Теории временной структуры процентных ставок

Содержание
Введение
1. Временная структура процентных ставок
1.1 Основные определения
1.2 Кривая доходности
2. Теории временной структуры процентных ставок
2.1 Теория ожиданий
2.2 Теория предпочтения ликвидности
2.3 Теория об изменяющейся во времени премии за срок
2.4 Теория сегментации рынка
2.5 Теория «предпочитаемой среды»
3. Модели кривой доходности
3.1 Модель Васичека
3.2 Модель Нельсона-Сигеля
3.3 Модель Свенссона
Заключение
Практическая часть
Список литературы

Введение
Рынокгосударственных ценных бумаг играет большую роль в экономике страны. Распространеннойпрактикой финансирования дефицитного бюджета и реализации государственныхинвестиционных проектов стали операции на открытом рынке. Более того, покупка ипродажа облигаций является основным инструментом денежно-кредитной политикицентрального банка.
Благодаряактивному изучению теории финансовых рынков, появилось большое число моделей иразработок по функционированию сегментов финансового рынка, в том числе и рынкагосударственных ценных бумаг. Одним из предметов исследования теории финансовыхрынков является анализ временной структуры процентных ставок, т.е. анализсоотношения между доходностью государственных облигаций и сроком их погашения.Данное направление включает в себя модели, которые используются притеоретическом анализе финансовых рынков на макроэкономическом уровне, а такжепри практической работе на рынках срочных и производных финансовыхинструментов.
Актуальностьвыбранной темы состоит в том, что специалист, работающий с финансовымиактивами, должен ориентироваться в существующих теориях и выбирать верный путь.
Цельработы состоит в изучении теорий временной структуры процентных ставок. Дляэтого опишем временную структуру процентных ставок, охарактеризуем существующиетеории временной структуры процентных ставок, показать современные практическиеразработки по данной теме.
Перваяглава содержит основные понятия и определения, используемые в теории временнойструктуры. Во второй главе рассмотрены пять теорий временной структурыпроцентных ставок (ожиданий, предпочтения ликвидности, об изменяющейся вовремени премии за срок, сегментации рынков и «предпочитаемой» среды)и их положительные и отрицательные стороны. В третьей главе рассмотрим триосновные модели кривой доходности (модель Васичека, модель Нельсона-Сигеля,модефикационную модель Нельсона-Сигеля — Модель Свенссона).

1. Временная структура процентных ставок
1.1 Основные определения
Преждечем приступить к описанию теорий временной структуры процентных ставок,необходимо определить основные понятия, которые будут использоваться в работе.
Облигация – это любоедолговое обязательство, оформленное в виде рыночной ценной бумаги, платежи(платеж) по которому определены в номинальных (денежных единицах) или реальных(напр., по отношению к индексу потребительских цен) величинах.
Облигации бывают двухвидов:
· Дисконтнаяоблигация – ценная бумага, доход по которой определяется за счет разницы(дисконта) между ценой покупки (размещения) облигации и её номиналом,уплачиваемым при погашении.
· Купоннаяоблигация – ценная бумага, доход по которой складывается как сумма купонныхвыплат за период обращения облигации и, возможно, дисконта (положительного илиотрицательного) между ценой покупки (размещения) облигации и её номиналом,уплачиваемым при погашении. В большинстве случаев будем рассматриватьдисконтные облигации. Дата погашения (maturity) – установленная при выпуске(размещении) облигации дата выплаты номинала облигации, T.
Срок до погашения (term,time to maturity) – временной интервал от текущей даты до даты погашения даннойоблигации, m = T – t.
Дюрация (duration) –взвешенное среднее временных интервалов до всех купонных платежей за период допогашения облигации, где в качестве весов выступают купонные ставки, D. Длядисконтной облигации D = m.
В каждый момент времени tдисконтная облигация с датой погашения T (со сроком до погашения m) имеетрыночную цену p(t, T), или p(t, m), которая определяется в результате достиженияравновесия между спросом и предложением. Если принять номинал облигации заединицу, то, очевидно, в любой момент времени t'
/>,
где r(t, T) – доходностьк погашению (ставка процента) в момент t дисконтной облигации с датой погашенияT. Приравняв цену облигации в момент погашения к единице, т.е. p(t' = T, T) =1, получим:
/>.
В даннойформе записидоходность к погашению называется еще спот-ставкой (spot-rate) по облигации, либо доходностью к погашению в непрерывном исчислении (continuously compounded yield to maturity), мгновенной ставкойпроцента (instantaneous compoundinterest).
1.2 Криваядоходности
криваядоходность процентный ликвидность
В каждый момент временина рынке наблюдается множество спот-ставок по облигациям с различными датамипогашения (сроками до погашения). Временной структурой процентных ставок (termstructure of interest rates) называется функция, связывающая доходность кпогашению каждой из облигаций с ее сроком до погашения, т.е. r(t, m) = F(t, m),или

/>.
Такжевременная структура процентных ставок определяетсякак оценка динамики процентных ставок во времени, прогнозируемаяс учетом ожидаемых темпов инфляции и объемов предложения и спроса на деньги.
Кривая доходности (yieldcurve) – график, отображающий соотношение между доходностью облигаций сразличными сроками до погашения и сроком до погашения (рис. 1). Криваядоходности дает представление о временной зависимости процентных ставок иобновляется ежедневно с изменением доходности к погашению.
Пооси ординат откладывается уровень процентной ставки, по оси абсцисс – время допогашения. Исходя из конъюнктуры рынка, кривая доходности может иметь различнуюформу, как это представлено на рисунке.
/>
Рис.1. Графикизависимости доходности облигаций от срока, остающегося до погашения

Нарис. 1а кривая доходности параллельна оси абсцисс. Это означает, что процентнаяставка одинакова для облигаций с различными сроками погашения.
На рис. 1б процентнаяставка возрастает по мере увеличения срока обращения облигаций. Данная формакривой наиболее характерна для рынка.
На рис. 1в представленобратный случай. Он может возникнуть, когда в экономике ускоряются инфляционныепроцессы. Чтобы сдержать инфляцию, правительство начинает проводить политикусокращения денежного предложения и повышения краткосрочной процентной ставки.Обратная форма кривой может также наблюдаться на рынке в преддверии экономическогоспада.
Рис. 1г описываетконъюнктуру, когда среднесрочные ставки по облигациям выше краткосрочных идолгосрочных. Построив кривую доходности, аналитик получает картинураспределения процентных ставок во времени.
Процентный спрэд пооблигациям (yield spread) – разность между доходностью облигации со сроком допогашения m и доходностью облигации, погашаемой в момент t + 1, т. е. s(m, t) =r(t, m) – r(t, 1).
Различают спотовую ифорвардную процентные ставки. Спотовая ставка (spot rate) измеряется в конкретный момент времени какдоходность к погашению по бескупонной облигации. Спот-ставку можно представлятькак процентную ставку, связанную со спот-контрактом. Спот-контрактподразумевает заем денег одной стороной у другой, который должен быть возвращенвместе с процентами по нему в определенный момент времени в будущем.
Форвардная ставка(forward rate) – неявная (implicit) ставка, определяемая на основе наблюдаемойвременной структуры процентных ставок. Форвардная ставка на будущий период n =T – t' равна ставке, вычисляемой в момент t на основе спот-ставок по облигациямсо сроками до погашения t' и T, и рассчитывается по следующей формуле (длядисконтных облигаций):
/>.
Зависимость междуфорвардной и спотовой ставками на основе простого процента имеет вид:
/>
где rt2 – спот ставка для периода t2 ;
rt1 – спот ставка для периода t1 ;
r2,1 – форвардная ставка для периода t2 – t1;
Отсюда форвардная ставкаравна:
/>
Форвардная ставка нарынке определяется существующими ставками спот. Именно данная ставка будетзаписываться в контрактах на процентную ставку для будущих периодов времени.Так происходит потому, что в противном случае с помощью ставок спот инвесторможет сам обеспечить себе для будущего периода времени заимствование иликредитование под ставку, равную форвардной.

/>
Рис. 2. Зависимость междудоходностью купонной облигации, бескупонной облигации и форвардной ставкой; 1)форвардная ставка; 2) ставка спот; 3) доходность купонной облигации
Принцип расчетафорвардных ставок: форвардные ставки определяются при условии, что доходы заопределенный период времени одинаковы и не зависят от срока погашения техоблигаций, которые инвестор использовал за тот период времени.
Зависимость междуфорвардной и спотовой ставками на основе сложного процента имеет вид:
/>
где rtn– спот ставка для периода tn;
rtm – спот ставка для периода tm;
rф – форвардная ставка для периода tn– tn-m;
Отсюда форвардная ставкаравна:
/>

2. Теории временной структуры процентныхставок
Интереск изучению временной структуры процентных ставок возник в конце XIX века. Существует несколько теорийкривой доходности ценных бумаг. Наиболее проверяемой теорией является теорияожиданий.
2.1 Теорияожиданий
Вобщем виде теория ожиданий предполагает, что долгосрочные процентные ставкиотражают ожидания краткосрочных ставок. Различают два типа теории ожиданий:чистую теорию ожиданий и теорию ожиданий.
Чистая теория ожиданийутверждает, что долгосрочные процентные ставки равны среднему от ожидаемыхкраткосрочных процентных ставок. В первоначальном виде теория ожиданийпредполагала совершенное предвидение и нейтральность инвесторов по отношению криску. Это утверждение равносильно нескольким эквивалентным определениям.
1) Ожидаемая доходностьот владения облигациями с любыми сроками до погашения за период времени /> будет одинаковой и равнаспот-ставке по облигации с сроком до погашения />:
/>,
2) Спот-ставка пооблигации, погашаемой через /> периодов, равна ожидаемой ставкеза период владения облигацией с большим сроком до погашения:
/>.

3) Доходность долгосрочной облигации равна среднему ожидаемыхдоходностей краткосрочных облигаций за весь срок до погашения:
/>.
4) Форвардная премия засрок равна нулю для любого срока до погашения (форвардная ставка равнаожидаемой спот-ставке):
/>.
Однако многие ученые указывали на то, что в данном видетеория ожиданий противоречит ряду требований. Развитие теории рациональныхожиданий позволило преодолеть возникшее противоречие. С этого времени теорияожиданий для временной структуры предполагала наличие ненулевой премии взависимости от срока до погашения. Теория рациональных ожиданий применительно квременной структуре процентных ставок вошла в большинство учебников по теориифинансов, макроэкономике и денежной теории под названием собственно теорииожиданий.
Согласно данной теории ожиданий ожидаемая избыточная доходность(премия за срок) равна постоянной величине, одинаковой для облигаций со всемисроками до погашения,
/>,
т. е. форвардная премияза срок постоянна и одинакова для всех сроков до погашения:

/>.
Оба вида теории ожиданийобладают рядом свойств, позволяющих объяснить форму наблюдаемых кривых доходности.Во-первых, они объясняют, почему доходности облигаций с различными сроками допогашения движутся однонаправлено. Если рост краткосрочных процентных ставоксегодня воспринимается как долгосрочное повышение уровня процента, тосохраняются ожидания их роста и в будущем. Ожидаемое повышение краткосрочныхставок вызывает рост долгосрочных ставок в текущем периоде. Таким образом,краткосрочные и долгосрочные ставки движутся однонаправлено.
Во-вторых, теорииожиданий объясняют, почему кривая доходности имеет положительный наклон, когдакраткосрочные ставки низки, и отрицательный наклон, когда краткосрочные ставкивысоки. Если краткосрочные ставки низки (ниже долгосрочного среднего уровня),то экономические агенты ожидают их роста, если высоки (выше долгосрочногосреднего уровня) – снижения. Таким образом, долгосрочные ставки, равныесреднему текущих и будущих краткосрочных ставок, оказываются выше или нижедоходности коротких облигаций.
В-третьих, данные теорииобъясняют большую волатильность краткосрочных ставок по сравнению с долгосрочными.Поскольку процентные ставки демонстрируют свойство возвращаться к среднему, тосреднее краткосрочных ставок должно иметь меньшую волатильность, чем самиспот-ставки.
Однако теории ожиданий немогут объяснить тот факт, что кривая доходности имеет преимущественно положительныйнаклон. В этом случае, согласно теории, краткосрочные процентные ставки чащенаходятся ниже долгосрочного среднего уровня. Кроме того, согласно приведеннымвыше формулировкам обоих типов теории ожиданий кривая доходности должнастремиться к горизонтальной прямой, что на практике наблюдается редко.
Допущение о возможностиналичия постоянной премии за срок позволило сблизить теорию ожиданий иальтернативный подход, развиваемый на протяжении десятилетий – теориюпредпочтения ликвидности.
Применительно к анализувременной структуры российского рынка ценных бумаг особо стоит выделить работы,посвященные проверке теории ожиданий на развивающихся рынках ( Энтов, Радыгин,Мау, Синельников, Трофимов, Дробышевский, Луговой и др., 1998). Исследованияпоказали, что хотя чистая гипотеза ожиданий не оправдывается, предсказательнаяспособность временной структуры процентных ставок на развивающихся рынках соответствует,в целом, результатам, полученным для развитых финансовых рынков, и текущиедолгосрочные процентные ставки содержат информацию о будущих коротких ставкахпроцента.2.2 Теория предпочтения ликвидности
Теория предпочтенийликвидности (liquidity preference hypothesis) предполагает, что форварднаяпремия за срок постоянна во времени, но зависит от срока до погашенияоблигации, />. Облигации с большимсроком до погашения рассматриваются как более рисковые, чем краткосрочныеоблигации, даже если мы рассматриваем один и тот же период владенияоблигациями. С ростом срока до погашения премия за ликвидность и,соответственно, ожидаемая ставка за период владения облигацией увеличиваются:
/>.
Теория предпочтенияликвидности объясняет (в той же логике, что и гипотеза ожиданий)однонаправленное движение краткосрочных и долгосрочных спот-ставок,положительный наклон кривой доходности. Однако она не может в полной мереобъяснить отрицательный наклон кривой доходности. Согласно данной гипотезе,долгосрочные ставки могут быть ниже краткосрочных только в том случае, есликраткосрочные ставки настолько сильно превышают средний уровень, что этоперекрывает положительную премию за срок.
Дальнейшее развитиегипотезы было направлено на изучение свойств премии: является ли премияпостоянной, либо она изменяется под воздействием других факторов.2.3Теория об изменяющейся во времени премии за срок
Теория об изменяющейся вовремени премии за срок (time varying term premium) учитывает возможностьвлияния экзогенных переменных состояния на уровень и знак форвардной премии засрок. Ожидаемая избыточная доходность от владения облигациями с разными срокамидо погашения зависит как от срока до погашения, так и от экзогенных факторов,изменяющихся во времени. Таким образом, премия за срок зависит от срока допогашения облигации и изменяется во времени:
/>,
где z = z(t) – функция,описывающая изменение переменной состояния во времени.
Наибольшеераспространение получило направление исследований, связывающих колебания и знакпремии за срок с движением макроэкономических переменных и циклов экономическойактивности. В работах Барро, Плоссера, Турновски и Миллера, Ли изучалисьэффекты фискальной политики и государственных расходов на динамикукраткосрочных и долгосрочных ставок. В частности, выполняется ли условие «эквивалентностиРикардо» для ставок с различными сроками до погашения облигации. Рядэкономистов рассматривали модели, связывающие цикличность потребления иструктуру процентных ставок. Большое число работ посвящено объяснению наклонакривой доходности в контексте циклов экономической активности и ожиданийэкономического роста или рецессии.2.4 Теория сегментации рынков
Следующей теорией,объясняющей различие в уровнях доходности бумаг с различными сроками погашения,является теория сегментации рынков.
Теория сегментации рынков(market segmentation hypothesis) основывается на предположении о том, что различныеинвесторы могут иметь различные предпочтения относительно желаемых сроковинвестирования, либо принуждены законодательно осуществлять вложения воблигации с определенными сроками до погашения. Т.е. рынок облигаций поделен насегменты, в которых действуют определенные инвесторы. Каждый сегментпредставляет собой нишу для каждого участника в силу экономических илизаконодательных ограничений. На рынке облигаций преобладают институциональныеинвесторы, имеющие свои предпочтения.
Так, коммерческие банкиинвестируют средства преимущественно в краткосрочные бумаги, чтобы иметьнаиболее ликвидные активы для обслуживания требования по вкладам.
Страховые организации,которые застраховывают от несчастных случаев, сосредотачивают внимание насреднесрочных бумагах.
Организации, которыезастраховывают жизнь, предпочитают долгосрочные инвестиции и т.д.
Поэтому на ставкупроцента влияет спрос и предложение финансовых ресурсов в рамках каждогосегмента, а не рынка в целом, т.е. нет прямой связи между уровнем кратко-средне- и долгосрочных ставок. Это не означает, что инвесторы не выходят зарамки своих ниш. В случае более выгодной ситуации в соседнем сегменте вкладчик,скорее всего, расширит границы своей ниши, но не значительно. Теориясегментации рынков объясняет форму кривой доходности преимущественно какрезультат взаимодействия спроса и предложения в каждом сегменте.
Кривая процентных доходовопределяется взаимодействием спроса и предложения на различных сегментах рынкаоблигаций в зависимости от широкого спектра сроков погашения. Финансовыеучреждения с четкими предпочтениями определения сроков занимают подобные сегментыи действенно являются причиной распределения рынка облигации на различныесегменты, которые основаны на сроках выплаты.
Эти предпочтения дляопределенного ряда сроков не абсолютны. В случаях, когда учреждения доминируютна рынке облигаций и никогда не изменяют выбранным предпочтениям относительносроков, обратимся к прерывистой кривой процентных доходов, которая изображенана рис. 1./>Рис.1. Особый случай на сегментированном рынке облигаций

Согласно теориисегментирования рынка (известной также как теории естественных предпочтений),учреждения предпочитают определенные сроки, но их предпочтения не абсолютны. Вситуации, которая рассмотрена на рис. 1, страховые компании, занимающиесястрахованием от несчастных случаев, могут улучшить свое положение путемпринятия более коротких сроков, по сравнению с настоящими, наиболее длиннымисроками. В обоих случаях процентные доходы по облигациям будут расти. Следуетотметить, что такая прерывистая кривая процентных доходов не имеет места нареальном рынке.2.5 Теория предпочитаемой среды
Теория предпочитаемойсреды (preferred habitat theory) отрицает наличие фундаментальныхмакроэкономических основ определения форвардной премии за срок. Предполагается,что инвестор, в первую очередь – непрофессиональный, имеет свой собственныйгоризонт инвестиций и предпочитает покупать облигации, срок до погашениякоторых не выходит за его пределы. Наблюдаемая на рынке временная структурадоходности ценных бумаг является результатом принятия экономическими агентамимножества независимых решений. В каждой из таких «сред» существуютсвои спрос и предложение, что может приводить к любому знаку и изменению премииза срок. Таким образом, лишь облигации с близкими сроками до погашения могутрассматриваться как субституты и иметь одинаковую форвардную премию за срок. Посвоим объясняющим свойствам теория предпочитаемой среды близка теориисегментации рынков.
Данная теория непротиворечит ни одному из перечисленных ранее предположений, объясняющих временнуюструктуру процентных ставок.
Таким образом, вэкономической теории существует пять основных теорий временной структурыпроцентных ставок: теория ожиданий, теория предпочтения ликвидности, теория обизменяющейся во времени премии за срок, теория сегментация рынков и теория «предпочитаемойсреды». К настоящему времени практически преодолены противоречия междуразличными подходами к объяснению формы кривой доходности, и выбор конкретнойтеории зависит от предпосылок, целей и результатов конкретного исследования.

3. Модели кривой доходности
На протяжении изученияструктуры процентных ставок было предложено множество моделей ее оценки наоснове рыночных данных. Всё множество подходов к построению кривой доходностиможно разделить на функциональные модели и модели, основанные на сплайнах,которые отличаются различным соотношением между качеством приближения креальным данным и гладкостью.
Функциональный подходпредполагает представление кривой доходности как единой функции для всех сроковпогашения. Вид функции может быть получен из моделей поведения процентныхставок и отвечать теоретическим предпосылкам экономических моделей, или может использоватьсякласс аппроксимирующих функций, например экспоненциальные или полиноминальныефункции.
3.1 Модель Васичека
Функция кривой доходностиможет быть получена из стохастических моделей процентных ставок, например измодели Васичека. В этой модели изменение краткосрочных процентных ставокзадается уравнением:
dr(t) =λ (r(∞) − r(t))dt+σdz(t) ,
где z(t) — стандартноеброуновское движение. При отсутствии случайного члена, то есть σ = 0,решением является экспоненциальная функция:
r(t) = r(∞) − (r(∞) −r(0))e−tλ

Величины r(∞) иr(0) равны равновесной краткосрочной ставке и некоторой начальной краткосрочнойставке. Масштабирующий параметр λ характеризует скорость приближениятекущего значения ставки к равновесному уровню.
Кривая доходности встохастической модели Васичека задается формулой:
/>
Кривая доходностиВасичека может быть прямой линий, возрастающей или убывающей, однако даннаяфункция не позволяет кривой доходности иметь S-форму, горб (среднесрочныеставки выше как краткосрочных, так и среднесрочных), или, наоборот, U-форму.
Кроме модели Васичека дляполучения функции кривой доходности могут быть использованы другиестохастические модели краткосрочных ставок, например модели Хала-Уайта,Кокса-Ингерсолла-Росса, Хо-Ли. Однако использование более сложных моделей,несмотря на свою теоретическую обоснованность, приводит к получению сложныхмногопараметрических функций кривой доходности, которые плохо приближаются крыночным данным.
3.2 Модель Нельсона-Сигеля
Модель Нельсона-Сигеля(Nelson-Siegel, 1987) является одной из наиболее часто применяемых моделей напрактике. В их работе «Parsimonious Modeling of Yield Curve» («Простоемоделирование кривой доходности») было отмечено, что класс функций, легкопредставляющий типичные формы кривой доходности, связан с решениемдифференциальных уравнений. Кроме того, «теория ожиданий временнойструктуры процентных ставок дает эвристическую мотивацию для исследования этогокласса функций, так как если спот ставки задаются дифференциальным уравнением,то форвардные ставки, являясь прогнозами (ожиданий), будут решениями этихуравнений».
Эксперименты с классомфункций, являющихся решением линейного дифференциального уравнения второгопорядка с действительными и неравными корнями характеристического уравнения,показали плохое приближение к реальным данным и отсутствие сходимости оценок,что является признаком избыточного количества параметров. Авторами было сделанопредположение о равенстве корней характеристического уравнения, что дает болеепростое выражение для мгновенной форвардной процентной ставки:
/>  (1)
Интегрирование функции(1) от 0 до дает выражение для спот ставок в данной модели:
/>(2)
Кривая доходностиНельсона-Сигеля может принимать любые формы: монотонно возрастающую илиубывающую, выпуклую (с горбом), U-форму и S-форму, которые встречаются напрактике. Кроме того, каждое слагаемое в функции спот ставок оказываетнаибольшее влияние на кратко-, средне- и долгосрочный сегмент кривойдоходности, что добавляет гибкости модели.
Данная модель хорошозарекомендовала себя на рынках как развитых, так и развивающихся стран. Онахорошо подходит для описания временной структуры ставок при малом количестве ценныхбумаг, на основе доходностей которых строится кривая доходности, а такжепозволяет получить гладкую форму кривой, которую можно использовать вмакроэкономических исследованиях и оценке финансовых инструментов.
3.3 Модель Свенссона
Модель Свенссона(Svensson, 1994) является модификацией модели Нельсона-Сигеля. В этой модели вформулу (1) добавляется еще одно слагаемое, которое позволяет получить еще одингорб у кривой доходности:
/>(3)
Исследуя структуруфорвардных ставок Швеции, Свенссон обнаружил недостаточную гибкость моделиНельсона-Сигеля при описании отдельных сегментов кривой доходности. Добавлениеслагаемого позволяет более точно оценить специфическую структуру ставок вотдельные промежутки времени, как правило, на краткосрочном сегменте кривойдоходности. При оценке параметров модели Свенссона иногда используют значениячетырех коэффициентов, полученные при оценке модели Нельсона-Сигеля, а затемпроверяют значимость дополнительного слагаемого. Если модификация приводит кзначительному улучшению приближения оцененной кривой к рыночным данным, икоэффициент a2 оказывается значимым, то используют модель Свенссона,в противном случае используют базовую модель Нельсона-Сигеля. Такой методиспользуется в оценке кривой бескупонной доходности Национальным банкомБельгии.
Сплайновые моделиосновываются на кусочном приближении индивидуальных сегментов кривой доходностисплайновыми функциями, которые гладко соединяются в узловых точках. Наограниченном интервале любая непрерывная функция может быть приближенапроизвольной полиноминальной функцией, и точность приближения увеличивается сростом степени полинома. Однако использование единственной полиноминальнойфункции высокой степени для приближения кривой доходности для всех сроковпогашения часто отличается недостаточной сглаженностью полученной кривойдоходности. Для решения этой проблемы полиноминальные функции высоких порядковприближаются последовательностью полиномов низких порядков. Как правило, вкачестве сплайновых функций используются квадратичные или кубические полиномы,аппроксимирующие кривую доходности на отдельных сегментах между узловымиточками, в которых значения ставок определяются из рыночных данных. Гладкоесоединение сплайнов обеспечивается путем подбора параметров соседних сплайновтаким образом, чтобы их значения и значения первой производной (квадратичныесплайны), или значения первой и второй производной (кубические сплайны),совпадали в узловых точках.
При очень большомколичестве узловых точек кривизна каждого сплайна может быть любой и криваядоходности в таком случае может быть негладкой, значительно изменяясь наотдельных сегментах при изменении значений ставок в узловых точках. В 1995 годуФишер и другие ученые разработали метод сглаживающих сплайнов (smoothingsplines), который позволяет получить гладкое приближение кривой доходности сиспользованием сплайнов, сохраняя качество приближения. В их методе изначальнозадается максимальное количество узловых точек, что приводит к разделениюкривой доходности на множество участков и появлению большого числа параметров,задающих каждый сплайн. Затем определяется оптимальное число узловых точекпутем минимизации отношения суммы квадратов ошибок к количеству параметров всейкривой доходности.
Таким образом, удаетсяисключить некоторую часть узловых точек и параметров, которые не вносятсущественный вклад в улучшение качества приближения модели.
Выбор модели для приближениякривой доходности на конкретном рынке определяется несколькими факторами.Важным фактором является количество торгуемых облигаций, на основе данных покоторым оценивается кривая доходности. Функциональные модели хорошо подходятдля экстраполяции – они позволяют достаточно точно оценить ставки для техсроков погашения, близко к которым не погашается ни одна бумага. Также онипозволяют получить адекватные оценки ставок между сроками погашения торгуемыхбумаг, если существуют большие разрывы данных. Сплайновые модели дают хорошиерезультаты при большом количестве торгуемых бумаг, достаточно равномернораспределенных по срокам погашения. Однако их можно использовать только дляинтерполяции – для оценки ставок на сроках в диапазоне между минимальным и максимальнымсроком среди торгующихся бумаг. За этими пределами полиноминальные сплайны безограничений на абсолютное значение и значения производных стремятся кбесконечности.
Другим критерием, тесносвязанным с первым, является ликвидность рынка. Большое число сделок и большиеобъемы торгов минимизируют возможность нерыночного ценообразования и появленияслучайных скачков цен и доходностей, связанных с единичными сделками. В такомслучае выбор модели может зависеть от целей анализа. Если определение временнойструктуры ставок требуется для макроэкономического анализа, оценки ожиданийставок и инфляции, то функциональные модели имеют преимущество за счет своейгладкости, экстраполирующих возможностей и простоты оценки. Если же определениеструктуры ставок требуется для оценки финансовых активов, например дляопределения стоимостей торгующихся облигаций, и выявления арбитражныхвозможностей, то сплайновые модели имеют преимущество. При выполнении первогоограничения на значительное количество одновременно торгуемых ценных бумаг,сплайновые модели позволяют оценить особенности каждого временного участкакривой доходности и получить более точные оценки справедливых стоимостей ценныхбумаг. Если рынок низколиквидный, и по некоторым бумагам в день проходятединичные сделки, или сделки отсутствуют, то это чревато появлениемзначительных случайных выбросов данных, из-за чего сплайновые модели могут датьнеобоснованный изгиб на определенных участках. Функциональные модели благодарясвоей сравнительной жесткости позволяют сгладить такие выбросы, добавляя кривымдоходности преемственности, которая предполагает возможность сравнения кривых,построенных в разные моменты времени (торговые дни).

Заключение
Временнаяструктура процентных ставок – это последовательность значений процентных ставок, упорядоченная посроку погашения в определенный момент времени. Природа процентных ставокопределяет природу временной структуры, и в зависимости от типа ставок могутбыть построены различные типы кривой доходности: кривая доходности к погашению,кривая бескупонной доходности, кривая форвардной ставки и мгновенной форварднойставки.
Мы рассмотрели пятьосновных теорий временной структуры процентных ставок: теория ожиданий, теорияпредпочтения ликвидности, теория об изменяющейся во времени премии за срок,теория сегментация рынков и теория «предпочитаемой среды».Противоречия между различными подходами к объяснению формы кривой доходностипрактически преодолены. Выбор конкретной теории зависит от предпосылок, целей ирезультатов конкретного исследования, конкретной задачи экономиста илиинвестора.
Существует два видатеории ожиданий: теория чистых ожиданий и теория ожиданий, которую иногданазывают теория рациональных ожиданий. Теория чистых ожиданий утверждает, чтодолгосрочные процентные ставки равны среднему от ожидаемых краткосрочныхпроцентных ставок. Эта теория не могла полностью охватить картину, поэтомувторая теория позволила преодолеть противоречие. Теория ожиданий для временнойструктуры предполагает наличие ненулевой премии в зависимости от срока допогашения.
Теория предпочтенияликвидности утверждает, что инвесторы не безразличны к срокам до погашения облигаций,а предпочитают краткосрочные облигации долгосрочным, поскольку онихарактеризуются меньшим риском. Краткосрочные облигации более привлекательныдля заказчиков, поэтому заказчики готовы платить за них дополнительную суммуденег, которая называется премия за ликвидность. В результате доходностькраткосрочных облигаций ниже долгосрочных. В свою очередь, долгосрочныеоблигации должны быть более доходными, чтобы вкладчики согласились их покупать.Таким образом, инвестор получит более высокую доходность, если приобрететдолгосрочную бумагу вместо последовательной покупки краткосрочных бумаг втечение того же периода времени. Такая ситуация наблюдается, когда форвардныеставки больше будущей ожидаемой ставки спот для этого же периода. Разница междуними равна премии за ликвидность.
Теория об изменяющейся вовремени премии за срок учитывает возможность влияния экзогенных переменных состоянияна уровень и знак форвардной премии за срок.
Теория сегментации рынковосновывается на предположении о том, что различные инвесторы могут иметьразличные предпочтения относительно желаемых сроков инвестирования, либопринуждены законодательно осуществлять вложения в облигации с определеннымисроками до погашения.
Теория предпочитаемойсреды отрицает наличие фундаментальных макроэкономических основ определенияфорвардной премии за срок.
Так же в курсовой работерассмотрены различные модели и методы построения кривой доходности, а также ееприменение при анализе финансовых рынков и формировании портфеля активов. Навыбор конкретной модели оказывают влияние множество факторов. На рынке рублевыхоблигаций наиболее приемлемой является оценка модели Нельсона-Сигеля, так какона подходит для описания временной структуры ставок при малом количествеценных бумаг, на основе доходностей которых строится кривая доходности, а такжепозволяет получить гладкую форму кривой, которую можно использовать в макроэкономическихисследованиях и оценке финансовых инструментов.

Практическая часть
Задача 1.
Рассматривается возможностьприобретения еврооблигаций ОАО «Нефтегаз». Дата выпуска – 16.06.2008.Дата погашения – 16.06.2015. Купонная ставка – 10%.Число выплат – 2 раза в год.Требуемая норма доходности (рыночная ставка) – 12% годовых. Сегодня 15.11.2009.Средняя курсовая цена облигации – 102,70.
А) Определите дюрацию этой облигациина дату совершения сделки.
В) Как изменится цена облигации, еслирыночная ставка: а) возрастет на 1,75%; б) упадет на 0,5%.
Решение
А) Средневзвешенная продолжительностьплатежей для данной облигации на дату сделки 15.11.2009 составляет 4 года и 2месяца.
Результат получен при использованиипрограммы MS Exel с помощью функции ДЛИТ(дата_согл;дата_вступл_в_силу; ставка; доход; частота). Иллюстрирует задачу рис. 2.
Дата_согл– дата сделки 15.11.2009.
Дата_вступл_в_силу– дата погашения облигации 16.06.2015.
Ставка –ставка купона 10%.
Доход –норма доходности 12%.
Частота– число выплат в году 2.
На дату сделки облигация стоит102,70. (Если номинал облигации равен 100, тогда облигация будет приобретена спремией, равной 2,70, что уже невыгодно инвестору) При ставке купона в 10%получена цена, равная 92, которая должна обеспечивать норму доходности в 12%.Однако эта величина меньше стоимости покупки, поэтому дополнительного доходапри погашении облигации получено не будет. Это можно объяснить также величинойдоходности к погашению 9,36%, что значительно меньше требуемой нормыдоходности. Поэтому при заданных условиях операция по покупке еврооблигации ОАО«Нефтегаз» представляется неэффективной./>Рис. 2
В) Рассмотрим ситуацию, когда рыночнаяставка возрастёт на 1,75%, т.е. r1=12,21. Цена облигации уменьшится на0,86% по сравнению с предыдущей величиной и составит 91,21. (Рис.3) Исходоперации не сильно меняется, и положительного эффекта эта сделка инвестору неприносит./>Рис.3

При уменьшении рыночнойставки на 0,5% (r2=11,4%) цена облигации увеличится на 2,51%и составит 94,31. Однако незначительное уменьшение требуемой нормы доходноститакже мало влияет на решение инвестора. Сделка по-прежнему остается невыгодной.(Рис. 4)
Можно сделать вывод, чтодля совершения операции покупки облигации норма доходности должна быть меньшедоходности к погашению.
/>Рис.4
Задача 2
Обыкновенныеакции предприятия «К» продаются по 50,00. Ожидаемый дивиденд равен2,50.
Определитедоходность инвестиции, если ожидаемый ежегодный рост дивидендов составит: а) 0%; б) 5%; в) 12%.
Решение
Дано:
P=50,00
DIV0=2,50
Для оценки доходностиинвестиции воспользуемся моделью постоянного роста:
/>
А) Для первого случая,когда g=0%, т.е. размер дивиденда останетсяна прежнем уровне, применим модель нулевого роста:
/>
/>
Доходность акции с фиксированнымразмером дивидендов составляет 5%.
Б) При g=5%
/>
При ежегодном росте дивидендовна 5%, доходность по данной акции составляет 10,25%.
В) При g=12%
/>
При ежегодном ростедивидендов на 12%, доходность по данной акции составляет 22,6%.

Задача 3
Имеются следующие данные о значениифондового индекса и стоимости акции ОАО «Авто».
Таблица 1.Период Индекс Стоимость акции 245,5 21,63 1 254,17 28,88 2 269,12 31,63 3 270,63 34,50 4 239,95 35,75 5 251,99 39,75 6 287,31 42,35 7 305,27 40,18 8 357,02 44,63 9 440,74 41,05 10 386,16 42,15 11 390,82 42,63 12 457,12 43,75
А) Определите среднюю доходность икоэффициент β для акции ОАО «Авто».
В) Постройте график линии SML для акции ОАО «Авто».Решение
1. Заполним таблицу:
· Определяемдоходность индекса в различных периодах:
/>
· Определяемдоходность акции в различных периодах:

/>
Таблица 2.Период (Т) Индекс (I) Стоимость акции
Дох-ть индекса
R(J)t (%)
Дох-ть акции
R(А)t (%)
[R(J)]2 R(J)tхR(A)t 245,5 21,63 1 254,17 28,88 3,53 33,52 12,47 118,37 2 269,12 31,63 5,88 9,52 34,6 56,01 3 270,63 34,5 0,56 9,07 0,31 5,09 4 239,95 35,75 -11,34 3,62 128,52 -41,07 5 251,99 39,75 5,02 11,19 25,18 56,14 6 287,31 42,35 14,02 6,54 196,46 91,68 7 305,27 40,18 6,25 -5,12 39,08 -32,03 8 357,02 44,63 16,95 11,08 287,38 187,75 9 440,74 41,05 23,45 -8,02 549,89 -188,1 10 386,16 42,15 -12,38 2,68 153,36 -33,18 11 390,82 42,63 1,21 1,14 1,46 1,37 12 457,12 43,75 16,96 2,63 287,79 44,57 Сумма 70,11 77,84 1716,48 266,6
В данномслучае средняя доходность акции может быть определена как средняяарифметическая простая.
/>
Средняядоходность акции ОАО «Авто» за год составила 6,49%.
1. Определимбета-коэффициент акции:
/>

Для акции ОАО «Авто» коэффициентβ = -0,144, что означает, что данный актив является менее рисковым, чемрынок в целом.
2. Определяемпараметр /> представляющий нерыночнуюсоставляющую доходности актива А.
/>
3. Подставляемнайденные значения /> и β влинейную регрессионную модель САРМ:
R(A)t = />A+ βA R(J)t
R(A)t = 7,33-0,144* R(J)t
При подстановке получаемследующие значения:
Таблица 3.R(Jt) 3,53 5,88 0,56 -11,34 5,02 14,02 6,25 16,95 23,45 -12,38 1,21 16,96 R(At) 6,82 6,48 7,25 8,96 6,61 5,31 6,43 4,89 3,95 9,11 7,16 4,89
4. Строим графикхарактерной линии ценной бумаги:
График 1.
/>

Задача 4
Выпрогнозируете, что в следующие 6 месяцев акции компании Х возрастут в цене.Текущий курс акции равен 100 руб., опцион «колл» с истечением через 6месяцев имеет цену исполнения 100 руб. и продается по 10.00. У вас есть 10000 ирассматриваются три стратегии: а) купить 100 акций; б) купить 1000 опционов; в)купить 100 опционов за 1000 и вложить оставшиеся 9000 в шестимесячные облигациис доходностью 8% годовых (4% за 6 месяцев).
Какаяиз стратегий даст наибольшую доходность при будущем курсе 80,00, 100,00, 110,00, 120,00?
Решение:
Обозначения:К – будущий курс акции;
r – доходностьинвестора.
а)Рассмотрим вариант покупки 100 акций при различных курсах.
Найдемдоходность акции при курсе:
— будущий курс равен 80,00 (K=80):
/>;
— будущий курс равен 100,00 (K =100):
/>;
— будущий курс равен 110,00 (K =110):
/>;
— курс равен 120,00 (K = 120):
/>;
б)Рассмотрим вариант покупки 1000 опционов при различных курсах:

— К =80: />;
— К =100: />;
— К =110: />;
— К =120: />;
в)Рассмотрим вариант покупки 100 опционов за 1000 и вложения оставшихся 9000 вшестимесячные облигации с доходностью 8% годовых (4% за 6 месяцев):
— K = 80: />;
— K = 100: />;
— K = 110: />;
— K = 120: />;
Ответ:при K = 80 ни одна стратегия не выгодна,так как результат любой операции принесет убыток;
при K = 100 стратегии (б) и (в) принесутубыток, стратегия (а) не принесет убытка, однако и дохода тоже не будет;
при K = 110 выгодна стратегия (а);
при K=120 выгодна стратегия (б).

Список использованнойлитературы
1. Буренин А.Н.,Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов: Учебное пособие — М.:1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998. —352 с.
2. Буклемишев О.,Поманский А. Премия за риск и временная структура процентных ставок.//Экономика и математические методы, № 28-2, 1992, стр. 252 – 260.
3. Богатин Ю.В.,Швандар В.А. Инвестиционный анализ. М.: ЮНИТИ, 2001. – 286 с.
4. Бригхем Ю.,Гапенски Л. Финансовый менеджмент: Полный курс: В 2 т… — СПб.: Экономическаяшкола, 2004. — 1166 с.
5. Буренин А.Н.Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. — М.: Тривола, 1995. — 240 с.
6. Воронцовский А.В.Инвестиции и финансрование: Методы оценки и обоснования. Спб. Изд-во СПбГУ, 2005- 525 с.
7. Дж.К.Ван ХорнОсновы управления финансами. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 800 с.
8. Дробышевский М.П.Обзор теорий временной структуры. — М.: ИЭПП, 2006. – 416 с.
9. Количественныеметоды финансового анализа. /под ред. Брауна С., Крицмена М. — М.: ИНФРА-М,1996. – 336 с.
10. Килячков А.А.,Чалдаева Л.А. Практикум по российскому рынку ценных бумаг. — М.: ИздательствоБЕК, 1999. — 784 с.
11. Лекции по курсу «Теорияценных бумаг» Селищева А.С.
12. Лукасевич И.Я.,Анализ операций с ценными бумагами с Microsoft Excel/Учебное пособие. – М.,1998. -
13. Лукасевич И.Я.,Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений: Учебное пособиедля вузов. – М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998. – 400 с.
14. Маршалл Джон Ф.,Бансал Випул К. Финансовая инженерия: Полное руководство по финансовымнововведениям: Пер. с англ. — М.: ИНФРА-М, 1998. — 784 с.
15. Рынок ценныхбумаг и его финансовые институты Уч.пособ. /Под ред. В.С.Торкановского. — СПб.:АО «Комплект», 2004. — 421 с.
16. Рэдхэд К., ХьюсС. Управление финансовыми рисками. – М: ИНФРА–М, 2001. – 287 с.
17. Финансовыйменеджмент: учебник / И.Я. Лукасевич. – М.: Эксмо, 2009. – 768 с. – (Высшееэкономическое образование)
18. Чесноков А.С.Инвестиционная стратегия, опционы и фьючерсы Изд. пятое. — М.: ПАИМС, 2005. — 112 с.
19. Шапкин А.С.Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвестиций:Монография. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К.», 2003– 544 с.
20. Шарп. У.Ф.,Александер Г.Дж., Бейли Д.В. Инвестиции -М.: ИНФРА-М, НФПК NTF, 2004. — 1028 с.