетсяосновной, наиболее распространенной формой экономических индексов; она показываетотносительное изменение изучаемого экономического явления и абсолютные размерыэтого изменения.
Веса агрегатных индексов цени физического объема продукции. Агрегатная формула индекса товарооборотапоказывает, что его величина зависит от двух явлений, от двух переменныхвеличин: физического объема товарооборота, т.е. количества проданных товаров, ицены за каждую единицу реализованных товаров. Чтобы выявить влияние каждойпеременной в отдельности, следует влияние одной из них исключить, т.е. принятьусловно в качестве постоянной, неизменной величины на уровне отчетного илибазисного периода. Какой же период принять в качестве постоянной величины? Всвязи с этим возникает вопрос о базисных и отчетных весах агрегатного индекса.Рассмотрим этот вопрос на примере индекса цен и индекса физического объематоварооборота.
Агрегатный индекс цен.Общее изменение цен можно определить, считаяпостоянной, неизменной величиной количество проданных товаров за отчетный илибазисный период. Если для получения индекса цен принять в качестве весов данныео количестве проданного товара за отчетный период, то, придерживаясь принятыхвыше обозначений, можно записать формулу агрегатного индекса цен:

Если же принять в качестве весов данные о количествепроданных товаров в базисном периоде, то формула агрегатного индекса цен будетиметь следующий вид:

Получены две формулы агрегатных индексов цен: сотчетными и базисными весами. Эти индексы не идентичны. Чтобы убедиться в этом,вычислим индексы цен с отчетными и базисными весами, используя данные таблицы.
Агрегатный индекс цен сотчетными весами равен

Агрегатный индекс цен сбазисными весами равен:

Таким образом, величиныиндекса зависит от индексируемых показателей, т.е. от величин, изменениякоторых мы хотим определить (в данном случае цен), и от сомножителей, которыеберутся в качестве весов (в нашем примере – количества проданных товаров), таккак в зависимости от того, какие данные взяты в качестве весов – данныебазисного или отчетного периода, получают два разных индекса.
Первый индекс характеризуетизменение цен отчетного периода по сравнению с базисным по продукции,реализованной в отчетном периоде, и фактическую экономию от снижения цен.Экономическое содержание второго индекса совершенно другое. Он показывает,насколько изменились цены в отчетном периоде по сравнению с базисным, но по тойпродукции, которая была реализована в базисном периоде, и экономию, которуюмодно было бы получить от снижения цен, т.е. условную экономию. Возникаетпроблема выбора весов: какой период следует брать в качестве весов – базисныйили отчетный? Правильное решение очень важно, поскольку от него зависитдостоверность результатов изучаемого явления.
Агрегатный индекс цен сотчетными весами Ip=92.1% означает, что цены на указанные товарыв отчетном периоде снизились по сравнению с базисным на 7,9% (базисный периодпринимается за 100%), а абсолютная фактическая экономия от снижения ценсоставила Sp1q1-Sp0q1=25045-27200=-2155 руб.
Агрегатный индекс сбазисными весами Ip=90.7% означает, что цены в базисном периоде,если бы действовали цены отчетного периода снизились бы на 9,3%, а абсолютнаяусловная экономия составила бы Sp1q0-Sp0q0=19465-21470=-2005руб.
Нас же интересуетфактическое снижение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным ифактическая экономия от снижения цен. Поэтому мы выбираем агрегатный индекс сотчетными весами, правильно отражающий динамику изменения цен.
Таким образом, чтобывычислить индекс цен, необходимо сопоставить стоимость товаров, проданных вотчетном периоде по ценам отчетного периода, со стоимостью этих же товаров, нопо ценам базисного периода.
Агрегатный индекс представляетсобой дробь, числитель и знаменатель которой состоят из двух сомножителей. Одиниз них является переменной индексируемой величиной (р1 и р0),а второй принимается условно в качестве постоянной величины – веса индекса (q1).
Агрегатный индекс физическогообъема товарооборота должен показывать изменение физического объема в отчетномпериоде по сравнению с базисным. Чтобы агрегатный индекс характеризовал толькоизменение физического объема товарооборота (продукции, потребления) и неотражал изменение цен, в качестве весов берутся неизменные цены как длябазисного, так и для отчетного периода. Применение в качестве весов неизменныхцен дает возможность получить правильное представление о динамике физическогообъема товарооборота (продукции или потребления), так как устраняет влияниединамики цен на динамику количества выпущенной, проданной или потребленнойпродукции.
Таким образом, в индексефизического объема сомножитель индексируемого показателя берется на уровнебазисного периода.
Пользуясь принятыми обозначениями,запишем формулу агрегатного индекса физического объема продукции:

где числитель представляет собой стоимость продукцииотчетного периода по ценам базисного, а знаменатель – стоимость продукциибазисного периода по ценам того же периода. Подставив в формулу  необходимые данные изтаблицы, получим Iq=27200/21470=1,267,или 126,7%. Это значит, что в отчетном периоде по сравнению с базисным общийфизический объем реализованной продукции увеличился на 26,7%.
Абсолютное изменение физического объема вычисляетсякак разность между числителем и знаменателем индекса. В нашем примере

т.е. в отчетном периоде по сравнению с базиснымфизический объем реализованной продукции увеличился в абсолютном выражении на5730 руб.
Постоянные и переменные веса агрегатных индексов.При вычислении индекса за два периода вопрос о весах сводится к выбору междубазисным и отчетным периодами. На практике приходится иметь дело не только сдвумя, но и с большим числом периодов. Если индексы исчисляются за несколькопериодов, то для всех них могут быть приняты одни и те же веса – индексы спостоянными и переменными весами, или же для каждого периода свои веса –индексы с переменными весами. Покажем это на примере:
Количество и цены проданных товаров
Наиме-нование товара
Продано товаров
Цена за единицу, руб
январь
февраль
март
…n
январь
февраль
март
…n
А, кг
200
210
240
250
4,0
3,8
3,7
3,5
В, шт
60
75
90
100
20,0
19,0
18,5
18,0
Требуется вычислить помесячные индексы. Их можновычислить по-разному, в зависимости от решаемой задачи.
Теоретическивозможны четыре типа индексов.
1. Общие базисные индексы цен с постоянными(базисными) весами (январскими):
      
 
и т.д.
 
В данных индексах цены каждого последующего периода(февраля – р1, марта – р2 и т.д.) сопоставляются с ценамиянваря (р0) и взвешиваются на одно и то же количество товаров,проданных в январе (q0).Полученные показатели характеризуют изменение цен по сравнению с начальнымпериодом, но не отражают изменения в структуре проданных товаров.
2. Общие базисные индексы цен с переменными(отчетными) весами:

 
и т.д.
 
В этих индексах цены каждого последующего периода(февраля – р1, марта – р2 и т.д.) сравниваются с ценамиянваря (р0), но в качестве весов берется каждый раз количествотоваров отчетного периода (q1, q2 и т.д.).
В вычисленных индексах находят отражение какизменения цен по сравнению с начальным (базисным) периодом, так и измененияструктуры проданных товаров.
3. Общие цепные индексы цен с постоянными весами(январскими):


и т.д.

Эта группа индексов получена путем сопоставления ценкаждого последующего периода с предыдущим, взвешенных на одно и то жеколичество товаров, проданных в январе (q0). Эти индексы отражают изменение цен каждогопериода по сравнению с предыдущим, но не отражают изменения в структуре проданныхтоваров.
4. Общие цепные индексы цен с переменными весами:


и т.д.

Эти индексы получены путем сопоставления цен каждогопоследующего периода с предыдущим, но взвешенных в каждом случае на количествотоваров отчетного периода (q1,q2 и т.д.).
В рассчитанных индексах находит отражение какизменение цен за ряд последовательных периодов, так и изменение структурыпроданных товаров.
Индексы с переменными весами не дают возможностиперехода от цепных индексов к базисным, и наоборот, так как веса их различны:

Индексы с постоянными весами допускают возможностьперехода от цепных к базисным индексам, и наоборот. Перемножив два (илинесколько) цепных индексов с постоянными весами, получим базисный индекс:

а поделив два базисных индекса с постоянными весами,получим цепной:

Аналогично можно построить с постоянными ипеременными весами индексы физического объема продукции и т.д.
В связи с разнообразием индексов возникает вопрос овыборе наиболее пригодного из них в каждом конкретном случае. Так, дляхарактеристики изменения цен по сравнению с начальным периодом без учетаизменений в структуре проданных (произведенных) товаров применяют общиебазисные индексы с постоянными весами, в тех же целях, но с учетом измененияструктуры – базисные индексы с переменными весами. Для определения измененияцен каждого периода по сравнению с предыдущим без учета изменений в структурепроданных товаров применяют цепные индексы с постоянными весами, с учетомизменений в структуре – цепные индексы с переменными весами.
Выбор периода взвешивания индексов зависит от того,какие индексы вычисляются: индексы количественных (объемных) или качественныхпоказателей. В теории статистики принята следующая система взвешивания:сомножители количественных индексируемых показателей берутся на уровнебазисного периода, а качественных – на уровне отчетного.
Другие агрегатные индексы.
Помимо индексов товарооборота, цен и физическогообъема в статистико-экономическом анализе применяются другие агрегатныеиндексы. Рассмотрим некоторые из них.
Индекссебестоимости продукции. Аналогично индексу цен строится агрегатный индекссебестоимости продукции. Он показывает, во сколько раз себестоимость в отчетномпериоде в среднем выше или ниже базисной или плановой себестоимости, а такжеабсолютный размер экономии или перерасхода в результате изменениясебестоимости. Индекс себестоимости продукции является индексом качественныхпоказателей и исчисляется по весам (объему) продукции отчетного периода:

где z1 —  себестоимость единицы продукции вотчетном периоде; z0– то же в базисном (или плановом) периоде; q1 – количество продукции в отчетном периоде.
Индекспроизводительности труда. Производительность труда определяется количествомпродукции, произведенной в единицу времени, или затратами рабочего времени напроизводство единицы продукции. Для определения изменения производительноститруда в отчетном периоде по сравнению с базисным надо затраты рабочего временина производство единицы продукции в базисном периоде (t0) поделить на затратырабочего времени на производство единицы продукции в отчетном периоде (t1). Такимобразом, индивидуальный индекс производительности труда равен

Чтобы построить агрегатный индекс производительноститруда, необходимо затраты рабочего времени на производство единицы продукциивзвесить на количество продукции, произведенной в отчетном периоде:

где t1q1 – фактическиезатраты времени на производство всей продукции в отчетном периоде, а t0q1 указывает,сколько времени пришлось бы затратить на производство всей продукции отчетногопериода в базисном периоде. В этом индексе, в отличие от приведенных выше, t0находится вчислителе, а не в знаменателе, потому что время и производительность трудасвязаны обратной зависимостью: чем меньше затраты времени на производствопродукции, тем выше при прочих равных условиях производительность труда.Поэтому, чтобы при исчислении индекса получить прямой показательпроизводительности труда, t0 записывается в числитель, а t1 – в знаменательиндекса.
Агрегатный индекс производительности труда, какиндекс качественных показателей, также рассчитывается по весам (объемупродукции) отчетного периода.
Индекструдоемкости. Индекс трудоемкости характеризует изменение трудоемкостиединицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным. Величина индексатрудоемкости обратно пропорциональна величине индекса производительности труда,вычисленной по затратам времени на производство единицы продукции. Формулаиндивидуального индекса:

а агрегатного-
Индекс трудоемкости является индексом качественныхпоказателей и вычисляется по весам отчетного периода.
Индексвыполнения плана. Особенность этого индекса заключается в том, что при еговычислении фактические данные сопоставляются не с базисными, а с плановыми,причем весами индекса могут быть показатели как плановые, так и фактические.
Среднеарифметические и среднегармонические индексы.
Агрегатные индексы цен, физического объематоварооборота и др. могут быть вычислены при условии, если известныиндексируемые величины и веса, т.е. р и q. Но в ряде случаев мы не располагаем необходимыми данными, аимеем произведение рq ииндивидуальные индексы i.Возникает проблема построения средних индексов, идентичных агрегатным, путемосреднения индивидуальных индексов. Эта задача решается преобразованиемагрегатного индекса в среднеарифметический и среднегармонический индексы.
Рассмотрим преобразование агрегатного индекса всреднеарифметический на примере агрегатного индекса физического объематоварооборота. В этом случае индивидуальные индексы должны быть взвешены набазисные соизмерители. Из индивидуального индекса физического объематоварооборота  следует, что q1=iqq0.Заменив q1  в числителе агрегатного индекса физическогообъема товарооборота  на iqq0, получим

Это и есть среднеарифметическийиндекс физического объема товарооборота.
В тех случаях, когда не известны отдельные значения p1 и q1, а дано ихпроизведение p1q1 – товарооборототчетного периода и индивидуальные индексы цен  определеим неизвестноезначение р0и, заменив в формуле агрегатного индекса цен  значение

Индекс в такой форме называется среднегармоническим.
Система взаимосвязанных индексов. Факторный анализ.
Система взаимосвязанных индексов дает возможностьшироко применять индексный метод для изучения взаимосвязей общественныхявлений, проведения факторного анализа с целью определения роли, влиянияотдельных факторов на изменение сложного явления. И здесь снова возникаетпроблема весов.
Рассмотрим построение систем взаимосвязанныхиндексов на примере индексов цен, физического объема товарооборота итоварооборота. Агрегатные индексы цен, физического объема товарооборота истоимости товарооборота изложены выше. При построении агрегатного индекса ценодна индексируемая величина является величиной переменной (р1 и р0),а вторая величина – веса индекса – принимается условно в качестве постояннойвеличины (q). Вагрегатном индексе физического объема продукции переменной индексируемойвеличины является физический объем (количество) продукции (q1 и q0), а в качествесоизмерителя постоянной величины принимается цена (р0). Такимобразом, принцип построения индексов цен и физического объема продукциизаключается в том, что они характеризуют изменение одного фактора припостоянном, неизменном значении другого фактора.
Величина индекса товарооборота зависит не только отизменения цен от одного периода к другому, но и от изменения физического объематоварооборота, т.е. не только от индекса цен, но и от индекса физическогообъема товарооборота. Связь между этими тремя индексами такая: Ipq=Ip*Iq. Чтобыубедиться в этом, подставим буквенные обозначения и получим:

При построении системы взаимосвязанных индексов весасопряженных индексов должны браться на уровне разных периодов. Если индексыкачественных показателей построены с весами отчетного периода, то индексыколичественных показателей должны быть построены с соизмерителями базисногопериода. В противном случае не будет системы взаимосвязанных индексов.
При анализе себестоимости необходимо учитыватьследующую систему взаимосвязанных индексов: Izq=Iz*Iq, т.е. индексиздержек производства равен индексу себестоимости, умноженному на индексфизического объема:

В этой системе индексов Izвзвешиваетсяпо количеству изделий, выработанных в отчетном периоде, а Iq – по уровню себестоимостиотдельных изделий в базисном периоде.
Аналогично, при анализе производительности трудаможно построить систему взаимосвязанных индексов. Так, индекспроизводительности труда равен отношению индекса физического объема продукции(по трудовым затратам) к индексу трудовых затрат:

Если, например, индекс физического объема продукциисоставил 114,4%, а индекс трудовых затрат – 104%, то индекс производительноститруда будет равен:

Производительность труда в отчетном периоде посравнению с базисным выросла на 10%.
До сих пор мы при помощи индекса рассматривалидвухфакторную связь: связь общего индекса с двумя сопряженными индексами –факторами. Но общий индекс может зависеть от трех, четырех и более факторов,т.е. связь может быть трехфакторная, четырехфакторная и т.д. Поэтому общиеиндексы могут быть разложены не только на два, но и на три и более факторныхиндекса, объясняющих изменение общего индекса влиянием каждого фактора вотдельности.
Индексы средних величин.
Индексыпеременного и фиксированного состава. В ряде случаев приходится изучатьдинамику общественных явлений, уровни которых выражены средними величинами(средней себестоимостью, средней заработной платой, средней урожайностью,продуктивностью животных, средней производительность труда и т.д.)
Динамика средних показателей зависит отодновременного изменения вариантов, из которых формируются средние, и измененияудельных весов этих вариантов, т.е. от структуры изучаемого явления. Так,например, средняя производительность труда на предприятии может возрастать засчет ее повышения у рабочих отдельных специальностей и повышения удельного весарабочих с более высокой производительностью труда в общей чис