--PAGE_BREAK--
Синхронизирующие моменты
Рис.1. Входной поток заявок
Обслуживающая система (ОС) представляет собой совокупность устройств (канал, прибор), которые обеспечивают обслуживание заявки, пришедшей в систему. Обслуживающая система характеризуется пропускной способностью (скоростью обслуживания), т.е. числом обслуженных заявок в единицу времени, и законом распределения времени обслуживания заявок. Примерами таких систем могут служить коммутатор телефонной станции, станок, на котором обрабатываются детали, машины химчистки одежды, оператор сберегательного банка, дежурная справочного бюро и пр.
Поток обслуживающих заявок, выходящих из обслуживающей системы, называется выходным потоком заявок. Параметром выходного потока является интенсивность.
Всякая система массового обслуживания имеет определенную дисциплину очереди, т.е. порядок обслуживания пришедших заявок. Дело в том, что бывают случаи, когда система обслуживания не в состоянии немедленно обслужить все заявки. В результате образуется очередь из заявок, пришедших на обслуживание. То, в каком порядке заявки из очереди будут поступать в обслуживающую систему, определяется дисциплиной очереди. Например, первой заявка поступила и первой обслуживалась; последней заявка поступила и первой обслуживалась; случайный порядок обслуживания заявок; обслуживание определенных заявок в первую очередь (заявки с приоритетом) и т.п.
Рассмотрим более детально характеристики входного потока заявок (ВПЗ) и простейшие системы массового обслуживания (СМО).
Потоком однородных событий называют временную последовательность появления заявок на обслуживание при условии, что все заявки являются равноправными. Существуют также потоки неоднородных событий, когда та или иная заявка обладает каким-то приоритетом.
Если поток однородный, то каждое событие характеризуется только моментом времени его наступления tj. Существуют два способа задания однородных событий. Первый заключается в перечислении всех известных моментов tj, второй — в указании зависимости, позволяющей рассчитать t
j
по предыдущим значениям.
Однако на практике более интересны случайные потоки однородных событий, задаваемые законом распределения, который и характеризует последовательность t1, t2,…tmили последовательность интервалов между случайными событиями ξ1, ξ2…ξm. Совокупность случайных величин {ξ} считается заданной, если при к≥1 определена совместная функция распределения вида
F
(
z
1,z2,…
zk
) = Р(
ξ
1
z
,
ξ
2
z
2,…,
ξk
zk
)
или для непрерывной случайной величины соответствующая плотность распределения вероятностей f(z1,z2,…zk)
Часто применяется случайный поток событий с ограниченным последействием (когда случайные величины ξjявляются независимыми).
Существуют также стационарные потоки, для которых вероятностный режим потока во времени остается неизменным. Это означает, что число заявок, поступивших в СМО в единицу времени, постоянно.
Потоком с отсутствием последействия называется такой поток, у которого число заявок, поступивших в данный момент времени, не зависит от числа заявок, обслуженных в предыдущий момент времени. Поток с отсутствием последействия является частным случаем потока с ограниченным последействием. Для потока без последействия вероятность Pk(t0,t) наступления k
событий за интервал (t0,t+t) не зависит от возникновения событий до момента t0.
Для потоков с ограниченным последействием совместная функция плотности f(z1,z2,…zk) может быть представлена в виде
f(z1,z2,…zk)= f1(z1),f2(z2),…fk(zk)
Стационарный поток с ограниченным последействием имеет следующее соотношение:
F2(z)=f3(z)=…=fk(z)=f(z)
Это означает, что при j> 1 интервалы ξjимеют одинаковое распределение. Математическое ожидание случайной величины ξjпри j> 1
μ=,
где μ имеет смысл средней длины интервала между последовательными заявками.
Для стационарных потоков с ограниченным последействием можно ввести понятие интенсивности потока λ в виде λ=1/μ
Эта величина характеризует среднее количество событий в единицу времени для данного потока.
Примером стационарного потока с ограниченным последействием является поток с равномерным распределением интервалов времени между заявками. Функция плотности f
(
z
) такого потока имеет вид
F
(
z
) =1/
b
, ≤
z
≤
b
.
Такой поток часто используется в практических задачах, возникающих в экономических приложениях.
Ординарным потоком называется такой поток, в котором невозможно появление двух и более событий одновременно. В практике часто приходится сталкиваться с групповыми заявками, т.е. несколькими событиями, проявляющимися одновременно. Такие потоки не являются одинарными.
В теории СМО весьма большое значение имеет так называемый простейший поток однородных событий, называющийся потоком Пуассона (пуассоновский поток). Этот поток должен быть стационарным, однородным и без последействия.
Для потока Пуассона вероятность Рк (t
) наступления события за интервал времени длиной / записывается следующим образом:
Pk(t)=,
где е — основание натурального логарифма; λt
— среднее число заявок, поступивших на обслуживание за интервал t
;
k
— количество заявок за интервал времени t.
Функция плотности вероятности этого потока
F
(
z
) = λ
e
-
λz
, λ = 1/
t
,
где λ — интенсивность или плотность потока.
Для расчетов параметров СМО на основе потока Пуассона необходимо проверить, соответствует ли поток закону распределения Пуассона. Признаком потока Пуассона является равенство математического ожидания дисперсии , т.е.
Пусть х — число заявок, поступивших за единицу времени, т — число единиц времени с соответствующим поступлением заявок, п — общее число единиц времени.
Пример. Проверить, является ли поток требований в систему распределенным по закону Пуассона.
Теперь рассчитаем
Дисперсия потока
В связи с тем, что, поток можно считать пуассоновским.
Простейший поток и поток с равномерным распределением интервалов времени между последовательными событиями наиболее часто применяются в теории и практике СМО.
Часто используется также ординарный стационарный поток с отсутствием последействия, который называется потоком Эрланга. Потоком Эрланга порядка т называют поток, для которого
Где λ=/m
Поток событий называется регулярным, если длина интервала между событиями является постоянной величиной. Примерами такого потока могут служить ежедневные сводки о каких-либо событиях (отчеты о дневной выручке в магазине, ежедневная сумма сделок на бирже или прихода средств в банк и т.п.), регламентированный поток деталей, сходящих с конвейера, поток поездов в метро и др.
Если известна длина интервала регулярного потока а, то данный поток полностью определен во времени и не является случайным. Регулярный поток также является ординарным и стационарным. Однако регулярный поток является потоком с последействием. Интенсивность регулярного потока будет
Потоки событий различного вида могут разряжаться и объединяться. К сожалению, эти термины могут применяться только к потокам определенного вида. Например, если интервалы в потоке Эрланга n-го порядка уменьшить в n+1 раз, то интенсивность полученного потока станет равной интенсивности исходного пуассоновского потока, с ростом n
такой поток становится сколь угодно близким к регулярному с той же интенсивностью. Такие нормированные потоки Эрланга дают различные типы потоков с последействием, начиная от потоков без последействия (n= 0) и кончая регулярными (n= ∞).
Если происходит объединение нескольких независимых ординарных потоков с сопоставимыми интенсивностями, то с ростом числа слагаемых потоков объединенный поток приближается к простейшему с возможной нестационарностью. Если слагаемые потоки стационарны, то в пределе получается пуассоновский поток. Интенсивность объединенного потока равна сумме интенсивностей каждого из них.
Поток, получаемый в результате случайного разряжения или объединения пуассоновских потоков, также является пуассоновским.
Как будет показано ниже, используя потоки Эрланга и Пуассона, можно рассчитать аналитически установившиеся значения различных параметров СМО. Однако применение этих потоков в практике имитационного моделирования в чистом виде, без специальной корректировки, учитывающей изменения типа потока, его интенсивности и т.п., крайне ограничено.
Таким образом, вышеприведенные математические описания потоков однородных событий позволяют осуществить формализацию процессов функционирования СМО.
Пусть tож— время ожидания обслуживания, тогда в первом случае поступившая заявка может иметь три варианта поведения, а именно: покинуть систему (t
0Ж
= 0), встать в очередь на обслуживание до того момента, пока не освободится свободный канал (tож= ∞), и, наконец, встать в очередь с ограничением времени ожидания обслуживания (tож≠∞).
Исходя из этого СМО подразделяются на системы с отказами (t
ож
= 0), системы с ожиданием (
t
ож
=∞) и сиc
темы с ограниченным ожиданием (0t
ож
Рассмотрим теперь время обслуживания заявки (время занятости линии) tобскак параметр обслуживающей системы.
Время обслуживания требований является случайной величиной и может изменяться в большом диапазоне. Случайная величина tобС характеризуется законом распределения, который может определяться на основе статистических испытаний. На практике часто исходят из гипотезы о показательном законе распределения времени обслуживания.
При таком распределении времени обслуживания функция распределения времени обслуживания имеет вид
где θ= — интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством; tбс — среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.
При показательном законе распределения времени обслуживания и при наличии nобслуживающих линий одинаковой мощности
Важным параметром СМО является коэффициент загрузки
Величина показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за время обслуживания одного требования одним устройством. В этом случае количество обслуживающих устройств п должно быть не меньше коэффициента загрузки:
В противном случае очередь будет бесконечно расти.
Ниже приведены расчетные формулы для определения важнейших характеристик качества функционирования СМО при показательном законе распределения времени обслуживания заявок.
1. Вероятность того, что все обслуживающие системы свободны,
2. Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты,
3. Среднее число устройств, свободных от обслуживания,
4. Коэффициент простоя обслуживающих устройств
5. Среднее число устройств, занятых обслуживанием,
6. Коэффициент загрузки системы
7. Средняя длина очереди
8. Среднее время ожидания требований в очереди
или
Сущность имитационного моделирования СМО заключается в том, что необходимо построить алгоритмы, вырабатывающие случайные реализации заданных событий или потоков. Это означает, что нужно проимитировать все входные потоки, задать случайные значения времен обслуживания заявок для каждого канала, а также дисциплину очереди.
4. Вопросы формирования случайных потоков событий
Выше были показаны способы применения простейших случайных потоков событий. Как правило, такие потоки должны обладать свойствами стационарности, отсутствия последействия и однородности. Если выполнить все эти условия, то имитационное моделирование СМО в отличие от аналитического решения сможет дать дополнительно только значения качественных параметров в переходном процессе, т.е. в начальный период функционирования СМО. Установившиеся значения с точностью до инструментальной ошибки должны быть одинаковы.
Вместе с тем можно утверждать, что применение простейших потоков случайных событий при аналитическом или имитационном моделировании на основе СМО сложных экономических объектов не является эффективным и, как правило, создает ошибочное представление о качестве функционирования объекта.
В качестве примера рассмотрим сравнительно простой случай моделирования на основе СМО швейной фабрики. Пусть швейная фабрика имеет 30 машин для шитья одежды. Машины работают две смены — 18 ч. В среднем одна машина шьёт 10 заказов за час, 180 заказов за 2 смены в день. Все 30 машин за 2 смены шьют 5400 заказов. В среднем за день на фабрику поступает от 5000 до 7000 заказов. Требуется определить оптимальное количество работающих машин, длины очередей клиентов и среднее время нахождения в очереди.
Используя введенные выше зависимости, можно вычислить значения среднего числа машин швейной фабрики, свободных от работы No
, среднюю длину очереди клиентов L
и среднее время ожидания клиентов в очереди tож. Естественно, что для = 5000 заказов/день и = 7000 заказов/день характеристики качества обслуживания будут совершенно различными. Учитывая, что среднеечисло заявок обслуживаемых в единицу времени , где —среднее время обслуживания одного заказа одной швейной фабрики, причем θ=1/80 сут., вычислим коэффициент интенсивности нагрузки . Величина характеризует среднее число машин, которое необходимо иметь, чтобы обслужить за сутки (сутки приняты за единицу времени) все поступившие заказы. Таким образом, необходимо иметь всего 27,7 машины для случая , а для .λ2= 7000 необходимое количество машин составит более 38 (а2= 38,8). Чтобы очередь заказчиков не росла безгранично, необходимо выполнить условиеa/n1, где п — число машин швейной фабрики. Поскольку в нашем примере на фабрике имеется 30 швейных машин, то .
Следовательно, для входного потока с =7000 заказов/день очередь будет безгранично расти.
Рассмотрев итоги приведенных расчетов, мы пришли к следующим выводам.
1. Мы не можем сказать, сколько швейных машин нужно установить, чтобы обслуживать потоки с =5000, .λ2= 7000, так как а меняется от 27,7 до 38,8.
2. В связи с тем, что потоки заявок в системе рассчитаны для средних суток, расчеты величин очереди L
и среднего времени ожидания обслуживания tож, как и другие качественные параметры, будут рассчитаны неверно, так как интенсивность потока в различные часы суток различна и может меняться до 3—5 раз. Конечно, можно рассчитать эти параметры за каждый час отдельно, но и это будет неверно, так как СМО будет находиться в постоянном переходном процессе. В этом случае входной поток будет не стационарным и с последействием, поскольку математическое ожидание числа заказов в единицу времени будет меняться в 3—5 раз, а число заказов, поступившее, например, в 20 ч, зависит от того, сколько их было фактически за каждый предыдущий час.
3. Цикл работы швейной фабрики равен одному году, так как услуги шитья обладают существенной сезонностью. Имеет место весенний и осенний пики потока заказов, а на лето и зиму приходится снижение интенсивности заказов. Весной одежду меняют с зимней на летнюю, а осенью наоборот. Расчет по средней интенсивности потока заказов ничего хорошего не дает, так как в пик будет перегрузка, а в спад — недогрузка. Разница между ними составляет опять же 3—5 раз.
4. Кроме того, имеет место цикличность работы и в зависимости от дня недели и в течение каждого дня.
На основании этих частных выводов приходим к следующему общему выводу. Ниодин параметр нашей швейной системы не будет найден достоверно как при аналитических расчетах, так и при имитационных, если будут использованы входные потоки Пуассона, обладающие стационарностью, однородностью и отсутствием последействия. Поэтому использование входных потоков такого вида или даже модифицированных в реальных расчетах в чистом виде неприемлемо.
Это означает, что если используется какой-то входной поток, закон распределения которого можно записать в аналитической форме, то он должен быть, по крайней мере, преобразован в поток, учитывающий все необходимые факторы, воздействующие на данную СМО. После этого он становится не однородным, не стационарным с последействием и даже не ординарным.
Если взять поток Пуассона, то вероятность поступления за время t
ровно k
заявок
Блоки 2—4 модели должны воздействовать на параметры k
и λтаким образом, чтобы значение скорректированного потоказависело от месяца , дня недели у2и времени суток у3:
Вид конкретной зависимости может быть задан как аналитически, так и таблично или при помощи логических фраз. Только после такого преобразования входного потока можно приступать к имитационному моделированию, например, той же фабрики химчистки.
продолжение
--PAGE_BREAK--