Элементы теории представлений
1. Основы теории представлений.Различныепредставления волновой функции (различные представления состояний)
2. Обозначения Дирака
3. Преобразование операторов отодного представления к другому
Введение
Для создания новойфизической теории необходимо cформулироватьсистему постулатов, найти математический аппарат, соответствующий физическомусмыслу рассматриваемых проблем и установить связь физических фактов сматематическим формализмом.
Для формулировкиньютоновской механики потребовалось развитие дифференциального и интегральногоисчисления. В 20-м столетии произошли серьезные изменения в представленияхфизиков о математических основах их науки. Закономерности микромира кореннымобразом отличаются от законов макроскопического мира, объектами которого мыявляемся.
Одно из основных понятийквантовой механики – понятие состояния квантово-механической системы. Смыслэтого понятия в квантовой и классической физике различен. Содержание понятиясостояния квантово-механической системы будет выясняться постепенно в процессеизучения.
Информацию о состояниисистемы получают в процессе измерения, т.е. при взаимодействии квантовойсистемы с макроскопическим прибором. Поэтому результаты измеренияхарактеризуются теми же физическими величинами, которые используются вклассической макроскопической физике. Физические величины в квантовой механикечасто называют динамическими переменными или наблюдаемыми. В квантовой механикефизические величины имеют иную математическую природу, чем в классической,потому что состояния квантово-механической системы и динамические переменные«взаимосвязаны весьма странным образом, который непостижим с классическойточки зрения». [1, c31].
В квантовой механикеизучаются такие явления, которые не могут быть объяснены с помощью известных ранеепонятий. Ведь наш язык – это «слепок с обыденного опыта человека, онникогда не сможет выйти за пределы этого опыта. Классическая физика как раз иограничивается рассмотрением явлений, которые имеют в языке адекватныйсловесный эквивалент».[1]
При изучении явлений,происходящих на ином структурном уровне организации материи, на помощь приходитдругой язык – математика. «Математика есть орудие, специальноприспособленное для овладения всякого рода абстрактными понятиями и в этомотношении ее могущество беспредельно». [1, c13]. «Тем не менее, – считает П. Дирак, – математикаесть лишь орудие, и нужно уметь владеть физическими идеями безотносительно к ихматематической форме». (Там же). Выбор математических методов, адекватныхфизической сущности задачи, возможно более полное прослеживание аналогий междупонятиями и методами математики и физики способствует формированию современногофизического мышления. В то же время освоение абстрактных математических объектоввозможно только при их реализации физическими объектами.
Для описания квантовыхсвойств материи может быть использован различный математический аппарат. В1925г. Вернером Гейзенбергом была создана матричная механика. В этом же году,но немного позже, Э. Шрёдингер создал волновую механику. Он доказал также, чтообе формулировки эквивалентны. Наиболее изящная формулировка квантовой механикисоздана в 1930г английскими физиком П. Дираком. Именно эта формулировка сейчасчаще всего используется. Все формулировки квантовой механики эквивалентны,могут быть преобразованы друг в друга и приводят к одинаковым физическимрезультатам.
1. Основы теориипредставлений. Различные представления волновой функции (различныепредставления состояния)
Состояния квантово-механическойсистемы характеризуется волновой функцией или амплитудой вероятности.Независимые переменные, функцией которой она является, могут быть различными.Например, декартовы координаты системы
/>,
значения ее импульса
/>
и т. п. Буквы,обозначающие независимые переменные, называют индексом представления. Индекс /> волновой функции (в данном случае />) обозначает набор значенийфизических величин или соответствующих квантовых чисел, которые характеризуютданное состояние. Поэтому этот индекс обычно называют индексом состояния.
Если волновая функциязависит от координат, то описание состояния с помощью такой функции называют координатнымпредставлением. Например, для свободной частицы, движущейся вдоль оси />, вкоординатном представлении.
/>
Волновую функцию />,характеризующую состояние системы, можно разложить в ряд по собственнымфункциям оператора динамической переменной />. Если этот оператор имеетдискретный спектр собственных значений, т. е.
/>, то
/>
Коэффициенты разложенияопределяются из выражения
/>
(Здесь, как и раньше, /> – произведениедифференциалов независимых переменных). В § 2.4.2 был выяснен физический смыслэтих коэффициентов: /> есть вероятность того, что всостоянии, описываемым />-функцией, физическая величина,представляемая оператором />, имеет значение />. Таким образом/>имеет смысламплитуды вероятности, если независимой переменной является величина />. Совокупностьамплитуд /> являетсяволновой функцией в />/> — представлении. Эту совокупностьможно представить в виде матрицы с одним столбцом
/>
Если спектр собственныхзначений оператора непрерывный, то аналогично имеем
/>
/>
Пример 1. Записатьскалярное произведение двух функций /> и /> в />/> — представлении.
Компоненты /> и /> в />/> — представлении находим,раскладывая эти функции в ряд по собственным функциям оператора />:
/>, (Ι)
/> (ΙΙ)
/> (ΙΙΙ) /> (ΙV).
Подставляем разложение(Ι) и (ΙΙ) в скалярное произведение функций:
/>.
Меняя местами знакисуммирования и интегрирования и учитывая ортонормированность собственныхфункций оператора /> получаем:
/>.
Чтобы получить такоевыражение по правилу умножения матриц, следует перемножить матрицу-строку
/> (V)
на матрицу-столбец(ΙΙΙ):
/>/>
Матрица (V) транспонирована по отношению кматрице (ΙV) и ее элементыкомплексно сопряжены с элементами последней. Такая матрица называетсясопряженной с /> и обозначается />. Таким образом,комплексно сопряженной функции под знаком интеграла соответствует сопряженнаяматрица.
2. Обозначения Дирака
Проведена аналогия междусобственными функциями эрмитовых операторов и ортами прямоугольных координатныхосей. Продолжим ее обсуждение.
Вектор /> в /> — мерном пространствезадается совокупностью />, вообще говоря, комплексныхвеличин, называемых компонентами этого вектора
/>
Аналогия междусоотношениями и очевидна. Выражение определяет вектор через его проекции на осикоординат в многомерном пространстве. Выражение является разложением />-функции пособственным функциям некоторого оператора. Систему ортонормированныхсобственных функций />, следовательно, можно рассматриватькак базис в бесконечномерном пространстве, а величины /> – как компоненты />-функции по осям этогобазиса. В зависимости от выбора базиса (т. е. от выбора системы собственныхфункций, следовательно, от выбора представления) получается та или инаясовокупность компонент />.
Переход от одногопредставления к другому геометрически означает переход от системы координат,образованных базисными векторами (собственными функциями) одного оператора ксистеме координат, образованных базисными векторами (собственными функциями)другого оператора. Таким образом, квантовое состояние микрообъекта необязательно должно характеризоваться волновой функцией в реальном пространстве.Квантовое состояние не сводится к одной какой-то совокупности амплитудвероятности
/>
и т. п. Каждая из этихсовокупностей отражает одну из сторон понятия квантового состояния и являетсяодной из возможных его реализаций. Аналогично, вектор в /> — мерном евклидовомпространстве может быть представлен совокупностью его проекций в различных системахкоординат:
/>, />
и т. п. Здесь /> – базисныевекторы (орты), например, в сферической системе координат, /> – в декартовой.
Данная аналогия привелаП. Дирака к мысли характеризовать состояние системы вектором состояния вбесконечномерном гильбертовом пространстве. Вектор состояния он предложилобозначать символом />. В середине скобки, по Дираку,должен помещаться индекс состояния, т. е. величина или набор величин, которыеопределяют состояние системы. Например, если система находится в состоянии сэнергией />,то записывают /> или />. Этот вектор состояния называюткэт-вектором. Он характеризует состояние системы независимо от выборапредставления. Кэт-вектору сопоставляется бра-вектор, обозначаемый зеркальноотраженной скобкой />. Бра-вектор связан с кэт-векторомсоотношением />=/>+. Например, если совокупность компонент кэт-векторапредставлена в виде матрицы
/>=/>, то />=/>+=/>.
Внутри скобки /> помещаетсяиндекс представления. Например, />| означает, что используетсякоординатное представление. Скалярное произведение кэт и бра-векторовобозначается полным скобочным выражением />и представляет собой число.Например, волновая функция /> в /> — представлении с помощью скобокзаписывается так: />. Волновая функция свободнойчастицы, находящейся в состоянии /> определенным значением импульса /> в координатномпредставлении (время фиксировано):
/>,
Название «бра» и «кэт»соответствуют двум частям английского слова «bracket» (скобка).
Волновая функция(амплитуда вероятности), как известно, характеризует вероятность результатовизмерений, проводимых над системой. Скобочное выражение /> составлено так, чтосправа указывается начальное состояние, а слева – то, в которое переходитсистема при измерении, т. е. конечное. Таким образом, скобочная запись читаетсясправа налево. Например, /> /> есть амплитуда вероятности того,что система будет иметь координату />, если она находится в состояниихарактеризуемом импульсом />.
Уравнение собственныхзначений в обозначениях П. Дирака можно записать в виде:
/>
Здесь собственный векторсостояний /> обозначаетсятой же буквой, что и соответствующее собственное значение. Запишем, пользуясьэтими обозначениями, выражение. Пусть /> вектор состояния системы, а /> – базиснаясистема векторов. Тогда
/>>=/>, где />
Вектор состояния системы– понятие более абстрактное, чем волновая функция. В зависимости от выборанезависимых переменных (представления) вектору состояния /> могут соответствоватьразличные волновые функции: в координатном представлении – />, в импульсном – />, вэнергетическом – /> и т.д. Т.е. волновая функция естьпроекция вектора состояния на соответствующий базисный вектор.
Получим в обозначениях Диракаусловие полноты ортонормированного базиса. Оно часто бывает полезным прииспользовании этого формализма.
Пусть /> - единичный оператор,который любому вектору состояния /> ставит в соответствие тот жевектор:
/>
Представим /> в виде разложения поортонормированному базису /> (т.е. по системе собственныхвекторов оператора />):
/>
Подставляем эторазложение в:
/>
В силу произвольностивектора /> получаем
/>
Это соотношение иявляется условием полноты в обозначениях Дирака.
Пример. Записать вобозначениях Дирака среднее значение физической величины представленнойоператором />,если состояние системы характеризуется вектором состояния />. (Спектр собственныхзначений оператора /> считать дискретным).
Среднее значениедискретной случайной величины равно сумме произведений ее возможных значений наих вероятности:
/>
Здесь /> - собственные значенияоператора />,/> - егособственные векторы и /> - волновая функция системы в /> — представлении.Преобразуем выражение для среднего значения, пользуясь свойством скалярногопроизведения
/>
/>
В последнем преобразованиииспользовано условие полноты
Таким образом, вобозначениях Дирака
/>
/>квантовый представление волновой состояние
3. Преобразованиеоператоров от одного представления к другому
Пусть оператор /> задан вкоординатном представлении и переводит функцию /> в функцию />:
/>
Разложим функции /> и /> в ряд пособственным функциям оператора />. Спектр собственных значенийэтого оператора для определенности будем считать дискретным
/>:
/>
/>
Совокупность амплитуд /> есть волноваяфункция /> в/>-представлении,совокупность амплитуд /> - волновая функция /> в />-представлении.Подставим разложение (3.3.2) и (3.3.3) в (3.3.1):
/>
Умножим левую и правуючасти этого равенства на /> и проинтегрируем по всей областиизменения независимых переменных. Знаки суммирования и интегрирования меняемместами. Поскольку собственные функции ортогональны и нормированы, т.е.
/>, имеем
/>
Вводя обозначение
/>
получаем
/>
Если спектр оператора /> непрерывен,имеем аналогично
/>
Таким образом, с помощьюнабора величин /> можно волновую функцию /> в />-представлении, являющуюся совокупностью амплитуд, превратить в волновую функцию/> в том жепредставлении. Поэтому совокупность величин /> является оператором /> в />-представлении. Его можно представить в виде матрицы:
/>
Величины /> называют матричнымиэлементами. В обозначениях Дирака
/>
Итак, операторы квантовоймеханики могут быть представлены в матричной форме. Поскольку в квантовоймеханике применяются только эрмитовы операторы, удовлетворяющие условию, т о.
/>
Такие матрицы называютсамосопряженными или эрмитовыми.
Таким образом, каждойфизической величине соответствует не один, а множество операторов. Видоператора данной физической величины зависит от выбора независимых переменных.Зная оператор физической величины в одном представлении, можно найти его вдругих представлениях. Например, если известен вид оператора в />-представлении, то дляполучения его в матричной форме в />-представлении надовоспользоваться собственными функциями оператора /> в />-представлении в соответствии сформулой (3.3.4). Свойства физической величины (эрмитовость ее оператора,спектр собственных значений, среднее значение и т.д.) не зависят от выборапредставления. (Аналогия с принципом относительности Эйнштейна: законы природыинвариантны (неизменны) при переходе от одной инерциальной системы отчета кдругой).
Пример. Найти матричныеэлементы оператора в его собственном представлении.
В этом случае /> в (3.3.4) –собственная функция оператора />:
/>
С помощью этого уравненияпреобразуем выражение для матричного элемента (3.3.4):
/>
Поскольку собственныефункции ортогональны и нормированы, получаем: />. Таким образом, в своемсобственном представлении любой оператор в матричной форме являетсядиагональной матрицей, диагональные элементы которой равны собственнымзначениям этого оператора:
/>
/>
Итак, чтобы найтисобственные значения оператора, заданного в форме матрицы, нужно привести этуматрицу к диагональному виду.
Пример. Записать среднеезначение физической величины, представляемой оператором />, в матричной форме.
Пусть в выражении
/>
волновая функция иоператор заданы в координатном представлении. Перейдем к /> — представлению.Воспользуемся разложением (3.3.2) функции /> в ряд по собственным функциямоператора />.Подставляя в выражение для среднего значения и меняя местами знаки суммированияи интегрирования, получаем
/>
Совокупность /> есть матрица /> с однимстолбцом. Совокупность /> — сопряженная матрица /> с однойстрокой. Поэтому (3.3.8) можно записать как произведение соответствующихматриц:
/>
где /> — оператор в />-представлении.
Вопросы длясамопроверки
1. Что называют индексомсостояния? индексом представления?
2. Как, зная волновуюфункцию системы в одном представлении, найти ее в другом представлении?
3. Как, зная видоператора в одном представлении, найти его в другом представлении?
4. Определите понятиематричного элемента оператора.
5. Что представляет собойматричные элементы оператора в его собственном представлении?
6. Что такое векторсостояния, кэт-вектор, бра-вектор? Какая связь между /> и />?
7. Какая связь междувектором состояния системы и ее волновой функцией?
8. Записать вобозначениях Дирака волновую функцию системы в /> — представлении и в /> — представлении, если еевектор состояния />.
9. Изменяется ли среднеезначение физической величины при переходе к другому представлению?
10. Записать в матричнойформе (в />-представлении) выражение для среднего значения величины, соответствующейоператору />.
Упражнения
3.1 Найти операторыкоординаты и импульса в импульсном представлении.
Решение. Дляпростоты рассматриваем одномерное движение вдоль оси />. В координатном представлении
/>, (см §2.7).
В импульсном (т.е. всвоем собственном) представлении />. Найдем оператор координаты.
Способ 1. Воспользуемсятем, что среднее значение физической величины не зависит от используемогопредставления:
/> (I)
В левой части равенствавсе величины даны в координатном представлении, в правой – в импульсном. Связьмежду волновыми функциями в координатном и импульсном представленияхопределяется соотношением
/>,
Где
/>
- собственная функцияоператора /> вкоординатном представлении. Поэтому
/> (II)
Подставляем это выражениев левую часть равенства (I):
/> (III)
Множитель /> в подынтегральномвыражении правой части равенства найдем из соотношения:
/>.
Получаем:
/>.
Пользуясь этимсоотношением, преобразуем правую часть равенства (III):
/>
/> (IV)
При интегрировании по /> получаем
/>,
так как /> и />. (Состояние с бесконечно большимимпульсом невозможно.) Учитывая этот результат, перепишем равенство (IV):
/> (V)
Так как
/> = />
правую часть соотношения(V) можно переписать в виде
/>
Используя свойство />-функции(2.6.3) находим интеграл по />:
/>
Учитывая сделанныепреобразования, переписываем равенство (V):
/>
Сравнивая это выражении ссоотношением (I) получаем
/>
Способ 2. В матричнойформе оператор координаты в импульсном представлении является бесконечнойнепрерывной матрицей с матричными элементами:
/>
Здесь /> - собственная функцияоператора импульса в координатном представлении
/>
Подставляя значениефункции в формулу для матричного элемента, получаем
/>
Соотношение
/>
показывает как оператор вматричной форме переводит одну функцию в импульсном представлении /> в другую /> также вимпульсном представлении (См(3.3.6)). Подставляем в правую часть этогосоотношения значение матричного элемента и интегрируем по частям:
/>
Первое слагаемое в правойчасти равно нулю, поскольку импульс не может быть бесконечно большим. Второеслагаемое преобразовываем, используя свойство />-функции (2.6.3):
/>
Поэтому
/>
Следовательно, координате/> вимпульсном представлении соответствует дифференциальный оператор
/>
4. Задания, дляконтрольной проверки знаний
I. Проверить, коммутируют ли приведенные ниже операторы?
1. /> и />
2. /> и />
3. /> и />, где />
4. />и />
5. />и />
II. Найти операторы, сопряженные с приведенными ниже.Определить какие операторы являются эрмитовыми.
1. />
2. />
3. />
4. />
5. />
III. Доказать:
1. если операторы /> и /> эрмитовы икоммутируют, то оператор /> также эрмитов;
2. если операторы /> и /> эрмитовы инекоммутирующие, то оператор /> эрмитов;
3. если операторы /> и /> эрмитовы инекоммутирующие, то оператор /> эрмитов;
4. если операторы /> и /> эрмитовы инекоммутирующие, то оператор /> не эрмитов;
5. если оператор /> линейный, тооператор /> эрмитов;
IV. 1. Найти собственные функции и собственныезначения оператора
/>,
если
/>,
где /> – постоянная величина
2. Найти собственные функции и собственные значения оператора
/>
(Оператор задан всферических координатах).
3. Найти собственные функции и собственные значения оператора
/>
(Оператор задан всферических координатах).
4. Найти собственные функции и собственные значения оператора
/>,
если />.
5. Найти собственныефункции и собственные значения оператора
/>
V. 1. Вычислить среднее значение /> для одномерного гармоническогоосциллятора, состояние которого описывается функцией
/>, где
/>
2. Вычислить среднеезначение кинетической энергии
/>
линейного гармоническогоосциллятора, если состояние его описывается функцией
/>, где />
3. Волновая функциясостояния частицы имеет вид
/>,
где /> — вещественная функция.Найти средний импульс частицы в этом состоянии.
4. В некоторый моментвремени частица находится в состоянии
/>,
где /> и /> — постоянные. Найти среднеезначение ее координаты />.
5. Найти среднее значениефизической величины, представляемой оператором
/>,
если состояние частицыописывается функцией />.
VI. Определить возможные значенияфизической величины, представляемой оператором
/>
и их вероятности длясистемы, находящейся в состоянии:
1. />
2. />
3. />
4. />
5. />
(Оператор задан всферических координатах)
Литература
1. Дирак П. Принципы квантовоймеханики.– М: Наука, 1979.
2. Вакарчук І.О. Квантова механіка: Підручник.–Львів: ЛДУ ім… І. Франка, 1998.
3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука,1983.
4. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.:Наука, 1973.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантоваямеханика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989.
6. Юхновський І.К. Квантова механіка.Київ: Либідь, 1995.
7. Федорченко А.М. Теоретична фізика.Київ: Вища школа, 1993, т. 2.
8. Фок В.А. Начала квантовой механики.М.: Наука, 1976.
9. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Из-воиностр. лит., 1959.
10. Мессиа А. Квантовая механика: в 2-хтомах, М.: Наука, 1978, т. 1.
11. Иродов И.Е. Задачи по квантовойфизике. М.: «Высшая школа», 1991.
12. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., КоганВ.И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981.
13. Арфкен Г. Математические методы вфизике. М.: Атомиздат, 1970.
14. Рихтмайер Р. Принципы современнойматематической физики, М.:1982.