Понятие бесконечности в науке и искусстве

Реферат по КСЕ
Понятие бесконечностив науке и искусстве

Содержание
Введение
1.К истории понятия бесконечности
2.Понятие бесконечности в науке
3.Понятие бесконечности в искусстве
Заключение
Список использованной литературы

Введение
Бесконечность есть однаиз фундаментальных категорий человеческой мысли. Тема бесконечности не являетсяпрерогативой ни одной специальной области культуры: бесконечное как символ, какпроблема, как таинство присутствует и в искусстве, и в науке, и в философии, ив богословии. Отношение к бесконечности в разных культурах разное.
Понятием бесконечностиохвачены многие классы объектов, явлений, категорий. Собственно бесконечностью(беспредельностью) может характеризоваться любое представление, нобезграничность описывает пространственные формы, а вечность – временные. Здесьже следует упомянуть и о бесконечной делимости, то есть о неограниченностиприближения к нулевому объекту, пустому множеству, исчезновению проявления.Актуальность исследования проблемы понятия бесконечности в науке и искусствеобусловлено необходимостью разработки теоретических путей для решения следующейпроблемы.
С одной стороны понятиебесконечного принадлежит к числу тех категорий, которые играют определяющую роль,как в философии, так и в науке, подобно таким понятиям, как число,пространство, время, движение, непрерывное и неделимое и др. Изменение втрактовке этого понятия, смысл которого связан с культурно-историческимконтекстом той или иной эпохи, влечет за собой перемены в характере научногомышления, в принципах научных программ и научных теорий.
Бесконечность по сутисвоей выходит за границы человеческого опыта, накопленного в виде конечногомножества фактов за конечное время. Она не может быть постигнута сметафизической точки зрения, или на пути излишнего доверия к приемуидеализации. С другой стороны понятие бесконечности имеет вполне определенныйсмысл только в математике. В геометрии понятие бесконечности нуждается вопределении; еще более — в физике. Этих определений не существует, не было дажепопыток дать определения, которые заслуживали бы внимания.
Бесконечность не можетбыть полностью воспринята человеческим интеллектом на любом его уровне развитияв связи с одним из свойств бесконечности – неопределенностью нескончаемости.Хотя бесконечность включает существование человеческого интеллекта полностьювоспринимаемого бесконечность.
Цель данной работы — рассмотреть понятие бесконечности в науке и искусстве.
Для достиженияпоставленной цели нужно выполнить следующие задачи:
-изучить историюпонятия бесконечности;
-рассмотреть понятиебесконечности в науке и в искусстве.

1. Кистории понятия бесконечности
 
Понятие бесконечности,значение которого в современной системе познания столь невообразимо велико,зародилось в глубочайшей древности и при становлении прошло весьма сложныйпуть. Достаточно упомянуть хотя бы начальный страх перед бесконечностью,выразившийся в создании идеи «больше этого числа нет числа». Впервые этопонятие обсуждается в школе элеатов: элеец Зенон вводит понятие актуальнобесконечного и пытается показать, что допущение актуально бесконечного ведет капориям — парадоксам, противоречиям. Кратко смысл зеноновых парадоксов передаетАристотель: «Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большиезатруднения тем, которые хотят их разрешить. Первое, о несуществовании движенияна том основании, что перемещающееся тело должно сначала дойти до середины, чемдо конца… Второе, так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, чтосущество, более медленное в беге, никогда не будет настигнуто самым быстрым,ибо преследующему необходимо раньше прийти в место, откуда уже двинулосьубегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество…Третье… заключается в том, что летящая стрела стоит неподвижно: оно вытекаетиз предположения, что время слагается из отдельных «теперь»… Четвертоерассуждение относится к двум разным массам, движущимся с равной скоростью, одни— с конца ристалища, другие — от середины, в результате чего, по его мнению,получается, что половина времени равна его двойному количеству» (Физика, VI,9).
Апории «Дихотомия» и«Ахиллес» предполагают допущение бесконечной делимости пространства, которое всилу этого, согласно Зенону, не может быть пройдено до конца ни в какоеконечное время, тогда как «Стрела» и «Стадий» построены на том, что время ипространство состоят из бесконечного множества неделимых моментов времени иточек пространства.
Чтобы создать науку одвижении — физику, Аристотель должен доказать возможность мыслить движение безпротиворечия. Для этого он вводит принцип непрерывности. Непрерывность — этоопределенный тип связи элементов системы, отличный от других форм связи —последовательности и смежности. Следование по порядку — условие смежности, асмежность — предпосылка непрерывности. Если предметы соприкасаются, но при этомсохраняют каждый свои края, то мы имеем дело со смежностью; если же границадвух предметов оказывается общей, то налицо — непрерывность.
Непрерывное, поАристотелю, — это то, что делится на части, всегда делимые. А это значит, чтонепрерывное не может быть составлено из неделимых.
Таким путем Аристотельразрешает те трудности, которые возникают при допущении, что пространство ивремя состоят из бесконечного множества «неделимых», и получает возможностьмыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму «продвинутостей».Непрерывность является условием возможности движения и условием его мыслимости.
Принцип непрерывностиАристотеля по своему содержанию в сущности совпадает с аксиомой отношенияЕвдокса — одним из фундаментальных положений греческой математики, котороеназывают также аксиомой Архимеда. Ее формулирует Евклид в четвертом определенииV книги «Начал»: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они,взятые кратно, могут превзойти друг друга»[1].
Вот как Аристотельразъясняет принцип отношения Евдокса, показывая, что этот принцип устраняетзенонов парадокс «Дихотомия»: «Если, взявши от конечной величины определеннуючасть, снова взять ее в той же пропорции, т. е. не ту же самую величину,которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до конца; если женастолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и ту же величину, топройти можно, так как конечную величину всегда можно исчерпать любой определеннойвеличиной» (Физика, III, 6). Вероятно, теория отношений Евдокса родилась какспособ установить отношения также и между несоизмеримыми величинами. Пока небыла обнаружена несоизмеримость, отношения могли выражаться целыми числами: дляопределения отношения двух величин меньшую брали столько раз, скольконеобходимо, чтобы она сравнялась с большей. Принцип отношения имеет применениеи в греческой астрономии, тоже не признающей актуально бесконечного. Вотхарактерное рассуждение Архимеда: «Аристарх Самосский выпустил в свет книгу онекоторых гипотезах, из которых следует, что мир гораздо больше, чем понимаютобычно. Действительно, он предполагает, что неподвижные звезды и Солнценаходятся в покое, а Земля обращается вокруг Солнца по окружности круга,расположенной посредине между Солнцем и неподвижными звездами, а сферанеподвижных звезд имеет тот же центр, что и у Солнца, и так велика, что круг,по которому, как он предположил, обращается Земля, так же относится красстоянию неподвижных звезд, как центр сферы к ее поверхности. Но хорошоизвестно, что это невозможно: так как центр не имеет никакой величины, тонельзя предполагать, чтобы он имел какое-нибудь отношение к поверхности сферы.Надо поэтому думать, что Аристарх подразумевал следующее: поскольку мы подразумеваем,что Земля является как бы центром мира, то Земля к тому, что мы назвали миром,будет иметь то же отношение, какое сфера, по которой, как думает Аристарх,обращается Земля, имеет к сфере неподвижных звезд». [2]
Архимед не допускаетотношения между какой-либо величиной и тем, что величины не имеет (т. е. нанашем языке — нулем), а значит, не допускает бесконечности. Интересно, что хотяв эпоху Архимеда наука оперировала очень большими величинами.
Наиболее понятныйпример потенциально бесконечного — беспредельно возрастающий числовой ряд, ряднатуральных чисел, который, сколько бы мы его ни увеличивали, остается конечнойвеличиной.
Потенциальнобесконечное всегда имеет дело с конечностью и есть беспредельное движение поконечному. Это получает осмысление и в греческой философии, которая определяетбесконечное как возможное, а не действительное, материю, а не форму,становление, а не бытие. Не допуская актуальной бесконечности, Аристотельопределяет бесконечное как то, вне чего всегда что-то есть. А может лисуществовать нечто такое, вне чего больше ничего нет? И если да, то как егоназвать? «Там, где вне ничего нет, — говорит Аристотель, — это законченное ицелое: это то, у которого ничто не отсутствует, например, целое представляетсобой человек или ящик… Целое и законченное или совершенно одно и то же, илисродственны по природе; законченным не может быть ничто, не имеющее конца,конец же — граница» (Физика, Ш, 6).
Бесконечное — этоматерия, т. е. всего лишь возможность, в ее античном понимании — нечто вполненеопределенное, не имеющее в себе связи, лишенное всякой структуры. Целое же —это материя оформленная, и «конец», «граница», структурирующая его и делающаяактуально сущим, действительным, т. е. бытием, — это форма. У всякого живогосущества, являющегося целым, формой является его душа.
Аристотель мыслитвполне в духе греческой философии, которая со времен пифагорейцев и элеатовпротивопоставляла беспредельному предел, границу. У пифагорейцев пределусоответствует единое, свет, хорошее; беспредельному, бесконечному — многое,тьма, дурное и т.д. У элеатов беспредельное вообще сведено к небытию, ибо бытиетождественно единому как началу предела и формы. У Платона беспредельное — этотемное, текучее, изменчивое, неопределенное начало — материя. В сущности,бесконечное у большинства греческих мыслителей отождествляется с древним,идущим от античной мифологии хаосом, которому противостоит космос — оформленноеи упорядоченное целое, причастное пределу. Не случайно же космос у грековконечен.
Средневековая наукаопиралась на теории, созданные еще в античности: геометрию Евклида,астрономическую систему Птолемея и физику Аристотеля. Характерной особенностьюантичной науки было стремление строить теорию, не прибегая к понятию актуальнойбесконечности. Это понятие, парадоксальность которого была вскрыта еще Зеноном(V в. до н.э.), не работает ни вфизике Аристотеля, ни в математике Евклида или Архимеда, ни в астрономииПтолемея. Аристотель, как в физике, так и в космологии допускает толькопотенциальную бесконечность (бесконечную делимость) величин, т.е. ихнепрерывность, но не допускает актуальной бесконечности («бесконечнобольшого тела»). Космос в представлении как Аристотеля и Евдокса, так иПтолемея, — очень большое, но конечное тело. В эпоху Возрождения характеренострый интерес к понятию бесконечности. Оно не только не вызывает к себенедоверия, но, напротив, становится предметом специального исследования уученых и философов.[3] НиколайКузанский рассматривает понятие бесконечности как теолог: бесконечным, согласноего учению, является Бог. Но уже у него мы видим попытку ввести понятиебесконечности также и в математику в виде учения о максимуме и минимуме.Позднее, у Джордано Бруно, понятие бесконечности становится центральным вкосмологии: всем известно учение Бруно о бесконечности Вселенной и бесконечноммножестве миров в ней.

2.Понятие бесконечностив науке
Бесконечность —концепция, используемая в математике, философии и естественных науках.Бесконечность какого-то понятия или атрибута некоторого объекта означаетневозможность указать для него границы или количественную меру. Точное значениеэтого термина несколько различается в зависимости от области применения —математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. Прежде всего,следует отметить, что в математике нет единого определения понятия«бесконечность», хотя оно лежит в основе математики. В процессе развитияматематики сформировались следующие подходы к этому понятию: арифметическая игеометрическая, потенциальная и актуальная бесконечности.[4]Когда говорят, что некоторая величина потенциально бесконечна, то имеется ввиду, что она может быть неограниченно увеличена. Альтернативой являетсяпонятие актуальной бесконечности, которая означает, что рассматривается (какреально существующая) величина, не имеющая конечной меры. Пример: второйпостулат Евклида утверждает не бесконечность длины прямой линии, а всего лишьто, что «прямую можно непрерывно продолжать». Это потенциальная бесконечность.Если же рассмотреть всю бесконечную прямую, то она даёт пример актуальнойбесконечности.
Античные философы иматематики признавали, как правило, только потенциальную бесконечность,решительно отвергая возможность оперировать с актуально бесконечнымиатрибутами. [5]
Соответственно этойдоктрине формулировались научные утверждения. Например, теорема о бесконечностимножества простых чисел у античных математиков формулировалась так: «Каково быни было простое число P, существует простое число, большее, чем P».
Аристотель писал:Всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, накоторые можно разделить отрезок, не имеет предела. Поэтому бесконечностьпотенциальна, никогда не действительна; какое бы число делений ни задали,всегда потенциально можно поделить на большее число.
Именно Аристотельсделал большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную иактуальную и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа,а также указав на пять источников представления о ней:
время;
разделение величин;
неиссякаемость творящейприроды;
само понятие границы,толкающее за её пределы;
мышление, котороенеостановимо.
С точки зрения математикибесконечность есть величина, которая постоянно возрастает, но не когда незавершается, не становится равной чему-то определенному.
Интерпретируем этоутверждение с точки зрения физики: возрастание — это процесс, связанный современем. То есть, пока существует время происходит возрастание, но еслидопустить отсутствие этой формы существования, то, следовательно, произойдетостановка возрастания и бесконечность станет равной чему-то определенному, тоесть бесконечность станет конечной. Геометрический образ бесконечности – линия,вдоль которой можно двигаться с любой сколь угодно большой скоростью, ноникогда не достичь ее конца которого нет. С физической точки зрения этоутверждение означает приоритетность пространства над временем, а также, то, чтоформа существования пространства является бесконечной.
«Другой модельюможет служить конечный отрезок, – если скорость движения вдоль него бесконечномала.» Из этого утверждения следует, что пространство приоритетно надвременем, а также то, что оно конечно. Следовательно, бесконечность становитсяконечной. “Бесконечность берется как нечто очень большое, больше всего, что мыспособны постичь, — и в то же время как нечто, совершенно однородное с конечными разве что недоступное подсчету. … Иначе говоря, не было достоверноустановлено, что именно отличает бесконечное от конечного физически илигеометрически.”[6]
В математике несуществует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами вкаждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не взаимозаменяемы. Кпримеру, теория множеств подразумевает разные бесконечности, причём одна можетбыть больше другой. Скажем, количество целых чисел бесконечно большое (ононазывается счётным). Чтобы обобщить понятие количества элементов длябесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. Приэтом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множествадействительных чисел больше мощности целых чисел, потому что между этимимножествами нельзя построить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), ацелые числа включены в действительные.
Таким образом, в этомслучае «число элементов» (мощность) одного множества «бесконечней» «числаэлементов» (мощности) другого. Основоположником этих понятий был немецкийматематик Георг Кантор.
В математическоманализе к множеству действительных чисел добавляются два символа и,применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. Сто́итотметить, что в этом случае речь об «осязаемой» бесконечности не идёт, так каклюбое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя толькоконечные числа и кванторы. Эти символы, как и многие другие, были введены длясокращения записи более длинных выражений.
Современная физикавплотную подходит к отрицаемой Аристотелем актуальности бесконечности — то естьдоступности в реальном мире, а не только в абстрактном. Например, есть понятиесингулярности, тесно связанное с чёрными дырами и теорией большого взрыва: этоточка в пространстве—времени, в которой масса в бесконечно малом объёмесосредоточена с бесконечной плотностью. Уже есть солидные косвенныедоказательства существования чёрных дыр, хотя теория большого взрыва находитсяещё в стадии разработки. Понятие бесконечности получила развитие в философии итеологии наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность Бога нестолько даёт количественное определение, сколько означает неограниченность инепостижимость. В философии бесконечность долгое время рассматривалась такжекак атрибут пространства и времени; в наши дни это дискуссионный вопроскосмологии. Например, древнейшим, первым известным, встречающимся в совершенноразличных культурах символом бесконечности является змей Уроборос, иногда разворачиваемыйв виде перевёрнутой восьмёрки.[7]
Бесконечность вфилософии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественнаябесконечность, выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный (всеобщий)характер связей явлений; количественная бесконечность, выступающая какнеограниченность процессов и явлений. Проблема качественной бесконечностиобсуждалась уже в античной философии, в частности в связи с космогонией ипроблемами природы мышления. Но особое значение она приобрела в философиинового времени в связи с развитием естествознания и проблемами его логическогообоснования (Р. Декарт, Дж. Локк, Г. Лейбниц).
Глубокий философскийанализ проблемы бесконечности дал Г. Гегель, различивший истинную (качественную)и «дурную» бесконечность как безграничное увеличение количества и связавшийкатегорию бесконечности с характеристикой процессов развития. Эти идеи былиматериалистически переосмыслены марксизмом, подчеркнувшим диалектическуювзаимосвязь бесконечности и конечного, противоречивую природу бесконечности.Важное значение имело указание связи Б. с категорией всеобщего. Применительно ккосмологическим проблемам количественная бесконечность рассматривается обычнокак бесконечность материального мира в пространстве и времени.
Противоборствующимиздесь являются, с одной стороны, религиозная и идеалистическая точка зрения,толкующая бесконечность как бесконечность бога, его вневременность или какпродукт сознания, а с др. стороны, ‒точка зрения материализма, рассматривающего бесконечность как одно из свойствпространства и времени и исследующего её в опоре на результаты математики икосмологии. По данным современной космологии, Вселенная (материальный мир,рассматриваемый лишь в аспекте пространственно-временного распределения масс)бесконечна в пространстве и времени, а её пространственные и временныехарактеристики по отдельности могут быть и конечными, и бесконечными, взависимости от выбора системы отсчёта.
3.Понятие бесконечностив искусстве
Понятие бесконечностиприсутствует и в искусстве.
Вариацией на эту темуявляются и стихи английского поэта Уильямса Блэйка:
“В одном мгновеньевидеть Вечность,
Огромный мир – в зернепеска
В едином миге –бесконечность
И небо – в чашечкецветка”.
Б. Паскаль писал обесконечности: “Я вижу со всех сторон только бесконечности, которые заключаютменя в себе как атом; я как тень, которая продолжается только момент и никогдане возвращается.
Бесконечность есть вотрывках стихотворений таких поэтов и ученых, как римского поэта и философа ТитЛукреция Кара.
“Нет краев у нее, и нетни конца, ни предела,
И безразлично, в какойты находишься части Вселенной.
Где бы ты не был,везде, с того места, что ты занимаешь,
Все бесконечной онаостается во всех направленьях”.
Низами –среднеазиатский поэт вопрошал:
“Разве в миребесконечном направленье есть?
Разве далям бесконечнымизмеренье есть?”
Немецкий поэт 18в.Альберт фон Галлер утверждал:
“Нагромождаю чиселтьму,
Мильоны складываю вгору,
Ссыпаю в кучу времена,
Миров бесчисленныхпросторы.
Когда ж с безумнойвысоты
Я на тебя взгляну, тоты -
Превыше не в пример
Всех чисел и всех мер:
Они лишь часть тебя”.
И здесь уместновставить слова Максимилиана Волошина:
“Когда уйду я вбесконечность,
То мне откроется она,
Так ослепительно ясна,
Так беспощадна, таксурова,
И звездным ужасомполна”.
Иллюстрациями этогопонятия могут служить и некоторые замечательные графические работы известногоголландского “математического графика”, художника М.К. Эшера.[8]В этих работах Эшер, умело опираясь на математические конструкции применяемые валгебре и геометрии, подчеркивает несовершенство и ограниченность нашейгеометрической интуиции. Именно глубоким проникновением в природугеометрической бесконечности и объясняется сильное воздействие на зрителя“математических работ” Эшера.
На полотне можноизобразить лишь иллюзию бесконечности, но не саму бесконечность. Гравюра Эшера“Все меньше и меньше” представляет собой первую попытку изображения бесконечности.При приближении к центру окружности фигурки, заполняющие плоскость,уменьшаются, каждая последующая фигурка занимает площадь вдвое меньшую, чемпредыдущая: в центре площадь их становится бесконечно малой, а количествобесконечно большой величиной. Такая конструкция является фрагментарной, т. к.она позволяет расширение новыми все более увеличивающимися фигурами.
Избежатьфрагментарности и представить бесконечность во всей ее полноте внутри четкоочерченной границе позволяет лишь метод, обратный только что рассмотренному.
Это такие гравюры как“Круговой предел 1, 2, 3”
В круговом пределе 3вдоль каждой цепочки сохранена однородная ориентация фигур, рыбки плывутвереницей по дугам от края до края гравюры и так, что чем ближе к центру, темфигуры становятся больше. Каждая цепочка подобна траектории ракеты, котораявзмывает с одной из точек окружности и исчезает на противоположной стороне. Приэтом ни одна из фигурок цепочки не достигает граненой линии, за пределамикоторой “абсолютное ничто”.
Но сферическая вселеннаяи не может существовать без охватывающей ее пустоты не только потому, чтопонятие “внутри” предполагает понятие “снаружи”, но и потому, что в этом“ничто” воображаемые, но геометрически точно определенные центры дуг,образующие структуру сферического мира.
Да немало я потрудился,чтобы представить замкнутость… но зато я теперь убедился, что глаз и рукамогут создать и объяснить все на свете, даже бесконечность не пугает их...”
Работы Эшера можнодемонстрировать, когда говорим о симметрии, о трехмерном пространстве, приизучении правильных многогранников и т.д. и т.п.

Заключение
Понятие бесконечности,значение которого в современной системе познания столь невообразимо велико,зародилось в глубочайшей древности и при становлении прошло весьма сложныйпуть. Впервые это понятие обсуждается в школе элеатов: элеец Зенон вводитпонятие актуально бесконечного.
Чтобы создать науку одвижении — физику, Аристотель должен доказать возможность мыслить движение безпротиворечия. Для этого он вводит принцип непрерывности.
Таким путем Аристотельразрешает те трудности, которые возникают при допущении, что пространство ивремя состоят из бесконечного множества «неделимых», и получает возможностьмыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму «продвинутостей». Принципотношения имеет применение и в греческой астрономии, тоже не признающейактуально бесконечного. Архимед не допускает отношения между какой-либовеличиной и тем, что величины не имеет (т. е. на нашем языке — нулем), азначит, не допускает бесконечности. Средневековая наука опиралась на теории,созданные еще в античности: геометрию Евклида, астрономическую систему Птолемеяи физику Аристотеля. В эпоху Возрождения характерен острый интерес к понятиюбесконечности. Оно не только не вызывает к себе недоверия, но, напротив,становится предметом специального исследования у ученых и философов.Бесконечность — концепция, используемая в математике, философии и естественныхнауках.
В процессе развитияматематики сформировались следующие подходы к этому понятию: арифметическая игеометрическая, потенциальная и актуальная бесконечности. Геометрический образбесконечности – линия, вдоль которой можно двигаться с любой сколь угоднобольшой скоростью, но никогда не достичь ее конца которого нет. С физической точкизрения это утверждение означает приоритетность пространства над временем, атакже, то, что форма существования пространства является бесконечной.
Бесконечность вфилософии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественнаябесконечность, выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный(всеобщий) характер связей явлений; количественная бесконечность, выступающаякак неограниченность процессов и явлений. Понятие бесконечности присутствует ив искусстве.
О бесконечности писалиБ. Паскаль, У. Блэйк, Альберт фон Галлер и др. Иллюстрациями этого понятиямогут служить и некоторые замечательные графические работы известногоголландского “математического графика”, художника М.К. Эшера.
Таким образом, понятиебесконечности получила развитие и в науке и в искусстве. Она охватывает собойвсе существующее, и то, что уже познано человеком, и то, что предстоит познатьв будущем. Она неизменно остается тождественной только самой себе, никакимобразом не реагирует на конечную величину — она включает последнюю, и в то жевремя через конечные величины выражается.

Список использованнойлитературы
1.Архимед. Сочинения. М., 1962. С.358-359.
2.Бурбаки Н. Очерки по историиматематики. — М.: КомКнига, 2007.
3.Бурова И.Н. Развитие проблемыбесконечности в истории науки. — М.: Наука, 1987.
4.Евклид. Начала. Кн. I-VI. М., 1949. С.142.
5.Егоров В.С. Философия открытого мира.-М., 2002.
6.Мауриц Э. Магия М.К. Эшера.- Арт — родник, 2007.
7.Садохин А.П. Концепции современногоестествознания.- ЮНИТИ-ДАНА, 2008.
8.Стахов А.П., Проблема бесконечности вматематике // «Академия Тринитаризма», М., Эл.- № 77-6567.- 2006.
9.Трубникова Н.Н., Шульгин Н.Н.Существуют бесконечности, большие других бесконечностей, и бесконечности,других бесконечностей меньшие. — М., РОССПЭН, 2001.- С. 174.
10.УспенскийП.Д. Новая модель Вселенной.- Изд-во Чернышева, 1993. — С. 463.