Теплофизический расчет шара
Введение
Основной целью данногокурсового проекта было: найти решение для задачи тепломассопереноса, сиспользованием различных математических методов. Для решения задачииспользовался пакет MathCAD. Дляопределения эффективности и точности решения поставленной задачи, полученное решениеанализируется и определяется оптимальный метод нахождения решения задачи.
1. Постановка задачи
Дан шар 2R, которыйнаходится в тепловом равновесии с окружающей средой, т.е. имеет температуру,равную температуре окружающей среды T0. В начальный момент временисреда нагревается с постоянной скоростью b (град/сек), т.е. температура средыесть линейная функция времени Tс(t ) = T0+bt. Теплообменмежду поверхностями пластины и окружающей среды происходит по закону Ньютона.Требуется найти распределение температуры по толщине шара в любой моментвремени, а также удельный расход тепла.
Также заданы начальные играничные условия, которые описываются как:
T(r,0)= T0 = const,
/>
/>
Дифференциальноеуравнение теплопроводности для шара может быть записано как:
/>
2.Решение задачи
Решениезадачи было получено для двух материалов: сталь и резина. Основныетеплофизические характеристики веществ были сведены в таблицу (см. табл.1)
Таблица1Материал удельная теплоемкость, С (Дж/(кг*К)) плотность тела, ρ(кг/м³) коэффициент теплопроводности, λ (Вт/м*К) Сталь 462 7900 45,4 Резина 1380 1200 0,16
Первымшагом в решении задачи было нахождение корней характеристического уравнения:
/>
На основе полученныхзначений корней характеристического уравнения, для двух материалов построенатаблица (табл.2).
Таблица 2Материал 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Сталь 3.07 6.14 9.21 12.28 15.36 18.44 21.52 24.61 27.70 30.79 33.89 36.98 Резина 3.14 6.28 9.42 12.56 15.70 18.84 21.98 25.13 28.27 31.41 34.55 37.69
Найдя корнихарактеристического уравнения, можно найти безразмерную температуру итемпературу тела в любой точке в любой момент времени:
/>
/>
Так как в начальныймомент времени, шар только начинает прогреваться, то приведенная выше формуладает большие погрешности. Для уменьшения погрешности используют формулу длянахождения безразмерной температуры для малых значений Фурье:
/>
Расчетные формулы имеютследующий вид:
/>
Определяем температуру наповерхности и в центре шара:
/>
/>
Рис. 1. Зависимость между Θ и Fo для поверхности (1) и центра (2)шара (сталь).
/>
Рис. 2. Зависимость между Θ и Fo для поверхности (1) и центра (2) шара (резина).
По результатам расчетовпостроены графики зависимости безразмерной температуры на поверхности и вцентре шара, от величины Fo,для стали (Рис.1) и резины (Рис.2)
3. Результаты расчета
Найдя безразмернуютемпературу во всех точках шара, можно определить температуру в любых точкахшара в любой момент времени:
/>
Рис. 3. Распределение температуры потолщине шара (сталь).
Таблица 2.T(r,1000) 273.64 273.64 273.65 273.67 273.68 273.71 273.74 273.78 273.82 273.87 273.92 T(r,3000) 433.34 433.40 433.55 433.80 434.15 434.61 435.16 435.82 436.57 437.43 438.39 T(r,6000) 1098.8 1098.9 1099.1 1099.5 1100.2 1100.9 1101.9 1102.9 1104.2 1105.7 1107.3
/>
Рис. 4. Распределение температуры потолщине шара (резина).
Таблица 3.T(r,7000) 265.54 265.54 265.55 265.55 265.56 265.57 265.59 265.60 265.62 265.64 265.67 T(r,10000) 271.59 271.59 271.59 271.59 271.59 271.59 271.60 271.60 271.60 271.61 271.61 T(r,13000) 272.54 272.54 272.54 272.54 272.54 272.54 272.54 272.54 272.54 272.54 272.54
Для распределениятемпературы по толщине шара для различных моментов времени составлены таблицы,для стального (табл. 2) и резинового шара (табл.3).
Построены графикизависимости температуры в различные моменты времени от толщины шара, для стали(рис.3) и резины (рис.4).
Также можно найтитемпературу в любых точках шара при малых значениях Фурье.
/>
Рис. 5. Распределение температуры по толщинешара при малых значениях Fo (сталь).
/>
Рис. 6. Распределение температуры потолщине шара при малых значениях Fo (резина).
По результатам,полученным для малых значений Fo,построены графики распределения температуры по толщине шара, для различныхмоментов времени, для стали (Рис. 5) и резины (Рис. 6)
Анализ графикараспределения температуры по толщине шара при малых значениях Fo для шара из резины (Рис. 6):
Произведем расчетбезразмерной температуры для шара из резины при 50 секундах, различнымиформулами для нахождения безразмерной температуры и сравним их:
/>
Первая формула (1)определяет избыточную температуру по толщине шара при заданном значении Fo.
/>
(2)
Вторая формула (2)отличается от первой тем, что в сумму ряда входит 10 членов ряда, что в 5 разбольше, чем в предыдущей.
/>(3)
В третьей формуле (3)используется 100 членов ряда, что в 50 раз больше, чем в первой формуле.
/>
Четвертая формула –формула для нахождения избыточной температуры по толщине шара для малыхзначений Фурье.
По результатам расчетаполучен график, на котором, для удобства сравнения, объединены все 4 значенияизбыточной температуры (Рис. 6.1)
/>
Рис. 6.1. Распределение температуры потолщине шара (резина).
Из графика видно, чтопервые две формулы дают слишком большие погрешности, для удобства сравнения 3 и4 формулы увеличим масштаб графика (Рис. 6.2)
/>
Рис. 6.2. Распределение температуры потолщине шара (резина).
Использование формулы (3)дает большую точность решения, но в узко ограниченной области толщины шара(r=0.485-0.5м), на остальном промежуткезначений радиуса шара погрешность формулы (3) гораздо больше формулы (4).
Проверим точность этихформул, задав точку радиуса шара вблизи поверхности (r=0.495м), варьируя значении параметра Фурье от 0 до 1.
/>Порезультатам расчетов построен график зависимости избыточной температуры отпараметра Фурье (Рис. 6.3).Также построен еще один график зависимостиизбыточной температуры от параметра Фурье, но в более ограниченной области(Рис. 6.4).
Рис. 6.2. Зависимости Θ от Fo (резина).
/>Рис. 6.3. Зависимости Θ от Fo (резина).
Распределение температурыпо толщине шара из стали (табл. 4) и резины (табл.5), в различные моментывремени, сведены в таблицы.
Таблица 5. Распределение температуры для шараиз сталиr 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 T(r,6000) 460.30 495.29 597.74 760.37 971.55 1216.1 1476.5 1733.3 1968.7 2163.5 2302.2 T(r,6500) 899.89 931.29 1023.2 1168.9 1358.0 1576.6 1808.6 2036.8 2243.6 2412.5 2528.8 T(r,7000) 1350.5 1378.4 1459.8 1588.9 1755.9 1948.6 2152.3 2351.3 2529.6 2672.0 2765.2 T(r,7500) 1806.5 1830.9 1902.2 2015.1 2160.8 2328.3 2504.3 2674.5 2824.6 2940.6 3010.1
Таблица 6. Распределение температуры для шараиз резиныr 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 T(r,300) 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 361.31 T(r,600) 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 272.97 450.62 T(r,1000) 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 270.29 569.94 T(r,2000) 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 273.00 272.98 180.45 868.71
4. Анализ решения
Из уравнения:
/>
видно, что относительнаяизбыточная температура прямо пропорциональна критерию Pd, т. е. скорость нагревания окружающей среды непосредственновлияет на повышение температуры тела в любой его точке.
Ряд в решении быстросходится, и поэтому для квазистационарного режима, определяемого условием Fo>Fo1, им можно пренебречь.
При Bi →∞температура поверхности шара будет линейной функцией времени. решение длябезразмерной температуры можно записать в виде:
/>
С
делав оценку ряда дляцентра шара (r=0), решение можно записать как:
/>
где
/>
Используя эти уравненияможно найти количество членов ряда, необходимое для получения точного решения:
/>
,
где К — количество членовряда
/>
Рис. 7.Зависимость суммы ряда от количествачленов ряда
Таблица 7.φ(0.01,K) 1.1016 0.8968 0.9523 0.9367 0.9408 0.9398 0.9400 0.9399 0.9400 0.94 φ(0.05,K) 0.7422 0.7000 0.7015 0.7016 0.7016 0.7016 0.7016 0.7016 0.7016 0.7016 φ(0.1,K) 0.4532 0.4473 0.4473 0.4473 0.4473 0.4473 0.4473 0.4473 0.4473 0.4473 φ(0.5,K) 0.0087 0.0087 0.0087 0.0087 0.0087 0.0087 0.0087 0.0087 0.0087 0.0087
Можно получить графикзависимости величины суммы ряда для различных значений числа Фурье отколичества членов ряда(Рис. 7). А также составить таблицу значений величинысуммы ряда (табл. 7).
Проанализировавполученные решения можно сделать вывод, что для получения точного значениябезразмерной температуры, можно брать только один член ряда, при условииFo>0.1.
Определяем удельныйрасход тепла необходимый для нагрева шара из стали и резины, используяуравнение:/> /> /> /> /> /> /> /> />
Рис. 8. Сравнение удельных расходов
Для удобства сравнения,величины расхода для обоих шаров, построены на одном графике зависимостиудельного расхода от времени (Рис. 8). Q1 — удельный расход тепла, необходимый для нагрева шара изстали, Q2 — удельный расход тепла,необходимый для нагрева шара из резины.
Вывод
Кривая, отображающаярасход необходимый для нагрева стального шара, располагается ниже кривой шараиз резины, из-за того, что сталь имеет гораздо меньшую удельную теплоемкость,чем резина (теплоемкость резины почти в 3 раза выше теплоемкости стали). А таккак удельная теплоемкость численно равна количеству теплоты, которое необходимоподвести к телу, чтобы повысить его температуру на 1 градус, то для нагревастального шара потребуется гораздо меньшее количество тепла. Кроме того,коэффициент теплопроводности стали больше коэффициента теплопроводности резиныпочти в 280 раз, а так как коэффициента теплопроводности характеризуетспособность вещества проводить теплоту, следовательно стальной шар будетпрогреваться по толщине гораздо быстрее, что уменьшит общие затратыпередаваемого, телу тепла.
Список литературы
1. Лыков А. В.Теория теплопроводности. М., 2002
2. Исаченко В. П.,Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. М., 1995
3. Цой П. В. Методырасчета задач тепломассопереноса. М., 1994