Задача 1. Построениеи анализ однофакторной эконометрической модели
Однофакторнаяпроизводственная функция накладных расходов в шахтном строительстве имеет вид
У=a0+a1x+e,
где У –накладные расходы, часть в затратах;
х – годовойобъем затрат, тыс. грн;
На основаниистатистических данных по девяти шахтостроительным управлениям, используя 1МНК,найти оценки параметров производственной функции накладных расходов дляшахтостроительного объединения. Дать общую характеристику достоверности иэкономическую интерпритацию построенной модели.
Таблица 1 –Исходные данные№ п\п Накладные расходы Объем работ 1 27 15,6 2 30 15,3 3 28 14,9 4 29 15,1 5 26 16,1 6 25 16,7 7 28 15,4 8 26 17,1 9 25 16,8
Построениеи анализ классической однофакторной эконометрической модели
1. Спецификациямодели.
1.1 Идентификацияпеременных
Y – накладныерасходы – результирующий показатель;
Х – объемработ – показатель-фактор;
Таблица 2 –Исходные данные и элементарные превращения этих данных для оценки модели.№ п\п Накладные расходы Объем работ Х*X Y*Y ОценкаУ Отклонение, е
Предсказанное Y
Остатки 1 27 15,6 243,36 729 27,64235 -0,642345002 27,642345 -0,642345 2 30 15,3 234,09 900 28,19401 1,805989034 28,19401097 1,805989 3 28 14,9 222,01 784 28,92957 -0,929565584 28,92956558 -0,9295656 4 29 15,1 228,01 841 28,56179 0,438211725 28,56178827 0,4382117 5 26 16,1 259,21 676 26,7229 -0,722901729 26,72290173 -0,7229017 6 25 16,7 278,89 625 25,61957 -0,619569802 25,6195698 -0,6195698 7 28 15,4 237,16 784 28,01012 -0,010122311 28,01012231 -0,0101223 8 26 17,1 292,41 676 24,88402 1,115984817 24,88401518 1,1159848 9 25 16,8 282,24 625 25,43568 -0,435681147 25,43568115 -0,4356811 Сумма 244 143 2277,4 6640 244 244 Среднее 27,11111111 15,88888889 253,04 737,78 27,11111 - 27,11111111 -
1.2Общий вид линейной однофакторной модели и её оценки
/>
Полученнаядиаграмма свидетельствует о слабой обратной зависимости. Введем гипотезу, чтомежду фактором Х и показателем У нет корреляционной зависимости.
1.3Оценка тесноты связи между результативным показателем У и фактором Х наосновании коэффициента парной корреляции
Парныекоэффициенты корреляции вычисляем по формуле:
/>
/> – среднее квадратическоеотклонение показателя Y;
/> – среднее квадратическоеотклонение фактора X;
/> – дисперсия показателя Y;
/> – дисперсия показателяX;
/> – коэффициент ковариациипризнаков Y и Х;По формуле Мастер функций Дисперсия Х Ср. кв. отклон Х Дисперсия Х Ср. кв. отклон Х 0,658611111 0,811548588 0,658611111 0,811548588 Дисперсия У Ср. кв. отклон У Дисперсия У Ср. кв. отклон У 3,111111111 1,763834207 3,111111111 1,763834207 Ковариация ХУ Ковариация ХУ -1,07654321 -1,07654321
rху -0,8461
rху -0,8461
Вывод:Поскольку коэффициент парной корреляции rху=-0,8461, то этосвидетельствует об отсутствии тесной связи между объемом работ и накладнымирасходами.
2.Оценка параметров модели методом 1МНК
Таблица 3 –Оценка параметров моделиПо формуле Регрессия Коэффициенты 56,32897439 У-пересечение 56,32897512 -1,8388865 Объем работ, Х -1,838886546
Такимобразом, оцененная эконометрическая модель:
у=56,32897439–1,838886546х
3. Общаяхарактеристика достоверности модели
Для общейоценки адекватности принятой эконометрической модели данным, которые наблюдаем,воспользуемся коэффициентом множественной детерминации R2.
Таблица 4 – Общаяхарактеристика достоверности моделейПо формуле Регрессионная статистика R -0,84608053 Множественный R -0,84608053
R2 0,715852263 R-квадрат 0,71585226
Вывод:Поскольку коэффициент множественной детерминации R2 = 0,71585226, тоэто свидетельствует, что вариация объема накладных расходов на 72% определяетсявариацией объема работ и на 28% вариацией других факторов, которые не вошли вмодель. Коэффициент корреляции R=-0,84608053 характеризует слабую связь междуэтими показателями. Модель не адекватна.
/>
/>
Задача 2. Построениеи анализ многофакторной эконометрической модели
Условиезадачи
Постатистическим данным для 9 предприятий общественного питания за год построитьлинейную двухфакторную модель, которая характеризует зависимость между уровнемрентабельности (%), относительным уровнем затрат оборота (%) и трудоемкостьюпредприятий. Прогнозные значения факторов выбрать самостоятельно. Сделатьэкономический анализ характеристик взаимосвязи.
Исходныеданные№ п/п Рентабельность Затраты оборота Трудоемкость 1 2,32 38,8 114 2 2,19 39,9 101,1 3 2,83 30,1 153,8 4 2,75 31,7 146 5 2,59 17,2 124,8 6 2,27 39,7 103,6 7 2,05 36,9 119 8 1,95 38,2 108,7 9 2,08 40,1 106,5
Построениеи анализ классической многофакторной линейной эконометрической модели
1. Спецификациямодели
1.1 Идентификацияпеременных
Многофакторнаялинейная эконометрическая модель устанавливает линейную зависимость между однимпоказателем и несколькими факторами.
Y –рентабельность – результирующий показатель;
Х1 – затратыоборота – показатель-фактор;
Х2 –трудоемкость – показатель-фактор.
Таблица 1 –Исходные данные и элементарные превращения этих данных для оценки модели№ п/п Y X1 X2 Y*X1 Y*X2 X1*X2 Y*Y X1*X1 X2*X2 1 2,32 38,8 114 90,016 264,48 4423 5,382 1505,44 12996 2 2,19 39,9 101,1 87,381 221,41 4034 4,796 1592,01 10221,2 3 2,83 30,1 153,8 85,183 435,25 4629 8,009 906,01 23654,4 4 2,75 31,7 146 87,175 401,5 4628 7,563 1004,89 21316 5 2,59 17,2 124,8 44,548 323,23 2147 6,708 295,84 15575 6 2,27 39,7 103,6 90,119 235,17 4113 5,153 1576,09 10733 7 2,05 36,9 119 75,645 243,95 4391 4,203 1361,61 14161 8 1,95 38,2 108,7 74,49 211,97 4152 3,803 1459,24 11815,7 9 2,08 40,1 106,5 83,408 221,52 4271 4,326 1608,01 11342,3 ∑ 21 312,6 1077,5 717,965 2558,5 36788 49,94 11309,1 131815 Средн. 2,34 34,733 119,722 79,7739 284,28 4088 5,549 1256,57 14646,1
1.2Оценка тесноты связи между показателем Y и факторами Х1 и Х2, а также межу факторами.(Диаграмма рассеяния)
/>
Связь обратная
/>
Связь обратная
/>
Связь теснаяпрямая
Прозноз
1) Отношение Х1 и У
r=-0,5
2) Отношение Х1 и Х2
r=-0,4
3) Отношение У и Х2
r=0,5
1.2.1Парные коэффициенты корреляции, корреляционная матрица
Для оценкитесноты связи между показателем Y и факторами Х1 и Х2, а также между факторамивычисляем парные коэффициенты корреляции, а потом составляем корреляционнуюматрицу, учитывая ее особенности:
– корреляционнаяматрица является симметричной;
– наглавной диагонали размещены единицы.
Парныекоэффициенты корреляции вычисляем по формулам:
/>
/> – среднее квадратическоеотклонение показателя Y;
/> – среднее квадратическое отклонениефактора X1;
/> – среднее квадратическое отклонениефактора X2;
/> – дисперсия показателя Y;
/> – дисперсия показателя X1;
/> – дисперсия показателя X2;
/> – коэффициент ковариации признаков Y иХ1;
/> – коэффициент ковариации признаков Y иХ2;
/> – коэффициент ковариации признаков X1 иХ2;
Таблица 2 –Расчет парных коэффициентов корреляцииПо формуле
Мастер
функций Дисперсия У Ср. кв. отклон У Дисперсия У Ср. кв. отклон У 0,089133333 0,298552061 0,089133333 0,298552061 Дисперсия Х1 Ср. кв. отклон Х1 Дисперсия Х1 Ср. кв. отклон Х1 50,16666667 7,08284312 50,16666667 7,08284312 Дисперсия Х2 Ср. кв. отклон Х2 Дисперсия Х2 Ср. кв. отклон Х2 312,6550617 17,68205479 312,6550617 17,68205479 Ковариация УХ1 Ковариация УХ1 -1,386333333 -1,386333333 Ковариация УХ2 Ковариация УХ2 4,524851852 4,524851852 Ковариация Х1Х2 Ковариация Х1Х2 -70,76962963 -70,76962963
Коэффициентыпарной корреляцииrух1 -0,655601546 rух1 -0,655601546 rух2 0,857139597 rух2 0,857139597 rух1х2 -0,565075617 rух1х2 -0,565075617
Корреляционная матрица
1 -0,655601546 0,857139597 -0,655601546 1 -0,565075617 0,857139597 -0,565075617 1
1.2.2Коэффициенты частичной корреляции
В многомерноймодели коэффициенты парной корреляции измеряют нечистую связь между факторами ипоказателем. Поэтому при построении двухфакторной модели целесообразно оценитьсвязь между показателем и одним фактором при условии, что влияние другогофактора не считается. Для измерения такой чистой связи вычисляют коэффициентычастичной корреляции.
Формулачастичного коэффициента корреляции между признаками Хi и Xj/>имеет вид:
/>
где /> – алгебраическиедополнения соответствующих элементов корреляционной матрицы.
Во времяпостроения двухфакторной модели коэффициенты частичной корреляции рассчитываютсяпо формулам:
/>
/>
/>
Для проверкиполученных коэффициентов рассчитаем их матричным методом по формуле:
/>
где /> – элементы матрицы /> обратной корреляционнойматрицы R.
Таблица 3 –Расчеты коэффициентов частичной корреляцииПо определению Матричный метод ryx1 (x2) -0,402981473 -0,402981473 ryx2 (x1) 0,781189003 0,781189003 rx1x2 (y) -0,005029869 -0,005029869
Корреляционная матрица, R
Матрица, обратная корреляционной, C y x1 x2 y 1 -0,655601546 0,857139597 4,499910061 1,13212031 -3,2173175 x1 -0,655601546 1 -0,565075617 1,132120315 1,75392563 0,02071546 x2 0,857139597 -0,565075617 1 -3,21731751 0,02071546 3,76939603
Значениякоэффициентов, полученные двумя методами, совпали.
1.2.3 Выводыо том, являются ли факторы ведущими и возможной мультиколлнеарности
С помощьюполученных корреляционной матрицы и коэффициентов частичной корреляции можносделать выводы о значимости факторов и проверить факторы намультиколлинеарность – линейную зависимость или сильную корреляцию.
1) Посколькукоэффициент парной корреляции между затратами оборота и рентабельностью rух1 =-0,655601546 и соответствующий коэффициент частичной корреляции ryx1 (х2) = – 0,402981473,это значит, что затраты оборота имеют обратное среднее влияние нарентабельность.
2) Посколькукоэффициент парной корреляции между трудоемкостью и рентабельностью rух2=0,857139597,а соответствующий коэффициент частичной корреляции rух2 (х1)= 0,781189003, тоэто свидетельствует о том, что трудоемкость существенно влияет нарентабельность.
3) Посколькукоэффициент парной корреляции между рентабельностью и затратами оборота =-0,565075617, а соответствующий коэффициент частичной корреляции rх1х2 (у) =-0,005029869 то можно сказать, что существует средняя обратная корреляционнаязависимость.
3. Общийвид линейной двухфакторной модели и её оценка в матричной форме
В общем видемногофакторная линейная эконометрическая модель записывается так:
/>
В матричнойформе модель и ее оценка будут записаны в виде:
/> /> и />,/>/>
где У – векторстолбец наблюдаемых значений показателя;
У – векторстолбец оцененных значений фактора;
Х – матрицанаблюдаемых значения факторов;
А – векторстолбец невидимых параметров;
А – вектор столбецоценок параметров модели;
е – векторстолбец остатков (отклонений). 2,32 1,0 38,8 114 2,19 1,0 39,9 101,1 2,83 1,0 30,1 153,8 2,75 1,0 31,7 146 Y= 2,59 X= 1,0 17,2 124,8 2,27 1,0 39,7 103,6 2,05 1,0 36,9 119 1,95 1,0 38,2 108,7 2,08 1,0 40,1 106,5 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Xtrans= 38,8 39,9 30,1 31,7 17,2 39,7 36,9 38,2 114,0 101,1 153,8 146,0 124,8 103,6 119,0 108,7
2. Оценкапараметров модели 1МНК в матричной форме
Предположим,что все предпосылки классической регрессионной модели выполняются и осуществим оценкупараметров модели по формуле:
/>
Алгоритмвычисления параметров модели
1. Вычисляемматрицу моментов Xt*X, но сначала найдем транспонированную матрицу Хt. 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Xtrans= 38,8 39,9 30,1 31,7 17,2 39,7 36,9 38,2 40,1 114,0 101,1 153,8 146,0 124,8 103,6 119,0 108,7 106,5
Xt*X9 312,6 1077,5 312,6 11309,14 36788,2 1077,5 36788,24 131815
2. Вычисляемматрицу ошибок />17,645098 -0,201192 -0,0881 -0,2011917 0,003254 0,00074 -0,0880866 0,000737 0,00052
3. Находимматрицу-произведение Xt*Y21,03 717,965 2558,482
4. Вычисляемвектор оценок параметров модели как произведение матрицы />на матрицу Xt*YПо формуле Регрессия коэффициенты 1,2597249 а0 У – пересечение 1,25972 -0,0106048 а1 Х1 -0,0106 0,012072 а2 Х2 0,01207
Такимобразом, оценка эконометрической модели имеет вид
y=1,2597249–0,0106048+0,012072x2
3. Коэффициентымножественной детерминации и корреляции для оцененной модели
3.1Расчет коэффициентов множественной детерминации и корреляции
Для оценкистепени соответствия полученной модели наблюдаемым данным, то естьпредварительной оценки адекватности модели, вычисляем коэффициентымножественной детерминации и множественной корреляции.
Коэффициентмножественной корреляции является степень соответствия оцененной моделифактическим данным и рассчитывается как коэффициент корреляции между y и/>.
Квадраткоэффициента множественной корреляции называется коэффициентом множественнойдетерминации. Коэффициент множественной детерминации характеризует частьдисперсии показателя у, что объясняется регрессией, т.е. вариациейфакторов, которые входят в модель:
/>
Коэффициентмножественной корреляции удобно рассчитывать как корень из коэффициентамножественной детерминации, т.е.
/>
Алгоритмвычисления коэффициентов множественной детерминации икорреляции:
1. Скопируемс итогового листа инструмента анализа Регрессия – Регрессия значениястолбцов Предсказанное У и Остатки в таблицу 4.
2. Вычислимсреднее значение у расчетного
3. В третийстолбец введем формулу общих отклонений у-уср. и просчитаем ее для всехнаблюдений.
4. Вычислимсуммы квадратов общих отклонений и отклонений, которые не объясняютсярегрессией (остатков).
5. Вычислимкоэффициент множественной детерминации />.
6. Рассчитаемкоэффициент множественной корреляции R.
7. Дляпроверки полученных коэффициентов скопируем с итогового листа Регрессиязначения ячеек R-квадрат и Множественный R. Значения совпали.
Таблица 4 –Расчет коэффициентов />и />
Факт.
Предсказанное Y
Остатки
Y
Y-Y 2,48 2,22446 0,0955378 2,224462 -0,0167 2,62 2,05707 0,1329312 2,057069 -0,1467 2,88 2,79719 0,0328127 2,797187 0,4933 По формуле Регрессия 2,68 2,68606 0,0639415 2,686058 0,4133 R-квадрат 2,52 2,5839 0,0060977 2,583902 0,2533 0,78 0,78 2,74 2,08937 0,1806303 2,08937 -0,0667 Коеф. мн. корреляций 2,56 2,30497 -0,254971 2,304971 -0,2867 0,88 0,88 2,68 2,16684 -0,2168438 2,166844 -0,3867 2,55 2,12014 -0,0401364 2,120136 -0,2567 2,3367 2,3367 0,17827 0,8022
3.2 Разложениекоэффициента множественной детерминации на коэффициенты отдельной детерминации
Дляопределения доли влияния каждого фактора на показатель используют коэффициентыотдельной детерминации.
Коэффициентомотдельной детерминации/> для фактора /> называется произведениекоэффициента корреляции /> междуфактором /> и показателем У настандартизованный параметр регрессии />:
/>,
Суммакоэффициентов отдельной детерминации равняется коэффициенту множественнойдетерминации:
/>
Во времяанализа двухфакторной модели коэффициенты отдельной детерминации рассчитываютсяпо формулам:
/>
/>
/>
Теперьрассчитаем коэффициенты отдельной детерминации по этим формулам. Полученноезначение /> совпало с тем, котороерассчитали ранее.
Таблица 5 –Расчет коэффициентов отдельной детерминации
d12 0,1649
d22 0,6128
R2 0,7778
3.3Предварительные выводы об адекватности модели
С помощьюполученных коэффициентов множественной детерминации, корреляции и отдельнойдетерминации можно сделать предварительные выводы об адекватности модели.
1) Посколькукоэффициент множественной детерминации R2 = 0,7778, то этосвидетельствует про то, что вариация общих затрат на предприятиях на 77,78%определяется вариацией затрат оборота и трудоемкостью и на 22,22% вариациейпоказателей, которые не учитываются в модели.
2) Посколькукоэффициенты отдельной детерминации d1=0,1649, то это свидетельствует о том,что вариация общих затрат на предприятиях на 16,49% определяется вариациейзатрат оборота
3) Коэффициентмножественной корреляции R2 = 0,7778 характеризует сильную связьмежду общими затратами и факторами, которые их обуславливают.
4.Оценка дисперсионно – ковариационной матрицы оценок параметров модели
4.1Оценка дисперсии отклонений
Вычислимоценку дисперсии отклонений по формуле
/>,
где />/> –сумма квадратов отклонений;
n – количество наблюдений;
m – количество факторовмодели.
Полученноезначение проверим копированием с итогового листа Регрессии значениеячейки Остаток с таблицы дисперсийного анализа. Значения совпали.
Таблица 6 –Оценка дисперсии остатковПо формуле Регрессия MS 0,0297117 Остаток 0,0297117
4.2Расчет дисперсии и ковариации оценок параметров модели
Для полученияоценок ковариаций и дисперсий оценок параметров модели необходимо сложитьковариационную матрицу по формуле:
/>
Таблица 7 –Оценка ковариационной матрицы оценок параметров модели 17,6451 -0,201192 -0,08809 0,5243 -0,006 -0,003 0,0297117 -0,20119 0,0032538 0,000737 -0,006 1E-04 2E-05 -0,08809 0,0007365 0,000522 -0,0026 2E-05 2E-05
Мы получилидисперсии оценок параметров модели, которые расположены по главной диагонали:σ = 0,5243 σ = 1E-04 σ = 2E-05
4.3Вычисление стандартных ошибок параметров и выводы о смещенности оценокпараметров модели
Стандартныеошибки параметров модели рассчитаем по формуле />,/>, />. Для получения стандартнойошибки оценки параметров а0 введем формулу возведения в степень 0,5. Ианалогично получим стандартные ошибки оценок параметров а1 и а2. Для проверкиполученных ошибок скопируем с итогового листа Регрессия значения ячеекстолбца Стандартная ошибка. Значения совпали.
Сравнимкаждую стандартную ошибку с соответствующим значением оценки параметра спомощью формулы:
/>
Таблица 8 –Расчет стандартных ошибок оценок параметров модели. Выводы о смещении оценокпараметров модели Регрессия По формуле Стандартная ошибка Выводы о смещённости оценок параметров модели
0,72406211 0,7240621 57,47779 Оценка смещена
0,00983242 0,0098324 -92,717 Оценка не смещена
0,00393854 0,0039385 32,62555 Оценка смещена
/> /> /> /> /> /> /> />
5.Проверка гипотез о статистической значимости оценок параметров модели на основеF- и t-критериев
5.1Проверка адекватности модели по критерию Фишера
Проверкуадекватности модели по критерию Фишера проведем по представленному алгоритму.
Шаг 1. Формулирование нулевой иальтернативной гипотез.
/>, т.е. не один фактормодели не влияет на показатель.
/> Хотя бы одно значение /> отменно от нуля, т.е. />
Шаг 2. Выбор соответствующегоуровня значимости.
Уровнемзначимости /> называется вероятностьсделать ошибку 1-го рода, т.е. отвергнуть правильную гипотезу. Величина /> называется уровнем доверияили доверительной вероятностью.
Выбираемуровень значимости />, т.е. доверительнаявероятность – Р=0,95
Шаг 3. Вычисление расчетногозначения F-критерия.
Расчетноезначение F-критерия определяется по формуле:
/>
Для проверкиполученного значения скопируем с итогового листа Регрессия расчетное значение F-критерия.Значения совпали />
Шаг 4. Определение постатистическим таблицам F-распределения Фишера критического значения F-критерия.
Критическоезначение F-критерия находим по статистическим таблицам F-распределения Фишерапо соответствующим данным:
- доверительнойвероятности Р=0,95;
- степенейсвободы />
Определяемтабличное значение критерия />=5,14
Шаг 5.Сравнение рассчетногозначения F-критерия с критическим и интерпритация результатов.
Вывод опринятии нулевой гипотезы, т.е. об адекватности модели делаем с помощьювстроенной логической функции ЕСЛИ.
Поскольку />, то отвергаем нулевуюгипотезу про незначимость факторов с риском ошибиться не больше чем на 5%случаев, т.е. с надежностью Р=0,95 можно считать, что принятая модель адекватнастатистическим данным и на основе этой модели можно осуществлять экономическийанализ и прогнозирование.
5.2Проверка значимости оценок параметров модели по критерию Стьюдента
Проверкугипотезы о значении каждого параметра модели проведем в соответствии спредставленным алгоритмом.
Шаг 1. Формулирование нулевой иальтернативной гипотез.
/> – оценка j-го параметраявляется статистически незначимой, т.е. j-й фактор никак не влияет напоказатель у;/>
/> – оценка j-го параметраявляется статистически значимой, т.е. j-й фактор влияет на показатель у.
Шаг 2. Выбор соответствующегоуровня значимости.
Выбираемуровень значимости />, т.е.доверительная вероятность – Р=0,95.
Шаг 3. Вычисление расчетногозначения t-критерия.
Расчетноезначение t-критерия определяется по формуле:
/>
Во времяанализа двухфакторной модели расчетные значения t-критерия определяются поформулам:
/>=-3,2333 />=3,4264 />=4,9937
Для проверкиполученного значения t-критерия скопируем с итогового листа Регрессия значенияячеек столбца t-статистика. Значения совпали.
Шаг 4. Определение постатистическим таблицам t-распределения Стьюдента критического значения t-критерия.
Критическоезначение t-критериянаходим по статистическим таблицам t-распределения Стьюдента по соответствующимданным:
- доверительнойвероятности Р=0,95;
- степенейсвободы />
Определяемтабличное значение критерия />=2,45
Шаг 5.Сравнение рассчетногозначения t-критерияс критическим и интерпритация результатов.
Выводы опринятии нулевой гипотезы, т.е. о значимости оценок параметров />, /> и /> делаем с помощьювстроенной логической функции ЕСЛИ. С надежностью Р=0,95 можно считать, что
– оценки1-го и 2-го параметров модели значимые, т.е. оба фактора существенно влияют напоказатель;
– оценка0-го параметра модели не является статистически значимой.
Таблица 9 –Проверка гипотез о статистической значимости оценок параметров модели на основеF- и t – критериев
F-критерий Фишера По формуле Регресия Р=0.95 F 2,45 10,4997302 10,499730 Модель адекватна
t-критерий Стьюдента
По формуле Регресия Р=0.95 t-статистика 5,14 1,73980232 1,739802 а0 Параметр не значимый -1,0785514 -1,07855 а1 Параметр не значимый 3,06508252 3,06508 а2 Параметр не значимый
6.Построение интервалов доверия для параметров модели.
Интерваломдоверия называется интервал, который содержит неизвестный параметр сзаданным уровнем доверия.
Интервалыдоверия для параметров находим аналогично процедуре тестирования нулевойгипотезы по t-критерию Стьюдента:
– выбираемуровнем значимости />=0,05 исоответственно уровень доверия будет составлять – Р=0,95;
– длякаждого параметра вычисляем нижнюю и верхнюю границы интервала доверия поформуле, при этом делаем абсолютную ссылку на табличное значение t-критерия />:
/>
где /> — стандартная ошибкапараметров модели />
Для проверкиполученных значений границ скопируем с итогового листа Регрессия значения ячеекстолбцов Нижнее 95% иВерхнее 95%. Значения совпали.
Таблица 10 –Доверительные интервалы для оценок параметровПо формуле Регресия Нижние 95% Верхние 95% Нижние 95% Верхние 95% -0,5119912 3,031441 -0,511991215 3,031441101 -0,3466383 0,013454 -0,034663831 0,013454293 0,00243469 0,021709 0,00243469 0,02170921
Исходя изэтого, 95% интервалы доверия для параметров модели имеют вид:
-0,5119912≤а0≤3,031441
-0,3466383≤а1≤0,013454
0,00243469≤а2≤0,021709
7.Расчет прогнозного значения рентабельности на основании оцененной модели
Так какоцененная модель является адекватной статистическим данным, то на основанииэтой модели можно осуществлять прогнозирование рентабельности для одного изпредприятий объединения, деятельность которого исследовалась.
7.1Точечный прогноз рентабельности
Сделаемточечный прогноз рентабельности для одного из предприятий при условии того, чтозатраты оборота составят 7 г.о. и трудоемкость – 50 г.о., т.е. />, по формуле:
/>Хр 1 16 100 1,25972494 -0,01060477 2,297243652 0,01207195
7.2Доверительный интервал для прогноза математического ожидания рентабельности
Рассчитаемзначения верхней и нижней границ прогнозного интервала, используя табл.значения критерия Стьюдента 2,45, по формуле:
/>
Оценкудисперсий матожидания вычислим по формуле:
/>
Интервальныйпрогноз матожидания рентабельности:
Стандартнаяошибка матожидания 0,524265941 -0,005977749 -0,0026172 1 1 16 100 -0,005977749 9,66765E-05 2,18828E-05 16 -0,002617204 2,18828E-05 1,55121E-05 100 1 0,16690155 -0,002 -0,000716 16 0,059432144 100
оценкадисперсионного прогнозанижняя граница 1,7 верхняя граница 2,895
Такимобразом, 95% интервал доверия для прогноза матожидания рентабельности имеет вид1,7/>2,895.
7.3Доверительный интервал для прогноза рентабельности
Длянахождения интервального прогноза индивидуального значения рентабельностивычислим стандартную ошибку прогноза индивидуального значения по формуле:
/>
А значениенижней и верхней границ по формуле:
/>Стандартная ошибка прогноза индивидуального значения 0,298569664 нижняя граница 1,565747976 верхняя граница 3,028739328
Таким образомможно утверждать, что прогнозное значение затрат принадлежит интервалу1,565747976≤Ур≤3,028739328.
8.Экономический анализ по уцененной модели.
Т. к.оцененная модель является адекватной статистическим данным, то на основе этоймодели можно осуществлять экономический анализ процесса, который исследуется,для этого рассчитаем граничные и средние показатели.
Среднейэффективностью (продуктивность) фактора называется объем результирующегопоказателя, который приводится на ед. затрат фактора в среднем.
Средняяэффективность i-гофактора определяется по формуле:
/>Предельной эффективностью(продуктивностью) называется изменениеобъема результирующего показателя за счет изменения этого фактора на единицупри неизменных других факторах, которые влияют на объем результирующегопоказателя.
Предельнойэффективность i-гопоказателя определяется по формуле:
/>; />
Частичныйкоэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменитсярезультирующий показатель, если i-ый фактор изменится на один процент при неизменных значенияхдругих факторов.
Частичныйкоэффициент эластичности i-го показателя определяется по формуле:
/>; />
Суммарнымкоэффициентом эластичности называется сумма частичных коэффициентовэластичности.
Граничнаянорма замещения j-го фактора i-тым показывает количество единиц i-го фактора необходимуюдля замены j-гофактора при постоянном объеме результирующего показателя и других факторов ирассчитывается по формуле:
/>; />
Таблица 11-Расчетсредних и граничных показателей Средняя эффективность фактора Граничная эффективность фактора Частичная эластичность рентабельности Суммарная эластичность Граничная норма замещения факторов Затраты оборота, х1 0,067274472 0,019517401 3,446896993 5,063653297 0,290116009 Трудоемкость, х2 0,019517401 0,01207195 1,616756304 3,446896993
Анализполученных результатов приводит к таким выводам:
1) На основезначения средней эффективности затрат оборота можно утверждать, что на 1д.е.затрат оборота приходится 0,067 общих затрат.
2) На основезначения средней эффективности трудоемкости можно утверждать, что на 1д.е.трудоемкости приходится 0,0195 общих затрат.
3) На основезначения граничной эффективности затрат оборота можно утверждать, что приувеличении затрат оборота на 1 г.о. объем общих затрат увеличится на 0,0195 д.е.при неизменном объеме трудоемкости.
4) На основезначения граничной эффективности трудоемкости можно утверждать, что приувеличении затрат оборота на 1 г.о. объем общих затрат увеличится на 0,012 д.е.при неизменном объеме затрат оборота.
5) На основезначения коэффициента частичной эластичности по фактору Х1 можно утверждать,что при увеличении затрат оборота на 1% общих затрат увеличится на 3,44% принеизменном объеме трудоемкости.
6) На основезначения коэффициента частичной эластичности по фактору Х2 можно утверждать,что при увеличении трудоемкости на 1% объем общих затрат увеличится на 1,62%при неизменном объеме затрат оборота.
7) На основеграничной нормы замены 2-го фактора первым можно утверждать, что для замены 1д.е. трудоемкости нужно будет 0,29 д.е.затрат оборота при сохранениинеизменного объема общих затрат.
8) На основеграничной нормы замены 1-го фактора вторым можно утверждать, что для замены 1д.е.затрат оборота нужно будет 3,5 д.е.трудоемкости при сохранении неизменногообъема общих затрат.
Исследованиеналичия мультиколлениарности по алгоритму Феррара-Глобера
Условиезадачи
Допустим, чтона уровень рентабельности предприятий общественного питания существенно влияюттакие показатели общественной деятельности:
Относительныйуровень затрат оборота (%), часть продукции собственного производства (%) ичисленность работников в расчете на 1 тыс. товарооборота (чел.)
Чтобыпостроить эконометрическую модель этой зависимости по методу 1МНК необходимобыть уверенным, что между факторами относительного уровня затрат оборота,частью собственной продукции и трудоемкостью не существуетмультиколлинеарности.
Мультиколлинеарность обозначает существованиетесной линейной зависимости или сильной корреляции между двумя или болеефакторами.
Исследоватьналичие мультиколлинеарности между этими факторами по данным десяти предприятийобщественного питания города, которые приведены в таблице.
Вариант 3.№ п\п Уровень затрат Собственная продукция Трудоемкость 1 16,9 40,4 20,2 2 16,2 18,9 21,3 3 15,5 16,6 31,4 4 18,2 41,4 18,9 5 17,3 12,2 24,8 6 17,1 31,4 19,4 7 16,4 32,6 19,3 8 16,7 38,7 19,6 9 14,2 44,3 25,7 10 17,2 39,3 22,1
Исследованиеналичия мультиколлинеарности по алгоритму Феррара-Глобера
1. Идентификация переменных.
У – уровеньрентабельности предприятий – результирующий показатель.
Х1 –относительный уровень затрат оборота – показатель-фактор.
Х2 – частьпродукции собственного производства – показатель-фактор.
Х3 –трудоемкость – показатель-фактор.
Таблица 1-Исходные данные, построение матрицы стандартизированных переменных№п\п Х1 Х2 Х3 Хi1-X1 Хi2-X2 Хi3-X3 Хi1* Хi2* Хi3* 1 15,6 19,2 21,1 -0,05 -24,79 -0,42 -0,015500616 -0,876 -0,0602 2 13,5 41 27,8 -2,15 -2,99 6,28 -0,666526495 -0,106 0,8998 3 15,3 41,3 21,7 -0,35 -2,69 0,18 -0,108504313 -0,095 0,0258 4 14,9 45,2 21,5 -0,75 1,21 -0,02 -0,232509242 0,0428 -0,0029 5 15,1 50,2 21,1 -0,55 6,21 -0,42 -0,170506778 0,2195 -0,0602 6 16,1 51,6 19,7 0,45 7,61 -1,82 0,139505545 0,2689 -0,2608 7 16,7 48 19,6 1,05 4,01 -1,92 0,325512939 0,1417 -0,2751 8 15,4 48,6 21,2 -0,25 4,61 -0,32 -0,077503081 0,1629 -0,0458 9 17,1 49,8 20,2 1,45 5,81 -1,32 0,449517869 0,2053 -0,1891 10 16,8 45 21,3 1,15 1,01 -0,22 0,356514172 0,0357 -0,0315 Сумм 156,5 439,9 215,2 Матрица Средн 15,65 43,99 21,52 стандартизованных Суммкв 10,405 800,8 48,716 переменных Х*
2. Исследованиеналичия мультиколлинеарности по алгоритму Феррара-Глобера.
Шаг 1.Стандартизация переменных.
Элементыстандартизованных векторов рассчитываются по формулам:
/>, i=1; n, j=1; m.
где n – число наблюдений;
m – число факторов;
σj2 – дисперсия j-го фактора.
Посколькудисперсия рассчитывается по формуле:
/>,
то формуледля стандартизации переменных примут вид:
/>, i=1; n, j=1; m.
Шаг 2.Нахождение корреляционной матрицы R(матрицы моментовстандартизованной системы нормальных уравнений).
Корелляционнаяматрица Rопределяется по формуле:
R=Х*Т·Х*,
где Х* – матрицастандартизованных переменных.
Длянахождения элементов корелляционной матрицы R последовательноиспользуем встроенные функции Транспонирование матриц – ТРАНСП и Произведениематриц – МУМНОЖ.
Проверкувычислений следует выполнять, и используя последовательно встроенную функциюКОРРЕЛ, учитывая при этом свойства корреляционной матрицы: корреляционнаяматрица является симметричной, на главной диагонали расположены единицы.
Таблица 2 –Нахождение корреляционной матрицыТранспонированная матрица стандартизированных переменных -0,01550062 -0,6665 -0,1085 -0,2325092 -0,171 0,14 0,32551 -0,0775 0,4495 0,3565 -0,87603791 -0,1057 -0,09506 0,0427594 0,2195 0,269 0,14171 0,16291 0,2053 0,0357 -0,06017464 0,89975 0,025789 -0,0028655 -0,06 -0,261 -0,2751 -0,0458 -0,189 -0,0315 Корреляционная матрица 1 0,222996 -0,8092664 Проверка 1 0,223 -0,809 R 0,223 1 -0,2146624 R 0,223 1 -0,215 -0,8093 -0,21466 1 -0,8093 -0,2147 1
Коэффициент корреляциимежду факторами Х1 и Х2=0,223
Коэффициент корреляциимежду факторами Х1 и Х3=-0,8093
Коэффициент корреляциимежду факторами Х2 и Х3=-0,21466./>
Вывод: наосновании значения коэффициента корреляции rX2X3=-0,21466. можно сделатьпредварительный вывод о наличии возможной мультиколлинеарности между факторамиХ2 и Х3.
Шаг 3.Критерий – Х2.
Расчетноезначение критерия Х2 определяется по формуле:
/>,
где />-определителькорреляционной матрицы R-детерминант корреляции.
По заданнойдоверительной вероятности Р и числу степеней свободы
/> находится табличное значение критерия Х2табл,которое сравнивается с расчетным.
– если Х2расч
– если Х2расч>Х2табл, то гипотеза об отсутствии мультиколлинеарности вмассиве факторов отклоняется, то есть с принятой надежностью можно утверждать,что в массиве факторов мультиколлинеарность существует.
Примечание: Если гипотеза оботсутствии мультиколлинеарности в массиве факторов принимается, то исследованиямультиколлинеарности останавливаются.
Выберемуровень значимости ά=0,05, следовательно доверительная вероятность Р=0,95.Число степеней свободы k=3. Табличное значение критерия Х2табл=Х2(0,95;3)=7,8.
Исследованиеналичия мультиколлинеарности в массиве факторов по критерию Х2 воболочке электронных таблиц Excel.
1. Находимопределитель матрицы, используя встроенную функцию МОПРЕД.
2. Находимнатуральный логарифм определителя, используя встроенную математическую функцию LN.
3. Находимрасчетное значение критерия.
4. Вводимрасчетное значение.
5. Делаемвывод о наличии мультиколлинеарности в массиве факторов, используя встроеннуюлогическую функцию ЕСЛИ.
Таблица3=Критерий Х2.Таблица 3 Определитель корреляционной матрицы 0,326758051 Натуральный логарифм определителя -1,118535287 Расчетное значение критерия
8,016169558 Табличное значение критерия 7,8 Вывод о наличии в массиве факторов мультиколлиниарности В массиве факторов существует мультиколлинеарность
Выводы:
– наосновании значения детерминанта корреляции />=0,33(→0) можно сделать предварительный вывод о наличии мультиколлинеарности вмассиве факторов;
– наосновании критерия – Х2 с надежностью Р=0.95 можно утверждать, что вмассиве факторов есть мультиколлинеарность.
Шаг 4. F-критерий Фишера.
Расчетныезначения F-критериядля каждого фактора определяются по формуле:
/>, j=1,2…m
где/> — диагональные элементыматрицы С=R-1;
По заданнойдоверительной вероятности Р и числом степеней свободы:
– k1=m-1 – степень свободызнаменателя;
– k2=n-m – степень свободычислителя(k1
Находитсятабличное значение F-критерия, которое сравнивается з расчетным:
– если Fjрасч
– если Fjрасч> Fjтабл, то гипотеза оботсутствии мультиколлинеарности между J-тым фактором и остальным массивом отклоняется,то есть с принятой надежностью можно утверждать, что между J-тым фактором и другимимультиколлинеарность существует.
Выбираемуровень значимости ά=0,05, следовательно, доверительная вероятностьР=0,95. Число степеней свободы k1=2, k2=7. Табличное значение критерия F0,95(2; 7)=4,74.
Исследованияналичия мультиколлинеарности каждого фактора со всеми другими факторами массивапо F-критерию Фишера в оболочке электронных таблиц Excel.
1. Находимрасчетные значения критерия F1, F2, F3 соответственно.
2. Вводимтабличное значение критерия.
3. Делаемвывод об отсутствии мультиколлинеарности фактора Х1 и факторами Х2 и Х3, используявстроенную логическую функцию ЕСЛИ.
Посколькуфункция будет копироваться в остальные ячейки столбца, то при введении адресячеек, которые сравниваются, нужно использовать абсолютную и относительнуюссылку.
4. Копируемполученную формулу в две нижние ячейки и делаем выводы о наличиимультиколлинеарности фактора Х2 с факторами Х1 и Х3 и Х3 с факторами Х1 и Х2.
Таблица 4-F-критерий ФишераМатрица, 2,91934678 -0,1508 2,3302 обратная корреляционной С -0,15080461 1,056096 0,1047 матрице 2,330157238 0,104663 2,9082 Значение F1 и вывод 6,71771373 Между факторм и другими мультиколлиниарность существует Значение F2 и вывод 0,196335919 Между фактором и другими мультиколлинеарность отсутствует Значение F3 и вывод 6,678648215 Между факторм и другими мультиколлиниарность существует Табличное значение 4,74 F – критерия
Выводы:
– междуфактором Х1 и факторами Х2 и Х3 существует мультиколлинеарность;
– междуфактором Х2 и факторами Х1 и Х3 не существует мультиколлинеарности;
– междуфактором Х3 и факторами Х2 и Х1 существует мультиколлинеарность;
Шаг 6. Расчеткоэффициентов частичной корреляции.
Коэффициентычастичной корреляции рассчитываются по формулам:
/>, k=1; m, j=1; m
где Cjj, Ckk– диагональные элементыматрицы С=R-1
Ckj – элемент матрицы С=R-1, которыйнаходится в k-тойстроке и в j-томстолбце.
Поскольку длямассива факторов, которые исследуются m=3, то необходимо рассчитывать 3 коэффициентачастичной корреляции r12(3), r13(2), r23(1).
Шаг 7. t– критерий Стьюдента.
Расчетныезначения t– критерия для каждой пары факторов определяются по формулам:
/>, k=1; m, j=1; m,
где rkj – соответствующиекоэффициенты частичной корреляции.
По заданнойдоверительной вероятности З и числом степеней свободы k=n-m находится табличноезначение, которое сравнивается с расчетным:
– если tjjрасч
– если tjjрасч>tjjтабл, то гипотеза оботсутствии мультиколлинеарности между k-тым и j-тым факторами отклоняется, то есть с принятойнадежностью можно утверждать, что между k-тым и j-тым факторамимультиколлинеарность существует.
Выберем уровеньзначимости ά=0,05, таким образом, доверительная вероятность Р= 0,95. Числостепеней свободы k=7. Табличное значение критерия t0,95(7)=1,89.
Исследованиеналичия мультиколлинеарности для каждой пары факторов по критерию Стьюдента воболочке электронных таблиц Excel.
1. Расчетныезначения находим по формуле.
2. Вводимтабличное значение критерия.
3. Модульрасчетного значения критерия r12(3 находим, используя встроенную математическуюфункцию ABS, при этом делаем относительную ссылку на столбец.
4. Делаемвывод о наличии мультиколлиниарности между факторами Х1 и Х2, используявстроенную логическую функцию ЕСЛИ. При этом делаем относительную и абсолютнуюссылку.
5. Полученнуюформулу копируем и делаем выводы о наличии мультиколлиниарности между факторамиХ1 и Х3, Х2 и Х3.
Таблица 5 – t – критерий СтьюдентаКоэффициэнты частичной корреляции r12 (3) 0,085885547 r13 (2) -0,79970784
r23(1) -0,10466296 Значение t-критерия Модули Выводы о наличии мультиколлиниарности t12 (3) 0,228074533 0,228075 Между факторами отсутствует мультиколлинеарность t13 (2) -3,52409329 3,524093 Между факторома существует мультиколлинеарность
t23(1) -0,27844144 0,278441 Между факторами отсутствует мультиколлинеарность tтабл 1,89
Выводы: снадежностью Р=0,95 можно утверждать, что:
– междуфакторами Х1 и Х2 мультиколлинеарность отсутствует;
– междуфакторами Х1 и Х3 мультиколлинеарность существует;
– междуфакторами Х2 и Х3 мультиколлинеарность отсутствует;
Общий вывод:Таким образом между факторами 1 и 3 модели, т.е. между относительным уровнемзатрат оборота и трудоемкостью существует мультиколлинеарность. Построитьмодель методом 1МНК нельзя, так как между факторами существуетмультиколлинеарность.