Электродинамическиеусилия в электрических аппаратах
Содержание
1. Основные понятия… 2
Возникновение электродинамических сил… 2
Направление действия силы… 3
2. Методы расчетаэлектродинамических сил… 4
Первый метод… 4
Второй метод… 6
3. Электродинамическиесилы между параллельными проводниками 8
Бесконечной длины… 8
Конечной длины… 9
Неравной длины… 10
4. Электродинамическиесилы между взаимно перпендикулярными проводниками… 15
5. Электродинамическиесилы в кольцевом витке и между кольцевыми витками… 17
Для одного витка… 17
Для нескольких витков… 18
6. Электродинамическиесилы в проводниках переменного сечения 20
7. Силы взаимодействиямежду проводником с током и ферромагнитной массой… 21
Вблизи ферромагнитной массы… 21
Внутри ферромагнитной массы… 22
8. Электродинамическиесилы при переменном токе… 24
При однофазном токе… 24
При расположении проводников в одной плоскости… 26
При расположении проводников правильнымтреугольником… 28
1. Основные понятия
Действие электродинамических сил на аппараты
При нормальных эксплуатационных условиях электродинамические силы,как правило, малы и не вызывают каких-либо деформаций, а тем более поломокдеталей в аппаратах. Однако при коротких замыканиях эти силы достигают весьмабольших значений и могут вызвать деформацию или разрушение не только отдельныхдеталей, но и всего аппарата. Это обстоятельство требует проведения расчетааппарата (или отдельных его узлов) на электродинамическую устойчивость, т.е. наспособность выдержать без повреждений прохождение наибольшего возможного вэксплуатационных условиях (или заданного) тока короткого замыкания. Такойрасчет тем более необходим ввиду того, что с целью получения минимальныхгабаритов в аппаратах стремятся располагать токоведущие части как можно ближедруг к другу.
Так как переменный ток при отсутствии апериодической составляющейотличается от постоянного изменением силы тока и направлением изменяющихся посинусоидальному закону, то и электродинамическая сила будет иметь переменноезначение.
Для упрощения рассмотрим электродинамические силы, возникающие вразличных частях электрического аппарата при постоянном токе. Далее, оценим ихвлияние на электрический аппарат в различных ситуациях при трехфазномпеременном токе.Возникновениеэлектродинамических сил
Обтекаемый током iпрямолинейный проводник длиной l(рис. 1), расположенный вмагнитном поле с индукцией В, испытывает механическую силу
/> (1)
где β — угол между направлением вектора магнитнойиндукции и направлением тока в проводнике.
/>
Рис. 1.
Для системы из нескольких обтекаемых током проводников можновсегда представить, что любой из этих проводников расположен в магнитном поле,созданном токами других проводников, и соответствующим образом взаимодействуетс этим полем, т. е. между проводниками, охваченными общим магнитным потоком,всегда возникают механические силы. Эти силы называются электродинамическими.
Аналогичные силы возникают между проводником, обтекаемым током, иферромагнитной массой./>Направление действия силы
Направление действия силы определяется «правилом левой руки».
Направление действия силы может быть также определено изследующего общего положения: силы, действующие в контуре с током, стремятсяизменить конфигурацию контура так, чтобы охватываемый контуром магнитный потокувеличился.
Удобным для определения направления действия электродинамическойсилы является метод, предложенный академиком В.Ф. Миткевичем, основанный напредставлении бокового распора и тяжения магнитных линий.
/>
Рисуют и накладывают друг на друга картины магнитных полей,создаваемых током каждого из проводников. Благодаря боковому распору магнитныхсиловых линий сила, действующая на проводник, направлена в сторону, где полеослаблено (рис. 2).2. Методырасчета электродинамических сил
Расчет электродинамических сил ведется обычно либо на основаниизакона взаимодействия проводника с током и магнитным полем (первый метод), либопо изменению запаса магнитной энергии системы (второй метод).Первыйметод
/>
Расчет электродинамических сил на основании закона взаимодействияпроводника с током и магнитным полем. Возьмем систему из двух произвольно расположенныхпроводников 1 и 2 (рис. 3), обтекаемых токами i1 и i2.Напряженность магнитногополя, создаваемого элементом dyпроводника 2 вместе расположения элемента dxпроводника 1,будет
/> (2)
где α — угол между вектором ρ и направлением тока поэлементу dy.
Весь проводник 2 создает в месте расположения элемента dxнапряженность магнитногополя
/> (3)
Элементарнаясила, действующая на элемент dx, обтекаемый током i1
/> (4)
где ρ — угол между вектором магнитной индукции В = μ0Hdxи вектором тока i1;
μ0 — магнитная проницаемость воздуха.
Полную силу Fвзаимодействия между проводниками 1 и 2 получимпосле интегрирования dFdxпо всей длине проводника 1:
/> (5)
Считая токи i1 и i2неизменными по всей длинепроводника, уравнение (5) можно переписать в виде произведения членов:
/> (6)
Первый член этого выражения зависит только от значений токов.Второй член зависит только от взаимного геометрического расположенияпроводников и представляет собой безразмерную величину. Эту величину частоназывают коэффициентом контура, который обозначим буквой с. Тогда
/> (7)
т.е. сила взаимодействия между двумя проводниками, обтекаемымитоками i1 и i2, пропорциональна произведению этих токов(квадрату тока при i1= i2) и зависит от геометриипроводников.
Подставив в уравнение (7) значение μ0 = 4π10-7и вычисляя силу в ньютонах, получим
/> (8)Второйметод
Расчет электродинамических сил по изменению запасаэлектромагнитной энергии контуров. Электромагнитное поле вокруг проводников иконтуров с током обладает определенным запасом энергии. Электромагнитнаяэнергия контура, обтекаемого током i,
/> (9)
Электромагнитная энергия двух контуров, обтекаемых токами i1 и i2,
/> (10)
где L1,L2— индуктивности контуров; М— взаимная индуктивность контуров.
Всякая деформация контура (изменение расположения отдельных егоэлементов или частей) или изменение взаиморасположения контуров приводят кизменению запаса электромагнитной энергии. При этом работа сил в любой системеравна изменению запаса энергии этой системы:
/> (11)
здесь dW— изменение запаса энергии системы при деформациисистемы в направлении х под действием силы F.
На указанном законе (11) и основан второй метод определенияэлектродинамических сил в контурах. Электродинамическая сила в контуре илимежду контурами, действующая в направлении х, равна скорости изменениязапаса энергии системы при деформации ее в том же направлении:
/> (12)
Согласно сказанному электродинамическая сила в контуре, обтекаемомтоком i,
/> (13)
а электродинамическаясила между двумя взаимосвязанными контурами с токами i1 и i2будет
/> (14)3. Электродинамическиесилы между параллельными проводникамиБесконечнойдлины
Возьмем два параллельныхкруглых проводника 1 и 2 (рис. 4), расположенных в одной плоскости нарасстоянии друг от друга и обтекаемых токами i1 и i2.Расчет будем производить первым методом. Проделав все операции аналогичновыражениям (2) — (8) и учитывая, что sin β = 1, так как проводникирасположены в одной плоскости, и вектор индукции в данном случаеперпендикулярен этой плоскости (β=90°), получим
/>
/>, (15)
где
/>
Выразим подынтегральные переменные второго интеграла через одну изпеременных, а именно через угол α. Примем за начало координат элемент dyи направление токов,совпадающее с положительным направлением координат. В этом случае текущаякоордината
/>(16)
Подставив полученные выражения в уравнение (15) и считая, чтопроводник 2 распространяется от — ∞ до + ∞, чему соответствуетизменение угла α от π до 0, получим
/> (17)
Очевидно, если проводник 1 (l1), так же как и проводник2, распространяется до ±∞, то с будет стремиться кбесконечности.Конечнойдлины
Если проводник 1 имеет конечную длину, то
/> (18)
Согласно выражению (8) сила, действующая на проводник 1,равна
/> (19)
Уравнение (19) определяет силу взаимодействия между двумяпроводниками, один из которых бесконечно длинен, а второй имеет конечную длину l и расположен симметричноотносительно первого. В случае, когда оба проводника будут иметь конечную длинуl, пределы интегрирования длявыражения (17) будут уже не от π до 0, а от α2 до α1 (см. штриховые линии на рис. 4) и сила взаимодействия между двумякруглыми проводниками конечной и равной длины определится уравнением
/>. (20)
В уравнении (20) множитель перед скобками представляет собой силувзаимодействия между двумя проводниками, один из которых имеет бесконечнуюдлину. Обозначим эту силу через F∞. Коэффициент, заключенныйв скобках, представляет собой величину, меньшую единицы. При α/10,2(в практике, как правило, α/1 0,2) величиной (α/l)2по отношению к единицеможно пренебречь. Тогда уравнение (20) примет вид (21)
/> (21)Неравнойдлины
В практике весьма часто проводники имеют неравную длину. Силувзаимодействия между такими проводниками можно найти изложенным выше способом,производя интегрирование каждый раз в соответствующих пределах. Можно этузадачу решить, применив уравнение (20).
/>
На рис. 5 приведены два проводника неравной длины l1 и l2, расположенные друг отдруга на расстоянии а и обтекаемые токами i1 и i2. Нарастим проводник l2 на отрезок l3 до длины, равной l1.Проводник l1можем также представитьсостоящим из двух отрезков l2 и l3. Тогда можем написать, что сила взаимодействия междупроводниками длиной l1 и l2(Fl1l2) равна сумме силвзаимодействия между двумя проводниками l2 одинаковой длины (Fl2l2) и двумя проводникамидлиной l2 и l3(Fl2l3):
/> (22)
Аналогично можно написать
/> (23)
Сложив уравнения (22) и (23), получим
/> (24)
Таким образом, сила взаимодействия между двумя проводникаминеравной длины выражается через силу взаимодействия проводников равной длины:
/> (25)
При этом l1 и l2 — величины заданные, а l3= l1 — l2.
Сила взаимодействия между круглыми параллельными проводникамиможет быть также определена по изменению запаса электромагнитной энергии.
Первый случай — оба проводника принадлежат к одной системе.Индуктивность системы из двух параллельных проводников радиусом rи длиной l, находящихся нарасстоянии а, при условии, что l>> а, определяетсяформулой
/> (26)
Нас интересует сила, действующая в направлении а. Согласновыражению (13)
/> (27)
из уравнения (26)
/>
тогда
/> (28)
Из выражения (28) видно, что результат получился таким же, как ипри определении этих сил, первым методом.
Второй случай — проводники принадлежат к двум различным системам,при этом сами системы не претерпевают деформации. Взаимная индуктивность междудвумя проводниками длиной l, находящимися друг от друга на расстоянии а, приусловии, что l >> а, определяется формулой
/> (29)
Согласно формуле (13) сила, действующая в направлении а,
/>
где
/>
так как сами системы не претерпевают деформации, а из выражения (29)
/>
Тогда
/> (30)
т.е. результат, как и следовало, получился тот же.
/>
Для двух параллельных проводников, расположенных с любым сдвигом,Г.Б. Холявский получил удобную для расчета коэффициента контура формулу,основанную на геометрической интерпретации приведенных выше уравнений.
Величина /> представляетсобой длину диагонали D(рис. 6) прямоугольника со сторонами l и а; следовательно,согласно уравнению (20) для проводников равной длины
/> (31a)
а согласно уравнению (25) для проводников неравной длины (рис. 7)
/> (31б)
/>
т.е. коэффициент контура равен разности суммарныхдиагоналей и боковых сторон четырехугольника (прямоугольник, трапеция,параллелограмм), построенного на данных отрезках проводников, деленной на еговысоту.
Дляпроводников прямоугольного сечения (шин) следует вводить поправочныйкоэффициент — коэффициент формы kф, зависящий от размеров проводников и расстояниймежду ними:
/> (32)/>
4. Электродинамическиесилы между взаимно перпендикулярными проводниками
/>
На рис. 8 и 9приведены часто встречающиеся в аппаратах формы перпендикулярно расположенныхпроводников, например в рубильниках, мостиковых контактных системах и многихдругих аппаратах и узлах. Произведя расчеты, аналогичные предыдущим (первыйметод), получим следующие выражения для сил, действующих на проводник 1 по рис.8
при h →∞
/> (33)
и при hконечном
/> (34)
по рис. 9сила будет соответственно в два раза большей:
/> (35)
/> (36)
Моментыотносительно точки О, действующие на проводник 1 (h →∞), по рис. 8:
/> (37)
/> (38)
Моментотносительно точки О, действующий на половину проводника 1 (рис. 9),
/> (39)5. Электродинамическиесилы в кольцевом витке и между кольцевыми виткамиДляодного витка
/>
В кольцевомвитке (рис. 10) с током i возникают радиальные силы fR, стремящиеся увеличить егопериметр, т.е. разорвать виток. Если считать, что сечение проводника не деформируется,то согласно выражению (13) общая радиальная сила, действующая на виток, будет
/> (40)
На единицудлины витка приходится сила
/> (41)
Для тогочтобы найти силу FR, стремящуюся разорвать виток, необходимопроинтегрировать проекции радиальных сил, действующих на четверти витка. На элементокружности витка Rdφ действует сила fRRdφ, проекция которой на ось хравна fRRdφ cos φ, откуда
/> (42)
Для виткакруглого сечения при R >>r
/> (43)
и
/> (44)
Аналогичнодля витка прямоугольного сечения
/> (45)
и
/> (46)Длянескольких витков
Приведенные формулы для электродинамических силприменимы не только к одному витку, но и к обмоткам с любым числом витков п,занимающим данное сечение. В этом случае за значение тока следует приниматьсуммарное значение тока всех витков i =niв.
/>
В катушках аппаратов, кроме сил, действующихвнутри каждого витка, будут существовать электродинамические силы междувитками. Между витками (рис. 11а), если считать, что токи в них направленыодинаково, возникает сила притяжения F. Силу Fможно представить какрезультирующую двух составляющих, а именно силы Fy, стремящейся притянутьвитки друг к другу, и силы Fx, стремящейся один извитков (при одинаково направленных токах — виток с меньшим диаметром)растянуть, а другой виток (в данном случае виток большего диаметра) — сжать.Таким образом, в одном из витков сила Fxбудет складываться ссилой FR, а в другом — вычитаться из нее.
Значения составляющихсилы взаимодействия между двумя витками определяются уравнениями:
/> (47)
/> (48)
где c= R2-R1; R2> R1. Зависимости Fx и Fy от расстояния междувитками представлены на рис. 11, б ив.
6. Электродинамическиесилы в проводниках переменного сечения
/>
В проводнике силы взаимодействия отдельных линийтока с собственным магнитным полем проводника направлены перпендикулярно линиямтока. При неизменном сечении проводника все линии тока параллельны и силы неимеют осевой составляющей (в цилиндрическом проводнике они направлены порадиусу: F= Frна рис. 12).
При изменении сечения проводника линии токаискривляются, и кроме поперечной Frпоявляется продольнаясоставляющая Flстремящаяся разорвать место перехода вдоль осипроводника. Эта сила всегда направлена в сторону большего сечения и равна
/> (49)
Формула справедлива для любого перехода.
7. Силы взаимодействия между проводником с током и ферромагнитноймассойВблизиферромагнитной массы
Вблизи ферромагнитной массы магнитное поле вокругпроводника с током (рис 13) искажается, магнитные силовые линии стремятсязамкнуться по массе и возникают силы, стремящиеся притянуть проводник к этоймассе.
/>
Значение силы притяжения может быть определено изследующих соображений. Заменим ферромагнитную массу вторым проводником с токомтого же направления, расположенным на таком же расстоянии от границы разделасред. Картина поля при этом не нарушится, так как одновременно с удвоениемдлины магнитной силовой линии удвоилась и магнитодвижущая сила (2i вместо i), т.е. такая заменавполне правомерна. Силы взаимодействия между двумя параллельными проводникамиподсчитываются по уравнениям (19) и (20). Только в данном случае вместорасстояния а надо брать 2а, т.е.
/> (50)
Следует при этом помнить, что приведенные рассуждения полностьюсправедливы при бесконечно большой проницаемости магнитных силовых линий вферромагнитной массе по отношению к их проницаемости в воздухе. Фактически сучетом магнитного сопротивления массы и насыщения силы будут несколькоменьшими.Внутриферромагнитной массы
/>
Если проводник с током находится внутри ферромагнитной массы (рис.14), то те же силы будут отталкивать его от границы раздела. Картина поля, аследовательно, и сила взаимодействия будут такими, как если бы за пределамиферромагнитной массы на таком же расстоянии был расположен проводник с таким жетоком, но обратного направления. Значение силы определяется тем же уравнением (50).
/>
Аналогичныесилы притяжения будет испытывать проводник, расположенный в щели постоянного(рис. 15) или переменного (рис. 16) сечения в ферромагнитной массе. Безучета насыщения
/> (51)
где l — длина щели (перпендикулярно плоскости чертежа); δ и δХ— ширина щели в месте расположения проводника.
В щели постоянного сечения сила, затягивающая проводник вглубь,будет неизменной, а в щели переменного сечения — переменной, возрастающей помере сужения щели.
/>
Уравнение (51) относится к проводнику, расположенному в щелистрого симметрично, когда сила действует по оси х. Однако если проводникокажется смещенным с оси симметрии, то силы притяжения его к противоположнымстенкам (по оси у) окажутся неравными. Проводник будет перемещаться покакой-то кривой, показанной штриховой линией, определяемой двумя переменнымисоставляющими сил Fxи Fy.8. Электродинамическиесилы при переменном токеПриоднофазном токе
Рассмотрим силы, действующие между параллельными проводниками,сначала при однофазном токе.
Согласновыражению (15) электродинамические силы/>
При переменном токе i= Imsinωtсила
/> (52)
/>
Т.е. сила меняется с частотой, в два раза большей частоты тока(рис. 17).
Силу f можно представить как сумму двух составляющих:постоянной /> и переменной />, меняющейся сдвойной частотой по закону косинуса. Так как косинус угла принимает значения от+1 до -1, то сила будет изменяться от />до/>не меняя своего знака.
В расчетах учитывается максимальное значение силы
/> (53)
Из уравнения (53) видно, что при переменном однофазном токемаксимальное значение электродинамической силы при одном и том же значении тока(действующем) оказывается в два раза большим, чем при постоянном.
/>
При переменном токе следует иметь в виду еще одно весьма важноеобстоятельство. В отличие от постоянного тока, при котором максимальноезначение тока короткого замыкания равно его установившемуся значению Iуст (если пренебречьизменением сопротивления за счет нагрева), при переменном токе в зависимости отмомента короткого замыкания первая амплитуда ударного тока Iудmax может существеннопревосходить амплитудное значение установившегося тока короткого замыкания(рис. 18):
/> (54)
Максимальное усилие, на которое следует в таком случаерассчитывать устройство, будет
/> (55)
т.е. при равном значении установившегося токакороткого замыкания при переменном токе электродинамическая сила может бытьпочти в 6,5 раза большей, чем при постоянном токе.
При трехфазной сети токи в фазах будут сдвинутына 120 электрических градусов:
/>
/>
/>Прирасположении проводников в одной плоскости
/>
Рассмотрим случай, когда проводники расположены водной плоскости (рис. 19). Проводник 1 будет взаимодействовать спроводниками 2 и 3. Пусть сила взаимодействия между проводниками 1и 2 при единице тока равна F12, а между проводниками 1и 3 — F13. Токи в фазах равны. Тогда полная сила, действующая напроводник 1, определится выражением
/>(56)
В отличие от однофазного тока при трехфазном токесила меняется не только во времени, но и по знаку. При положительных значениях sin2ωt и cos2ωt получим силу,притягивающую проводник 1 к двум другим. При отрицательных значениях sin2ωt и cos2ωt получим силу,отталкивающую проводник 1 от двух других.
/>
Проводники обычно располагаются на равномрасстоянии друг от друга. В таком случае F13 = 0,5F12, и тогда вустановившемся режиме (рис. 20) максимальная притягивающая сила
/> (57)
а максимальная отталкивающая сила
/> (58)
Силы, действующие на проводник 3, будут такимиже, как и силы, действующие на проводник 1, но обратными по направлению.
Усилия, действующие на средний проводник, F2определятся уравнениями,аналогичными предыдущим. Если принять силу взаимодействия при единице токамежду проводниками 2 и 3 равной F23а между проводниками 2и 1-равной F21 = F12 то при равных токах и равных расстояниях между проводниками F23 = F21 = F12 и максимальная сила,действующая на средний проводник, определится из уравнения
/> (59)
Таким образом, при расположении проводников водной плоскости сила, действующая на средний проводник, оказывается большей,чем сила, действующая на крайний проводник.
С учетом переходной составляющей, возникающей вмомент короткого замыкания, максимальные силы будут большими, чем приведенныевыше. Максимальное отталкивающее усилие будет при коротком замыкании в момент φ=-15° и составит
/> (60)
/>
Притягивающая сила при φ =-15° будет близкак нулю. Максимум притягивающей силы имеет место при коротком замыкании в моментφ =75°:
/> (61)
Значение отталкивающей силы при φ = 75°составит 0,75F12. Изменение сил во времени при φ = -15° (кривая 1) иφ = 75° (кривая 2) в переходном режиме короткого замыкания приведено нарис. 21.Прирасположении проводников правильным треугольником
Рассмотрим еще один случай, когда проводатрехфазной цепи расположены правильным треугольником. Определим силы,действующие на проводник 1. Сила взаимодействия между проводниками 1и 2 (Fl2) будет направлена по прямой I, а сила взаимодействиямежду проводниками 1 и 3 (F13) — по прямой II. Каждая из сил будетпеременной во времени, а общая сила (F1), полученная путем геометрического сложенияпеременных по значению сил Fl2и Fl3, будет переменной нетолько во времени, но и по направлению.
Изменение полученной силы F1по направлению и позначению может быть охарактеризовано вектором ОА, конец которого будетскользить по окружности, как это показано на рис. 22:
/> (62)
/>
Проекция силы на ось х всегда направлена в однусторону. Знак ± в уравнении (62) означает, что для 2ωt>180° следует братьзнак минус. Изменение силы во времени не связано с изменением знака.
Каждый из двух других проводников испытываеттакие же силы, но с соответствующим сдвигом во времени и пространстве.
С учетом ударного тока максимум силы получаетсяпри условии φ = 0, и сила меняется по закону
/> (63)
/>
Знак минус следует брать для всех отрицательныхзначений sin ωt/2. Направление и значение силы для любого момента времени определяетсявектором ОА, скользящим по кривой (рис. 23) и отложенным под углом ωt/2 к оси ординат.
В трехфазной сети могут быть однофазные,двухфазные и трехфазные короткие замыкания, но так как токоведущие части должныпротивостоять электродинамическим силам при любом виде короткого замыкания, то,следовательно, расчет надо вести на тот вид короткого замыкания, при которомсилы получаются большими.
При двухфазном коротком замыканииэлектродинамические силы получаются большими, чем при трехфазном, если предположить,что ударный ток в обоих случаях одинаков. Практически ударный ток придвухфазном коротком замыкании меньше, чем при трехфазном. Поэтому расчет токовкороткого замыкания рекомендуется вести всегда на случай трехфазного короткогозамыкания.
Расчет ведется на максимальное усилие, получаемоепри ударном токе. Однако, учитывая, что сила переменна и ее максимум существуеточень короткое время, для допустимых напряжений в материале берут большиезначения, чем при постоянно действующей силе.