ЗАДАНИЕ №1
По предложенной выборкенаблюдений результативного признака у и факторных признаков х1, х2, х3требуется с помощью корреляционного анализа выбрать факторные признаки дляпостроения двухфакторной модели и пояснить свой выбор.n
у
х1
х2
х3 1 88 38 54 87 2 71 49 92 57 3 62 44 74 68 4 49 78 76 42 5 76 62 41 76
Решение
Для получения искомыхвеличин составим расчетную таблицу:
/>
Получим: x1 = 54,2, х2=67,4, х3=66; у*х1=3617; у*х2=4542,4; у*х3=4750,6; х1*х2=3657,2; х1*х3=3415,8; х2*х3=4256,4
Рассчитаем r коэффициенткорреляции между величинамиу и х1; у и х2; у и х3; х1 и х2; х2 и х3; х1 их3;
Cov(x*у)= х*у –х*у
Cov(x1*у)=3617-54.2*69.2 =-133,64
Cov(x2*у)=4542,4-67,4*69,2 =-121,68
Cov(x3*у)=4750,6-66*69,2 =183,4
Rх1у = cov(х1; у) = -133,64 = -133,64 =- 0,712
Var(x1)Var(y) 204,16*172,56 187,696
Rх2у = cov(х2; у)=-121,68=-121,68 = -0,5179
Var(x2)Var(y) 319,84*172,56 234,928
Rх3у = cov(х3; у)=183,4 =183,4 = 0,900
Var(x3)Var(y) 240,4*172,56 203,675
Cov(x1*x2)=x1*x2-x1*x
Cov(x1*x2)=3657,2-54,2*67,4=4,12
Cov(x1*x3)=3415,8-54,2*66=-161,4
Cov(x2*x3)==4256,4-67,4*66=-192
Rх1х2 = cov(х1; х2)=4,12=4,12 = 0,016
Var(x1)Var(х2) 204,16*319,84 255,5357
Rх1х3 = cov(х1; х3) = -161,4 = -161,4= -0,728
Var(х1)Var(х3) 204,16*240,4 221,54
Rх2х3 = cov(х2; х3) = -192 = -192= -0,692
Var(х2)Var(х3) 240,4*319,84 277,288
Построим расчетнуютаблицу для двухфакторной модели
/>
Для построениядвухфакторной модели по модулю подходят х1 и х3 т.к у них более высокийпоказатель, но по факторному признаку х1 и х3> 0,6 значит выбираем х1 и х2
ЗАДАНИЕ № 2
Результаты обследованиядесяти статистически однородных филиалов фирмы в таблице (цифры условные).Требуется:
А. Построить модельпарной линейной прогрессии производительности труда от факторафондовооруженности, определить коэффициент регрессии, рассчитать парныйкоэффициент корреляции, оценить тесноту корреляционной связи, найти коэффициентэластичности и бета – коэффициент: пояснить экономический смысл всехкоэффициентов;
Б. Построить модельмножественной линейной регрессии производительности труда от факторов фондо- иэнерго- вооруженности, найти все коэффициенты корреляции и детерминации,коэффициенты эластичности и — коэффициенты, пояснить экономический смысл всехкоэффициентов.
/>
Решение
А. Обозначимпроизводительность труда через у – резтивный признак, два другихпризнака фондовооруженость и энерговооруженность будут фак.х1 и х2. Рассмотримлинейную модель зависимости производительности труда – у от величиныфондовооруженности – х1 это модель выражения линейной функции f вида у = а0 + а1*х1, параметрыкоторой находят в результате решения системы нормального уровня, сформированныхна основе метода наименьших квадратов, суть которого заключается в то, что бысумма квадратов отклонений фактических уравнений ряда от соответствующих,выровненных по кривой роста значений была наименьшей.
/>а0*n+а_х1=_у
а0*_х1+а1*_х1^2=_(у*х1),
где суммированиеприводится по всем
— n- группам,
- параметры а0 и а1можнорассчитать по формуле:
/>а1= cov(х1*у) = ух1-ух1
var(х1) х2-2/х1
а0 = у-а1*х
/>10*а0+396*а1 = 959
396*а0+15838*а1= 38856
Составим расчетнуютаблицу
/>
Из расчета таблицы имеем
ух1 = 3885,60
х1 = 1583,80
Дополнительнорассчитываем
ух1 = 95,9*39,6 = 3797,64
х1 = (39,6)^2 = 1568.16
а1 = 3885,6-3797,64 = 87,96 =5,624040
1583,8-1568,16 15,64
а0 = 95,9-5,624040*39,6 = -126,81,
таким образомоднофакторная модель имеет вид:
у регр = а0+а1*х1
у регр = -126,812+5624041*х1
Полученное уравнениеявляется уравнением парной регрессии, коэффициента а1 в этом уравненииназывается коэффициентом регрессии. Знак этого коэффициента определяетсянаправлением связи между у и х2. В нашем случае эта связьобразуется а1 = +5,624040(+) – связь прямая.
/>
/>Теснота связи между у и х1 определяется коэффициентом корреляции:
rух1 = V1-о у регр.^ 2/ оу^2, где оу – средняя квадратная ошибкавыборки у из значений таблицыrух1 0.8809071
rух1 = V1-142.79937/637.49 = 0.8809071
Чем ближе коэффициенткорреляции к единице, тем теснее корреляционная связь: rух1=0,881, следовательно, связь между производительностьютруда и фондовооруженностью достаточно тесная.
Коэффициент детерминации rух1^2rух1^2 0.7759974
Это означает, чтофактором фондовооруженности можно объяснить 77,6% изменения производительноститруда.
Коэффициент эластичностиЭух1 = а1*х1 ср./ у ср.; Эух1 = 5,624040*39,6/95,9Эух1 2,322336
Это означает, что приувеличении фондовооруженности на 1%, производительность труда увеличится на2,3223%.
Бета коэффициент _ух1 =а1*ох1/оу,
_ух1 = 5,624040*V15.64/ V637,49 = 0,8809072_ух1 0,8809072
Это значит, чтоувеличение фондовооруженности на величину среднеквадратического отклонения этогопоказателя приведет к увеличению среднего значения производительности труда на0,88 среднеквадратического отклонения.
Б. Модуль множественныхрегрессий рассматривается на периметре двухфакторной линейной модели,отражающей зависимость производительности труда у, от величиныфондовооруженности (х1) и энерговооруженности (х2), модульмножественной регрессии имеет вид у = а0+а1у1+а2х2. Параметры модели а0,а1,а2, находятсяпутем решения системы нормальных уравнений:
/> а0*n+а1*Sх1+а2*Sх2=Sу
а0*Sх1+а1*Sх1^2+а2*S(х1*х2) = S(у*х1)
а0*Sх2+а1*S(х1*х2)+а2*Sх2^2 = Sу*х2)
/>10*а0+396*а1+787*а2 = 959
396*а0+15838*а1+31689*а2= 38859
787*а0+31689*а1+64005*а2= 78094
Рассчитаем таблицу
/>
Решаем систему нормальнымуравнением, методом Гаусса (метод исключения неизвестных).
Разделим каждое уравнениесистемы на коэффициент при а0 соответственно:
/>а0+39,6*а1+78,7*а2 = 95,9
а0+39,994949*а1+80,022727*а2= 98,128787
а0+40,26556*а1+81,327827*а2= 99,229987
из первогоуравнениясистемы вычитаем второе уравнение системы
/>а0+39,6а+78,7а2= 95,9
а0 +39,994949а1+30,022727а2= 98,128787
-0,394949-1,322727 =-2,228787
Из первого вычитаемтретье уравнение:
/>а0+39,6а+78,7а2= 95,9
а0+40,26556*а1+81,327827*а2= 99,229987
-0,665563-2,627827 =-3,329987
получим систему с двумянеизвестными
/>0,394949*а1+1,322727а2 = 2,228787
0,665565*а1+2,627827а2= 3,329987
Делим каждое уравнение наβ при а1 соответственно:
/>а1+3,349108а2 = 5,643227
а1+3,948265а2 = 5,003248
из первого вычитаемвторое
-0,599157а2= 0,639979
а2 = -1,0681323
Полученное значение а2подставим в уравнение с двумя неизвестными:
а1+3,349108а2 = 5,643227
а1 = 5,643227-3,349108*(-1,0681323)
а1 = 5,643227+3,577290
а1 =9,220517
Полученное значение а1и а2 подставим в любое из уравнений с тремя неизвестными
а0+39,6а+78,7а2 = 95,9
а0 = 95,9-39,6а1-78,7а2
а0 =95,9-39,6*9,220517-78,7*(-1,0681323)
а0 = 95,9-365,132473+84,062012
а0 = 185,170461
а0 = -185,170461
Получим модель:
у = а0+а1х1+а2х2
у = -185,170461+9,220517х1-1,0681323х2
Ответ:у =-185,170461+9,220517х1-1,0681323х2
/>
Парные коэффициентыкорреляции:
А. rух1 = ((у*х1)ср-уср*х1ср)/(оу*ох1)
rух1 0,881
Б. rух2 = ((у*х2)ср-уср*х2ср)/(оу*ох2),где ох2 = VS(х2-х2ср)^2/10
rух2 0,722
ох2 14,38
В. rх1х2 = ((х1*х2)ср-х1ср*х2ср)/(ох1*ох2)
rх1х2 0,921
Чем ближе коэффициенткорреляции к 1, тем теснее связь.
Коэффициент множественнойкорреляции:
А. rух1х2 = V(rух1^2+rух2^2-2*rух1*rух2*rх1х2)/(1-rх1х2^2)
rх1х2 0,91
Таким образом, степеньтесноты связи производительности труда с факторами фондовооруженности иэнерговооруженности является высокой.
Совокупный коэффициентдетерминации:
rух1х2^2 0,829
Это означает, чтосовместное влияние двух факторов определяет 82,9% производительности труда.
Частные коэффициентыкорреляции:
А. rух1(х2) = (rух1-rух2*rх1х2)/V(1-rух2^2)*(1-r х1х2^2)
rух1(х2) 0,831
т.е. теснота связи междупроизводительностью труда и фондовооруженностью, при энерговооруженности,значительная.
В.Rух2(х1) = (rух2-rух1*rх1х2)/V(1-rух1^2)*(1-r х1х2^2)
rух2(х1) -0,486
т.е. связи междупроизводительностью труда и энерговооруженностью, при неизменнойфондовооруженности, в данной выборке нет.
Частные коэффициентыэластичности:
А. эух1(х2)= а1*х1ср/уср
эух1(х2) 3.807
т.е. при увеличениифондовооруженности на 1% и неизменной энерговооруженности, производительностьтруда увеличится на 3,807%.
Б. эух2(х1)= а2*х2ср/уср
эух2(х1) -0,877
т.е. при увеличенииэнерговооруженности, производительность труда не изменится.
Частные бета βкоэффициенты:
А. βух1(х2)= а1*ох1/оу
βух1(х2) 1,444
это означает, что принеизменной энерговооруженности, увеличение на величину среднеквадратическогоотклонения размера фондовооруженности приведет к увеличению среднейпроизводительности труда на 1,444 среднеквадратического отклонения.
Б. Βух2(х1)= а2*ох2/оу
βух2(х1) -0,6083377
это означает, что связинет.