Работу выполнила Литвиненко Анастасия,ученица 10 “Б” класса МГ № 48
Норильск, 2000 г.
Введение
Человечествоуже много сотен лет решает задачи различного плана. Задачи ставила передчеловеком природа, защита собственной жизни, постройка жилища. В зависимости отрешения жизнь была то легче, то труднее. Много лет решению уделялось всевнимание, но однажды возник вопрос: как же составить задачу. С тех пор,наверное, прошел большой период времени, и математика продвинулась далековперед, став «царицей всех наук», а вопрос остался и сейчас, каккто-то тысячелетия назад, я спрашиваю: как составить задачу?
Этатема уже довольно давно заинтересовала меня, я пыталась найти ответ на свойвопрос в разных источниках, но в большинстве из них были представлены лишьисходная задача, задача, полученная на ее основе, определение способасоставления и ничего больше. Тогда, изучив различные материалы, я решилаответить на этот вопрос сама. В представленной работе и содержится ответ.
Таккак задачи бывают разные: учебные, конкурсные, олимпиадные, задачи ловушки ит.д., конструировать их можно тоже по-разному: можно создавать условия задачина основе собственных наблюдений, а можно — выбирая опорой какие-то данные.Именно этот вид конструирования и рассматривается в данной работе.
Решениезадачи часто требует нестандартного аналитического мышления, а значит и еесоставление требует того же. Существует несколько способов конструирования, ихпять: Обобщение, Конструкция, Частный случай, Перефразировка, Варьированиеусловий.
Ккаждому из них был составлен алгоритм конструирования, который упрощаетсоставление задачи.
Даннаяработа состоит из Введения, пяти глав и Заключения. Каждая часть представляетодин из способов конструирования задач, некоторые из них содержат задачи,составленные по данному алгоритму.
1. Перефразировка.
Этотприем делится на несколько видов, первый из которых так и называется:перефразировка.
Перефразировка.Этот способ конструирования можно использовать для самоконтроля. Если человеклегко может перефразировать задачу, значит, он знает, что дано, и что нужнополучить, видит соотношения между ними. Если он овладел и способом решения, тов дальнейшем без особых усилий сможет решить любую подобную задачу.
Алгоритмконструирования:
1.1.1.Выделение опорных утверждений.
Задачибывают разные: на нахождение и на доказательство; в задачах на доказательствоосновными понятиями являются условие и заключение; в задачах на нахождение — данныеи искомые величины. В задачах на нахождение часто особо выделяют задачи напостроение какой-либо геометрической фигуры. Задачи на нахождение и задачи надоказательство тесно связаны. Чаще всего, узнав доказательство той или инойтеоремы, учащиеся решают задачи на нахождение, в которых теорема находит своенепосредственное применение.
1.1.2.Решение задачи.
Этонеобходимо для того, что бы в дальнейшем проверить, не повлияла липерефразировка на ход решения и результат задачи.
1.1.3.Выбор утверждений для перефразировки и их изменение.
Чащевсего это замена какого-либо термина или определения, что помогает«завуалировать» утверждение или действие.
1.1.4.Перефразировка.
1.1.5.Решение полученной задачи.
Пример1:
Задача:«Если треугольник вписан в окружность, то любая его сторона будет равнапроизведению двух радиусов этой окружности на синус угла, противоположного этойстороне». («Геометрия 7-11» А.В. Погорелов)
1.1.1.Основные понятия: треугольник, вписанный в окружность, а=2Rsina.
/> 1.1.2. Дано: АС^ВК; окр.О; ВК — диаметр; АВС.
Доказать:проекция АС равна АВ.
Доказательство:
Т.к.треугольник вписан в окружность, то из вершины В можно провести диаметр ВК.Соединив точку К с вершиной А, получим ÐВАК=ÐСВА, т.к.они имеют общую хорду АВ. Пусть ВС=а,Ð АКВ=a, тогда, т.к.ВК -диаметр, АВК - прямоугольный, то (по теореме синусов) а=2Rsina.Ч.т. д.
1.1.3.Фразу «сторона равна произведению двух радиусов на синус противолежащегоугла» можно заменить на «проекция диаметра, перпендикулярного однойстороне на другую сторону, равна третьей стороне», т.к. смысл неизменится.
1.1.4.Полученная в итоге задача выглядит так: «Докажите, что для вписанного вокружность треугольника проекция диаметра, перпендикулярного одной стороне, надругую сторону, равна третьей стороне», (ж. “Квант”)В этой задачеспециально используются «лишние» данные, чтобы задача была болеекрасивой и… запутанной.
1.1.5.Решение этой задачи точно такое же, как и у исходной задачи, поэтому оно неприводится.
1.2. Замена фигуры. Алгоритмконструирования:
1.2.1.Выделение основной фигуры задачи.
1.2.2.Решение задачи.
1.2.3.Замена фигуры и уточнение полученной задачи.
Пример2:
Задача:" На плоскости отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат наодной прямой. Постройте пятиугольник, в котором данные точки являютсясерединами сторон". ( «Как задать вопрос?» Н.П. Тучнин).
1.2.1.Основная фигура задачи — пятиугольник.
1.2.2.Дано: т.В1, В2, В3, В4, В5.
Найти:т. А1, А2, А3, А4, А5.
Решение:
Длянаглядности начертим на плоскости пятиугольник и отметим середины сторон,как если бы задача была решена. Проведем в пятиугольнике диагональ и получимдве фигуры: четырехугольник и треугольник, середины сторон четырех-
угольника являются вершинами параллелограмма. Соединив точки В2, В3, В4, получимтреугольник и достроим его до параллелограмма и найдем середину диагонали,которая параллельна прямой В1 В5 (по теореме о средних линиях треугольника).Таким образом, можно легко построить точки А1, А2 и А5, а зная их и А3, А4, припомощи параллелограмма.
1.2.3.Пусть будет не пятиугольник, семиугольник. Для этого нужновзять не пять, а семь точек, любыетри из которых не лежат на одной прямой. В результате получается довольнотрудная задача: " На плоскости отмечены семь точек, никакие три из которыхне лежат на одной прямой. Постройте семиугольник, для которого эти точкиявляются серединами сторон". ( Составлена самостоятельно).
1.3. Перевод задачи с геометрическогоязыка на алгебраический.
Врезультате таких преобразований обычно получаются красивые и интересные задачи,которые имеют сложное решение. Этот способ перефразировки иллюстрирует тесноевзаимодействие алгебры и геометрии. Конечно, перевод возможен не только сгеометричес- кого языка на алгебраический, но и наоборот, хотя решениеалгебраических задач на гео- метрическом языке встречается гораздо реже, ввиду сложности и характерности решения, присущего таким задачам.
Алгоритмконструирования:
1.3.1.Выбор условий, которые можно заменить алгебраическими выражениями.
1.3.2.Решение задачи.
1.3.3.Изменение условий.
1.3.4.Редактирование формулировки.
1.3.5.Решение полученной задачи.
Пример3:
Задача:«Если треугольник вписан в окружность, то любая его сторона будет равнапроизведению двух радиусов этой окружности на синус угла, противоположного этойстороне». («Геометрия 7-11» А.В. Погорелов)
1.3.1.В данном случае перефразировки обычно берутся не отдельные фразы или термины,а части фигур (стороны, углы, диагонали и т.д.).
Условиядля перевода: сторона СВ треугольника АВС, сторона АК треугольника АВК, ÐВАС, ÐАВК, радиус и диаметр.
1.3.2.Решение этой задачи приведено в пункте 1.1.2.
1.3.3.Пусть СВ=а, АК=в, ÐВАС=a, ÐАВК=b, ВК=х, ОН(радиус)=у.
1.3.4.Конечная формулировка выглядит так: “Найти отношение а к в системе:
/> а= sinaх
в=sinbу, на основании теоремы синусов”.(Составлена самостоятельно).
1.3.5.Решение: по теореме синусов, а=2 Rsina, тогда выражения а= sinaх, в= sinbу будутчастными случаями теоремы, в этом случае sin a =Ö3/2, sinb=1/2, а х и у — диаметр и радиуссоответственно, х=2у,Þв=у, Þа=2×Ö3в/2, Þа/в=1/Ö3.
Ответ:а/в=1/Ö3.
1.4. Переход от прямого утверждения кобратному.
Некоторыезадачи и теоремы имеют одну интересную особенность: они верны, если их решатьот начала до конца, и если логическая цепочка выводов движется в обратномнаправлении, т.е. данные и искомые величины могут меняться местами.
Алгоритмсоставления:
1.4.1.Выявление данных и искомых величин.
1.4.2.Решение задачи или доказательство теоремы.
1.4.3.Переход данных величин в искомые и наоборот.
1.4.4.Повторное решение в обратном направлении.
1.4.5.Точная формулировка задачи.
Хочетсяотметить, что далеко не каждая задача имеет обратный перевод.
Пример4:
Задача:«Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятсяпополам, то этот четырехугольник - параллелограмм» («Геометрия7-11» А.В. Погорелов)
1.4.1.Данное: диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятсяпополам, искомое: параллелограмм.
1.4.2.Дано: АС^ВК, ВО=ОК, АО=ОС.
Доказать:АВСК — параллелограмм.
Доказательство:
/>/>ВО=ОК (по условию), АО=ОС (по условию), ÐВОС=ÐАОК (вертикальные), то ВОС= АОК, ÞАК= ВС, ÐОАК=ÐВСО, ат.к. это внутренние накрест лежащие, то АК½½ВС, аналогично АВ=СК и АВ½½СК,Þ АВСК — параллелограмм.
1.4.3.Данные: параллелограмм; искомые: диагонали пересекаются и точкой пересеченияделятся пополам.
/>/>/>1.4.4. Повторное решение: АК½½ВС,ÞÐКАО=ÐВСО, ÐАКО=ÐСВО и АК=ВС, Þ АОК= СОВ и АО=ОС, а ВО=ОК.
1.4.5.Формулировка задачи: «Диагонали параллелограмма пересекаются и точкойпересечения делятся пополам». (Составлена самостоятельно).
2. Конструкция.
Взадачах этого типа выстраивается сооружение, в качестве деталей которогоберутся задачи или теоремы, но данный способ конструирования имеет и обратныйпереход: чаще всего сложную задачу можно разложить на более простыесоставляющие, что применяется для решения сложных задач и называется«Частный случай», который рассматривается в следующем пункте.
Преобразованиезадач одного типа в задачи другого типа – одно из простейших творческихупражнений и часто рекомендуется для самостоятельной работы.
Некоторыезадачи конструируются авторами под понравившуюся идею решения. Так же можносконструировать задачу «под ответ».
Алгоритмконструирования:
2.1.Выбор задачи, утверждений решений или результатов для создания конструкции.
2.2. Решение задач или доказательство утверждений (если задача конструируется подответ или способ решения этот пункт можно исключить).
2.3.Выбор «деталей» для будущей конструкции (данный пункт также необходимлишь в том случае, когда используются задачи или теоремы).
2.4.Соединение или корректировка выбранных данных.
2.5.Уточнение формулировки.
2.6.Решение получившейся задачи.
Пример5:
Вкачестве иллюстрации этого способа конструирования выбрана довольно редковстречающаяся задача-ловушка, которая будет сконструирована под специальноподобранные данные.
2.1.В данном случае основой задачи выступает выпуклый четырехугольник с заданнымисторонами, две из которых равны одному числу, а две оставшиеся — другому.
2.4.Пусть этот четырехугольник будет иметь длины сторон 6 и 10, и лежать восновании четырехугольной пирамиды, высота которой равна 7, а грани наклонены кплоскости под углом 60°.
2.5. Уточнение формулировки: «В основании четырехугольной пирамиды лежитвыпуклый четырехугольник, две стороны которого равны 6, а две оставшиеся — 10, высота пирамиды равна 7, боковые грани наклонены к плоскости под углом 60°. Найдите объем пирамиды», (ж.“Квант”).
2.6.Дано: АВ=ВС=6, АК=КС=10, h=7, угол к плоскости 60, ОАВСК — пирамида, АВСК — четырехугольник.
Найти:VАВСКО.
Решение:
Двугранныеуглы при основании равны или 60° или 120°(по условию, но не обязательно 60°, в чем и состоит ловушка), вершина Опроектируется в точку, равноудаленную от прямых, образующих четырехугольник, Þ АВСК — не параллелограмм, значит, двесоседние стороны равны 6, а две другие, также соседние, 10.
Еслиу четырехугольника АВСК АВ=ВС=10, АК=КС=6, то существуют две равно — удаленныеот его сторон точки (О1 и О2). Расстояния от проекции вершины О до сторонпирамиды равны 7/Ö3 (следствие изусловия). Если проекция вершины — точка О1 (центр вписанной в АВСК окружности),то S АВСК=16×7/Ö3, но этоневозможно, т.к. S АВСК £60
(наибольшая площадь достигается, если углы ÐКАВ и ÐВСК прямые, тогда
SАВСК = 1/2d1× d2×sin(d1d2)=1/2×8×15× sin 90°=60,Þвершина О проектируется в точкуО2, расстояния от которой до сторон равны 7/Ö3, тогда SАВСК = =(10 — 6) 7/Ö3= 28/Ö3,а VАВСКО=64/Ö3.
Ответ:VАВСКО=64/Ö3.
3. Частный случай.
Иногдапоставленная задача оказывается настолько трудной, что не поддается решению,тогда используется следующий способ: решается часть задачи или рассматриваетсянесколько задач, аналогичных данной, что и называется использованием “частногослучая”. Бывает, что преподавателю не хватает какой-то простой задачи для иллюстрации новой теоремы, тогда тоже может помочь “частный случай”.
Вистории есть примеры того, что обобщенные теоремы не находят применения, а их“частные случаи” получают широкое распространение и являются одними изважнейших среди прочих теорем математики (примером подобной ситуации можетпослужить теорема Паппа и ее “частный случай” теорема Пифагора).
Алгоритмконструирования:
Решениесложной конструкции
Детализированиезадачи.
Изменениеусловий.
Объяснениевозможного изменения решения.
Соединениеи уточнение условий.
Решениеполученной задачи.
Пример6: Задача: «Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно суммепроизведений его противоположных сторон. (Теорема Птолемея)» (ж. "Квант"№4 1991г.")3.1. Дано: окр., АВСК — вписанный четырехугольник,АС и ВК — диагонали.
Доказать:ВК × АС= СК ×АВ + ВС ×АК.
Доказательство:
Возьмемна диагонали АС точку М такую, что ÐАВМ= ÐСВК.Поскольку
/>/>/>/>/>угол ÐСКВ=ÐМАВ (каквписанные), ВСК подобен АВМ, поэтому ВК: АВ=СК: АМ Û АВ×СК=АМ×ВК(1). Изтого, что ÐАВК=ÐМВС (по построению), а Ð ВСМ= ÐАКВ (вписанные), следует, что АВК подобен МВС,ÞАК: СМ= ВК: ВСÛ АК×ВС=ВК× СМ (2).
Сложивпочленно (1) и (2), получаем ВК ×АС=СК ×АВ + ВС ×АК, что и требовалось доказать.
3.2.Итак, теорему можно поделить на группу терминов: «произведениедиагоналей», «вписанный четырехугольник» и «суммапроизведений противоположных сторон».
3.3.Для того чтобы получить частный случай теоремы Птолемея, выбран термин«вписанный четырехугольник», который изменяется на «вписанныйквадрат».
3.4.В результате изменения условий, изменяется и решение: точка М переносится вцентр окружности, который является и точкой пересечения диагоналей квадрата.
3.5.Полученная задача выглядит так: “Докажите, что квадрат стороны вписанногоквадрата равен двум площадям этого квадрата”. (Составлена самостоятельно).
3.6. Решение:
Дано:АВСК — вписанный квадрат, АС и ВК — диагонали, О — центр окружности.
Доказать:ВК× ВК=2 SАВСК.
/>/>/>Доказательство:
Т.к.ÐАВО=ÐСВК (диагональ квадрата является биссектрисой),
/>/>ÐСКВ=ÐОАВ(вписанные), ВСК подобен АВК,Þ АВ×АВ= АО×ВК (1).
/>/>Т.к.ÐАВК=ÐОВС (аналогично ÐАВО=ÐСВК), ÐВСО=ÐАОВ (вписанные), АВК подобен ОВС, Þ ВА×ВА=ВК×СО (2).
Сложив(1)и(2), получаем:ВК×ВК=ВА×ВА, т.к. ВА×ВА=2SАВСК,ВК×ВК=2SАВСК, что и требовалось доказать.
Хочетсяотметить, что «Частный случай» всегда решается проще образовавшей егозадачи.
Внекоторых случаях между данными и искомыми величинами в задаче общего характерасуществует сложная зависимость, и решить эту задачу элементарными методами неудается, в то время как частная задача этого типа имеет вполне простое икрасивое решение.
4. Варьирование условий.
Варьированиеусловий — способ конструирования задач, который может изменить решение ирезультат задачи путем замены всего одного слова, например, задача напостроение треугольника по трем сторонам имеет элементарное решение, а еслизаменить «стороны» на «биссектрисы», решение многократноусложняется. Варьирование условий зачастую приводит к образованию целых цикловзадач, очень похожих друг на друга по звучанию, но совершенно различных по типуи сложности решения. Варьирование бывает разным: в первом случае изменяетсяопределение или термин, во втором — равенство или неравенство, причем эти дваспособа довольно сильно отличаются на практике, хотя и схожи в теории.
Алгоритмконструирования:
4.1.Выделение условий для изменения.
4.2.Изменение выбранных условий.
4.3.Уточнение формулировки.
Пример7:
Задача:«На плоскости даны две точки: А и В. Найдите геометрическое место точекплоскости С таких, что для треугольника АВС имеет место равенство: ahа=вhв (гдеhа и hв — высоты, опущенные на стороны а и в). (ж. „Квант“ №9,1991г.)
4.1.Т. к. в задаче используется равенство, то для изменения выбраны его члены: а ив .
4.2.Пусть а изменится на проведенную к ней медиану ма, а в — на медиану мв.
4.3.Итоговая формулировка: „На плоскости даны две точки: А и В, найдитегеометрическое место точек С таких, что для треугольника имеет место равенство:
мв× hа=hв× ма“, (ж. “ Квант”).
5. Обобщение.
Обобщение- один из первых способов получения новых задач и теорем, хотя далеко не каждуюзадачу или теорему можно обобщить. Бурный процесс обобщения математическихзнаний и создание все более и более абстрактных теорий начались в девятнадцатомвеке, и продолжается до сих пор.
Впроцессе развития математики многие математические понятия претерпевализначительные изменения в сторону обобщения. Некоторые первоначальныеопределения с более общей точки зрения оказывались неудачными, и их приходилосьизменять, давать новые наименования.
Алгоритмконструирования:
5.1.Выявление возможности обобщения.
5.2.Обобщение выбранного факта.
5.3.Уточнение формулировки.
Обобщение- очень емкое понятие, это и получение более абстрактных понятий, и переносутверждения на более широкое множество объектов, и получение новыхинтерпретаций, и перенос утверждения задачи из плоскости в пространство. Содним из самых простых обобщений является преобразование числовой задачи, путемзамены числовых данных буквами-символами. Как ни элементарно подобноеобобщение, оно может привести к интересным выводам, а иногда и к созданию новыхформул.
Пример8:
Теорема:»Основание хотя бы одной высоты треугольника лежит на соответствующейстороне, а не на ее продолжении", (ж. «Квант» №9, 1991г.)
5.1.Возможно перенести утверждение теоремы из плоскости в пространство, аконкретнее: изменить плоскую фигуру на объемную.
5.2.Термин «Треугольник» при выходе в пространство трансформируется в«тетраэдр»
5.3.Новая теорема выглядит так: «Для любого тетраэдра основание хотя бы однойвысоты принадлежит соответствующей грани тетраэдра». (ж. “Квант”).
Заключение.
Материал,представленный в данной работе, имеет значение как для учителей, так и дляучащихся. Свое применение для педагогов он может найти как пособие длясоставления задач конкретно к каждому уроку, если в учебниках и различныхметодических пособиях не найдется необходимых сведений. Учащимся данная работапоможет не растеряться перед сложной или объемной задачей, потому что, знаякак задача была составлена, найти решение гораздо проще.
Разобраннаятема необходима для изучения истории возникновения задач, для составления ирешения как простых, так и сложных не только математических, но и жизненныхзаданий. Возможно, ее значение для большой науки не так уж велико, но напримере разобранных в ней приемов конструирования можно научится выделятьопорные пункты в задаче, или же наоборот, обобщать. Важно то, что данная тема –путь к бесконечному творчеству, а какой его вид выберет человек – решать толькоему.
Список литературы
Н.П.Тучнин «Как задать вопрос?»
И.Шарыгин «Откуда берутся задачи?»
А.В.Погорелов «Геометрия 7-11»
Журналы«Квант»
М.И.Сканави «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы»
В.М.Финкельштейн «Когда задача не выходит».