Параметры матрицы рассеяния могут быть рассчитаны по известной матрице проводимости четырехполюсника по формуле:
/>,
где />– единичная матрица.
Необходимо отметить важную особенность параметров матрицы рассеяния, связанную с направлением прохождения сигнала. При изменении направления передачи изменятся лишь индексы в параметрах рассеяния (/>на />, />на />), знаки же величин, входящих в уравнения (3.1) останутся прежними.
Установим связь между параметрами волновой теории (S-матрицей) и параметрами классической теории (Y-матрицей). Для этого рассмотрим четырехполюсники с направлениями падающих и отраженных волн, а также токов и напряжений, как показано на рисунках, и, соответствующие данным системам параметров, уравнения:
/>Рис. 3.2 Четырехполюсники в системе волновой и классической теорий
/>
/>
Учитывая введенные ранее обозначения для падающих и отраженных волн
/>,
а также выразив из этих уравнений токи и напряжения, подставим их в уравнения для S-параметров:
/>
/>.
(минус, так как ток />направлен из четырехполюсника).
/>
Рис. 3.3 К расчету S-матрицы по матрице Y
Подставляя в уравнения для />параметров, получим:
/>.
Приведем к общему знаменателю: />.
Перегруппируем слагаемые />.
и выразим из полученных уравнений падающие и отраженные волны: />.
Далее учтем нормировку матрицы проводимости: />.
/>.
Первое уравнение получим в виде:
/>.
Преобразуем второе уравнение:
/>.
Получим:/>
Матрица коэффициентов полученной системы запишется:
/>.
Волновая матрица передачи. Если в качестве зависимых переменных выбрать волны на входе четырехполюсника – волну падающую на вход и волну отраженную от входа, а в качестве независимых переменных – волны на выходе — распространяющуюся к нагрузке и отраженную от нагрузки, то система уравнений, коэффициентами в которой будут параметры волновой матрицы передачи, запишется:
/>/>. (3.2)
/>Описание четырехполюсников в виде волновой матрицы передачи удобно при их каскадном соединении. Результирующая матрица передачи в этом случае определится по соотношению:
/>.
Где k-количество каскадно соединенных четырехполюсников.
Можно показать, что для взаимных четырехполюсников справедливо соотношение />, а для симметричных: />.
Связь между волновой матрицей и матрицей классической теории Y устанавливают соотношения:/>.3.3. Расчет схемных функций по матрице передачи
Рассчитаем входной и выходной импедансы четырехполюсника, а также коэффициент передачи напряжения при произвольных нагрузках на входе и на выходе по А-матрице (или ABCD-матрице, как принято обозначать в зарубежных источниках) в соответствии с принятыми на рисунке обозначениями.
/>
/>/>. (3.3)
Определим сопротивления нагрузки и генератора:
/>; />. (3.4)
Входное сопротивление определится в результате деления первого уравнения исходной системы на второе:
/>.
Физический смысл параметров А-матрицы передачи:
/> — обратный коэффициент передачи напряжения;
/> — сопротивление передачи;
/> — проводимость передачи;
/> — обратный коэффициент передачи тока.
Коэффициент передачи по напряжению от источника к нагрузке найдем, подставляя входное напряжение из (3.4), а затем входной ток из второго уравнения — в первое уравнение системы (3.3):
/>.
Для вывода выражения для схемной функции />рассмотрим четырехполюсник с независимым источником напряжения на выходе:
/>
Поставив в систему уравнений (3.3) входной и выходной токи с учетом знаков, получим:
/>, выражая />из первого уравнения и подставляя во второе – получим:
/>
/>
/>.
Коэффициент отражения от входа:
/>.
Коэффициент отражения от выхода:
/>.3.4. Связь между системами волновых параметров
Связь между волновыми матрицами устанавливается соотношениями:
/>/>,
где />.
Матрицы существуют, если />.
Связь между матрицами волновой и классической теорий:
/>;/>;/>.