Аналитическаягеометрия Декарта и проблемы философии техники
Глубокиеизменения в науке XVI-XVII века, закрепившие за этим периодомназвание “научной революции”, коснулись не только науки о природе, но иматематических дисциплин. Создателям дифференциального и интегральногоисчисления, аналитической геометрии, теории вероятностей предстояло преодолетьсерьезные препятствия. Сложность заключалась не только в чисто технических,узконаучных моментах,- уже античность умеет по-своему интегрировать и проводитькасательные, — но и в общефилософском плане. На пути создания математическогоанализа и аналитической геометрии стояли классические представления древности исредневековья о природе числа, континуума, о нормах строгости, доказательностив математике, — короче, о всем том, чем должна быть математика в рамкахнекоторой мировоззренческой перспективы. Пионерам новоевропейской математики — Валлису, Ферма, Декарту, Паскалю и др.- пришлось преодолевать не толькоузкоматематические трудности, но и вести спор с тысячелетними философскимитрадициями. Следует также отметить, что сложнейшие гносеологические проблемы,сопутствующие рождению новоевропейской математики, имеют не только историческийинтерес. Ключевые проблемы математики XX века — интуиционизм, логицизм,конструктивные направления, нестандартный анализ и др.- теснейшим образомсвязаны с научными спорами XVI-XVII веков.
Вплане чистой истории математики изобретение Декарта не было “потрясениемоснов”. Весь XVI век математикаЗападной Европы переживает бурный процесс алгебраизации. Истоки же этого движениянужно искать еще раньше, в позднем средневековье. С XII века, когда вЕвропе начинают переводить на латынь сочинения Евклида, Птолемея, Аль-Хорезми,вместе с переводами с арабского в западноевропейскую культуру транслируется иособый образ математики, сыгравший формирующую, заправляющую роль. Изматематики исламской культуры приходит подчеркнутое пристрастие к алгоритмическимметодам, к знанию, сформулированному в виде правил и рецептов.
Декарт,демонстрируя в своей книге мощь нового метода аналитической геометрии, существеннопреакцинтирует само понимание геометрии — и в смысле метода, и в смыслепредмета. Причины этой трансформации — и простирающиеся вплоть до нашеговремени следствия ее — связаны с глубокими изменениями философского иобщекультурного горизонта, внутри которого только и существует математика любойэпохи, с новыми ценностными ориентирами, характерными для науки XVII века.
Чтобылучше понять смысл декартовского переворота в математике, нам нужно вспомнить,как осознается в античности познавательный статус геометрии.Пифагорейски-платоновская традиция понимает геометрию как науку двойственную,обязанную своим существованием двум принципам: интеллекту и воображению.
Греческаягеометрия, развивавшаяся в русле платоновско-пифагорейской традиции, делалаособый акцент на созерцательном характере геометрических методов, подчеркивала важностьцелостного постижения геометрических образов, небезразлично относилась и кэстетическому аспекту геометрии.
Сущностьдекартовской новации являлась ее алгебраизация. Новым, что принесла ссобой картезианская “геометрия”, было принципиальное, систематическое сведениегеометрических задач к алгебраическим. Речь щла не о новых удачных приемахрешения задач, а об изменении самой точки зрения на геометрию. Понять этутрансформацию можно лишь обратившись к декартовскому философскому учению ометоде. Действительно, существует удивительная непрерывность в переходе отчисто философских построений “Рассуждений о методе” к геометрическимконструкциям в “Геометрии”.
“Подметодом же, — пишет Декарт, — я разумею точные и простые правила, строгоесоблюдение которых всегда препятствует принятию ложного за истинное и,безлишней траты умственных сил, но постепенно и непрерывно увеличивая знания,способствует тому, что ум достигает истинного познания всего, что емудоступно”. Сформулируем специально эти характерные черты декартовскогометода: достоверность, простота, механичность, продуктивность, полнота. Метод,однажды найденный, уже не требует для своей эксплуатации особыхинтеллектуальных усилий. Пользование им в науке приводит последнюю ксвоеобразной “механической работе”, безразличность которой, как неукоснительноеневозмутимое следование предписанным правилам, служит даже гарантомправильности получаемых результатов и, следовательно, их истинности. В“Правилах” метод Декарта распадается на множество предписаний различной степениобщности. В “Рассуждениях о методе” эти предписания сведены к четырем основным.Но для нас сейчас важнее другое. Поскольку правила метода выводятся израссмотрения “структуры” самого человеческого разумения вообще, безотносительнок какой-либо конкретной науке, то они имеют трансцендентальный характер.Другими словами, эти правила характеризуют познание с его априорной стороны, сточки зрения его формы и играют роль в любых науках. Так, уже арифметика игеометрия древних, пишет Декарт, “являются не чем иным, как самопроизвольнымиплодами, возникшими из врожденных начал этого метода...”. Именно это, отчастиуже утраченное “искусство человеческой мудрости”, пытались воскресить, помнению Декарта, и его современники под именем алгебры. “… Таким образом,-пишет Декарт,- должна существовать некая общая наука, объясняющая всеотносящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частныхпредметов, и эта наука должна называться не иностранным (т.е. арабским“алджебер”.), но старым, уже вошедшим в употребление именем всеобщей математики...”.
Идея“всеобщей математики” (mathesis universalis) была в высшейстепени популярной в XVI-XVII веках. Идея этавосходит еще к тому образу математики, под которым она культивировалась вдревних цивилизациях Египта, Вавилона, Индии.
Изэтого алгоритмического понимания математики естественно вырастает идея об универсальномалгоритме — правиле, приеме, который бы позволил чисто механически, “безизлишней траты умственных сил” решить любые проблемы. “Естественно”, говориммы, но только при одном условии. Предпосылкой этого перехода является общая прагматическаяориентация в понимании сущности знания. Знание, как совокупность приемов иметодов для достижения тех или иных целей. XIII век являетсясвидетелем м гораздо более серьезной новации: францисканский миссионер РаймондЛуллий создает свое знаменитое “Великое искусство”, как одну из первых попыток“автоматизации” процесса логических рассуждений (напечатано было Ars magna только в 1480году). Весь XVI век проходитпод знаком настойчивых поисков удобной алгебраической символики, котораяпозволила бы создать некое “исчисление” для решения задач (К. Рудольф, М. Штифель,Р. Бомбелли, П. Рамус, С. Стевин, Ф. Виет и др.). В 80-х годах XVI века Дж. Брунояростно защищает свой платонизированный вариант луллизма в Сорбонне. В XVII веке идея mathesis universalis привлекает нетолько Декарта, но и Лейбница, который всерьез начинает строить формальный языксвоей “всеобщей характеристики”. Эта мощная традиция (в европейской культуревосходящая, вероятно, еще к идее “Органона” у Аристотеля) доходит и до XX века,обновляясь (и радикализируясь) в проблемах, связанных с компьютеризацией,“искусственным интеллектом”, логицистким обоснованием математики.
Декартделает решительный шаг: он объединяет арифметику и геометрию в общую науку наосновании операционного сходства их предметов. Это более общая наука,занимающаяся уже не числом и не протяженностью, а свойствами операцийнад ними, и называется алгеброй. Алгебра в этом смысле выступает какабстрактная алгебра, как наука, систематически изучающая не некие реальности, аотдельные выделенные свойства этих реальностей безотносительно к целостностипоследних. Этот способ, особенно угол зрения на математические объекты, отнюдьне естественен сам по себе и для античных математиков был бы в высшей степенинадуманным и бесполезным. Чисто гносеологически он состоит в перемещениивнимания с объекта познания на его субъект, в тотальности деятельностнойустановки которого стираются различия в манипулируемых объектах. Для выработкиэтой установки требовалось духовное усилие целой культурной эпохи,простирающейся от позднего средневековья до XVII века.Алгебраизация математики есть лишь внутриматематическое выражение этой болееширокой философской (и, шире, мировоззренческой) тенденции.
Спомощью “исчисления господина Декарта” человек, отнюдь не обладающий особымиматематическими способностями, может решать задачи, которые в рамках традиционныхметодов античной геометрии были доступны лишь профессионалам высокого уровня.Решение задачи требует лишь аккуратной ее формализации- перевода на языксимволов и далее чисто механической работы, связанной с преобразованиемалгебраических выражений. Алгебра выступает почти универсальным посредником прирешении геометрических (как и арифметических) задач. Сама по себе алгебра естьлишь наука операций, производимых над отрезками: каждому алгебраическомувыражению соответствует последовательность действий над геометрическими (илиарифметическими) величинами. В этом отношении алгебра есть не что иное (не чтобольшее), как техника геометрических операций. И именно поэтому мыприводимся к необходимости рассмотреть всеми алгебру на фоне более общих вопросов,касающихся природы техники.
Метода:“без излишней траты умственных сил”, механически следуя простым правиламнекоторого исчисления, иметь возможность решать разнообразные задачи.Алгебраическая техника не требует ни особых усилий воображения, ни тем более“интеллектуального созерцания”.
Техникасвязана с властью, техническое знание есть сила. “Техника — это умение,методы которого являются по отношению к цели внешними. Это умение- способностьделать и обладать, а не созидать и предоставлять растит”. Действительно,применение алгебры в геометрии выступает как нечто внешнее по отношениюк самой “материи” этой науки. Алгебраический “механизм” режет, комбинируют,считает, но своего элемента, своего “простого” — отрезка, как непрерывнойвеличины, как действительного числа — он не знает (да и не хочет знать).
Техникаперестраивает и создает новый мир. “Создание орудий труда подчинено идеенекоторого единства, а именно единства в рамках постоянно расширяющегося присвоей замкнутости преобразования человеком окружающей его среды”. И эта чертафункционирования техники находит себе параллель в “Геометрии” Декарта. Общаятенденция технической цивилизации, проявляющаяся в приспособлении окружающейсреды (и даже человека) к способу функционирования машины — прокладкаавтомобильных и железных дорог, экспансия формальных языков во все сферыкультуры, формализация искусства, приспособление человека к ритму работы машиныи т.д., — находит полную аналогию и в декартовской “революции в геометрии”.Понятным, рациональным, научным становится только то, что доступно обработке спомощью априорного метода. Все иное выталкивается за границы науки, объявляетсяиррациональным, а то и бессмысленным, а то и — при некотором навыке…несуществующим.
Смеханическим, отчужденным характером деятельности человека, воплощенной втехнике, связаны и возникающие на почве технизации серьезные проблемы. “Там,где методы, допускающие практическое усвоение и входящие в самую сущностьтехнической деятельности, превращаются в самоудовлетворяющуюся рутину, этоусвоение способствует не обогащению жизни… а ее обеднению”. То же можноповторить и в отношении алгебраизации в “Геометрии”. Решение задач, сведенное кмеханическому вычислению, обессмысливает геометрию как таковую. Чистоалгебраические вычисления требуют лишь определенного типа внимания, как бы ненуждаются уже в “целом человеке”. Лишенная творческого усилия, эта деятельностьсама по себе утомительна, скучна и антигуманна по своей сути. Человек здесьвоистину оказывается лишьпридатком — придатком машины алгебраическогометода.
Этотбросающийся в глаза параллелизм между характеристиками материальной техникой иалгеброй не случаен. Алгебра, как мы уже подчеркивали, исходно есть наукаопераций, техника манипулирования числами и геометрическими величинами. Будучипо сути своей техникой, она порождала (и порождает) все основные проблемы,сопутствующие технике.
Смыслсближения алгебры и техники можно понять из следующего сопоставления. Высшей,предельной задачей техники является создание универсального механизма — универсального робота. В настоящее время, время мощного технологическоговзрыва, тотальной автоматизации на основе современных компьютерных средств,регулятивный характер этой идеи проявляется все более очевидно. Интересно, чтои на заре новоевропейской цивилизации в XV-XVI веках идеигомункулуса, “голема”, человекообразного автомата были очень популярны (и имелиследствием даже попытки их технического воплощения). С другой стороны,“идеальной” целью алгебры — и одновременно, как мы уже отмечали, ее истоком-служит идея универсального алгоритма. Пышно разросшееся “древо” абстрактнойалгебры выделило уже из себя к XX веку специальную дисциплину-математическую логику. На базе последней создаются различные искусственныеязыки, позволяющие в той или иной степени “формализовать” некоторыечеловеческие действия, т.е. представить и как совокупность операций, доступныхмашинному моделированию. Это две идеи- идея машины, автомата и идея алгоритма, — продолженные до своего логического предела, взятые в своей полноте, в пределе“пересекаются”. Этим пересечением служит идея искусственно созданного существа,по своим физическим возможностям превосходящего, а по интеллектуальным, какминимум, равного человеку. Причем универсальный алгоритм представлял бы собойкак бы “душу” этого существа.
Декартпри определении простого и сложного построения идет от своего метода, отрациональной конструкции. Но так как метод есть геометрическое выражениезаконов всеобщей человеческой “мудрости”, лежащей в основании всех наук, топростое, в смысле метода, есть оптимальное, истинное. Простое решение, в смыслепростоты геометрического построения задачи, есть для Декарта лишь “эпифеномен”,дурная привычка принимать случайное за основное, за истинное. И эту привычкудолжно преодолеть. В этом смысле мы отмечали выше, что метод Декарта, внедрениеалгебры есть не просто новый технический прием. Он есть новая культура,культивирование новых ценностей, в частности нового критерия простоты исложности. Он есть создание нового мира, в борьбе со старым, традиционнымутверждающего новые ценности. Именно от лица этого “старого мира”, старогопорядка ценностей — впрочем, не просто “естественного”, но и освященногодвухтысячилетней математической традицией — и выступает Ньютон.
Новаягеометрия была неотделима от новой культуры, новой, становящейся формации,нового человека. И “Новый органон” Ф. Бэкона, и экспериментальный метод Г. Галилея,социальная “инженерия” Т. Кампанеллы, и неукротимая воля драматических героевП. Корнеля — все свидетельствовало о рождении нового человека, активного,деятельного, перестраивающего мир.
Декартовскийфилософ, погружающийся в “бездну” сомнения, довольно быстро нащупывает в этой“бездне” дно, точку опоры, и на ней, как на фундаменте, начинает строитьВавилонскую башню своей универсальной науки. Движение научного знания послеэтого уже исключительно экстенсивное- сложное складывается из известных простыхэлементов- и в принципе может быть механизировано. “Жизнь”, конечно,сопротивлялась этой программе знания, “не работали” некоторые алгоритмы, да исами элементы знания отнюдь не были так бесспорно понятны, как требовала этогосама же декартовская программа. Нужно было или отказываться от предвзятыхэпистемологических схем, или… перестраивать саму действительность, подгоняяее под выбранную заранее модель (мы видели, как это делал Декарт в геометрии).Примеров последнего пышное дерево механицистких конструкций XVII-XVIII веков даетнемало. “Дух деятельности” сплошь и рядом оттеснял “дух мудрости”. Этостремление прекрасно выражено у Гете в заключительной части “Фауста”. Фаустраздражен бесплодной и бессмысленной, по его мнению, катрино чередованияприливов и отливов моря. Должно упорядочить все это случайное — по мнениюФауста! — “коловращение” стихий, обуздать их- построить плотину. На ироническоезамечание Мефистофеля, что Фауст ищет славы, последний отвечает:
Не вславе суть. Мои желанья-
Власть,собственность, преобладанье.
Моестремленье — дело, труд.
Пафосдела, труда, власти нем свою славу в самом себе. Техника же как бы служилаглавным символом, воплощения этого пафоса. К концу нашего столетия мы уженачали немного осознавать, что титаническое желание части перестроить целоесогласно своей воле может привести к катастрофе и что сплошь и рядом смиренное следованиеприроде, согласно максиме “не повреди”, оказывается гораздо мудрее. Тогдаже, когда все это начиналось, в XVII веке, духовная ситуация была иной.“Фаустовский” дух деятельности становился всепронизывающим. Он проникал даже втеоретические дисциплины, перестраивал их, ориентировал их развитие в новомнаправлении.