Сложение колебаний

Реферат На тему Сложение колебаний Студента I го курса гр. 107 Шлыковича Сергея Минск 2001 Векторная диаграмма Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Сложение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости.

Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой. Возьмем ось, вдоль которой будем откладывать колеблющуюся величину x. Из взятой на оси точки О отложим вектор длины A, образующий с осью угол б. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью щ0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси x в пределах от А до A, причем координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени. Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью x угол, равный начальной фазе колебаний.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебание будет суммой колебаний х1 и x2, которые определяются функциями , 1 Представим оба колебания с помощью векторов A1и А2. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось x равна сумме проекций складываемых векторов

Поэтому, вектор A представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью щ0, как и векторы А1 и А2, так что сумма x1 и х2 является гармоническим колебанием с частотой 0, амплитудой A и начальной фазой б. Используя теорему косинусов получаем, что 2 Также, из рисунка видно, что 3 Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить

сложение функций сложением векторов, что значительно проще. Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях. Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой щ по гармоническому закону, то 1 Где ex и eу орты координатных осей x и y, А и B амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки частицы

из положения равновесия. В случае колеблющейся частицы величины , 2 определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения 2 представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений 2 параметр t. Из первого уравнения следует, что 3

Соответственно 4 Развернем косинус во втором из уравнений 2 по формуле для косинуса суммы Подставим вместо cos щt и sinщt их значения 3 и 4 Преобразуем это уравнение 5 Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз б. Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.

1. Разность фаз б равна нулю. В этом случае уравнение 5 упрощается следующим образом Отсюда получается уравнение прямой Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой и амплитудой, равной рис. 1 а. 2. Разность фаз б равна . Из уравнение 5 имеет вид Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой рис. 1 б

Рис.1 3. При уравнение 5 переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность. Случаи и отличаются направлением движения по эллипсу или окружности. Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса

R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний , знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус движению по часовой стрелке. Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Фигура Лиссажу для отношения частот 12 и разности фаз 2

Фигура Лиссажу для отношения частот 34 и разности фаз р2