Будем называть равновесное состояние устойчивым, если оно мало изменяется при малых возмущениях. Приведём некоторые примеры. 1. Тяжелый шар на поверхности, имеющей вершины, впадины и горизонтальные участки. В том случае, когда шарик находится на вершине, составляющая силы тяжести Т, возникающая при его отклонении, уводит его от первоначального состояния, для шарика, находящегося во впадине сила Т будет возвращать отклонённый шарик в первоначальное состояние и он будет колебаться
в окрестности наиболее низкой точки впадины, т.е. при малых отклонениях состояние шарика будет также меняться мало. Случай шарика, находящегося на горизонтальной поверхности, будет случаем разграничивающим рассмотренные выше не устойчивые и устойчивые равновесные состояния. Такое состояние называется безразличным. 2. Хорошо знакомую картину разрушение образца при растяжении с образованием шейки можно трактовать, как потерю устойчивости цилиндрической формы образца.
По мере приближения состояния образца становится неустойчивой, образуется шейка и малым изменениям силы соответствуют значительные изменения конфигурации системы. Предполагается, что стержень идеально прямой, а сила прилаженная строго по оси (что, конечно, практически невозможно). Для того, чтобы судить устойчиво ли данное равновесное состояние, надо приложить горизонтальную возмущающую силу, которая вызовет прогиб. Если сила
Р невелика, то прогиб окажется малым, равновесное состояние (прямолинейное) фактически не изменится . Однако если сила Р превысит некоторое значение называется критическим (F кр ), то равновесное состояние становится неустойчивым, т. е. любые малые возмущения приведут к значительным прогибам. Зависимость между прогибом и силой показана действительное поведение стержня, которое можно обнаружить с помощью нелинейных решений, сплошной чертой показано грубое, линейное решение задачи.
Задача Эйлера Рассмотрим центрально сжатый шарнирно закрепленный с обоих концов стержень. Эта задача была решена Л. Эйлером. Существо задачи состоит в том, что задача об устойчивости по отношению к заданному возмущению подменяется задачей о возможности существования двух различных форм равновесия при одном и том же значении силы F. Очевидно, что прямолинейная равновесная форма возможна (y = 0). Допустим, что наряду с прямолинейной равновесной формой возможна и криволинейная равновесная форма,
показанная на рисунке.