11.СТАТИКА РІДИН ТА ГАЗІВ.
В цій лекціїрозглядаються основні питання гідро та аеро-статики, тобто умови ізакономірності рівноваги рідин і газів під дією прикладених до них сил і, крімтого, умови рівноваги твердих тіл, що знаходяться в рідині чи газі.
1.ТИСК В РІДИНАХ І ГАЗАХ. ЗАКОН ПАСКАЛЯ.
Введемо спочаткупоняття тиску. Розглянемо деяку поверхню S, на яку діє розподілена сила.Виділимо на цій поверхні нескінченно малий майданчик dS (рис. 11.1). Нехай /> – це сила, що діє намайданчик dS.
Відношення сили /> до площі dS називають напругою:
/> (11.1)
/>Орієнтаціюмайданчика dS задають з допомогою векторанормалі до нього. Якщо S – цеповерхня якогосьтіла, то домовились проводити нормаль назовні від поверхні тіла. На рис. 11.1показано одиничний вектор /> цієї нормалі.
Напругу /> можнарозкласти на дві складові: вздовж нормалі /> і перпендикулярно до неї, тобто вплощині, дотичній до майданчика dS. Першу складову називають нормальною, а другу – тангенціальною напругами,що діють на майданчику dS:
/> (11.2)
Якщо напрям /> і /> співпадають,то цю напругу називають натягом T, в протилежному випадку –тиском P.
Тиском Рназивається фізична величина, що дорівнює модулю нормальної складової сили, якадіє на одиницю площі поверхні тіла:
/> (11.3)
Напруга в цьомувипадку дорівнює:
/>
Зауважимо, щотиск – величина скалярна.
Особливістю рідинта газів є їх текучість, зумовлена малими силами тертя під час відносного рухушарів, що дотикаються, та відсутністю тертя спокою. Рідинам і газам не властивапружність форми, вони мають лише об’ємну пружність. В стані рівноваги напруга врідинах і газах завжди нормальна до майданчика, на який вона діє. Дотичні(тангенціальні) напруги із-за текучості в рідинах та газах під час рівноваги невиникають.
З цієї точки зорурідини та гази можна означити як середовища, в яких при рівновазі дотичнінапруги існувати не можуть.
З даногоозначення випливає, що в стані рівноваги нормальна напруга в рідині чи газі(тиск) не залежить від орієнтації майданчика, на який вона діє. Це твердженняназивають законом Паскаля. Іншим чином його можна сформулювати так:
Тиск, що діє на рідинучи газ, передається в усіх напрямках без зміни.
Закон Паскаляпояснює роботу гідравлічного пресу (рис. 11.2).
/>
В газах нормальнанапруга завжди направлена всередину газу, тобто – це тиск. В рідинах />, як правило,теж тиск, хоч інколи можна реалізувати випадки, коли /> буде натягом (від’ємний тиск).
2.ОСНОВНЕ РІВНЯННЯ ГІДРОСТАТИКИ. БАРОМЕТРИЧНА ФОРМУЛА.
Сили, що діють врідині, ділять звичайно на сили масові (об’ємні) і сили поверхневі.
Масова силапропорційна масі />, а отже, і об’єму /> елемента рідини, наякий вона діє. Цю силу можна записати як />, де /> називають об’ємною густиноюмасових сил. Прикладом масових сил є сила тяжіння: /> де /> – густина рідини.
Поверхневі сили –це сили, що діють на поверхню даного об’єму рідини завдяки дії нормальних тадотичних напруг з боку оточуючої рідини.
Розглянеморідину, що перебуває у рівновазі. В цьому випадку дотичних напруг немає. Виділимов рідині нескінченно малий елемент об’єму /> у вигляді циліндра з площеюоснови /> ідовжиною />,розташованого вздовж вісі X (рис. 11.3):
/>
Тиск в т. x дорівнює />, в т. />: />. Сили тиску на основи циліндравідповідно дорівнюють:
/>
Проекціярівнодійної сил тиску на вісь X:
/>
Вираз в дужках єне що інше, як похідна від Р по x; але, оскільки P залежитьтакож і від y та z, то це частинна похідна:
/> (11.4)
Таким чином,проекція рівнодійної сил тиску на вісь X пропорційна елементу об’єму і їїможна подати у виді:
/>.
/> – це проекція на вісь Xсили, яка діє на одиницю об’єму рідини.
Аналогічно длядвох інших осей Y та Z:
/>
Вектор /> (11.5)
Вираз в дужках єградієнт скаляра Р:
/> (11.6)
Об’ємна густинарівнодійної сил тиску, що діють на елементи об’єму рідини, дорівнює градієнтутиску, взятому з протилежним знаком.
В стані рівновагисила /> повинназрівноважуватись масовою силою />: />. Це дає рівняння
/>, (11.7)
яке називаютьосновним рівнянням гідростатики. В координатній формі воно має вид системи(11.8):
/> (11.8)
Якщо масових силнемає, тобто />, то з виразу (11.8) матимемо:
/> або />.
При рівновазі увідсутності масових сил тиск Р один і той же по всьому об’єму рідини.
Це ще однеформулювання закону Паскаля (Блез Паскаль,
1623 – 1662).
Зокрема, якщомасові сили відсутні, рідина може перебувати в рівновазі тільки тоді, колизовнішній тиск на її поверхню один і той же в усіх точках цієї поверхні. Інакшевиникне рух рідини. У відсутності масових сил однаковий тиск на поверхню рідиниприводить до появи такого ж тиску в усіх точках всередині рідини.
Якщо рідиназнаходиться в полі тяжіння, то />; направимо вісь Z вертикально вгору, тоді:
/> (11.9)
Тиск залишаєтьсясталим в кожній площині />. Горизонтальні площини – цеплощини однакового тиску. Вільна поверхня рідини горизонтальна тому, що вонаперебуває під сталим тиском атмосфери.
Якщо рідина нестискується, то /> і (11.9) інтегрується:
/>, (11.10)
де /> – тиск на висоті /> тобтоатмосферний тиск, якщо початок розташувати на вільній поверхні рідини.
Рівняння (11.10)охоплює практично всю шкільну гідростатику. /> (інакше />) – це гідростатичний тиск,викликаний вагою рідини, який залежить від глибини занурення в рідину.
Застосуємо основнерівняння гідростатики до земної атмосфери. Одержимо (див. (11.9)):
/> (11.11)
В останньомувиразі замість частинної похідної записана звичайна, оскільки Р не залежить відx та y. Для земної атмосфери наближеноможна використати рівняння Клапейрона-Менделєєва:
/>,
звідки:/>. (11.12)
Підставимо(11.12) в (11.11) і проінтегруємо в припущенні, що />:
/> /> />
при />, отже сталаінтегрування />.
/>, або:
/> (11.13)
(11.13) називаютьбарометричною формулою.
Аналогічно: /> (11.14)
У виразах (11.13)і (11.14) /> і/> - це тискі густина повітря на поверхні Землі.
3.ЗАКОН АРХІМЕДА. ПЛАВАННЯ ТІЛ.
/>Уявновиділимо в рідині довільний об’єм, обмежений замкненою поверхнею S (рис. 11.4). Якщо рідина перебуває врівновазі, то рівнодійна всіх зовнішніх сил, що діють на виділений об’ємрідини, і її момент повинен дорівнювати нулю. На виділений об’єм діють силатяжіння /> ісили тиску, рівнодійна /> яких повинна дорівнювати замодулем /> ібути прикладеною в центрі мас /> виділеного об’єму рідини.Видалимо тепер рідину з вказаного об’єму і вмістимо туди будь-яке тверде тіло.Якщо це тіло перебуває в рівновазі, то стан оточуючої рідини не зазнає ніякихзмін.
Таким чином, якщотіло, занурене в рідину, перебуває в стані рівноваги, то з боку рідини вонозазнає дії виштовхувальної сили гідростатичного тиску. Ця сила чисельнодорівнює силі тяжіння, що діє на рідину, яка має об’єм зануреної частини тіла.
Виштовхувальнасила направлена вгору і прикладена до центра мас /> рідини, яку витіснило тіло. Точку/> називаютьцентром тиску або центром плавучості тіла. Вищенаведене твердження і називаютьзаконом Архімеда, а виштовхувальну силу називають архімедовою силою:
/> (11.15)
Використовуючипоняття ваги, архімедову силу можна означити, як силу, що дорівнює вазі рідини,яку витіснило тіло.
/>
Для рівновагинеобхідно, щоб вага тіла дорівнювала вазі витісненої ним рідини, а центрплавучості /> лежавна одній вертикалі з центром мас С самого тіла. Для тіла, яке занурене в рідинуповністю, рівновага буде стійкою, якщо центр мас тіла С лежатиме нижче йогоцентра плавучості />, і нестійкою в протилежномувипадку. Якщо тіло занурене в рідину частково, то рівновага буде стійкою в двохвипадках: по-перше, якщо центр мас С буде розташований нижче центра плавучості/>, і, по-друге, якщоцентр мас С буде розташований нижче метацентра. Метацентром називають точку Мтіла, в якій перетинаються лінії дії виштовхувальних сил в стані рівноваги іпри відхилення тіла від положення рівноваги на малий кут (див. рис. 11.6).