--PAGE_BREAK--На основе идеально-газовых представлений, как и ранее [(1.1.14), (1.1.14’), (1.1.15), (1.1.15’), (1.1.15’’)], получим соотношение для концентраций КЧ:
(1.2.3)
где Qm, Qm-1 – статистический вес соответственно m- и (m-1) – кратно ионизованной частицы КДФ; me – масса электрона; h и k – постоянные Планка и Больцмана.
Обозначив n0концентрацию нейтральных КЧ в системе, построим цепочку уравнений Саха (1.2.3), считая что для макрочастиц Qm/Qm-1=1. Частицы плазмозоля с положительными зарядами дают последовательность уравнений, которыми определяются все более высокие степени ионизации отдельной КЧ. Таким образом, получаем набор уравнений для процессов термоэмиссии электрона с поверхности идентичных сферических частиц с зарядами qm-1=(m-1)e, где m = 1, 2, 3, …,:
(1.2.4)
В уравнениях (1.2.4) К обозначена константа Саха для процесса термоэмиссии электрона с поверхности незаряженной частицы плазмозоля, т.е. для реакции . Выражая из m – го уравнения с помощью , которое в свою очередь, можно выразить из (m-1) – го уравнения, и так далее, продолжая этот процесс вплоть до первого уравнения системы (1.2.4), получаем
. (1.2.5)
После некоторых преобразований произведение в последней формуле запишем так:
. (1.2.6)
В данном случае введены обозначения
(1.2.7)
Аналогично для отрицательных степеней ионизации дисперсных частиц получим:
(1.2.8)
По последнему уравнению (1.2.8) найдем . Выразим далее из предыдущего уравнения этой системы и подставим его в выражение для . Продолжив, как и ранее, этот процесс вплоть до первого уравнения (1.2.8), окончательно получим
. (1.2.9)
Уравнения (1.2.5) и (1.2.9) связывают концентрацию нейтральных частиц КДФ в плазмозоле с концентрациями m –кратно ионизованных положительных(1.2.9) макрочастиц. Совместно с законом сохранения заряда
(1.2.10)
и условием сохранения полного числа КЧ в плазмозоле
(1.2.11)
(np – концентрация частиц КДФ) они позволяют определить замкнутую систему уравнений термоионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Из (1.2.10) и (1.2.11) можно найти среднюю ионизацию частиц КДФ, т.е. их среднее зарядовое число:
(1.2.12)
и относительную концентрацию электронейтральных макрочастиц в системе
. (1.2.13)
Как показал Саясов, соотношения, аналогичные (1.2.12) и (1.2.13), могут быть преобразованы с помощью эллиптических θ – функций к удобному для математического анализа виду:
(1.2.14)
(1.2.15)
Здесь (1.2.16)
m=1,2,….
На основе таблиц θ –функций построены зависимости lg(ne/K) от lg(np/K) при
различных значениях параметра σ2, охватывающие достаточно широкий диапазон изменения размеров КЧ rp и температур Т монодисперсного плазмозоля.
После некоторых преобразований приходим к формуле Эйнбиндера, которая достаточно точна для высоких степеней ионизации частиц.
На рис.2 в координатах (lg rp, lg T), изображена область применения формулы
(1.2.17)
к описанию ионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Множество точек плоскости (rp, T), соответствующее заштрихованной области I, выделяет состояния плазмозоля, для которых с относительной погрешностью применима приближенная формула Эйнбиндера (1.2.17).
Эта формула является следствием идеально-газового приближения, т.е. получена без учета влияния микрополей на ионизацию частиц, а следовательно, корректна для систем газ – макрочастицы, в которых влиянием этих полей на ионизационные процессы можно пренебречь. Точность (1.2.17) повышается с усилением ионизации частиц КДФ, однако при этом все более начинают сказываться эффекты объемного заряда, что ограничивает его применимость “сверху” (в области больших зарядов свойства плазмозоля не могут аппроксимироваться идеально-газовым приближением).
Область II на рис.2, ограниченная координатными осями и линией ρ=1 (линия I), соответствует состояниям плазмозоля, которые = 2πσ2 ≤ 1, так что exp(-πρ) ≤ 0.1 и в (1.2.14) для среднего заряда КЧ логарифмическую производную d/dy(lnθ3(y, ρ)) удобнее представить в виде разложения по параметрам y΄ и ρ´ [15, с.96]:
(1.2.18)
Распределение частиц КДФ по зарядам можно найти, используя (1.33), по которой определяют также относительную концентрацию дисперсных частиц с зарядовым числом m. Оно совпадает с нормальным (гауссовским) распределением [16], в котором σ имеет смысл дисперсии распределения.
В случае малой дисперсии σ2
. (1.2.19)
Здесь (E-Entier (целая часть) от y), т.е. большинство частиц в системе имеет кратность ионизации и , а средний заряд y — центр распределения Гаусса удовлетворяет неравенствам ≤ y ≤. При высокой степени ионизации частиц ne/n=z>>1 приближение Эйнбиндера можно распространить на всю область параметров rp, np и значение yz. Причем связь между ne– средней концентрацией электронов и средним зарядом конденсированной частицы в соответствии с (1.2.19)
(1.2.20)
где .
В случае сильной ионизации частиц , так что (1.2.20) фактически совпадает с формулой, полученной Сагденом и Тращем из решения кинетической задачи о термоэмиссии электронов с идентичных частиц с зарядом ze.
В газовой фазе могут присутствовать легкоионизующиеся атомы (обычно атомы щелочных металлов) в виде естественных добавок (плазма продуктов сгорания) или вводится дополнительно с целью повышения ионизации. Наличие ионизующихся атомов в газовой подсистеме приводит к необходимости учета сложного баланса объемных и поверхностных процессов, определяющий межфазный обмен энергией, массой, импульсом и электрическим зарядом в НТП с КДФ. При этом частицы КДФ, являясь источниками и стоками электронов, могут как повышать в плазме ne, так и способствовать ее понижению.
1.3. Учет ионизации атомов легкоионизируемой присадки.
Основные предположения модели плазмы с макрочастицами, содержащей атомы легко ионизующихся элементов (щелочных металлов), следующие: в состоянии термодинамического равновесия температуры газа и частиц одинаковы; каждая из макрочастиц с точностью до флуктуаций сохраняет свой равновесный заряд ze; в газовой фазе сохраняются неизменными средние концентрации атомных зарядов – электронов и ионов.
В модели Лукьянова предполагается, что равновесная система неограниченна, а “частичная” подсистема (ансамбль частиц КДФ) состоит из однородно ионизованных (имеющих один и тот же заряд q=ze) идентичных сферических частиц радиуса rp с работой выхода W. Связь между концентрацией электронов ne в газовой фазе и зарядом отдельной дисперсной частицы определяется с помощью формулы Ричардсона – Дешмана [17, с.213] для плотности тока термоэлектронной эмиссии с поверхности КЧ. Этот ток уравновешивается потоком электронов прилипания, т.е. тех газовых электронов, которые за единицу времени “оседает” на частицы КДФ. В результате получаем уже известную формулу (1.2.20), в которой заменено :
. (1.3.1)
Кроме частиц КДФ, в газовой фазе присутствуют легко ионизующиеся щелочные атомы, которые также вносят свой вклад в равновесную концентрацию электронов ne. Пренебрегая влиянием микрополей на ионизацию атомарных частиц запишем для них формулу Саха (см. (1.1.16)):
. (1.3.2)
Учитывая более высокие степени ионизации атомов, получаем цепочку уравнений Саха. Однако для интервала температур Т=2000….3500 К вклад этих степеней пренебрежимо мал, и в систему ионизационных уравнений входит только первое – (1.3.2). Используя условия электронейтральности плазмы и закон сохранения массы для щелочной компоненты, получаем замкнутую систему термоионизационного равновесия:
(1.3.3)
Система (1.3.3) записана в принятых обозначениях и представляет собой систему ионизационных уравнений Лукьянова [18].
На рис.3 показаны расчетные зависимости концентрации электронов (рис.3.а) и заряда частиц окиси алюминия (рис.3.б) от исходного содержания щелочных атомов (атомов калия), полеченных в [18]. Линии I и 2 соответствуют размерам rp частиц Al2O3. Штриховая линия 3 определяет ионизацию в чисто газовой плазме с теми же параметрами. Она проведена для наглядности несколько выше, поскольку для nA>1012cм-3 практически сливается с линиями 1,2. Видно, что при малых концентрациях щелочных атомов (nA108см-3) частицы КДФ способствуют повышению концентрации электронов в газовой фазе по сравнению с чисто газовой системой в тех же условиях (при таких же температуре и парциальном давлении щелочных атомов).
При более высоких концентрациях атомов щелочной присадки оказывается деонизирующее влияние дисперсных частиц: их заряд отрицателен и они служат стоками электронов (рис.3.б). Дальнейшее повышение концентрации легко ионизующихся атомов приводит к росту ne и его асимптотическому приближению (“снизу”) к зависимости по Саха, т.е. формулой (1.1.18). Вне зависимости от размера заряд дисперсных частиц проходит через 0 при значении ne=ns.
Преобразуем систему (1.3.3) к удобному для аналитического рассмотрения виду. Из первого и четвертого уравнений .Используя второе и третье уравнения (подставляем выражение для ni в третье уравнение, из него neвыражаем z и определяющие параметры системы KS, np, nA; подставляем это соотношение в левую часть второго уравнения), окончательно получаем
(1.3.4)
Трансцендентное уравнение (1.3.4) относительно зарядового числа z дисперсной частицы в символическом виде запишем так:
Ψ(z)=0 (1.3.5)
Уравнение (1.3.5) однозначно решает вопрос об ионизации частиц и газа в модели, в которой не учитываются эффекты объемного заряда, существенно влияющие на электрон-ионные процессы в плазме. Как показывают эксперименты, отрицательные заряды частиц КДФ в плазме со щелочными присадками достаточно велики (z≥104), что ограничивает применимость этой модели. По характеру используемых физических допущений ее следует отнести к классу идеально-газовых моделей.
2. Дебаевский подход моделирования гетерогенных кулоновских систем.
Модели дебаевского типа заимствуют представления из теории слабых электролитов Дебая – Хюнкеля [19]. Каждая частица КДФ, как и ион [19], поляризует свое окружение, что приводит к появлению избыточного усредненного заряда в окрестности выделенного (рассматриваемой частицы КДФ), т.е. к эффектам электростатического экранирования. Закон распределения избыточного заряда в окрестности КЧ определяется больцмановской статистикой для концентраций заряженных частиц в самосогласованном электростатическом поле в системе координат частицы. Распределение потенциала φ и объемного заряда ρ (избыточного заряда) подчинены уравнению Пуассона. Совместно с законом сохранения заряда для объема, занятого плазмой, а также больцмановскими распределениями зарядов в поле частицы, оно составляет замкнутую систему уравнений для зарядового числа z выделенной КЧ.
2.1. Объемный заряд и потенциал в плазмозоле.
Рассмотрим бесконечную среду, содержащую идентичные сферические частицы КДФ, равномерно распределенные в нейтральном газе с высоким потенциалом ионизации (Iq>>kT), T – температура газа и частиц. В результате электростатических взаимодействий локальные концентрации электронов и дисперсных частиц в окрестности выделенной КЧ отличаются от средних по объему, и избыточный заряд вблизи КЧ (фактически усредненная по времени плотность электростатического заряда среды в системе координат КЧ) будет
(2.1.1)
где — радиус вектор точки, z – средний заряд КЧ, e – элементарный заряд.
В (2.1.1) предполагается, что все частицы КДФ имеют один и тот же –заряд z.
Распределение избыточного заряда (2.1.1) и самосогласованного потенциала связаны уравнением Пуассона
. (2.1.2)
Электронейтральные молекулы буферного газа, поляризуясь в поле КЧ, также вносят свой вклад в экранирование. Поэтому в правую часть (2.1.2) должна входить (в общем случае) диэлектрическая проницаемость . Однако, для рассматриваемых давлений (р~1….10 МПа) 1 и не учитывается.
Поскольку система неограниченна и в ней нет выделенных направлений, оператор Лапласа Δ в (2.1.2) содержит только радиальную часть, а функции точки — локальные концентрации электронов и частиц будут зависеть только от расстояния . Интегрируя уравнение (2.1.1) по всему объему плазмы, не содержащему выделенной КЧ, для изотропного случая (сферически симметричное распределение избыточного заряда) получаем
. (2.1.3)
Уравнение (2.1.3) отражает факт электронейтральности плазмозоля. Локальные концентрации и связанны с усредненными по объему концентрациями ne и npбольцмановскими соотношениями:
(2.1.4)
Отметим, что (2.1.4) справедливы только в случае слабой ионизации дисперсных частиц, т.е. при . В этом приближении они допускают линеаризацию.
Из уравнения (2.1.1), которое определяет избыточный заряд в окрестности рассматриваемой КЧ и условия, вытекающего из закона сохранения заряда для среды в целом,
znp-ne=0 , (2.1.5)
находим связь между распределением усредненного электростатического потенциала и избыточного заряда . Окончательно приходим к дифференциальному уравнению 2-го порядка для избыточного заряда в окрестности заданной КЧ:
продолжение
--PAGE_BREAK--