Содержание
Введение
1. Экономическая сущность задачи
2. Исходные данные
3. Метод динамического программирования
4. Метод полного перебора вариантов
5. Интуитивные распределения
5.1. Равномерное распределение
5.2. Метод наибольшей плановой эффективности
5.3. Самостоятельное интуитивное распределение
Заключение
Литература
/>/>/>/>Введение
Цель работы — изучение экономической сущности иматематической формализации задачи определения оптимального вариантараспределения заданной суммы капитальных вложений между несколькимипредприятиями отрасли, выпускающими взаимозаменяемую продукцию.
/>/>/>1. Экономическая сущностьзадачи
В отрасли имеется М предприятий, выпускающиходнотипную взаимозаменяемую продукцию, спрос на которую пока не удовлетворяетсяполностью. С целью увеличения выпуска данной продукции на модернизацию этихпредприятий выделена сумма капиталовложений вразмере Х тыс. руб. Каждому предприятию с номером m=1, 2, …, M может бытьвыделена сумма Xm>=0, при этомсумма капиталовложений распределяется полностью, т.е.
/> (1)
Оптимизация распределения капиталовложений производится покритерию максимума суммарного прироста выпуска продукции всеми предприятиями
/> (2)
Здесь gm (xm) — прирост выпуска продукции на предприятиис номером m при условии,что ему выделена сумма капиталовложений xm.
/>/>/>2. Исходные данные
Исходными данными для решения задачи служат выполненные накаждом предприятии расчеты по обоснованию зависимостей прироста выпуска отразмера капиталовложений gm (xm). Как правило, эти зависимости не удаетсяполучить в аналитической форме (в виде непрерывных и аналитических функций) иони представляются таблично, значениями функций при заданных дискретныхзначениях аргумента.
Для упрощения дальнейших вычислений будем считать, чтовеличины xmкратнынекоторой дискрете h=X/N где N — число дискрет в распределяемой сумме X. Дискретаh задается заранее, исходя из разумногокомпромисса между желательной точностью и трудоемкостью расчетов. Уменьшениевеличины дискреты h, вообще говоря, увеличиваетточность, но при этом растет трудоемкость подготовки исходной информации и еёпоследующей обработки.
С учетом принятого допущения величина капиталовложений xm меняемся дискретно, принимая значения xm=nh, n=0, 1, …, N. Каждоепредприятие рассчитывает и представляет в министерство (N+1)М значений, которые удобно свести в табл.1.
При построении табл.1.1 принято М = 5; Х = 300тыс. руб.; N = 6; h= 50 тыс. руб.
Таблица 1 — Прирост выпуска продукции при заданной величине капиталовложений,тыс. руб. Величина капиталовложений тыс. руб. Порядковый номер предприятия 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 50 30 20 20 40 30 100 83 75 61 62 72 1 2 3 4 5 6 150 98 100 112 97 108 200 127 150 140 134 122 250 158 165 152 160 148 300 195 20 180 185 190
/>/>/>3. Метод динамическогопрограммирования
Идея метода динамического программирования состоит в том,что выделенная сумма Х распределяется не между всеми Мпредприятиями (иначе получается полный перебор), а между двумя «предприятиями»:последним предприятием (имеющем номер М) и группой из (М-1) — гопредшествующего предприятия, для которого оптимальное распределение между нимилюбой частичной суммы уже известно. Это соответствует решению основногофункционального уравнения динамического программирования М-го,последнего шага
/> (3)
Здесь fM (X) — максимальный суммарный прирост продукции, получаемыйот М предприятий при оптимальном распределении суммы Х между M-тым и группой из (М-1) — го первых предприятий,при условии, что выделяемая им частичная сумма (Х-ХМ) распределяетсяоптимально;
fM-1 (X-ХМ) — максимальный суммарный приростпродукции, получаемый от (М-1) — го первых предприятий при оптимальномраспределении между ними частичной суммы (Х-ХМ), оставшейся,от М-го предприятия.
Решить уравнение (3) невозможно, так как функция fM-1 (X-ХМ)неизвестна. Однако её можно выразить с помощью основного функциональногоуравнения для (М-1) — го шага через функцию максимального суммарного приростапродукции, получаемого при оптимальном распределении частичных сумм в группе из(М-2) — х первых предприятий
/> (4)
Снова неизвестна функция fM-2(nh-ХМ-1) однако, используяосновное fM-3 (nh-ХМ-2) функциональное уравнение, её можноопределить аналогично через функцию и т.д. Эта процедура рекуррентныхподстановок неизвестных функций максимального суммарного прироста продукциизаканчивается точно через М шагов. Действительно, на последнем шагеподстановок (его номер m=1) получаем основноефункциональное уравнение динамического программирования в виде
/> (5)
Функция f0(nh-Х1) формально есть максимальный приростпродукции при оптимальном распределении частичной суммы (nh-Х1)в группе, состоящей из «0» предприятий. Естественно, такойгруппе, в которой нет ни одного предприятия, никаких средств не выделяетсяпоэтому
f0(nh-Х1)=0 (6)
Отсюда следует, что на первом шаге основное функциональноеуравнение имеет следующее решение:
/> (7)
Это означает, что на первом шаге, когда рассматриваетсятолько одно первое предприятие, любая частичная сумма nhвыделяется ему целиком, так как ее некому, кроме него, распределять. Такимобразом, оптимальное управление на первой шаге
X1* (nh) = nh (8)
Представим найденное решение основного функциональногоуравнения на первом шаге в виде табл.2.
Таблица 2 — Определение оптимальных управлений имаксимальных прирос продукции на первом шагеЧастичная распределяемая сумма Сумма, выделяемая первому предприятию Оптимальное управление Максимальный прирост продукции 50 100 150 200 250 300 50 30 50 30 100 83 100 83 150 - 98 150 98 200 127 200 127 250 158 250 158 300 195 300 195
В табл.2 заполнена числами только главная диагональ. Этичисла берутся из табл.1 исходных данных для первого предприятия. Пустые клеткилевее главной диагонали показывают, что на 1-м шаге вся частичная сумма nh целиком отдается первому предприятию, так как на атомшаге других предприятий нет. Пустые клетки справа от главной диагоналипоказывают, что не может распределяться частичная сумма, большая имеющейся.
ШАГ 1 тривиален, однако важен в том отношении, что позволяетначать процесс рекуррентного вычисления на последующих шагах по основномуфункциональному уравнению
fm (nh)=max{gm (xm) +fm-1(nh-xm) }, n=1, 2, …, N;
0
ШАГ 2. Распределение частичных сумм между вторымпредприятием и группой из «одного первого предприятия». Для второгошага основное функциональное уравнение имеет вид
F2 (nh)=max{g2 (x2) +f1 (nh-x2) },
0
Его решение представлено в табл.3
Таблица 3 — Определение оптимальных управлений имаксимальных приростов продукции на 2-м шаге. Частичная распределяемая сумма Сумма, выделяемая второму предприятию Оптимальное управление Максимальный прирост продукции 50 100 150 200 250 300
0+0 50
0+30
30
20+0
20 30 100
0+83
83
20+30
50
75+0
75 83 150
0+98
98
20+83
103
75+30
105
100+0
100 100 105 200
0+127
127
20+98
118
75+83
158
100+30
130
150+0
150 100 158 250
0+158
158
20+127
147
75+98
173
100+83
183
150+30
180
165+0
165 150 183 300
0+195
195
20+158
178
75+127
204
100+98
198
150+83
233
165+30
195
200+0
200 200 233
В клетках таблицы записываются через знак "+" 2числа, равные g2 (x2) и f1(nh-x2).Величины g2 (x2)берутся из табл.1, а величины f1 (nh-x2) изпоследнего столбца табл.2.
В последнем столбце табл.3 проставлены максимумы сумм всоответствующих строках, предшествующем столбце — соответствующая этому максимумуоптимальная величина капитальных вложений, выделяемых второму предприятию.
ШАГ 3. Зная оптимальное распределение всех частичных сумммежду первыми двумя предприятиями, перейдем к их распределению между третьимпредприятием и группой из первых двух (табл.4).
Таблица 4 — Определение оптимальных управлений имаксимальных прирост продукции на 3-м шаге
Частичная распределяемая сумма Сумма, выделяемая третьему предприятию Оптимальное управление Максимальный прирост продукции 50 100 150 200 250 300
0+0 50
0+30
30
20+0
20 30 100
0+83
83
20+30
50
61+0
61 83 150
0+105
105
20+83
103
61+30
91
112+0
112 150 112 200
0+158
158
20+105
125
61+83
144
112+30
142
140+0
140 158 250
0+183
183
20+158
178
61+105
166
112+83
195
140+30
170
152+0 150 195 300
0+233
233
20+183
203
61+158
219
112+105
217
140+83
233
152+30
182
180+0
180 233
ШАГ 4. Определение оптимального распределения на 4-м шаге.
Таблица 5 — Определение оптимальных управлений имаксимальных приростов продукции на 4-м шаге
Частичная распределяемая сумма Сумма, выделяемая четвертому предприятию Оптимальное управление Максимальный прирост продукции 50 100 150 200 250 300
0+0 50
0+30
30
40+0
40 50 40 100
0+83
83
40+40
80
62+0
62 83 150
0+112
112
40+83
123
62+40
102
97+0
97 50 123 200
0+158
158
40+112
152
62+83
145
97+40
137
134+0
134 163 250
0+195
195
40+158
198
62+112
174
97+83
180
134+40
174
160+0
160 50 198 300
0+233
233
40+195
235
62+158
220
97+112
220
134+83
217
160+40
200
185+0
185 50 235
ШАГ 5. Определение оптимального распределения на 5-м шаге.
Таблица 6 — Определение оптимальных управлений имаксимальных приростов продукции на 5-м шаге
Частичная распределяемая сумма Сумма, выделяемая пятому предприятию Оптимальное управление Максимальный прирост продукции 50 100 150 200 250 300
0+0 50
0+40
40
30+0
30 40 100
0+83
83
30+40
70
72+0
72 83 150
0+123
123
30+83
113
72+40
112
108+0
108 123 200
0+158
158
30+123
153
72+83
155
108+40
148
122+0
122 158 250
0+198
198
30+158
188
72+123
195
108+83
191
122+40
162
148+0
148 198 300
0+235
235
30+198
228
72+158
230
108+123
231
122+83
205
148+40
188
190+0
190 235
Результаты расчетов на всех 5-и шагах представим в виде табл.7.
Таблица 7 — Сводная таблица оптимальных управлений имаксимальных приростов продукцииРаспределяемая сумма Номер шага распределения 1 2 3 4 5
x1*
f1
x2*
F2
x3*
f3
x4*
f4
x5*
f5 50 50 30 30 30 50 40 40 100 100 83 83 83 83 83 150 150 98 100 105 150 112 50 123 123 200 200 127 100 158 158 158 158 250 250 158 150 183 150 195 50 198 198 300 300 195 200 233 233 50 235 235 /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Таблица 8 — Оптимальное распределение частичных сумм между5-ю предприятиями.Распределяемая сумма Выделяемые предприятиям суммы Макс. Суммарный прирост продукции 1 2 3 4 5 50 50 40 100 100 83 150 100 50 123 200 100 100 158 250 100 100 50 198 300 100 150 50 235 /> /> /> /> /> /> /> />
Оптимальное распределение суммы 300 тыс. руб.:
X1* 100
x2*
x3* 150
x4* 50
x5*
Максимальный прирост выпуска продукции при оптимальномраспределении равен 235 тыс. руб. Эта величина находится на пересечении строки«Распределяемая сумма — 300»' и столбцов 5-го шага. Задача решена.
/>/>/>4. Метод полного переборавариантов
Самый простой способ решения распределительных задачподобного типа состоит в полном переборе всех возможных вариантов распределенияисходной суммы между предприятиями и выбор того варианта, при котором суммарныйприрост выпуска продукции будет максимальным. Недостатком метода полногоперебора является то, что число вариантов распределения быстро растет приувеличении количества предприятий и уменьшении дискреты распределения.
По условиям варианта имеем 6 предприятий и 7 дискрет.
Таблица 9 — Расчет числа вариантов распределения между 6-юпредприятиями суммы 300 тыс. руб. с дискретой 37,5 тыс. руб. по методу полногоперебора№ Тип распределения Число вариантов 1 Одному — 300
С61=6 2 Одному — 262,5, другому — 37,5
С61 С51=30 3 Одному — 225, другому — 75
С61 С51=30 4 Одному — 225, другому — 37,5, третьему — 37,5
С61 С52=60 5 Одному — 187,5, другому — 112,5
С61 С51 =30 6 Одному — 187,5, второму — 75, третьему — 37,5
С61 С52С52=120 7 Одному — 187,5, трем по — 37,5
С61 С52=60 8 Двум по — 150
С62=60 9 Одному — 150, второму — 112,5, третему — 37,5
С61 С51С41=60 10 Одному — 150, второму — 75, двум по — 37,5
С61 С51 С42=180 11 Одному — 150, двум по — 75
С61 С52=60 12 Одному — 150, четырем по — 37,5
С61 С54=30 13 Двум по — 112,5 другому — 75
С62 С41=68 14 Двум по — 112,5 двум по — 37,5
С62 С42=90 15 Одному — 112,5, второму — 75, трем по — 37,5
С61 С51 С43=120 16 Одному — 112,5, двум по — 75, третьему — 37,5
С61 С52 С32=180 17 Одному — 112,5, пятерым по — 37,5
С61 С55=6 18 Четырем по — 75
С64=15 19 Трем по — 75, двум по — 37,5
С63 С32=60 20 Двум по — 75, четырем по — 37,5
С62 С44=15 Итого вариантов: 1287
Число вариантов распределения методом полного перебора можнотакже подсчитать по формуле коэффициентов биномиального распределения/> />
/> (9)
Сколько вариантов распределения пришлось рассмотреть прииспользовании метода динамического программирования?
/> (10)
В нашем случае это составило 1287 вариантов, т.е. посравнению с методом полного перебора число рассматриваемых вариантовсократилась более чем в 60 раза.
/>/>/>5. Интуитивные распределения
/>/> 5.1 Равномерное распределение
При равномерном распределении суммы в 300 тыс. руб. между5-ю предприятиями получается, что каждому из них нужно выделить по 60 тыс. руб.
Используя данные о приросте выпуска продукции напредприятиях при выделении им 50 и 100 тыс. соответственно, рассчитаем прироствыпуска продукции при выделении им по 60 тыс. рублей.
Из рис.1 можно найти прирост продукции при выделениипредприятию 60-ти тыс. руб.
Величина прироста при распределении суммы капитальныхвложений по 60тыс. руб. определяется путем решения ряда пропорций.
Для первого предприятия 50/10=53/yà y=10,6величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всегоприрост будет равен 40,6.
Для второго предприятия 50/10=55/yà y=1150/10=22/yày=4,4 величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальныхвложений. Всего прирост будет равен 44,4
Для третьего предприятия 50/10=41/yà y=8,2величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всегоприрост будет равен 28,2.
Для четвертого предприятия 50/10=22/yà y=4,4величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всегоприрост будет равен 44,4.
Для пятого предприятия 50/10=42/yà y=8,4величина прироста на дополнительные 10 тыс. руб. капитальных вложений. Всегоприрост будет равен 38,4.
Рисунок 1 — Равномерное распределение капиталовложений
/>
Итак максимальный прирост при равномерном распределенииравен.
38,4+44,4+28,2+40,6+31=182,6тыс. руб.
/>/> 5.2 Метод наибольшей плановой эффективности
При этом методе вся сумма 300тыс. руб. отдается предприятиюс наибольшей плановой эффективностью, то есть тому, которое прикапиталовложениях 300тыс. руб. дает максимальный прирост продукции. По даннымтаблицы 1 видно, что это предприятие № 2. Если ему выделить 300тыс. руб., томаксимальный прирост продукции будет 200 тыс. руб.
/>/> 5.3 Самостоятельное интуитивное распределение
Из предположения о том, что при увеличении суммыкапиталовложений, выделяемых конкретному предприятию, увеличивается приростпродукции, которое оно дает. />Распределениебазирующее на основе оценки фондорентабельности каждого вложения.
Для осуществления данного распределения рассчитаемфондорентабельность. Всех вложений в предприятие. Расчеты представим в таблице10.
Таблица 10 — фондорентабельность капиталовложенийРаспределяемая сумма Фондорентабельность предприятий 1 2 3 4 5 50 0,60 0,40 0,40
0,80 0,60 100
0,83 0,75 0,61 0,62 0,72 150 0,65 0,67
0,75 0,65 0,72 200 0,64 0,75 0,70 0,67 0,61 250 0,63 0,66 0,61 0,64 0,59 300 0,65 0,07 0,60 0,62 0,63
Проанализировав величину фондорентабельности выделиммаксимальные. Максимальная эффективность вложений достигается при вложении вовторое предприятие 50 тыс. руб., далее в четвертое 100 тыс. руб., в третье 150тыс. руб.
Экономический эффект увеличения выпуска продукции.
40+83+112=235.
Таким образом интуитивное распределение с применениемметодик финансового анализа дало оптимальное распределение.
/>/>/>Заключение
При выделяемой сумме 300тыс. руб. между пятью предприятиямии с дискретой 50тыс. руб, распределение капиталовложений методом динамическогопрограммирования дает оптимальное распределение капиталовложений, которое даетприрост продукции 235тыс. руб.
X1*
x2* 50
x3* 100
x4*
x5* 150
При методе динамического программирования числорассматриваемых вариантов — 198, а если бы задача решалась методом полногоперебора, то число вариантов возросло бы до 1287.
Равномерное распределение дает максимальный приростпродукции -182,6тыс. руб.
Выделение всей суммы капиталовложений предприятию снаибольшей эффективностью дает прирост продукции 200тыс. руб.
Интуитивное распределение (сформулированное самостоятельно) даетприрост продукции 235тыс. руб.
/>/>/>Литература
1. Мешковой Н.П. Лабораторные работы по экономике промышленности: Челябинск2001.
2. Стандарты предприятия. Курсовые и дипломные проекты. Общие требования коформлению: Челябинск 2007.